第三章《对圆的进一步认识》复习课件

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I
B
┓ ┓
C

B
┓
C
老师提示: 假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距离 相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径 为圆心到三边的距离.
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的 半径
●
O D
∴CD⊥OA．
C
A
知识点四：圆中的计算问题
（二）直线与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d,
l (a) (b)
l
(c)
l
直线L和⊙O相交 d<r 直线L和⊙O相切 d=r 直线L和⊙O相离 d>r
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
如图 ∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
4米
1米
4米
3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于 点E．求证：DE是⊙O的切线． 解题关键：
证明OD∥AC.
C 方法一：利用 D B O A E
等边对等角证 ∠C=∠BDO；
方法二：利用 三线合一证明 OD为△ABC的 中位线．
【点击中考】
O A C B
6、如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的 延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与 弧AB相交于点M、N． （1）求线段OD的长； 1 （2）若 tan C ，求弦MN的长． 2
O A C
5 3
M 2X
X
E
N
B D
教师寄语：
一、知识要点概述
1、弧长公式和扇形面积公式 n°的圆心角所对的弧长l和含n°圆心角的扇形的面 积公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推来：
l n S扇形 n ∵ = , = , 2 2πR 360 πR 360 nπR n ∴l = , S扇形 = πR 2 180 360
这样就不至于因死记硬背而出错．
1、（2013年泰安中考）如图，点A、B、C在 ⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°， 则∠BOC等于（ D ）． （A）60 （B）70 （C）120°（D）140° 方法总结：连 结OA，求出 与∠BOC同 弧的圆周角．
C A
O
B
2、（2013年泰安中考）如图，已知AB是⊙O的 直径，AD切⊙O于点A，点E是 EB的中点，则下 列结论不成立的是（ D）． （A）OC∥AE （B）EC=BC （C）∠DAE=∠ABE （D）AC⊥OE
D
C
E
提示：注意垂 径定理与切线 的性质应用．
B
O
A
【布置作业】
1、如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则 ⊙O的半径等于（ B ）． A.8 B. 5 C. 10 D. 2
2、如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A， B重合，则∠ACB的度数为（ ）． D
A.50°
【巩固练习】
1、如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，则 在不添加辅助线的情况下，求出图中与∠CDB相 ∠CAB ∠BAD ∠BCD 等的角．
方法总结：充分利用 “垂径定理”与“等 弧或同弧所对的圆周 角相等”得出结论．
A O C E B D
2、如图所示，草地上一根长5米的绳子，一端拴 在墙角的木桩上，另一端拴着一只小羊，那么， 小羊在草地上的最大活动区域的面积是多少？ 方法总结： 正确画出小羊的 小 羊 1米 最大活动区域是 解决问题的关 5米 键．
B.50°或80°
C.130° D.50°或130°
4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝ 40°，则∠ACD的度数是 50°.
C A O B D
5、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦AB是小圆的切线，C为切点。若两圆的半径 8 分别为3cm和5cm，则AB的长为______cm ．
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗
●
B
O

M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。

（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C O B

(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
（7）平分弦的直径垂直于弦
C B O A C B C O A D A O E D (6)
将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长
1 和半径表示的扇形面积公式： S = lR
扇形
2
这一公式与三角形面积公式酷似．为了便于记忆， 只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看 成底边上的高即可．
2、弓形面积 弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解
与组合，实际应用时，可根据图形直观选用下列公式： ①当弓形所含的弧是劣弧时,如图S (甲 )， =S扇形OAB 弓形 －S△AOB；
C
3
A
1 O E
B
D
例2、如图，AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切于B，AC 交⊙O于E，点D是BC边的中点，连结DE． （1）求证：DE与⊙O相切； DE 3 ，求AE． （2）若⊙O的半径为 3，
A
2 3 O
E
B
D 6
方法总结： 1、如果已知直线与圆有 交点，常连接圆心与交 点，再证明连线垂直于 半径即可； 2、如果不明确直线 与圆的交点，往往要作 出圆心到直线的垂线段， C 再证明这条垂线段等于 半径即可．
O1
判断题
圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆
半径相等的两个圆是等圆.
知识点二：圆的有关性质
（一）垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧.
C
A
M└
●
B
O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ BC, ⌒ ④ AC=
⑤ ⌒ AD= BD.
D
⌒
重视：模型“垂径定理直角三角形”
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)等弧就是拉直以后长度相等的弧
请将自己所画的圆与同伴所画的 圆进行比较， 它们是否能够完全重
合？并思考什么情况下两个圆能够完
全重合？ 半径相等的两个圆叫做等圆。 r r O2
新青岛版数学九年级上册
（复习课）
【学习目标】
• 1、了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探 索并认识圆心角、弧、• 弦之间的相等关系的定理， 探索并理解圆周角和圆心角的关系定理． • 2、探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位 置关系：了解切线的概念，• 探索切线与过切点的 直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切 线，会过圆上一点画圆的切线． • 3、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应 用；• 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧 面积和全面积的计算．
【典例解析】
例1、如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E，点P在⊙O上， P ∠1=∠C． （1）求证：CB∥PD; （2）若BC=3cm， sinP=0.6，求⊙O的直径． 方法总结：由AB为⊙O的直径， AB⊥CD得弧BC等于弧BD，从 而得∠P=∠A，并连接AC构造 Rt△ABC是解题的关键．
三角形的外接圆
三角形与圆
三角形的内切圆 圆中的计算
弧长和扇形面积的计算
【教学内容】
知识点一：圆的有关概念
1、圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫 做圆心，线段OA叫做半径． 2、弦、直径、弧的概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦． （2）直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的2倍． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）； 小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．
B
(4)
(5)
（二）圆心角、弧、弦、弦心距的关系 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
D
A
●
B
O ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ 如由条件: ③AB=A′B′
②AB=A′B′
⌒ ⌒
④ OD=O′D′
（三）圆周角定理及推论
D
B
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O
O
B
A
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B
A
定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半 . 推论:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
知识点三：与圆有关的位置关系 （一）点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d， 则有：点P在圆外d>r 点P在圆上d=r 点P在圆内d<r 不在同一直线上的三点确定一个圆． 也就是，经过三角形的三个顶点可以做 一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接 圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点， 叫做这个三角形的外心．