2013年海淀区中考一模数学试题答案

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2013年北京(通海平)初三数学一模试卷及答案汇总.

海淀区九年级第二学期期中练习数学2013.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2的相反数是A. 2B.2-C.21D.21-2．十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达5.5亿次.将5.5亿用科学记数法表示为A. 8105.5⨯B. 81055⨯ C. 755010⨯ D. 10100.55⨯ 3．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是A. 圆柱B. 正方体C. 球D. 圆锥4．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为A. 5B.6C. 7D. 85．小林在元宵节煮了20个元宵，其中10个黑芝麻馅，6个山楂馅，4个红豆馅（除馅料不同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是A ．12 B ．13 C ． 15 D ．256.一副三角板如图放置，若∠1＝90︒，则∠2的度数为A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°7.在篮球比赛中，某队员连续10场比赛中每场的得分情况如下表所示：则这10场比赛中他得分的中位数和众数分别是A.10, 4B.10，7C.7，13D. 13，48.如图，△ABC 是等边三角形，6AB =厘米，点P 从点B 出发,沿BC 以每秒1厘米的速度运动到点C 停止；同时点M 从点B 出发,沿折线BA -AC 以每秒3厘米的速度运动到点C 停止.如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P 的运动时间为t 秒，P 、M 两点之间的距离为y 厘米，则表示y 与t 的函数关系的图象大致是A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：22369a b ab b -+= ．10．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是．11．如图,将正方形纸片对折，折痕为EF .展开后继续折叠，使点A 落在EF 上，折痕为GB ，则ABG ∠的正切值是 . 12. 如图1所示，圆上均匀分布着11个点12311,,,,A A A A .从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k +1阶正十一角星”，其中18k ≤≤（k 为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么1211A A A ∠+∠++∠=°；当1211A A A ∠+∠++∠=900°时，k = .图1 图2三、解答题（本题共30分，每小题5分）EDCBA130112cos301)()8-︒+-- ．14．解不等式组：20,11.2x x x +>⎧⎪⎨-+≥⎪⎩15．先化简，再求值：4212112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ，其中3=x ．16.已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥EC ，AC CE =，.B EDC ∠=∠求证：.BC DE =17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数xy 2-=的图象与一次函数k kx y -=的图象的一个交点为(1,)A n -．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若P 是x 轴上一点，且满足45APO ∠=︒，直接写出点P 的坐标．18. 列方程（组）解应用题：雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，加工了300顶帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的2倍，结果提前4天完成了任务．求原计划每天加工多少顶帐篷.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ,BD 相交于点E ,DAB ∠=CDB ∠=90︒,ABD ∠=45︒,∠DCA =30︒,AB =.求AE 的长和△ADE 的面积．=．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作20.已知：如图，在△ABC中，AB ACDE⊥AC于点E.(1)求证：DE与⊙O相切；AB=，(2)延长DE交BA的延长线于点F.若6sin B求线段AF的长.21. 下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果.为了解今年北京市春节假期空气质量情况，小静查到下表所示的某天15个监测子站的空气质量指数；小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况，并绘制了以下两个统计图.解答下列问题：（1）小静查到的统计表中重度污染出现的频率为；（2）计算小博抽取的监测点的个数，并补全条形统计图；（3）据统计数据显示，春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因. 市民在今年春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量，全市销售烟花爆竹37万余箱，比去年减少35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹.（结果保留整数）22.问题：如图1，a、b、c、d是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD，使它的顶点A、B、C、D分别在直线a、b、d、c上，并计算它的边长.图1 图2小明的思考过程：他利用图1中的等距平行线构造了33⨯的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH ，如图2所示, 再分别找到它的四条边的三等分点A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60︒，边长为1）中，画出一个等边△ABC ，使它的顶点A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线a 、b 、c 上；（3）如图4，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行线，1l 、2l 之间的距离是215，2l 、3l 之间的距离是2110，等边△ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，直接写出△ABC 的边长.图3 图4五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标；（2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是．24．在△ABC 中，∠ACB ＝90︒．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ．（1）若45ABC ∠=︒，CD =1（如图），则AE 的长为；（2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明；（3）若直线CE 、AB 交于点F ， 56CF EF =，CD =4，求BD 的长．25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C . (1) 求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；(2) 直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧.①若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积；②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得'QB 的值最小，则这个最小值为 .BC平谷区2012～2013学年度第二学期初三统一练习数学试卷 2013．4一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．3-的倒数是A ．3B ．3-C ．13 D ．13- 2．最新统计，中国注册志愿者总数已超30 000 000人，30 000 000用科学记数法表示为 A ．7310⨯ B ．6310⨯ C ．63010⨯ D ．5310⨯ 3．如图，在□ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =∠，则BCE =∠ A ．25B ．30C ．35D ．554．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号，7号题，第3位选手抽中8号题的概率是 A ．17B ．18C ．19D ．1105．如图，点D E F ，，分别是ABC △三边的中点，若ABC △的周长为20cm ，则DEF △ 的周长为 A ．15cmB ．20cm 3C ．5cmD ．10cm6．北京市2013年4月份某一周天气预报的日最高气温（单位：℃）分别为13，14，17，22，22，15，15，这组数据的众数是 A ．22℃ B ．15℃C ．C ︒22℃和15D ．18.5℃7．将函数267y x x =++进行配方，正确的结果应为 A ．2(3)2y x =+-B ．2(3)2y x =++C ．2(3)2y x =-+D ．2(3)2y x =--AEBCD8．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线ky x=(k ≠0) 与ABC ∆有交点，则k 的取值范围是 A ．12k << B ．13k ≤≤ C ．14k ≤≤ D ．14k <≤ 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．如果分式31x -的值为正数，那么x 的取值范围是_____________． 10．分解因式：324a ab -=__________ ．11．如图，⊙O 的半径OA =6，弦AB =8，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为．12．如图1、图2、图3，在ABC △中，分别以AB AC 、为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD 、相交于点O ．如图4，AB AD 、是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE 、是以AC 为边向ABC △外所作正n (n 为正整数)边形的一组邻边．BE CD 、的延长相交于点O ．图1中BOC ∠= ；图4中BOC ∠= （用含n 的式子表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算： 011()20132s i n 122--+︒-． 14．已知2250x x --=，求21(21)(2)(2)4()2x x x x x -++---的值．15．已知：如图，AB ∥CD ，AB =EC ，BC =CD . 求证：AC =ED .16．如果2-是一元二次方程280x mx +-=的一个根，求它的另一根． 17．如图，一次函数4+=mx y 的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数)0(>=x xky 的图象相交于点(16)B ，．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）设点P 是x 轴上一点，若18=∆APB S ,直接写出点P 的坐标．OP BAA18．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．四、解答题（本题共20分，第小题5分） 19．已知：如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，120D ∠=︒，E 是AD 上一点，∠BED=135°，BE =DC =2DE =求(1)点C 到直线AD 的距离；（2）线段BC 的长．20. 如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，CAB ∠的平分线交O ⊙于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 的延长线于点E ，连接BC 交AD 于点F .（1）求证：ED 是O ⊙的切线；（2）若108AB AD ==，，求CF 的长.21．2010年4月，国务院出台“房贷新政”，确定实行更为严格的差别化住房信贷政策，对楼市产生了较大的影响．下面是某市今年2月~5月商品住宅的月成交量统计图（不完整），请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）该市今年2月~5月共成交商品住宅套； (2）请你补全条形统计图；（3）该市这4个月商品住宅的月成交量的极差是套，中位数是套．22. 对于平面直角坐标系中的任意两点11122(,)()P x y P x y 2、，，我们把1122x x y y -+-叫做12P P 、两点间的直角距离，记作12()d P P ，．（1）已知点12(3,4)(1)P P -、，1，那么12P P 、两点间的直角距离12()d P P ，=_____________；（2）已知O 为坐标原点，动点()P x y ，满足()1d O P =，，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有满足条件的图形；（3）设0()P x y ，是一定点，()Q x y ，是直线y ax b =+上的动点，我们把0()d P Q ，的最小值叫做点0P 到直线y ax b =+的直角距离.试求点(21)M ，到直线2y x =+的直角距离.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题23. 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. （1）判定方程根的情况；（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．24．（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是 AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P . 请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相交于点P . 请你猜想∠APM =°，并写出你的推理过程25．如图1，在直角坐标系中，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，以线段BC 为边向上作正方形ABCD . （1）点C 的坐标为（），点D 的坐标为（）；（2）若抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过C 、D 两点，求该抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线 BA 向上平移，直至正方形的顶点C 落在y 轴上时，正方形停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围.通州区初三年级模拟考试数学试卷2013年5月一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．3-的倒数是A ．3B ．3-C ．13-D ．132．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是A B C D3．2012年，北京实现地区生产总值约17800亿元，比2011年增长百分之七点多.将17800用科学记数法表示应为 A ．17.8×103B ．1.78×105C ．0.178×105D ．1.78×44．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，∠ABC =32°，则∠AOC 的度数是 A ．32°B ．64°C ．16°D ．58°5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.妈妈买了2只红豆粽和3只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是 A ．25 B ．12C ．15D ．236. 一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的面积是 A ．6πB ．4πC ．2πD ．π7．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动. 为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是 A ．平均数是2.5 B ．中位数是3C ．众数是2D ．方差是48．如图，在直角坐标系xoy 中，已知()01A ，，)B，以线段AB 为边向上作菱形ABCD ，且点D 在y 轴上.若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为第8题图（1）第8题图（2）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式2x x-的值为零，则x = ． 10．分解因式：322x x x -+= ．11．如图，AB ∥CD ，点E 在AB 上，且DC DE =，70AEC ∠=︒，则D ∠的度数是______.12．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为kn 2（其中k 是使得kn 2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次……，若1n =，则第2次“F 运算”的结第11题图CDA E B果是；若13n =，则第2013次“F 运算”的结果是 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：(123tan302--+o14．解不等式组20512(1)x x x -<⎧⎨+>-⎩，．15. 已知：如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且使AE ＝AD .求证：∠B ＝∠C .16．化简求值：2221y x yx y x⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭g ，其中30x y -=，且0y ≠.17．已知(42)A -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）将一次函数y kx b =+的图象沿y 轴向上平移n 个单位长度，交y 轴于点C ，若12ABC S =V ，求n 的值.18. 列方程或列方程组解应用题：ECA D B根据城市发展规划设计，某市工程队为该城市修建一条长4800米的公路.铺设600米后，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果共用9天完成任务.问原计划每天修建公路多少米? 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）直接写出频数分布表中a ，b 的值，补全频数分布直方图；（2）学校将对成绩在90分以上（不含90分）的学生进行奖励，请估计全校1000名学生中约有多少名获奖？20．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC DCE 是等边三角形，DE 交AB 于点F ，求△BEF 的周长．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ．/分A DFEB C（1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；（2）连接EO ，交AD 于点F ，若5AC =3AB ，求EOFO的值．22. 如图所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；（2）若所拼成的直角三角形、等腰梯形、矩形的面积分别记为S 1、S 2、S 3，周长分别记为l 1、l 2、3l ，判断所拼成的三种图形的面积、周长的大小关系（用“=”、“＞”、“＜”、“≤”或“≥”连接）：面积关系是；周长关系是．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）第22题图（矩形）（等腰梯形）（直角三角形）第22题图23. 已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-．（1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应∠ADB 的大小.25．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，AB 为半圆直径，半圆圆心为点M ,半圆与y 轴的正半轴交于点C . （1）求经过点C 的“蛋圆”的切线的表达式；A DBC（2）求经过点D 的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E 是“蛋圆”上一点（不与点A 、点B 重合），点E 关于x 轴的对称点是F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 的坐标.通州区初三数学模拟考试参考答案及评分标准2013．5 一、选择题：1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 二、填空题：9. 2x =； 10. ()21x x -； 11. 40 ； 12. 1，4；三、解答题： 13. 解：原式=1312-+， ……………… 4分；=112+，=32+……………… 5分. 14. ()205121x x x -<⎧⎨+>-⎩，．①②解：解不等式①，得 2x <， (1)分；解不等式②，5122x x +>-， ……………… 2分； 5221x x ->--， ……………… 3分； 33x >-，1x >-， ……………… 4分；第25题图∴这个不等式组的解集是12x -<< . (5)分.15. 证明：在△ABE 和△AC D 中∵ .AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， ……………… 3分；∴△ABE ≌△ACD （SAS ）. ……………… 4分；∴B C ∠=∠. ……………… 5分.16．解：原式=x yx y x y y x y x -∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2222222，x yx y x x -∙-=222， ……………… 1分； xyx y x y x x -∙-+=))((2， ……………… 2分； =xx y+. ……………… 3分；由30x y -=，得3x y =， ……………… 4分； ∴原式=33y y y +=34y y =34. ……………… 5分.17. 解：(1) 把(42)A -，，(24)B -，分别代入y kx b =+和my x=中， ∴42244.2-=k b k b m ⎧⎪-+=⎪+=-⎨⎪⎪⎩，， ……………… 1分；解得：128.k b m =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，， ……………… 2分；∴反比例函数的表达式为8y x=-，一次函数的表达式为2y x =-- ；（2）设一次函数2y x =--的图象与y 轴的交点为D ,则()0D ，-2，第15题图EDC (3)分；∵12=∆ABC S ， ∴12221421=∙∙+-∙∙CD CD ， ……………… 4分；∴4CD =，∴4n =. (5)分.18. 解法一:解：设原计划每天修建公路x 米, 则实际每天修建公路2x 米， …… 1分；根据题意得：600480060092x x-+=， ……………… 3分； ∴27009x=， ∴300x =.经检验：x =300是原方程的解，且符合实际问题的意义. ……………… 4分；答：原计划每天修建公路300米. ……………… 5分. 解法二：解：设铺设600米用x 天, 则增加人力和设备后，用()9x -天完成任务.……………… 1分；根据题意得：600480060029x x-⨯=-， ……………… 3分；解得：2x =.经检验：2x =是原方程的解，且符合实际问题的意义. ……………… 4分； ∴6003002=，答：原计划每天修建公路300米. ……………… 5分. 四、解答题19. （1）0.05a =，24b =. ……………… 2分；补全频数分布直方图正确； ……………… 4分；（2）0.371000370⨯=. ……………… 5分. 估计全校1000名学生中约有370名获奖.20．解法一：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==，在Rt △ADF 中，90A ∠=o，AD =∴tan AFADF AD∠=，tan 30==o ∴1AF =， ∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分；过点E 作EG CB ⊥，交CB 的延长线于点G . ……………… 3分；在Rt △ECG 中，90EGC ∠=o ，3EC =，30ECG ∠=o，∴1322EG EC ==，cos GC ECG EC∠=，cos 303GC ==o∴GC =∴GB GC BC =-=由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB = ……………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分. 解法二：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴60EDC ECD ∠=∠=o，3ED EC ==，过点E 作EH CD ⊥交CD 于点H ，交AB 于点G . ……………… 1分； ∴点H 是DC 的中点，点G 是AB 的中点，30FEG ∠=o，GH AD ==G 第20题图A BDEF在Rt △EHD 中，90EHD ∠=o ，3ED =， ∴sin EHEDH ED∠=，sin 603EH ==o∴EH =∴EG EH GH =-==. 在Rt △EGF 中，90EGF ∠=o ，60EFG ∠=o ， ∴sin EG EFG EF∠=，sin 260EF ==o ∴1EF =， ……………… 2分； ∴1122FG EF ==， ∵点G 是AB 的中点，3AB =，∴1322GB AB ==， ∴13222FB FG GB =+=+=， ……………… 3分；由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB = ……………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分. 解法三：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴30ADF ECB ∠=∠=o，3ED EC ==，在Rt △ADF 中，90A ∠=o，AD = ∴tan AFADF AD∠=，tan 30==o ∴1AF =，H F E D CBA 第20题图G∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分；过点B 作BG CE ⊥，交CE 于点G . ……………… 3分；在Rt △BCG 中，90BGC ∠=o，BC =，30ECB ∠=o ，∴122BG BC ==，cos GC BCG BC ∠=，cos 302==o ， ∴32GC =， ∴33322GE EC GC =-=-=，由勾股定理得，222EB EG GB =+，或BG 是线段EC 的垂直平分线，∴EB =BE =BC ， ………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分.21． (1)证明：连接OD.∵OD OA =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴ODA CAD ∠=∠， ……………… 1分； ∴AE ∥OD ， ∵DE AE ⊥， ∴ED DO ⊥，∵点D 在⊙O 上，∴ED 是⊙O 的切线； ……………… 2分；（2）解法一：连接CB ,过点O 作OG AC ⊥于点G .…………… 3分； ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o， ∵OG AC ⊥，第21题图G 第20题图ABCDEF∴OG ∥CB ， ∴AG ACAO AB=， ∵5AC =3AB ，∴35AG AO =， ……………… 4分；设35AG x AO x ==，， ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴四边形EGOD 是矩形， ∴EG OD =，AE ∥OD ，∴5DO x =，5GE x =，8AE x =, ∴△AEF ∽△DFO ，∴EF AEFO OD =， ∴85EF FO = ， ∴135EO FO =. ……………… 5分．解法二：连接CB ,过点A 作AH DO ⊥交DO 的延长线于点H . ………… 3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴四边形AHDE 是矩形， ∴EA DH =，AE ∥HD ，AH ∥ED ，∴CAB AOH ∠=∠， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o， ∴ACB AHO ∠=∠， ∴△AHO ∽△BCA ， ∴OH ACAO AB=， ∵5AC =3AB ，∴35OH AO =， ……………… 4分；设35OH x AO x ==，，第21题图∴5DO x =，8AE DH x ==, ∵AE ∥HD ，∴△AEF ∽△DFO ，∴EF AEFO OD =， ∴85EF FO = ， ∴135EO FO =. ……………… 5分．解法三：连接CB ,分别延长AB 、ED 交于点G . ………… 3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴AE ∥OD ，90ODG ∠=o ，∴CAB DOG ∠=∠， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o ， ∴ACB ODG ∠=∠， ∴△GDO ∽△BCA ， ∴OD ACOG AB=， ∵5AC =3AB ，∴35OD OG =， ……………… 4分；设35OD x OG x ==，，∴5AO x =，8AG AO OG x =+=, ∵AE ∥OD ，∴△AEG ∽△ODG ，△AEF ∽△DFO ，∴ AG AEOG OD= ， EF AE FO OD =， ∴85EF FO = ， ∴135EO FO =. ……………… 5分. 22.(1)第21题图画图正确；每图各1分，共3分；(2)面积关系是 S 1=S 2=S 3 ； ……………… 4分；周长关系是 l 1>l 2>3l ． ……………… 5分. 五、解答题： 23.解：(1)令0y =，则()22140x k x k -++=解方程得：2x k =或2x =， ……………… 1分；由题意得：()20A k ，，()20B ，， ∴ 31222-k <<-， ∴3144k -<<-. ……………… 2分；(2)令0x =，则4y k =， ∴()04M k ，， ∵OM OB =，∴ 42k -=， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. (4)分；或∵OM OB =，()20B ，， ∴()0M ，-2，把点M 的坐标分别代入()2214y x k x k =-++中，∴42k =-， ……………… 3分； ∴ 12k =-，∴22y x x =--. (4)分；(3)2，5，5. （每个答案各1分） ……………… 7分． 24．解：（1）过点A 作AG BC ⊥于点G . ∵∠ADB=60°，2AD =， ∴1DG =，AG ∴ 3GB =，∴tan 3AG ABG BG ∠==， ∴30ABG ∠=o，AB = ……………… 1分； ∵ △ABC 是等边三角形，∴ 90DBC ∠=o，BC = ……………… 2分；由勾股定理得：CD ===…… 3分；（2）作60EAD ∠=o，且使AE AD =，连接ED 、EB . ………… 4分；∴△AED 是等边三角形，∴AE AD =，60EAD ∠=o，∵ △ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60BAC ∠=o，∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠，即EAB DAC ∠=∠，∴△EAB ≌△DAC . ……………… 5分； ∴EB =DC .当点E 、D 、B 在同一直线上时，EB 最大，∴246EB =+=， ……………… 6分； ∴ CD 的最大值为6，此时120ADB ∠=o. (7)分.另解：作60DBF ∠=o，且使BF BD =，连接DF 、AF .参照上面解法给分. 25．G第24题图D CBA 第24题图ECBA FABCD第24题图解：（1）由题意得：()10A -，，()30B ，，()03-D ，，()10M ，. ∴2AM BM CM ===，∴OC =∴(0C∵GC 是⊙M 的切线， ∴90GCM ∠=o∴cos OM MCOMC MC MG∠==， ……………… 1分； ∴122MG=， ∴4MG =，∴()30G -，，∴直线GC的表达式为y x =……………… 2分；（2）设过点D 的直线表达式为3y kx =-，∴2323,y kx y x x =-⎧⎨=--⎩，∴()220x k x -+=，或1202x x k ==+，0)]2([2=+-=∆k ，或12x x =， (3)分；∴2k =-，∴ 过点D 的“蛋圆”的切线的表达式为23y x =--. (4)分；（3）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设()E m n ，，则点F 的坐标为()m n -，. EF 与x 轴交于点H ，连接EM . ∴222HM EH EM +=，∴()2214m n -+=，……① ………… 5分；∵点F 在二次函数223y x x =--的图象上，∴223m m n --=-，……②解由①②组成的方程组得：11m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩11m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩0n =舍去)……………… 6分；由对称性可得：11m n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩11m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩……………… 7分；∴()11E +，()21E ，()311E -，()411E -. (8)分.。

年北京海淀区初中毕业考试数学试题（附答案）

海淀区年初中毕业考试数学试题一、选择题：(本题共40分，第1～8题各3分，第9～12题各4分) 1．2的相反数是A ．21 B ．21- C ．-2 D ．2 2．若∠A =34°，则∠A 的余角的度数为A ．54° B．56° C．146° D．66° 3．函数2+=x y 的自变量x 的取值范围是A ．x ≥－2B ．x ＜－2C ．x ＞－2D ．x ≤－2 4．下列交通标志图中，属于轴对称图形的是5．年信息产业部的统计数据表明，截止到10月底，我国的电话用户总数达到5.12亿，居世界首位．其中5.12亿用科学记数法表示应为A ．910512.0⨯B ．81012.5⨯C ．7102.51⨯D ．610512⨯ 6．在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是A ．135 B ．1312 C ．125 D ．512 7．不等式组⎩⎨⎧<<-42,03x x 的解集是A ．x ＞3B ．x ＜2C ．2＜x ＜3D ．x ＞3 或x ＜28．一元二次方程x 2－x ＋2＝0的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 9．当使用换元法解方程03)1(2)1(2=-+-+x x x x 时，若设1+=x x y ，则原方程可变形为 A ．y 2＋2y ＋3＝0 B ．y 2－2y ＋3＝0C ．y 2＋2y －3＝0D ．y 2－2y －3＝010．如果两圆的半径长分别为2cm 和5cm ，圆心距为8cm ，那么这两个圆的位置关系是A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离 11．下列运算正确的是A ．2x ＋3y ＝5xyB ．4x 4y 2－5xy 2＝－x 2yC ．3x －2·2x 3＝6x －6D ．4x 4y 2÷(－2xy 2)＝－2x 312．赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角(如示意图1)，那么∠A 与放大镜中的∠C 的大小关系是A ．∠A =∠CB ．∠A >∠C C ．∠A <∠CD ．∠A 与∠C 大小无法比较二、填空题：(本题共28分，第13～19题每空3分，第20题4分) 13．已知x 、y 是实数，且满足(x ＋4)2＋|y －1|＝0，则x ＋y 的值是_______．14．如图2，在△A BC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边的中点，若DE =3，则BC 边的长为________________．（图A B C D E15．若反比例函数xky =图象经过点A (2，－1)，则k ＝_______． 16．如图3，DE 切⊙O 于A ，点B 、C 在⊙O 上，若∠EAC =45°，则∠B =_______度．17．在半径为2的圆中，90°的圆心角所对的弧的长为．18第23届洛杉矶奥运会第24届汉城奥运会第25届巴塞罗那奥运会第26届亚特兰大奥运会第27届悉尼奥运会15块 5块 16块 16块 28块 19．如图4，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，如果CD =6，OE =4，那么⊙O 的半径的长为___________． 20．如图5，AB 为半圆O 的直径，C 、D 是上的三等分点，若 ⊙O 的半径为1，E 为线段AB 上任意一点，则图中阴影部分的面积为．三、(本题共18分)21．(4分)分解因式：.1222b a a -+-22．(4分)计算：.)23()2(13202-+-++23．（4分）解方程：.16=-xx24．(6分)已知：如图6，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ．求证：∠AFE ＝∠AEF ．四、(本题共14分)25．(6分)解应用题：年4月我国铁路第5次大提速．假设K120次空调快速列车的平均行驶区间车次起始时刻到站时刻历时全程里程 A 地—B 地 K120 2：00 6：00 4小时 264千米行驶区间车次起始时刻到站时刻历时全程里程A 地—B 地 K1202：00264千米（图AE BC ·O （图E DC O A AB （图A O EB DC （图A BDE F26．(8分)如示意图7，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A是x轴的负半轴上一点，以AO为直径的⊙P经过点C(-8，4)．点E(m，n)在⊙P上，且-10<m≤—5，n<0，CE与x轴相交于点M，过C点作直线CN交x轴于点N，交⊙P于点F，使得△CMN是以MN 为底的等腰三角形，经过E、F两点的直线与x轴相交于点Q．(1)求出点A的坐标；(2)当m=-5时，求图象经过E、Q两点的一次函数的解析式；(3)当点E(m，n)在⊙P上运动时，猜想∠OQ E的大小会发生怎样的变化?请对你的猜想加以证明．解：(1)(2)(3)（图·yxOPA（图·yxOPA（图·yxOPA参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C B A B C D D D A13．－3；14．6；15．－2；16．45；17．∏；18．16，16；19．5；206π．三、（本题共18分）21．解：原式22)1(b a --= ………………2分).1)(1(b a b a +---= ………………4分 22．解：原式=1213+++ …………………3分.43+= …………………4分（注：每正确化简一项给1分） 23．解：方程两边同时乘以x ，得.2,3.0)2)(3(.06.62122-===+-=--=-x x x x x x x x经检验：2,321-==x x 都是原方程的解． ……………………3分 ∴.2,321-==x x ………………4分 24．证明：∵四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，∴∠CBA=∠ADC=90°，AB=AD ．∴∠FBA=∠EDA=90°. …………………2分 ∵BF=DE,∴在△FBA 和△EDA 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,DE BF EDA FBA AD AB ∴△FBA≌△EDA. ……………………4分 ∴AF=AE. ……………………5分 ∴∠AFE=∠AEF. ……………………6分四、（本题共14分）行驶区间车次起始时刻到站时刻历时全程里程 A 地—B 地 K120 2：00 4：24 2.4小时 264千米解：设列车提速后行驶时间为x 小时. ………………3分根据题意，得.4.2.264)444264(==+x x ………………4分经检验，x=2.4符合题意． ………………5分答：到站时刻为4:24，历时 2.4小时． …………………6分（注：其他解法酌情给分；表中的两个空，每空1分）26．解：（1）如图1，过C 点作CD⊥x 轴于点K ，与⊙P 相交于点D ，∵AO 为直径．∴CK=KD，KO AK CK ⋅=2 ∵点C 的坐标为（－8，4）， ∴CK=4，OK=8．∴.842⋅=AK ∴AK=2． ∴AO=10．∴点A 的坐标为（－10，0）． …………………………2分（2）∵P（－5，0），K （－8，0）， ∴PK=3．如图2，连结PD ，PE ， ∵m=-5，且P （－5，0）， ∴PE⊥x 轴于P ．又∵点E （－5，n ）中⊙P 上，且n<0， ∴点E 的坐标为（－5，－5）．∵△CMN 是以MN 为底的等腰三角形， ∴∠CNM=∠CMN． ∴∠FCD=∠ECD． ∴ ∴PD⊥EF．∴∠DPK=∠QEP．∴Rt△KPD∽Rt△PEQ． ∴,PQ KD EP PK = 即,453PQ= ∴.320=PQ ∴.3353205=+=+=PQ OQ OQ ∴点Q 的坐标为).0,335(-设图象经过E 、Q 两点的一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0), ∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-.3350,55b k b k解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.435,43b k∴一次函数的解析式为.43543--=x y ………………………………5分（3）猜想：当点E 在⊙P 上运动时，∠OQE 的大小始终保持不变．……………6分证明：因为－10<m≤－5，n<0,可知点Ｅ（m ，n ）在⊙Ｐ的四分之一的圆上运动（点Ｅ不与点Ａ、点Ｄ重合）．如图３，在⊙Ｐ的四分之一的圆上任取一点Ｅ（点Ｅ不与点Ａ、点Ｄ重合），连结PD ，过点Ｅ作EH⊥x 轴于点Ｈ，∵∠CNM=∠CMN， ∴∠FCD=∠ECD． ∴ ∴PD⊥EF．∴∠OQE=∠PDK．∵∠PDK 的大小始终不变， ∴∠OQE 的大小始终不变．综上所述，当点E （m ，n ）在⊙P 的四分之一的圆上运动（点E 不与点A 、点D 重合）时，∠OQE 的大小始终不变． …………………………8分（注：其他解法酌情给分）。

2013海淀区初三一模数学试题及答案

5. 小林在元宵节煮了 20个元宵，其中10个黑芝麻馅，6个山楂馅, 4个红豆馅（除馅料不海淀区九年级第二学期期中练习数学2013.5考生须知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2 .在答题卡上准确填写学校名称、班级名称、姓名 3 .试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效 4 .考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回F 面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1. 2的相反数是A. 5.5 108B. 55 108C. 550 107D.0.55 10103. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是A.圆柱B. 正方体C. 球D. 圆锥4. 一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为A. 5B.6C. 7D. 8A. 2B. -2C.D.2 •十八大开幕当天，网站关于此信息的总浏览量达5.5亿次•将5.5亿用科学记数法表示为同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是则这10场比赛中他得分的中位数和众数分别是8.如图，△ ABC是等边三角形，AB =6厘米，点P从点B出发,沿BC以每秒1厘米的速度运动到点C停止；同时点M从点B出发,沿折线BA- AC以每秒3厘米的速度运动到点C停止•如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P的运动时间为t秒，P、M两点之间的距离为y厘米，则表示y与t的函数关系的图象大致二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 分解因式：a2b-6ab2 9b3 = ______________________ 10.若关于x的一元二次方程x2 -3x • m = 0有实数根，则m的取值范围是____________ .11 •如图，将正方形纸片对折，折痕为EF .展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，则•乙ABG的正切值是12.如图1所示，圆上均匀分布着11个点A,A2, AJI], A,—从A1起每隔k个点顺次连接，当再次与点宀连接时，我们把所形成的图形称为“ k + 1阶正十一角星”其中1乞k乞8（ k为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么.人• . A2 7（• • A J =_________ °;当N A +N A2 +川+^A ii =900° 时，k= .A.10, 4B.10 ,7C.7 , 13D. 13 , 4*图1图2三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13. 计算：•. 12-2cos308x 2 ■ 0,14.解不等式组： x"1 _X..215.先化简，再求值： ―—1 亡二1，其中x =3 . J x —2 丿 2x —416.已知：如图，点 A , D , C 在同一直线上， AB // EC ,AC 二CE , B "EDC.求证：BC =DE.2 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y 的图X象与一次函数 y=kx-k 的图象的一个交点为 A(-1, n). (1) 求这个一次函数的解析式；(2) 若P 是x 轴上一点，且满足• APO =45 ,直接写出点P 的坐标.18. 列方程(组)解应用题:雅安地震灾情牵动全国人民的心.某厂计划加工帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的计划每天加工多少顶帐篷.四、解答题(本题共20分，每小题5 分)E , DAB 二 CDB = 90 , ABD =45 , / DCA =30 , AB =、6 .求 AE 的长和△ ADE的面积.1500顶帐篷支援灾区，加工了 300顶 2倍，结果提前4天完成了任务.求原19. 女口图，在四边形ABCD 中对角线 AC , BD 相交于点EB20.已知：如图，在△ ABC中，AB二AC •以AB为直径的O O交BC于点D，过点D作DE丄AC于点E .(1)求证：DE与O O相切；⑵延长DE交BA的延长线于点F •若AB = 6,sin B=二5,求线段AF的长•521.下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果北京空气质谕R{AQ （俟时査询172中度钙染100 150 200 300 500R 轻璐污锻申虞污粢軽廈污粢尸夏坊亲为了解今年北京市春节假期空气质量情况，小静查到下表所示的某天 15个监测子站的空气质量指数；小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况，并绘制了以下两个统计图•解答下列问题:（i ）小静查到的统计表中重度污染出现的频率为 ___________ ；（2 ）计算小博抽取的监测点的个数，并补全条形统计图；（3 ）据统计数据显示，春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因 •市民在今年春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量，全市销售烟花爆竹 37万余箱，比去年减少35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹 •（结果保留整数）22•问题：如图1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为逅个监测子站空气鍾指m 计表空气质量情况统计團＜—）空量播裁东廉东四 ^27 东（ft 天坛319311331朝阳翼休中］ 313朝阳农虧tt 325 海淀北京福物园275 海淀北蹄区*267 対淀万權 317 丰台云向型丰台花园 333 石皐山古握鏑5 亦庄开炭区! 330 门吴沟花Jftii2S5 宵山喪參347A 吨宴冷員 3*1 1ftc~畫夏帶a1）.画出一个正方形 ABCD ，使它的顶点 A 、B 、C 、D 分别在直线a 、b 、d 、c 上, 并计算它的边长•小明的思考过程：他利用图1中的等距平行线构造了 3 3的正方形网格，得到了辅助正方形 EFGH ，如图2所示,再分别找到它的四条边的三等分点 A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 .请参考小明的方法，解决下列问题：ww w.（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60，边长为1）中，画出一个等边△ ABC ，使它的顶点 A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线 a 、b 、c 上；（3）如图 4, h 、l 2、 21怯疋冋干面内的三条干仃线，h 、I2之间的距离疋，I2、b521之间的距离是21，等边△10ABC 的三个顶点分别在l 1、I 2、I 3 上,直接写出厶ABC 的边长.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）223•在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y = mx -2mx n 与x 轴交于A 、B 两点，点A 的图2图3坐标为(一2,0). (1 )求B 点坐标;1(2)直线y = — x + 4m+ n 经过点B .2① 求直线和抛物线的解析式；② 点P 在抛物线上，过点 P 作y 轴的垂线I ，垂足为D(0,d) •将抛物线在直线I 上方的部分沿直线I 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象 G •请结合图象回答：当24.在厶ABC 中，/ ACB = 90 .经过点B 的直线I (I 不与直线AB 重合)与直线 BC 的夹角等于/ABC ，分别过点C 、点A 作直线I 的垂线，垂足分别为点D 、点E .(1 )若.ABC =45 , CD = 1 (如图)，则 AE 的长为； (2) 写出线段 AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明；CF 5(3) 若直线CE 、AB 交于点F ,, CD =4，求BDEF 6的长.25.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y =x 2 -2mx • m 2 • m 的顶点为C . (1) 求点C 的坐标(用含 m 的代数式表示)；(2) 直线y 二x 2与抛物线交于 A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧.① 若P 为直线OC 上一动点，求△ APB 的面积；② 抛物线的对称轴与直线 AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点B'.以M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得QB' QB 的值最小，则这个最小值2为 ________________.图象G 与直线12X + 4m+n 只有两个公共点时，d 的取值范围是2013海淀中考一模数学参考答案数学试卷答案及评分参考题号12345678答案B A D B C C A D题号9101112答案b(a-3b)29 m < —2-431260°; 2 或7413•计算:V2 - 2COS30 （、3 -1）° -（丄）°8解：原式=2七_2 y8 ............................ 4分=、3-7 . ................................... 5 分x + 2>0解不等式G-i解：由①得x -2 . ........................................... 2分由②得X叨. .................... 4分则不等式组的解集为~'2 ：：：X 一1. ......................... 5分15•先化简，再求值：1—1，其中x = 3 .V x -2）2x-4x —2 ■ 1 2x ~"4解：原式2 .............................. 2分x-2 x-1=□2（「2）................. 3 分x -2 （x -1）（x 1）22 1当x =3时，原式=——- ... ........................... 5分x +1 216. 证明：丫AB // EC ,••• . A DCE. ................................... 1 分在厶ABC和厶CDE中，B =/EDC,*NA=NDCE,i AC=CE,• △ ABC◎△ CDE. .............................. 4 分•- BC = DE. ................................. 5分217. 解：（1）v点A（-1,n）在反比例函数y 的图象上,xn = 2. .............................. 1 分•••点A的坐标为（一12 .•••点A在一次函数y =kx -k的图象上，（2）点P的坐标为（-3,0 ）或（1,0）. （写对一个给1分）18. 解：设原计划每天加工x顶帐篷. ................................... 1分1500 -300 1500 -300 , 八x 2x解得x =150. ............................. 4分经检验，x =150是原方程的解，且符合题意.答：原计划每天加工150顶帐篷. ................... 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 解：过点A作AF丄BD于F .•••/ CDB =90 ° ,/ 仁30° ,•••/ 2= / 3= 60° . .................. 1 分在厶AFB 中，/ AFB =90° .4=45 ° , AB -、6 ,一次函数的解析式为y - -x 1 .E•AF = BF = ,3. ...................................... 2 分在厶AFE 中，/ AFE=90° .•EF=1,AE=2. ...................................... 3 分在厶ABD 中，/ DAB =90• AE 又••• OD // AE ,• △ FAE FOD .• FA _ AEFO OD .•/ AB =6,• OD =AO =3.••• DB =2 .3••• DE 二 DB _BF _EF »；3 _1.= -DE 2AF =-( ,3-1) = 3 3 ................................ 2 220.(1)证明：连接OD . ............................... 1分•/ AB = AC ,• B = . C .又••• OB=OD ,OD // AC .DE 丄AC 于E ,DE 丄 OD .点D 在O O 上，DE 与O O 相切. ................. 2分⑵解：连接AD .•/ AB 为O O 的直径,ADB =90°.••• AB =6, sin B=• AD 二 AB sinB =^. ................................ 3 分5••• 1 2 =/3 2 =90 ,• 1-^3.• B ".在厶 AED 中，/ AED =90°.sin 3 二 AEADADFA 2FA 3 一5 •• AF =2. ............................. 5 分1 八21. (1) 一. ................... 1 分3(2 )••• (3 3 18)^80% =30,(1 -35%)x =37.12解得x = 56 —... .........................1312 12…56 37 = 19 20 .ww w.13 13答：今年比去年同期少销售约20万箱烟花爆竹.•••抛物线与X轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2,0）,•••点B的坐标为（4,0）.1⑵'点B在直线y=2X+4m+n上，•- 0=2 4m n ①.22. (1) ,5（答案不唯一）五、②521解答题（本题共22分，第23题7分，第23.解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为24题7分，第25题8分)-2 m ,x 1 .................2m（3）设去年同期销售x万箱烟花爆竹.•被小博同学抽取的监测点个数为30个. ................ 2分（2 ［①如图:•••点A 在二次函数y=mx 2-2mx ・n 的图象上,24. (1) AE =2.(2)线段AE 、CD 之间的数量关系为 AE=2CD . ............................................ 2分证明：如图1,延长AC 与直线I 交于点G . 依题意，可得/ 1 = / 2. •••/ ACB = 90 ,•••/ 3=/ 4.••• BA 二 BG .•- CA = CG . ................. 3 分•/ AE 丄 I , CD 丄 I ,• CD // AE .GCD GAE .• CD = GC _ 1AE GA 2 .• AE =2CD . ...................................... 4 分(3) 解：当点F 在线段AB 上时，如图2,过点C 作CG // I 交AB 于点H ，交AE 于点G .• / 2=/ HCB .•••/ 1 = / 2,••/ 1 =/ HCB .• CH =BH .•••/ ACB = 90 ,• / 3+/ 1 = / HCB+ / 4 =90 .• •/ 3=/ 4.• CH =AH -BH .•/ CG // l ,• △ FCH FEB .1 由①、②可得m — n — —4.4分 2，--抛物线的解析式为 y = -x 2 - x -4 ,2 直线的解析式为1 y= — x _2 .…… 2 .......... 5分 (3) — :: d :: 0 ...... ................................ ••…7分二 0 =4m 4m n ②. 3分2.CF CH 5■ ■ __ ■ ■E F IB " 6 '设CH =5x,BE =6x，贝y AB =10x .•••在厶AEB 中，/ AEB = 90 , AE =8x. 由(2)得，AE=2CD .•/ CD =4,•AE =8.•x = 1.••• AB =10, BE =6,CH =5 .•/ CG //I ,•△ AGH s\ AEB .• HG _ AH 1BE 一AB _2 .•HG =3 . ................ 5 分•CG =CH HG =8.•/ CG // l , CD // AE ,•四边形CDEG为平行四边形.•DE =CG = 8.•BD =DE - BE =2 . ................................... 6 分当点F在线段BA的延长线上时，如图3,同理可得CH =5,GH =3,BE =6.•DE=CG =CH - HG =2.•BD =DE BE =8.•BD = 2 或& ............................. 7 分•顶点坐标为C(m,m). ............................... 2分(2［①y = x ■ 2与抛物线y = x2 -2mx • m2• m交于A、B两点,• x 2 = x2 -2mx m2 m .解方程，得捲=m -1,x2二m • 2 .'/点A在点B的左侧，图325.解：(1) y = x2 _2mx m2• A(m-1,m 1), B(m 2,m 4).••• AB =3、2. 5分v直线OC的解析式为y = x，直线AB的解析式为y二x 2 ,• AB // OC，两直线AB、OC之间距离h二2.--S APBAB h 3-- 2 ■:・：；2 = 3 . 2 2②最小值为\：'10. ............................ 8分（注：本卷中许多问题解法不唯一，请老师根据评分标准酌情给分）。

2013北京海淀区高三一模数学(文)试题答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）参考答案及评分标准2013．4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I）2π1()2)1322f =--=………………2分因为2()2cos )f x x x =--222(3sin cos cos )x x x x =-+- 22(12sin 2)x x =-+-………………4分212sin 2x x =-+cos22x x =+………………6分π= 2sin(2)6x +………………8分所以 ()f x 的周期为9． 0 10． 21-11.16 12．4 13． 4a >14．2,22π2ππ||2T ω===………………9分（II ）当ππ[,]63x ∈-时， π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当6x π=-时，函数取得最小值()16f π-=-………………11分当6x π=时，函数取得最大值()26f π=………………13分16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，所以该考场有100.2540÷=人………………2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………4分（II ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ………………9分设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},一共有6个基本事件 ………………11分设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1()6P B =. ………………13分 17.解：（I ）证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分又PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ………………4分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………5分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =6分在ACD ∆，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =30CAD ∠=o ，所以，DM =:3:1BM MD =………………8分所以::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………9分又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………11分（Ⅲ）假设直线//l CD ，因为l ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以//CD 平面PAB ………………12分又CD ⊂平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，所以//CD AB ……………13分这与CD 与AB 不平行，矛盾所以直线l 与直线CD 不平行………………14分18.解：（I ）因为2'()f x x k =-………………2分当4k =时，2'()4f x x =-，令2'()40f x x =-=，所以122,2x x ==-'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………4分所以()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)-………………6分（II ）令()()g x f x k =-，所以()g x 只有一个零点………………7分因为2'()'()g x f x x k ==-当0k =时，3()g x x =，所以()g x 只有一个零点0 ………………8分当0k <时，2'()0g x x k =->对R x ∈成立，所以()g x 单调递增，所以()g x 只有一个零点………………9分当0k >时，令2'()'()0g x f x x k ==-=，解得1x =或2x =……………10分所以'(),()g x g x随x的变化情况如下表：()g x有且仅有一个零点等价于(0g<………………11分即2(03g k=<，解得94k<<………………12分综上所述，k的取值范围是94k< (13)分19.解：(I)设椭圆的焦距为2c，因为a=，2ca=，所以1c=………………2分所以1b=所以椭圆C：2212xy+=………………4分（II）设A（1x，1y），B(2x，2y)由直线l与椭圆C交于两点A，B，则22220y kxx y=⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x+-=, 则12x x+=，122212x xk=-+………………6分所以AB==8分点M）到直线l的距离d=10分则GH=………………11分显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx=就是y轴，矛盾，因为AG BH=，所以AB GH=HGB所以22228(1)724()1231k k k k +=-++解得21k =,即1k =±………………14分20.解: (I)因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点(0,0)的“相关点”有8个………………1分又因为22()()5x y ∆+∆=，即2211(0)(0)5x y -+-=所以这些可能值对应的点在以(0,0)3分 (II)设(,)M M M x y ，因为(),()M H L M ττ==所以有|9||3|3M M x y -+-=，|5||3|3M M x y -+-=………………5分所以|9||5|M M x x -=-，所以7,M x =2M y =或4M y = 所以(7,2)M 或(7,4)M ………………7分(III)当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0………………8分当=1n 时，可知0||n P P ………………9分当=3n 时，对于点P ，按照下面的方法选择“相关点”，可得300(,+1)P x y ：000(,)P x y →100200300(+2,+1)(+1,+3)(,+1)P x y P x y P x y →→故0||n P P 的最小值为1………………11分当231,,*, N n k k k =+>∈时，对于点P ，经过2k 次变换回到初始点000(,)P x y ，然后经过3次变换回到00(,+1)n P x y ，故0||n P P 的最小值为1综上，当=1n 时，0||n P P 当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0当21*, N n k k =+∈时，0||n P P 的最小值为1 ………………13分。

数学_2013年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合A ＝{x ∈N|x ≤6}，B ＝{x ∈R|x 2−3x >0}，则A ∩B ＝（） A {3, 4, 5} B {4, 5, 6} C {x|3<x ≤6} D {x|3≤x <6}2. 在极坐标系中，曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为（） A π B 4 C 4π D 163. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 值为5，则输出的y 值（）A −2B −1C 12 D 24. 不等式组{x ≥1x +y −4≤0kx −y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为（）A −2B −1C 0D 15. 若向量a →，b →满足|a →|=|b →|=|a →+b →|=1，则 a →⋅b →的值为（） A −12B 12C −1D 16. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( ) A 12种 B 15种 C 17种 D 19种7. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(x, y)为该抛物线上的动点，又点A(−1, 0)，则|PF||PA|的最小值是( )A 12 B √22 C √32 D2√338. 设l 1，l 2，l 3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：①∃A i ∈l i (i =1, 2, 3)，使得△A 1A 2A 3是直角三角形； ②①∃A i ∈l i (i =1, 2, 3)，使得△A 1A 2A 3是等边三角形；③三条直线上存在四点A i (i =1, 2, 3, 4)，使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．其中，所有正确结论的序号是（）A ①B ①②C ①③D ②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在复平面上，若复数a+bi(a, b∈R)对应的点恰好在实轴上，则b=________．10. 等差数列{a n}中，a3+a4=9，a2a5=18，则a1a6=________．11. 如图，AP⊙O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C．若∠ACB=90∘，BC=3，CP=4，则弦DB的长为________．12. 在△ABC中，若a=4，b=2，cosA=−14，则c=________，sinC=________．13. 已知函数f(x)={2x−a,x≤0,x2−3ax+a,x>0,有三个不同的零点，则实数a的取值范围为________．14. 已知函数f(x)=sinπ2x，任取t∈R，定义集合：A t={y|y=f(x), 点P(t, f(t)), Q(x, f(x))满足|PQ|≤√2}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记ℎ(t)=M t−m t．则（1）函数ℎ(t)的最大值是________；（2）函数ℎ(t)的单调递增区间为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数f(x)=2−(√3sinx−cosx)2．（1）求f(π4)的值和f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在区间[−π6, π3]上的最大值和最小值．16. 在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（2）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分．(I)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(II)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望．17. 在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又PA ＝AB ＝4，∠CDA ＝120∘，点N 在线段PB 上，且PN =√2． (Ⅰ)求证：BD ⊥PC ；(Ⅱ)求证：MN // 平面PDC ；(Ⅲ)求二面角A −PC −B 的余弦值．18. 已知函数f(x)＝lnx +ax 2+bx （其中a ，b ）为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (Ⅰ)当a ＝1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)在(0, e]上的最大值为1，求a 的值． 19. 已知圆M ：(x −√2)2+y 2=r 2(r >0)，若椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为圆M 的圆心，离心率为√22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在过原点的直线，使得该直线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且|AG|=|BH|，若存在，则求出圆M 半径r 的取值范围，若不存在，说明理由.20. 设A(x A , y A )，B =(x B , y B )为平面直角坐标系上的两点，其中x A ，y A ，x B ，y B ∈Z ．令△x =x B −x A ，△y =y B −y A ，若|△x|+|△y|=3，且|△x|⋅|△y|≠0，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：B =τ(A)．已知P 0(x 0, y 0)(x 0, y 0∈Z)为平面上一个定点，平面上点列{P i }满足：P i =τ(P i−1)，且点P i 的坐标为(x i , y i )，其中i =1，2，3，…n ．（1）请问：点P 0的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（2）求证：若P 0与P n 重合，n 一定为偶数；（3）若p 0(1, 0)，且y n =100，记T =∑x i n i=0，求T 的最大值．2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. C3. C4. D5. A6. D7. B8. B9. 010. 1411. 24512. 3,3√151613. {a|49<a≤1}14. 解：（1）A t={y|y=f(x), 点P(t, f(t)), Q(x, f(x))满足|PQ|≤√2}表示以P点为圆心，√2为半径的圆及其内部函数y=sinπx2的图象上所有的点的纵坐标的集合，∵ f(−2)=f(0)=f(2)=0，f(1)=1，f(−1)=−1，设O(0, 0)，A(1, 1)，B(2, 0)，则AO=AB=√2，∴ M t={1,4k≤t≤4k+2(k∈Z)f(t)+√[2−(x0−t)2]，4k−2≤t<4k(k∈Z)，其中x0是最高点Q的横坐标，同理，m t={−1,4k−2≤t≤4k(k∈Z)f(t)−√[2−(x1−t)2]，4k≤t<4k+2(k∈Z)；其中x1是最低点Q的横坐标．∴函数ℎ(t)的最大值是2（t=4k或4k+2时取得），（2）由（1）中的分析可知单调增区间是(2k−1, 2k)．15. 解：（1）因为函数f(x)=2−(√3sinx−cosx)2=2−(3sin2x+cos2x−2√3sinxcosx)=2−(1+2sin2x−√3sin2x)=1−2sin2x+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)．所以，f(π4)=2sin(2×π4+π6)=2sin2π3=√3，所以，f(x)的周期为T=2π2=π．（2）当x∈[−π6, π3]时，2x∈[−π3, 2π3]，2x+π6∈[−π6, 5π6]，所以，当2x+π6=−π6，即当x=−π6时，函数取得最小值f(−π6)=−1，当2x+π6=π2，即当x=π6时，函数取得最大值f(π6)=2．16. 解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷14=40人…所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1−0.375−0.375−0.15−0.025)=3…(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为40(1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075)40=2.9 (III)设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20…P(ξ=16)=C62C102=13，P(ξ=17)=C21C61C102=415P(ξ=18)=C61C21+C22C102=1345P(ξ=19)=C21C21C102=445P(ξ=20)=C22C102=145所以ξ的分布列为所以Eξ=16×13+17×415+18×1345+19×445+20×145=865所以ξ的数学期望为865…17. 证明：(I)∵ △ABC是正三角形，M是AC中点，∴ BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴ BD⊥平面PAC．∴ BD⊥PC．（2）在正△ABC中，BM=2√3．在△ACD中，∵ M为AC中点，DM⊥AC，∴ AD＝CD．∠ADC＝120∘，∴ DM=2√33，∴ BMMD =31．在等腰直角△PAB中，PA＝AB＝4，PB=4√2，∴ BNNP =31，∴BN NP=BM MD，∴ MN // PD ．又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， ∴ MN // 平面PDC ．(Ⅲ)∵ ∠BAD ＝∠BAC +∠CAD ＝90∘，∴ AB ⊥AD ，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系， ∴ B(4, 0, 0)，C(2,2√3,0)，D(0,4√33,0)，P(0, 0, 4)．由(Ⅱ)可知，DB →=(4,−4√33,0)为平面PAC 的法向量． PC →=(2,2√3,−4)，PB →=(4,0,−4)．设平面PBC 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅PC →=0n →⋅PB →=0，即{2x +2√3y −4z =04x −4z =0 ，令z ＝3，得x ＝3，y =√3，则平面PBC 的一个法向量为n →=(3,√3,3)，设二面角A −PC −B 的大小为θ，则cosθ=n →⋅DB →|n →||DB →|=√77．所以二面角A −PC −B 余弦值为√77．18. （I ）因为f(x)＝lnx +ax 2+bx 所以f′(x)=1x +2ax +b ，因为函数f(x)＝lnx +ax 2+bx 在x ＝1处取得极值f′(1)＝1+2a +b ＝0 当a ＝1时，b ＝−3，f′(x)=2x 2−3x+1x，f′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间为(0, 12)，(1, +∞)单调递减区间为(12, 1)(II)因为f′(x)=(2ax−1)(x−1)x令f′(x)＝0，x 1＝1，x 2=12a⋯因为f(x)在 x ＝1处取得极值，所以x 2=12a ≠x 1＝1，当12a <0时，f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e]上单调递减所以f(x)在区间(0, e]上的最大值为f(1)，令f(1)＝1，解得a ＝−2 当a >0，x 2=12a>0当12a <1时，f(x)在(0, 12a )上单调递增，(12a , 1)上单调递减，(1, e)上单调递增所以最大值1可能在x =12a 或x ＝e 处取得而f(12a )＝ln 12a +a(12a )2−(2a +1)12a =ln 12a −14a <0 所以f(e)＝lne +ae 2−(2a +1)e ＝1，解得a =1e−2⋯ 当1≤12a<e 时，f(x)在区间(0, 1)上单调递增，(1, 12a)上单调递减，(12a, e)上单调递增所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得而f(1)＝ln1+a −(2a +1)<0所以f(e)＝lne +ae 2−(2a +1)e ＝1，解得a =1e−2，与1<x 2=12a<e 矛盾当x 2=12a ≥e 时，f(X)在区间(0, 1)上单调递增，在(1, e)单调递减，所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f(1)＝ln1+a −(2a +1)<0，矛盾综上所述，a =1e−2或a ＝−2．19. 解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由椭圆右顶点为圆M 的圆心(√2, 0)，得a =√2，又ca =√22，所以c =1，b =1，所以椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1.(2)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 的方程为y =kx ，因为直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，联立{y =kx,x 2+2y 2−2=0.消去y 得(1+2k 2)x 2−2=0.由韦达定理得x 1+x 2=0，x 1x 2=−21+2k 2，所以|AB|=√(1+k 2)81+2k2=√8(1+k 2)1+2k 2. 因为点M(√2, 0)到直线l 的距离d =√2k|√1+k 2，所以|GH|=2√r 2−2k 21+k 2，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，所以8(1+k 2)1+2k 2=4(r 2−2k 21+k 2)，所以r 2=2k 21+k 2+2(1+k 2)1+2k 2=2(3k 4+3k 2+1)2k 4+3k 2+1=2(1+k 42k 4+3k 2+1)，当k =0时，r =√2，当k ≠0时，r 2=2(1+11k 4+3k2+2)<2(1+12)=3，又显然r 2=2(1+11k 4+3k 2+2)>2，所以√2<r <√3，当直线的斜率不存在时，此时圆M 的半径的取值范围为√2<r ≤√3. 综上所述，√2≤r ≤√3. 20. 解：（1）∵ |△x |+|△Y |=3，(|△x|⋅|△y|≠0)∴ |△x |=1且|△Y |=2，或|△x |=2且|△Y |=1，所以点P 0的相关点有8个… 又∵ (△x )2+(△Y )2=3，即(x 1−x 0)2+(y 1−y 0)2=5∴ 这些可能值对应的点在以P 0(x 0, y 0)为圆心，√5为半径的圆上… （2）依题意P n (x n , y n )与P 0(x 0, y 0)重合则x n =(x n −x n−1)+(x n−1−x n−2)+(x n−2−x n−3)+...+(x 3−x 2)+(x 2−x 1)+(x 1−x 0)+x 0，y n =(y n −y n−1)+(y n−1−y n−2)+(y n−2−y n−3)+...+(y 3−y 2)+(y 2−y 1)+(y 1−y 0)+y 0，因此，可得(x n −x n−1)+(x n−1−x n−2)+(x n−2−x n−3)+...+(x 3−x 2)+(x 2−x 1)+(x 1−x 0)=0，且(y n −y n−1)+(y n−1−y n−2)+(y n−2−y n−3)+...+(y 3−y 2)+(y 2−y 1)+(y 1−y 0)=0 两式相加得[(x n −x n−1)+(y n −y n−1)]+[(x n−1−x n−2)+(y n−1−y n−2)]+...+[(x 1−x 0)+(y 1−y 0)]=0(∗)∵ x i ，y i 都是整数，且|x i −x i−1|+|y i −y i−1|=3(i =1, 2, 3,…,n)∴ (x i −x i−1)+(y i −y i−1)(i =1, 2, 3,…,n)为奇数，于是(∗)的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以左边不可能是奇数项，可得n 一定为偶数… （3）令△x i =x i −x i−1，△y i =y i −y i−1，(i =1, 2, 3,…,n)依题意(y n −y n−1)+(y n−1−y n−2)+...+(y 2−y 1)+(y 1−y 0)=100， ∵ T =∑x i n i=0=x 0+x 1+x 2+...+x n =1+(1+△x 1)+(1+△x 1+△x 2)+...+(1+△x 1+△x 2+...+△x n )=n +1+n △x 1+(n −1)△x 2+...+2△x n−1+△x n )… ∵ |△x i |+|△y i |=3，且|△x i |的|△y i |都是非零整数， ∴ 当△x i =2的个数越多，则T 的值越大，∵ 在△x 1，△x 2，△x 3，…，△x n−1，△x n 这个序列中，数字2的位置越靠前，相应的值越大且当△y i 取值为1或−1的次数最多时，△x i 取2的次数才能最多，T 的值才能最大．∴ ①当n =100时，令所有的△y i 都为1，且△x i 都取2，得T =101+2(1+2+...+100)=10201．②当n >100时，（1）若n =2k(k ≥50, k ∈N +)，此时△y i 可取k +50个1，k −50个−1，且△x i 可都取2，S(n)达到最大值从而T =n +1+2[n +(n −1)+...+2+1]=n 2+2n +1．（2）若n =2k +1(k ≥50, k ∈N +)，令△y n =2，其余的△y i 中有k −49个−1，k +49个1．相应的，对于△x i ，有△x n =1，其余的都为2，可得T =n +1+2[n +(n −1)+...+2+1]−1=n 2+2n③当50≤n ≤100时，令△y i =1，i ≤2n −100，△y i =2，2n −100<i ≤n ，则相应地取△x i =2，i ≤2n −100，△y i =1，2n −100<i ≤n ，可得T =n +1+2[n +(n −1)+...+(101−n)]+[(100−n)+(99−n)+...+2+1]=12(n 2+205n −10098)综上所述，得T ={12(n 2+205n −10098)n ∈N +且50≤n <100(n +1)2n ≥100且n 是偶数n 2+2nn ≥100且n 是奇数…。

2013北京海淀中考一模数学试卷及答案(扫描版)

海淀区九年级第二学期期中测评数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8E D C BA 答案B A D BC C AD 二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9 10 11 12 答案 2(3)b a b - m ≤94 23-1260︒；2或7 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：011122cos30(31)()8--︒+-- ．解：原式3232182=-⨯+- ………………………4分37=-．………………………5分解：由①得 2x >-．………………………2分由②得 1x ≤．………………………4分则不等式组的解集为12≤<-x ．………………………5分15．先化简，再求值：4212112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ，其中3=x ．解：原式2212421x x x x -+-=⋅-- ………………………2分)1)(1()2(221+--⋅--=x x x x x ………………………3分12+=x . ………………………4分当3=x 时，原式=2112=+x .………………………5分16.证明：AB ∥EC ，∴.A DCE ∠=∠ ………………………1分在△ABC 和△CDE 中，,,,B EDC A DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE .………………………4分∴.BC DE = ………………………5分17.解：（1）∵ 点A (1,)n -在反比例函数x y 2-=的图象上，∴ 2n =. ………………………1分∴ 点A 的坐标为12-（，）.∵ 点A 在一次函数y kx k =-的图象上，∴2k k =--.∴1-=k .………………………2分∴ 一次函数的解析式为1+-=x y ．………………………3分（2）点P 的坐标为（-3,0）或（1,0）．………………………5分（写对一个给1分）18.解：设原计划每天加工x 顶帐篷. ………………………1分1500300150030042x x---=.………………………3分解得 150x =. ………………………4分经检验，150x =是原方程的解，且符合题意.答：原计划每天加工150顶帐篷. ………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 解：过点A 作AF ⊥BD 于F .∵∠CDB =90°,∠1=30°,∴∠2=∠3=60°. ………………………1分在△AFB 中，∠AFB =90°.∵∠4=45°，6AB =,∴AF =BF =3.………………………2分在△AFE 中，∠AFE =90°.∴1,2EF AE ==.………………………3分在△ABD 中，∠DAB =90°. ∴23DB =. ∴31DE DB BF EF =--=-.………………………4分 ∴1133(31)3222ADE S DE AF ∆-=⋅=-⨯=.………………………5分 20.(1)证明：连接OD . ………………………1分∵AB =AC ,∴B C ∠=∠.又∵OB OD =,∴1B ∠=∠.∴1C ∠=∠.∴OD ∥AC .∵DE ⊥AC 于E ,∴DE ⊥OD .∵点D 在⊙O 上，∴DE 与⊙O 相切. ………………………2分(2)解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∵AB =6，sin B =55， ∴sin AD AB B =⋅=556.………………3分 ∵123290∠+∠=∠+∠=︒，∴13∠=∠.∴ 3.B ∠=∠在△AED 中，∠AED =90°. ∵5sin 35AE AD ∠==， ∴556565555AE AD ==⨯=. ………………………4分又∵OD ∥AE ，∴△FAE ∽△FOD . ∴FA AE FO OD=. ∵6AB =,∴3OD AO ==. ∴235FA FA =+. ∴2AF =. ………………………5分21.（1）13.………………………1分（2）∵(3318)80%30++÷=，∴被小博同学抽取的监测点个数为30个. ………………………2分………………………3分（3）设去年同期销售x 万箱烟花爆竹.(135%)37x -=. 解得125613x =.………………………4分∴1212563719201313-=≈. 答：今年比去年同期少销售约20万箱烟花爆竹. ……………………… 5分22.（1）5.………………………2分（2）①如图：(答案不唯一) ………………………4分 ②7215.………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为212m x m-=-=.………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-，∴点B 的坐标为 (4,0)．………………………2分（2）∵点B 在直线 y =12x +4m +n 上， ∴024m n =++①.∵点A 在二次函数2-2y mx mx n =+的图象上，∴044m m n =++②. ………………………3分由①、②可得12m =，4n =-. ………………………4分 ∴ 抛物线的解析式为y ＝2142x x --，直线的解析式为y ＝122x -． ……………5分（3）-502d <<． ………………………7分 24．（1）2AE =.………………………1分（2）线段AE 、CD 之间的数量关系为2AE CD =.………………………2分证明：如图1，延长AC 与直线l 交于点G ．依题意，可得∠1＝∠2．∵∠ACB ＝90︒，∴∠3=∠4.∴BA BG =.∴CA ＝CG ．………………………3分∵AE ⊥l ，CD ⊥l ，∴CD ∥AE ．∴△GCD ∽△GAE ．∴ 12CD GC AE GA =＝．∴2AE CD =．………………………4分（3）解：当点F 在线段AB 上时，如图2，过点C 作CG ∥l 交AB 于点H ，交AE 于点G ．∴∠2＝∠HCB ．∵∠1=∠2，∴∠1＝∠HCB ．∴CH BH =．∵∠ACB ＝90︒，∴∠3+∠1＝∠HCB +∠4 =90︒．∴∠3＝∠4．∴CH AH BH ==．∵CG ∥l ，∴△FCH ∽△FEB ．∴ 56CFCH EF EB =＝．设5,6CH x BE x ==，则10AB x =．∴在△AEB 中，∠AEB ＝90︒，8AE x =．由（2）得，2AE CD =．∵4CD =,∴8AE =.∴1x =.∴10,6,5AB BE CH ===．∵CG ∥l ，∴△AGH ∽△AEB ． ∴12HGAHBE AB ==．∴3HG =．………………………5分∴8CG CH HG =+=．∵CG ∥l ，CD ∥AE ,∴四边形CDEG 为平行四边形. 图3 图2∴8DE CG ==.∴2BD DE BE =-=．……………………6分当点F 在线段BA 的延长线上时，如图3，同理可得5CH =,3GH =,6BE =.∴DE =2CG CH HG =-=．∴ 8BD DE BE =+=．∴2BD =或8．……………………7分25.解：（1）()2222y x mx m m x m m =-++=-+ ，……………………1分 ∴顶点坐标为C m ,m ().……………………2分（2）①2y x =+ 与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点， ∴2222x x mx m m +=-++.解方程，得121,2x m x m =-=+.……………………4分 A 点在点B 的左侧，∴(1,1),(2,4).A m m B m m -+++ ∴3 2.AB =……………………5分直线OC 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+，∴AB ∥OC ，两直线AB 、OC 之间距离h =2. ∴11322322APB S AB h =⋅=⨯⨯= .………………………6分 ②最小值为10. ……………………8分(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)。

北京市海淀区2013年中考一模数学试卷含答案

海淀区九年级第二学期期中练习含答案数学2013.5 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2的相反数是（）A. 2B.2-C.21 D.21- 2．十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达5.5亿次.将5.5亿用科学记数法表示为A. 8105.5⨯B. 81055⨯C. 755010⨯ D. 10100.55⨯3．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A. 圆柱B. 正方体C. 球D. 圆锥4．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为（）A. 5B.6C. 7D. 85．小林在元宵节煮了20个元宵，其中10个黑芝麻馅，6个山楂馅，4个红豆馅（除馅料不同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是（）A ．12 B ．13 C ． 15D ．25 6.一副三角板如图放置，若∠1＝90︒，则∠2的度数为（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°7.在篮球比赛中，某队员连续10场比赛中每场的得分情况如下表所示：则这10场比赛中他得分的中位数和众数分别是（）A.10, 4B.10，7C.7，13D. 13，48.如图，△ABC 是等边三角形，6AB =厘米，点P 从点B 出发,沿BC 以每秒1厘米的速度运动到点C 停止；同时点M 从点B 出发,沿折线BA -AC 以每秒3厘米的速度运动到点C 停止.如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P 的运动时间为t 秒，P 、M 两点之间的距离为y 厘米，则表示y 与t 的函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：22369a b ab b -+= ．10．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是．11．如图,将正方形纸片对折，折痕为EF .展开后继续折叠，使点A 落在EF 上，折痕为GB ，则ABG ∠的正切值是 .12. 如图1所示，圆上均匀分布着11个点12311,,,,A A A A .从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k +1阶正十一角星”，其中18k ≤≤（k 为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么1211A A A ∠+∠++∠= °；当1211A A A ∠+∠++∠= 900°时，k = .图1 图2三、解答题（本题共30分，每小题5分）130112cos301)()8-︒+- ．EDCBA14．解不等式组：20,11.2x x x +>⎧⎪⎨-+≥⎪⎩15．先化简，再求值：4212112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ，其中3=x ．16.已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥EC ，AC CE =，.B EDC ∠=∠求证：.BC DE =17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数xy 2-=的图象与一次函数k kx y -=的图象的一个交点为(1,)A n -．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若P 是x 轴上一点，且满足45APO ∠=︒，直接写出点P 的坐标．18. 列方程（组）解应用题：雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，加工了300顶帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的2倍，结果提前4天完成了任务．求原计划每天加工多少顶帐篷.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ,BD 相交于点E ,DAB ∠=CDB ∠=90︒,ABD ∠=45︒,∠DCA =30︒,AB =.求AE 的长和△ADE的面积．=．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作20.已知：如图，在△ABC中，AB ACDE⊥AC于点E.(1)求证：DE与⊙O相切；AB=，(2)延长DE交BA的延长线于点F.若6sin B求线段AF的长.21. 下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果.为了解今年北京市春节假期空气质量情况，小静查到下表所示的某天15个监测子站的空气质量指数；小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况，并绘制了以下两个统计图.解答下列问题：（1）小静查到的统计表中重度污染出现的频率为；（2）计算小博抽取的监测点的个数，并补全条形统计图；（3）据统计数据显示，春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因. 市民在今年春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量，全市销售烟花爆竹37万余箱，比去年减少35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹.（结果保留整数）22.问题：如图1，a、b、c、d是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD，使它的顶点A、B、C、D分别在直线a、b、d、c上，并计算它的边长.图1 图2小明的思考过程：的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH，如他利用图1中的等距平行线构造了33图2所示, 再分别找到它的四条边的三等分点A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60︒，边长为1）中，画出一个等边△ABC ，使它的顶点A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线a 、b 、c 上；（3）如图4，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行线，1l 、2l 之间的距离是215，2l 、3l 之间的距离是2110，等边△ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，直接写出△ABC 的边长.图3 图4五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标；（2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是．24．在△ABC 中，∠ACB ＝90︒．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ．（1）若45ABC ∠=︒，CD =1（如图），则AE 的长为；（2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明；（3）若直线CE 、AB 交于点F ， 56CF EF =，CD =4，求BD 的长．25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C . (1) 求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；(2) 直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧.② 若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积；②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得'2QB +的值最小，则这个最小值为 .EDCBA2013海淀中考一模数学参考答案数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 130112cos301)()8-︒+- ．解：原式218=+- ………………………4分 7=．………………………5分解：由①得 2x >-．………………………2分由②得 1x ≤．………………………4分则不等式组的解集为12≤<-x ．………………………5分 15．先化简，再求值：4212112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ，其中3=x ．解：原式2212421x x x x -+-=⋅-- ………………………2分 )1)(1()2(221+--⋅--=x x x x x ………………………3分 12+=x . ………………………4分当3=x 时，原式=2112=+x .………………………5分16.证明：AB ∥EC ，∴.A DCE ∠=∠ ………………………1分在△ABC 和△CDE 中，,,,B EDC A DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE .………………………4分 ∴.BC DE = ………………………5分17.解：（1）∵ 点A (1,)n -在反比例函数xy 2-=的图象上， ∴ 2n =. ………………………1分 ∴ 点A 的坐标为12-（，）. ∵ 点A 在一次函数y kx k =-的图象上， ∴2k k =--.∴1-=k .………………………2分∴ 一次函数的解析式为1+-=x y ．………………………3分（2）点P 的坐标为（-3,0）或（1,0）．………………………5分（写对一个给1分）18.解：设原计划每天加工x 顶帐篷. ………………………1分1500300150030042x x---=.………………………3分解得 150x =. ………………………4分经检验，150x =是原方程的解，且符合题意. 答：原计划每天加工150顶帐篷. ………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 解：过点A 作AF ⊥BD 于F . ∵∠CDB =90°,∠1=30°,∴∠2=∠3=60°. ………………………1分在△AFB 中，∠AFB =90°.∵∠4=45°，AB =,∴AF =BF ………………………2分在△AFE 中，∠AFE =90°.∴1,2EF AE ==.………………………3分在△ABD 中，∠DAB =90°.∴DB =∴1DE DB BF EF =--=-.………………………4分∴111)22ADE S DE AF ∆=⋅==………………………5分 20.(1)证明：连接OD . ………………………1分∵AB =AC , ∴B C ∠=∠. 又∵OB OD =, ∴1B ∠=∠.∴1C ∠=∠.∴OD ∥AC .∵DE ⊥AC 于E ,∴DE ⊥OD .∵点D 在⊙O 上，∴DE 与⊙O 相切. ………………………2分(2)解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∵AB =6，sin B =55， ∴sin AD AB B =⋅=556.………………3分 ∵123290∠+∠=∠+∠=︒，∴13∠=∠.∴ 3.B ∠=∠在△AED 中，∠AED =90°.∵sin 3AE AD ∠==，∴65AE AD ===. ………………………4分又∵OD ∥AE ，∴△FAE ∽△FOD . ∴FA AE FO OD=. ∵6AB =,∴3OD AO ==. ∴235FA FA =+. ∴2AF =. ………………………5分21.（1）13.………………………1分（2）∵(3318)80%30++÷=，∴被小博同学抽取的监测点个数为30个. ………………………2分………………………3分（3）设去年同期销售x 万箱烟花爆竹.(135%)37x -=. 解得125613x =.………………………4分 ∴1212563719201313-=≈. 答：今年比去年同期少销售约20万箱烟花爆竹. ……………………… 5分22.（1………………………2分（2）①如图：(答案不唯一) ………………………4分………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为212m x m-=-=.………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-，∴点B 的坐标为 (4,0)．………………………2分（2）∵点B 在直线 y =12x +4m +n 上， ∴024m n =++①.∵点A 在二次函数2-2y mx mx n =+的图象上，∴044m m n =++②. ………………………3分由①、②可得12m =，4n =-. ………………………4分 ∴ 抛物线的解析式为y ＝2142x x --，直线的解析式为y ＝122x -． ……………5分（3）-502d <<． ………………………7分 24．（1）2AE =.………………………1分（2）线段AE 、CD 之间的数量关系为2AE CD =.………………………2分证明：如图1，延长AC 与直线l 交于点G ．依题意，可得∠1＝∠2．∵∠ACB ＝90︒，∴∠3=∠4.∴BA BG =.∴CA ＝CG ．………………………3分∵AE ⊥l ，CD ⊥l ，∴CD ∥AE ．∴△GCD ∽△GAE ．∴ 12CD GC AE GA =＝．∴2AE CD =．………………………4分（3）解：当点F 在线段AB 上时，如图2，过点C 作CG ∥l 交AB 于点H ，交AE 于点G ．∴∠2＝∠HCB ．∵∠1=∠2，∴∠1＝∠HCB ．∴CH BH =．∵∠ACB ＝90︒，∴∠3+∠1＝∠HCB +∠4 =90︒．∴∠3＝∠4．∴CH AH BH ==．∵CG ∥l ，∴△FCH ∽△FEB ．∴ 56CFCHEF EB =＝．设5,6CH x BE x ==，则10AB x =．∴在△AEB 中，∠AEB ＝90︒，8AE x =．由（2）得，2AE CD =．∵4CD =,∴8AE =.∴1x =.∴10,6,5AB BE CH ===．∵CG ∥l ，∴△AGH ∽△AEB ． ∴12HGAHBE AB ==．图3图2∴3HG =．………………………5分∴8CG CH HG =+=．∵CG ∥l ，CD ∥AE ,∴四边形CDEG 为平行四边形.∴8DE CG ==.∴2BD DE BE =-=．……………………6分当点F 在线段BA 的延长线上时，如图3，同理可得5CH =,3GH =,6BE =.∴DE =2CG CH HG =-=．∴ 8BD DE BE =+=．∴2BD =或8．……………………7分25.解：（1）()2222y x mx m m x m m =-++=-+ ，……………………1分 ∴顶点坐标为C m ,m ().……………………2分（2）①2y x =+ 与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点， ∴2222x x mx m m +=-++.解方程，得121,2x m x m =-=+.……………………4分A 点在点B 的左侧，∴(1,1),(2,4).A m m B m m -+++∴AB =……………………5分直线OC 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+，∴AB ∥OC ，两直线AB 、OC 之间距离h =∴11322APB S AB h =⋅=⨯= .………………………6分……………………8分(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)。

北京市海淀区2013届高考一模数学文试题(WORD解析版)

2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•海淀区一模）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈N|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{3，4，5} C．{4，5，6} D．{3，4，5，6}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合A，B中不等式的解集中的自然数解，根据交集的定义，求出得到两个集合的交集．解答：解：A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈N|x2﹣3x＞0}={x|x＞3，x∈N}，∴A∩B={4，5，6}，故选C．点评：此题是个基础题．本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．做题时应注意理解集合B的元素．2．（5分）（2013•海淀区一模）等差数列{a n}中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（）A．14 B．18 C．21 D．27考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a2+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6解答：解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a2+5d=9，a1+d=3解方程可得，a1=2，d=1∴a1a6=2×7=14故选A点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题3．（5分）（2013•海淀区一模）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值为（）A．B．1C．2D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足，执行输出y，可得答案．解答：解：经过第一次循环得到x=3，不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到x=1，不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到x=﹣1，满足判断框中的条件；执行“是”，y=2﹣1=，输出y值为．故选A．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时常采用写出前几次循环的结果，找规律．属于基础题．4．（5分）（2013•海淀区一模）已知a＞0，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=ax+b B．f（x）=x2﹣2ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：题目给出的函数分别是一次函数、二次函数，指数函数及对数函数，在a＞0时，逐一分析各函数在（0，a）上的单调性即可得到正确答案．解答：解：∵a＞0，则函数f（x）=ax+b的斜率大于0，直线f（x）=ax+b的倾斜为锐角，函数f（x）=ax+b在定义域R上为增函数，不满足在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=x2﹣2ax+1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，所以该函数在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=a x，当0＜a＜1时，该函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；对于函数f（x）=log a x，当0＜a＜1时，函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；故满足a＞0，在区间（0，a）上一定是减函数的是f（x）=x2﹣2ax+1．故选B．点评：本题考查了函数的单调性及证明，考查了基本初等函数性质，属基础题型．5．（5分）（2013•海淀区一模）不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为（）A．0B．1C．2D．3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可得A（1，3），B（，），C（1，k）∴S△ABC=AC•d（d为B到AC的距离）=×（3﹣k）×（﹣1）=1，∴k=1．故选B．点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题．6．（5分）（2013•海淀区一模）命题P：∃α∈R，sin（π﹣α）=cosα；命题q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．P是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题考点：特称命题；全称命题．专题：计算题．分析：由于可判断命题p为真命题，而命题q为真命题，再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．解答：解：当时，Rsin（π﹣α）=cosα，故命题p为真命题，∵双曲线﹣=1中a=b=|m|=m，∴c==m∴e==，故命题q为真命题．∴￢p为假命题，￢q是假命题，p∨q是真命题；故选D．点评：本题主要考查了命题真假判断的应用，简单复合命题的真假判断，属于基础试题．7．（5分）（2013•海淀区一模）已知曲线f（x）=lnx在点（x0，f（x0））处的切线经过点（0，1），则x0的值为（）A．B．e2C．e D．10考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求出曲线方程的导函数，根据曲线方程设出切点坐标，把设出的切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把点（0，1）的坐标代入切线方程中即可求出切点的横坐标即可．解答：解：对y=lnx求导得：y′=，切点坐标为（x0，lnx0），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣lnx0=（x﹣x0），把点（0，1）代入切线方程得：1﹣lnx0=（﹣x0），解得x0=e2，故选B．点评：本题的解题思想是设出切点的坐标，把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程，然后把原点坐标代入切线方程求出切点的横坐标，从而确定出切线的方程．8．（5分）（2013•海淀区一模）抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为（）A．2B．4C．6D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设P（，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到FM，列出方程求出m的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积．解答：解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，设P（，m），则M（﹣1，m），等边三角形边长为1+，F（1，0）所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，∴等边三角形边长为4，其面积为4故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•海淀区一模）在复平面上，若复数a+bi（a，b∈R）对应的点恰好在实轴上，则b= 0．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的几何意义和点在实轴上的特点即可得出．解答：解：由复数的几何意义可知：复数a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b），∵此点恰好在实轴上，∴b=0．故答案为0．点评：正确理解复数的几何意义是解题的关键．10．（5分）（2013•海淀区一模）若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积运算即可得出．解答：解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．11．（5分）（2013•海淀区一模）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为16．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断三视图复原的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：几何体是底面为下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，几何体的高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为：V=S底×h==16．故答案为：16．点评：本题考查三视图与几何体直观图的关系，判断几何体的形状以及数据对应值是解题关键．12．（5分）（2013•海淀区一模）在△ABC中，若a=4，b=2，cosA=，则c=4．考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：由余弦定理可得16=4+c2﹣4c•，解方程求得c的值．解答：解：在△ABC中，∵a=4，b=2，cosA=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即16=4+c2﹣4c•，化简可得（c﹣4）（c+3）=0，解得c=4，或c=﹣3（舍去），故答案为4．点评：本题主要考查余弦定理的应用，一元二次方程的解法，属于中档题．13．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是a＞4．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）的图象与x轴有三个不同的交点，结合图象求出实数a的取值范围．解答：解：由题意可得函数f（x）的图象与x轴有三个不同的交点，如图所示：等价于当x≥0时，方程2x﹣a=0有一个根，且x＜0时，方程x2+ax+a=0有两个根，即⇒a＞4．故实数a的取值范围是a＞4．故答案为：a＞4．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．14．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：A t={y|y=f（x）}，点P （t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则（1）若函数f（x）=x，则h（1）=2；（2）若函数f（x）=sin x，则h（t）的最小正周期为2．考点：函数的周期性．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：（1）若函数f（x）=x，则点P（t，t），Q（x，x），根据|PQ|，求得1﹣t≤x≤t+1，即M t =1+t，m t =1﹣t，由此可得h（1）的值．（2）若函数f（x）=sin x，画出函数的图象，分析点P在曲线上从A接近B，从B接近C，从C接近D时，从D接近E时，h（t）值的变化情况，从而得到h（t）的最小正周期．解答：解：（1）若函数f（x）=x，则点P（t，t），Q（x，x），∵|PQ|，∴≤，化简可得|x﹣t|≤1，﹣1≤x﹣t≤1，即1﹣t≤x≤t+1，即M t =1+t，m t =1﹣t，∵h（t）=M t﹣m t ，h（1）=（1+1）﹣（1﹣1）=2．（2）若函数f（x）=sin x，此时，函数的最小正周期为=4，点P（t，sin），Q（x，sin），如图所示：当点P在A点时，点O在曲线OAB上，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．当点P在曲线上从A接近B时，h（t）逐渐增大，当点P在B点时，M t=1，m t=﹣1，h（t）=M t﹣m t=2．当点P在曲线上从B接近C时，h（t）逐渐见减小，当点P在C点时，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．当点P在曲线上从C接近D时，h（t）逐渐增大，当点P在D点时，M t=1，m t=﹣1，h（t）=M t﹣m t=2．当点P在曲线上从D接近E时，h（t）逐渐见减小，当点P在E点时，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．…依此类推，发现h（t）的最小正周期为2，故答案为2．点评：本题主要考查函数的周期性，体现了数形结合以及分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间[﹣，]上的最大值和最小值．考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用特殊角的三角函数值即可得到，利用倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式即可得出；（II）由时，得到，再利用正弦函数的单调性即可得到最值．解答：解：（I）=2﹣1=1．∵函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2=2﹣=2﹣（1+=1﹣=cos2x+==∴函数f（x）的周期为．（II）当时，，所以当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值．点评：熟练掌握特殊角的三角函数值、倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式、正弦函数的单调性是解题的关键．16．（13分）（2013•甘肃三模）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．考点：众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（II）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（III）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．解答：解：（I）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人…（2分）所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3…（4分）（II）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9…（8分）（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A…（9分）设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件…（11分）设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．…（13分）点评：本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．17．（14分）（2013•海淀区一模）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又∠CAD=30°，PA=AB=4，点N在线段PB上，且．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；反证法与放缩法．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）通过证明BD⊥平面PAC，然后证明BD⊥PC；（Ⅱ）通过证明线段成比例证明MN∥PD，利用直线平面平行的判定定理证明MN∥平面PDC；（Ⅲ）利用反证法证明直线l∥CD，推出CD∥AB与CD与AB不平行矛盾从而说明直线l 与直线CD不平行．解答：解：（I）证明：（I）因为△ABC是正三角形，M是AC中点，所以BM⊥AC，即BD⊥AC…（1分）又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，PA⊥BD…（2分）又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（4分）又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC…（5分）（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM=…（6分）在△ACD，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD=CD∠CAD=30°，所以，DM=，所以BM：MD=3：1…（8分）所以BN：NP=BM：MD，所以MN∥PD…（9分）又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC…（11分）（Ⅲ）假设直线l∥CD，因为l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB…（12分）又CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以CD∥AB…（13分）这与CD与AB不平行，矛盾所以直线l与直线CD不平行…（14分）点评：本题考查在与平面垂直与平行的判定定理的应用，反证法的应用，考查空间想象能力与逻辑推理能力．18．（13分）（2013•海淀区一模）函数f（x）=x3﹣kx，其中实数k为常数．（I）当k=4时，求函数的单调区间；（II）若曲线y=f（x）与直线y=k只有一个交点，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（I）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（II）将题中条件：“函数f（x）的图象与直线y=k只有一个公共点，”等价于“g（x）=f（x）﹣k，所以g（x）只有一个零点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）的其图象和x轴只有一个交点，得到关于k的不等关系，从而求实数k的取值范围．解答：解：（I）因为f′（x）=x2﹣k…（2分）当k=4时，f′（x）=x2﹣4，令f′（x）=x2﹣4=0，所以x=﹣2或x=2f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，2） 2 （2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值增…（4分）所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞）单调递减区间是（﹣2，2）…（6分）（II）令g（x）=f（x）﹣k，所以g（x）只有一个零点…（7分）因为g′（x）=f′（x）=x2﹣k当k=0时，g（x）=x3，所以g（x）只有一个零点0 …（8分）当k＜0时，g′（x）=x2﹣k＞0对x∈R成立，所以g（x）单调递增，所以g（x）只有一个零点…（9分）当k＞0时，令g′（x）=f′（x）=x2﹣k=0，解得x=或x=﹣…（10分）所以情况如下表：x （﹣∞，﹣﹣（﹣，）（，+∞））g′（x）+ 0 ﹣0 +g（x）增极大值减极小值增g（x）有且仅有一个零点等价于g（﹣）＜0…（11分）即g（﹣）=k＜0，解得0＜k＜…（12分）综上所述，k的取值范围是k＜…（13分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在极值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．19．（14分）（2013•海淀区一模）已知圆M：（x﹣）2+y2=，若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．（I）求椭圆C的方程；（II）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由圆心M得到．利用椭圆的离心率及b2=a2﹣c2即可得出椭圆的标准方程；（II）把直线l的方程与椭圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|AB|，利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系即可得到|GH|，进而得出k．解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c，由圆心M得到．∵，∴c=1．∴b2=a2﹣c2=1．所以椭圆C：．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线l与椭圆C交于两点A，B，则消去y得到（1+2k2）x2﹣2=0，则x1+x2=0，．∴|AB|==．点M到直线l的距离．则|GH|=．显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾．∵|AG|=|BH|，∴|AB|=|GH|．∴，解得k2=1，即k=±1．点评：熟练掌握椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与曲线相交问题转化为把直线l的方程与曲线的方程联立得到一元二次方程、利用根与系数的关系及弦长公式、垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系是解题的关键．20．（13分）（2013•海淀区一模）设A（x A，y A），B（x B，y B）为平面直角坐标系上的两点，其中x A，y A，Bx B，y B∈Z．令△x=x B﹣x A，△y=y B﹣y A，若|△x|+|△y=3，且|△x|﹣|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．（Ⅰ）请问：点（0，0）的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；（Ⅱ）已知点H（9，3），L（5，3），若点M满足M=i（H），L=i（M），求点M的坐标；（Ⅲ）已知P0（x0，y0）（x0∈Z，Y0∈Z）为一个定点，点列{P i}满足：P i=i（P i﹣1），其中i=1，2，3，…，n，求|P0P n|的最小值．考点：圆的标准方程；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：（I）由题意可得|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，由此可得点（0，0）的“相关点”有8个．再根据+=5，可得这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以为半径的圆上．（II）设M（x M，y M），由条件推出|x M﹣9|+|y M﹣3|=3，|x M﹣5|+|y M﹣3|=3，由此求得点M的坐标．（III）分当n=1、当n=2k，当n=2k+1，且k∈N*时，三种情况，分别求得|P0P n|的最小值，综合可得结论．解答：解：（I）因为|△x|+|△y=3，且|△x|﹣|△y|≠0，|△x|与|△y|为非零整数，故|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，所以点（0，0）的“相关点”有8个，分别为：（1，2）、（1，﹣2）、（﹣1，2）、（﹣1，﹣2）、（2，1）、（2，﹣1）、（﹣2，1）、（﹣2，﹣1）．…（1分）又因为（△x）2+（△y）2=5，即+=5，所以，这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以为半径的圆上．…（3分）（II）设M（x M，y M），因为M=i（H），L=i（M），所以有|x M﹣9|+|y M﹣3|=3，|x M﹣5|+|y M﹣3|=3，…（5分）所以|x M﹣9|=|x M﹣5|，所以x M=7，故y M=2 或y M=4，所以M（7，2），或M（7，4）．…（7分）（III）当n=2k，且k∈N*时，|P0P n|的最小值为0．例如：P0（x0，y0），P1（x0+1，y0），P2（（x0，y0），显然，P0=i（P1），P1=i（P2），此时，|P0P2|=0．…（8分）当n=1时，可知，|P0P n|的最小值为．…（9分）当n=3 时，对于点P，按照下面的方法选择“相关点”，可得P3（x0，y0+1）：由P0（x0，y0），依次找出“相关点”分别为P1（x0+2，y0+1），P2（x0+1，y0+3），P3（x0，y0+1）．此时，|P0P3|=1，故|P0P n|的最小值为1．…（11分）然后经过3次变换回到P3（x0，y0+1），故|P0P n|的最小值为1．当n=2k+1，k＞1，k∈N*时，经过2k次变换回到初始点P0（x0，y0），故经过2k+1次变换回到P3（x0，y0+1），故|P0P n|的最小值为1．综上，当n=1 时，|P0P n|的最小值为．当当n=2k，k∈N*时，|P0P n|的最小值为0，当n=2k+1，k∈N*时，|P0P n|的最小值为1．…（13分）点评：本题主要考查圆的方程，两点间的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2013年初三海淀一模数学试题及答案-推荐下载

海淀区九年级第二学期期中练习
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2 的相反数是
A. 2
B. 2
数学
2．十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达 5.5 亿次.将 5.5 亿用科学记数法表示为
A. 5.5 108
C. 550 107
不同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是
A． 1 2
B． 1 3
6.一副三角板如图放置，若∠1＝ 90 ，则∠2 的度数为
A．45° B．60° C．75° D．90° 7.在篮球比赛中，某队员连续 10 场比赛中每场的得分情况如下表所示：
场次（场） 1
得分（分） 13
2
C.
．
.
.
D.
2
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）
13．计算： 12 2 cos 30 ( 3 1)0 (1)1 ． 8
14．解不等式组：
x 2 0,

x
1 2

1
图1

15．先化简，再求值： 1 1 x 2 1 ，其中 x 3 ． x 2 2x 4
5
4
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

北京市2013年中考数学一模分类-几何综合篇

北京市2013年中考数学几何综合海淀24．在△ABC 中，∠ACB ＝90︒．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ．（1）若45ABC ∠=︒，CD =1（如图），则AE 的长为；（2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明；（3）若直线CE 、AB 交于点F ， 56CF EF =，CD =4，求BD 的长．东城24. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.昌平24．在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A朝阳24．在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．（1）如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC 的值；（2）如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC ，求k 的值．图2B 图1FB大兴24. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB=∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，请直接写．．．出．S 与x 的函数关系式，并求出．．S 的最小值．西城24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的内部．(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而P A =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积； (3) 若P A =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．房山24（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE相交于点P ，求证： BE = AD . （2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是（只填序号即可） ①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CP A =60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .丰台24．在ABC △中，∠ACB =90°，AC ＞BC ，D 是AC 边上的动点，E 是BC 边上的动点，AD =BC ，CD =BE ．（1）如图1，若点E 与点C 重合，连结BD ，请写出∠BDE 的度数；（2）若点E 与点B 、C 不重合，连结AE 、BD 交于点F ，请在图2中补全图形，并求出∠BFE 的度数．ACB第24题图1第24题图2ADDBC （E ）A图1怀柔24. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD 、BN,CD 的延长线交BN 于点F ．（1）当∠ADN 等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由；（2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，并说明理由．门头沟24．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，点M 在线段DF 上，且∠BAE ＝∠BDF ，∠ABE ＝∠DBM ．（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是；（2）如图2，当∠ABC ＝60°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是；（3）① 如图3，当ABC α∠=（0<<90α︒︒）时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是；② 在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连结CP ，若AB ＝7，AE＝求sin ∠ACP 的值．A BCD EFMMFED CBA ABCD EF M图1图2图3密云24．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，， 60B =︒∠. （1）点E 到BC 的距离为；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.平谷24．（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P .请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相交于点P . 请你猜想∠APM = °，并写出你的推理过程A DE BF C图1图2 A DE BFCP N M图3 AD E BF CP N M石景山24．如图，△ABC 中，∠90ACB =︒, 2=AC ，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ．（1）如图24-1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转︒60，得到线段1AB ，联结1DB ，则与1DB 长度相等的线段为（直接写出结论）；（2）如图24-2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,求ADQ ∠的度数；（3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,是否存在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．顺义24．如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD的顶点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G （1）求证：EF EG =；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =，BC b =，求EFEG的值．图24-1 图24-2B 1ABCD备用图 A D备用图AD通州24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应∠ADB 的大小.延庆25. （本题满分8分）如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．）问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接写出结论．问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明．A DBC。

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2 =
. ………………………4 分
x+1
当 x = 3 时，原式= 2 = 1 .………………………5 分 x+1 2
16.证明：∵ AB ∥ EC ，
∴ ∠A = ∠DCE. ………………………1 分
E
在△ ABC 和△ CDE 中，
⎧∠B = ∠EDC, ⎪⎨∠A = ∠DCE, ⎪⎩ AC = CE,
∵∠ ACB ＝ 90° ，
∴∠3=∠4.
∴ BA = BG . ∴ CA ＝ CG ．………………………3 分 ∵ AE ⊥ l ， CD ⊥ l ， ∴ CD ∥ AE ． ∴△ GCD ∽△ GAE ．
∴ CD ＝ GC = 1 ． AE GA 2
∴ AE = 2CD ．………………………4 分（3）解：当点 F 在线段 AB 上时，如图 2，过点 C 作 CG ∥ l 交 AB 于点 H ，交 AE 于点 G ． ∴∠2＝∠ HCB ．
25.解：（1）∵ y = x2 − 2mx + m2 + m = ( x − m)2 + m ，……………………1 分
∴顶点坐标为 C ( m, m) .……………………2 分
（2）①∵ y = x + 2 与抛物线 y = x2 − 2mx + m2 + m 交于 A 、 B 两点，
∴ x + 2 = x2 − 2mx + m2 + m .
∴在△ AEB 中，∠ AEB ＝ 90° ， AE = 8x ．由（2）得， AE = 2CD ． ∵ CD = 4 , ∴ AE = 8 . ∴x =1.
∴ AB = 10, BE = 6,CH = 5 ．
∵ CG ∥ l ， ∴△ AGH ∽△ AEB ．
∴ HG = AH = 1 ． BE AB 2
解：原式 = 2 3 − 2 × 3 + 1 − 8 ………………………4 分 2
= 3 − 7 ．………………………5 分
7
8
A
D
12 1260° ；2 或 7
解：由①得 x > −2 ．………………………2 分
由②得 x ≤ 1．………………………4 分
则不等式组的解集为 − 2 < x ≤ 1 ．………………………5 分
第5页共6页
图2 图3
∴ HG = 3 ．………………………5 分 ∴ CG = CH + HG = 8 ． ∵ CG ∥ l ， CD ∥ AE , ∴四边形 CDEG 为平行四边形. ∴ DE = CG = 8 . ∴ BD = DE − BE = 2 ．……………………6 分当点 F 在线段 BA 的延长线上时，如图 3，同理可得 CH = 5 , GH = 3 , BE = 6 . ∴ DE = CG = CH − HG = 2 ． ∴ BD = DE + BE = 8 ． ∴ BD = 2 或 8．……………………7 分
∴ AE = 5 AD = 5 × 6 5 = 6 . ………………………4 分
5
5 55
又∵ OD ∥ AE ，
∴△ FAE ∽△ FOD .
∴ FA = AE . FO OD
∵ AB = 6 ,
∴ OD = AO = 3.
∴
FA
2 =.
FA + 3 5
∴ AF = 2 . ………………………5 分
21.（1） 1 .………………………1 分 3
（2）∵ (3 + 3 + 18) ÷ 80% = 30 ，
∴被小博同学抽取的监测点个数为 30 个. ………………………2 分
………………………3 分
第3页共6页
（3）设去年同期销售 x 万箱烟花爆竹. (1 − 35%)x = 37 .
解得 x = 56 12 .………………………4 分 13
∵ AB =6， sin B = 5 ， 5
∴ AD = AB ⋅ sin B = 6 5 .………………3 分 5
∵ ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2 = 90° ， ∴ ∠1 = ∠3 . ∴ ∠B = ∠3. 在△ AED 中，∠ AED =90°.
∵ sin∠3 = AE = 5 ， AD 5
∴ AB ∥ OC ，两直线 AB 、 O C 之间距离 h = 2 .
∴
S△ APB
=
1 2
AB
⋅h
=
1 2
×3
2×
2 = 3 .………………………6 分
②最小值为 10. ……………………8 分
(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)
第6页共6页
海淀区九年级第二学期期中测评
数学试卷答案及评分参考
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
D
B
C
C
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）
题号
9
10
11
答案
b(a − 3b)2
m≤9 4
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）
2− 3
13．计算： 12 − 2 cos 30° + ( 3 −1)0 − (1)−1 ． 8
∵∠1=∠2，
∴∠1＝∠ HCB ． ∴ CH = BH ． ∵∠ ACB ＝ 90° ，
∴∠3+∠1＝∠HCB+∠4 = 90° ． ∴∠3＝∠4．
∴ CH = AH = BH ． ∵ CG ∥ l ， ∴△ FCH ∽△ FEB ．
∴ CF ＝ CH = 5 ． EF EB 6
设 CH = 5x, BE = 6x ，则 AB = 10x ．
2
∴ 0 = 2 + 4m + n ①.
∵点 A 在二次函数 y = mx2 - 2mx + n 的图象上，
∴ 0 = 4m + 4m + n ②. ………………………3 分
由①、②可得
m
=
1 2
，
n
=
−4 .
………………………4 分
∴ 抛物线的解析式为 y＝ 1 x2 − x − 4 ，直线的解析式为 y＝ 1 x − 2 ． ……………5 分
1500 − 300 − 1500 − 300 = 4 .………………………3 分
x
2x
解得 x = 150 . ………………………4 分
经检验， x = 150 是原方程的解，且符合题意.
答：原计划每天加工 150 顶帐篷. ………………………5 分
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）
19. 解：过点 A 作 AF ⊥ BD 于 F . ∵∠ CDB =90°,∠1=30°,
解方程，得 x1 = m − 1, x2 = m + 2 .……………………4 分 ∵点A 在点 B 的左侧， ∴ A(m − 1,m + 1), B(m + 2,m + 4).
∴ AB = 3 2. ……………………5 分 ∵直线 OC 的解析式为 y = x ，直线 AB 的解析式为 y = x + 2 ，
∴ 56 12
−
37
=
12 19
≈
20
.
13
13
答：今年比去年同期少销售约 20 万箱烟花爆竹. ……………………… 5 分
22.（1） 5 .………………………2 分
（2）①如图：
(答案不唯一)
………………………4 分
② 7 21 .………………………5 分 5
五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）
2
2
（3） − 5 < d < 0 ． ………………………7 分 2
24．（1） AE = 2 .………………………1 分（2）线段 AE 、 CD 之间的数量关系为 AE = 2CD .………………………2 分证明：如图 1，延长 AC 与直线 l 交于点 G ．
第4页共6页
依题意，可得∠1＝∠2．
23．解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为 x = − −2m = 1 .………………………1 分 2m
∵抛物线与 x 轴交于 A 、 B 两点，点 A 的坐标为 (−2, 0) ，
∴点 B 的坐标为 (4, 0) ．………………………2 分
1 （2）∵点 B 在直线 y = x + 4m + n 上，
A
D C
∴△ ABC ≌△ CDE .………………………4 分
∴ BC = DE.
………………………5 分
B
第1页共6页
17.解：（1）∵ 点 A (−1, n) 在反比例函数 y = − 2 的图象上， x
∴ n = 2 . ………………………1 分 ∴ 点 A 的坐标为（−1，2 ）.
∵ 点 A 在一次函数 y = kx − k 的图象上，
∴ DB = 2 3 .
∴ DE = DB − BF − EF = 3 − 1.………………………4 分
∴
S∆ADE
=
1 2
DE
⋅
AF
=
1 2
(
3 −1) ×
3 = 3 − 3 .………………………5 分 2
20.(1)证明：连接 OD . ∵ AB = AC , ∴ ∠B = ∠C . 又∵ OB = OD , ∴ ∠B = ∠1.
15．先化简，再求值： ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞ ÷ x 2 − 1 ，其中 x = 3 ． ⎝ x − 2⎠ 2x − 4