数值分析试题1[1]
数值分析试题与答案解析
范文 范例 指导 学习数值分析试题一、 填空题（ 2 0 ×2′）1.3 22A1, X2 3设 x=0.231 是精确值 x*=0.229 的近似值，则 x 有2位有效数字。
2. 若 f ( x)= x 7 － x 3 ＋ 1 ， 则 f [2 0,2 1,2 2,2 3,2 4 ,2 5,2 6,2 7]= 1，123456780 。
f [2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ]=3. 设，‖ A ‖∞＝___5 ____ ，‖ X ‖∞＝__ 3_____ ，‖AX ‖∞≤_15_ __ 。
4. 非线性方程 f ( x)=0 的迭代函数 x= ( x) 在有解区间满足| ’( x)| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
a b 上的三次样条插值函数S x 在 a b 上具有直到 2 阶的连续导数。
5.区间[,]( ) [ , ]6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。
n7. 拉格朗日插值公式中 f ( x i ) 的系数 a i ( x) 的特点是：a i ( x )1；所i 0以当系数 a i ( x) 满足 a i ( x)>1，计算时不会放大 f ( x i )的误差。
8. 要使 20 的近似值的相对误差小于 0.1%，至少要取 4位有效数字。
9. 对任意初始向量 X (0) 及任意向量 g ，线性方程组的迭代公式x ( k+1) Bx ( k) g k=0,1,⋯ )= + (收敛于方程组的精确解 x* 的充分必要条件是(B)<1。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。
范文范例指导学习x00.51 1.52 2.5 y=f ( x)-2-1.75-10.252 4.25 11.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)|。
数值分析 考试
江苏科技大学 数值分析复习
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2012-11-13
S ′(0.25) = 1.000, S ′(0.53) = 0.6868
提示：
h0 = x1 − x0 = 0.05, h1 = x2 − x1 = 0.09, h2 = 0.06, h3 = 0.08 5 3 3 计算： μ1 = , μ 2 = , μ3 = , μ 4 = 1 14 5 7 9 2 4 计算： λ1 = , λ2 = , λ3 = , λ0 = 1 14 5 7 f ( x1 ) − f ( x0 ) 计算： f [ x0 , x1 ] = = 0.9540, x1 − x0 f [ x1 , x2 ] = 0.8533, f [ x2 , x3 ] = 0.7717, f [ x3 , x4 ] = 0.7150
江苏科技大学 数值分析复习
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2012-11-13
一等价公式。 ln( x −
x 2 − 1) = − ln( x + x 2 − 1) 计算，求对数时误差有多大？
解 ∵ f ( x) = ln( x −
x 2 − 1) , ∴ f (30) = ln(30 − 899) 。设 u = 899, y = f (30) ，则有 y = ln(30 − u ) * * 根据题意有 u = 29.9833 ，精度为 ε( u ) = ... 。 1 1 * 故 ε( y ) ≈ − ε( u* ) = iε( u* ) ≈ ... * 0.0167 30 − u
基函数： l1 ( x ) = 误差：自己做一下。 作业 2： 16. 求次数不高于 4 次的多项式 P(x)，使它满足 P (0) = P′(0) = 0, P (1) = P′(1) = 1, P (2) = 2 。 提示：方法有 1、方程组法，最简单。假设 P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x ；代入条件得 5 个方程，求解
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析考试卷及详细答案解答
数值分析考试卷及详细答案解答姓名班级学号⼀、选择题1.()2534F,,,-表⽰多少个机器数(C ).A 64B 129C 257D 2562. 以下误差公式不正确的是( D)A ．()()()1212x *x *x *x *εεε-≈+B ．()()()1212x *x *x *x *εεε+≈+C ．()()()122112x *x *x *x *x x *εεε?≈+ D ．()()()1212x */x *x *x *εεε≈-3. 设)61a =, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪⼀个在数值计算上将给出a 较好的近似值？(D )A6)12(1+ B 27099- C 3)223(- D3)223(1+4. ⼀个30阶线性⽅程组, 若⽤Crammer 法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30!B 30×30×30!C 31×30×31!D 31×29×29!5. ⽤⼀把有毫⽶的刻度的⽶尺来测量桌⼦的长度, 读出的长度1235mm, 桌⼦的精确长度记为（ D ）A 1235mmB 1235-0.5mmC 1235+0.5mmD 1235±0.5mm⼆、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。
2.⼗进制123.3转换成⼆进制为1111011.01001。
3.⼆进制110010.1001转换成⼗进制为 50.5625 。
4. ⼆进制0101.转换成⼗进制为57。
5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限 5% 。
6. ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是 0.693 。
7.31415926x .π==，则131416*x .=，23141*x .=的有效数位分别为5 和3 。
8.设200108030x*.,y*.==-是由精确值x y 和经四舍五⼊得到的近似值，则x*y*+的误差限 0.55×10-3 。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
数值分析期末考卷
数值分析期末考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. 插值法B. 拟合法C. 微分法D. 积分法A. 高斯消元法B. 高斯赛德尔迭代法C. 共轭梯度法D.SOR方法3. 下列哪个算法不是求解非线性方程的方法？A. 二分法B. 牛顿法C. 割线法D. 高斯消元法A. 梯形法B. 辛普森法C. 高斯积分法D. 复化求积法A. 欧拉法B. 龙格库塔法C.亚当斯法D. 高斯消元法A. 幂法B. 反幂法C. 逆迭代法D. QR算法A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 共轭梯度法D. 高斯消元法A. 拉格朗日插值法B. 牛顿插值法C. 埃尔米特插值法D. 分段插值法A. 前向差分法B. 后向差分法C. 中心差分法D. 拉格朗日插值法A. 牛顿法B. 割线法C. 雅可比迭代法D. 高斯消元法二、填空题（每题4分，共40分）1. 数值分析的主要任务包括数值逼近、数值微积分、数值线性代数和______。
2. 在求解线性方程组时，迭代法的收敛速度与______密切相关。
3. 牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} = x_k f(x_k)/______。
4. 在数值积分中，复化梯形公式的误差为______。
5. 求解常微分方程初值问题，龙格库塔法的阶数取决于______。
6. 矩阵特征值的雅可比方法是一种______方法。
7. 梯度下降法在求解无约束优化问题时，每次迭代的方向为______。
8. 拉格朗日插值多项式的基函数为______。
9. 数值微分中的中心差分公式具有______阶精度。
10. 在求解非线性方程组时，牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} =x_k J(x_k)^{1}______。
三、计算题（每题10分，共60分）1. 给定数据点（1，2），（2，3），（3，5），（4，7），求经过这四个数据点的拉格朗日插值多项式。
2. 用牛顿迭代法求解方程x^3 2x 5 = 0，初始近似值为x0 = 2，计算前三次迭代结果。
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x 为精确值x 的近似值;()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-:***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差.3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6位和 7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字,则12x x 的相对误差限为 0.0055 .5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0。
01 。
6、 已知近似值 2.4560A x=是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0。
0000204 。
7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取01.41y ≈作计算，则计算到10y 时，误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 。
8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2＊10—5。
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(11 分)
3
x 2 0.566 31
0.566 31 e 0.566 31
1 e 0.566 31 x2 x1 0.000 83 0.001
0.56714
于是取 x=0.56714 为方程的近似根. (15 分) 14. 预报－校正公式为 2 y k 1 y k hf ( x x , y k ) y k h(1 x k y k ) (5 分) 2 h h 2 y k 1 y k [ f ( x k , y k ) f ( x k 1 , y k 1 )] y k (2 x k y k x k 1 y k 1 ) 2 2 h=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，于是有 y 1 1 0.1(1 0 12 ) 1.2 (10 分) 0.1 (2 0 12 0.1 1.2 2 ) 1.227 y1 1 2 h=0.1,x1=0.1，y1=1.227，x2=0.2，于是有 y 2 1.227 0.1(1 0.1 1.2272 ) 1.488 (14 分) 0.1 (2 0.1 1.2272 0.2 1.4882 ) 1.528 y 2 1.227 2 所求为 y(0.1)y1=1.227 y(0.2)y2=1.528 (15 分) 四、证明题(本题 10 分) 15. 作均差表
1.2
0
l n1 ( x 2 )dx
计算过程保留 4 位小数. － 13. 用牛顿法解方程 x－e x=0 在 x=0.5 附近的近似根. 要求 x n1 x n <0.001. 计算过程 保留 5 位小数. 14.取 h=0.1, 用改进欧拉法预报－校正公式求初值问题 y 1 x y 2 y (0) 1 在 x=0.1, 0.2 处的近似值. 计算过程保留 3 位小数. 四、证明题(本题 10 分） 15. 已知函数表 5 26 65 求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为 1 (D) 2 0 1 1 2 0 14 15 91 18 3. 已知 y=f(x)的均差 f(x0,x1,x2)= ，f(x1,x2,x3)= ，f(x2,x3,x4)= ，f(x0,x2,x3)= , 3 3 3 15 那么均差 f(x4,x2,x3)=( ) 15 18 91 14 (A) (B) (C) (D) 3 3 15 3 7 16 ( 4) 2 ( 4) 4. 已知 n=4 时牛顿－科茨求积公式的科茨系数 C 0 , C1( 4) , C 2 , 那么 90 45 15 ( 4) ＝( ) C3 7 16 2 7 16 2 39 ( A) (B) (C) (D) 1 90 45 15 90 45 15 90 5.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( ) (A) ex－x－1＝0，[1,1.5]，令 xk+1= e xk 1 1 (B) x3－x2－1=0，[1.4,1.5], 令 x k 1 1 2 xk
(7 分) 1.396 1 0.987 0 0.892 0 代入抛物线求积公式 1.2 h ln(1 x 2 )dx [ f 0 f 8 4( f1 f 3 f 5 f 7 ) 2( f 2 f 4 f 6 )] 0 3 0.15 ＝ (15 分) [0.8920 4 1.3961 2 0.987] 0.4225 3 － 13. 令 f(x)= x－e x，取 x0=0.5，则 f (0.5) f (0.5) (0.5 e 0.5 )(e 0.5 ) =0.064 61>0，
2 (C) x3－x2－1=0，[1.4,1.5], 令 x k 1 3 1 x k
0.2 0.1 0 (C) 0.2 0 0.1 0 . 2 0 . 4 0
(D) 4－2x=x，[1,2], 令 xk 1 log 2 (4 x) 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 6.sin1 有 2 位有效数字的近似值 0.84 的相对误差限是 . 7.设矩阵 A 是对称正定矩阵， 则用 迭代法解线性方程组 AX=b， 其迭 代解数列一定收敛. 8. 已知 f(1)=1,f(2)=3,那么 y=f(x)以 x=1，2 为节点的拉格朗日线性插值多项式为 . 9. 用 二 次 多 项 式 ( x) a0 a1 x a 2 x 2 , 其 中 a0, a1, a2 是 待 定 参 数 ， 拟 合 点 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn). 那么参数 a0, a1, a2 是使误差平方和 取最小值的解. 10. 设求积公式
2 = ln(1 x k )
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
xk
0.00 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 1.05 1.20
奇数号 0.022 3
偶数号
端点 0
0.086 2 0.184 4 0.307 5 0.446 3 0.593 3 0.743 1 0.892 0
于是取初始值 x0=0.5. 牛顿迭代公式为
(3 分)
x n 1
x0=0.5,
f ( xn ) x n e xn (n=0,1,2,…) xn xn f ( x n ) 1 e xn
(7 分)
x1 0.5
0.5 e 0.5 0.56631 1 e 0.5 x1 x0 0.066 31
12 r1 18 1 r3 r1 18 r2
x 2 [5.166 7 0.944 4 3.000 0] / 1.166 7 2.000 0 x1 [15 3.000 0 3 2.000 0] /( 18) 1.000 0
方程组的解为 X(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T 1.2 0 12. 解 n=8, h= 0.15 ,f(x)=ln(1+x2) 8 计算列表 f ( xk ) (15 分).
(5 分)
18 3 1 15 12 3 3 15 (换行，消元) 1 1 6 1
( r1 , r2 )
2
3 1 15 18 0 1 2.333 3 5 (选 a32 1.1667为主元，并换行消元) 0 1.166 7 0.944 4 5.166 7 ( r2 , r3 ) 3 1 15 18 1 r3 r2 1.1667 (10 分) 0 1.1667 0.944 4 5.1667 0 3.142 8 9.428 5 0 系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解 9.428 5 x3 3.000 0 3.142 8
xk
0 1 2 3 4
f ( xk )
-7 -4 5 26 65
一阶均差 3 9 21 39
二阶均差
三阶均差
3 6 9 1 1
(6 分) 5 128 63 12 1 因为三阶均差均为常数 1，可见该函数表的牛顿插值多项式最高次幂为 3 次，(7 分) 且其系数为 1. (10 分)
4
b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( x k ) ，若对
的多项式积分公式
1
精确成立，而至少有一个 m+1 次多项式不成立。则称该求积公式具有 m 次代数精度. 三、计算题(每小题 15 分，共 60 分) 11.用列主元消去法解线性方程组 12x1 3x 2 3x3 15 18x1 3x 2 x3 15 x x x 6 2 3 1 计算过程保留 4 位小数. 12. 取 m=4,即 n=8，用复化抛物线求积公式计算积分
k 1
n
( y k ( x k )) 2 或
(y
k 1
n
k
2 2 a0 a1 x k a 2 x k )
10. 不超过 m 次 三、计算题(每小题 15 分，共 60 分) 12 3 3 15 11. [A b]= 18 3 1 15 (选 a 21 18 为主元) 1 1 6 1
数值分析考试试题及答案
一、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分) 1.数值 x*的近似值 x=0.1215×10 2，若满足 x x (
－
)，则称 x 有 4 位有效数字.
1 1 1 － － － ×10 4 (C) ×10 5 (D) ×10 6 2 2 2 10 2 1 2. 设矩阵 A＝ 2 10 1 ，那么以 A 为系数矩阵的线性方程组 AX＝b 的雅可比迭 1 2 5 代矩阵为( ) 0 0.2 0.1 1 0.2 0.1 (A) 0.2 0 0.1 (B) 0.2 1 0.1 0.2 0.4 0 0.2 0.4 1
x f ( x)
0 －7
1 －4
2
3
4
5 128
数值分析考试试题答案
一、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分) 1. D 2.A 3.C 4. B 5.A 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 1 1 6. 1021 101 0.00625 28 16 7. 高斯－赛德尔 8 2x－1. 9.