运筹学建模2014

目标函数
约 束 条 件
s. t.
subject to
“受约束于”之意
优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件
有约束问题和无约束问题.
2.根据决策变量的性质
静态问题和动态问题.
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划,非线性规划,二次规划,多目标规划等.
网络优化
研究解决生产组织、计划管理中诸如最短路径问 题、最小连接问题、最小费用流问题、最优分派 问题及关键线路图等。特别在计划和安排大型复 杂工程时，网络技术是重要的工具 排队论 是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学方法在研 究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，排 队论也称随机服务系统理论，排队论是定量的研究 排队问题，寻找系统内在规律，寻找供求关系平衡 的最优方案。
x1 x2 50
12x1 8x2 480
约束条件
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
Max z 72 x1 64 x2 s.t. x x 50 1 2 12 x1 8 x2 480 3 x1 100 x1 , x2 0
1桶 牛奶 或 12小时 8小时 3公斤A1 获利24元/公斤
4公斤A2
获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶
时间480 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
《史记》中“夫运筹帷幄之中，决胜千里之外”
三 、 运 筹 学 主 要 内 容
数 学 规 划
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划
组 合 优 化 随 机 优 化
最优计数问题 网络优化 排序问题 统筹图
对策论 排队论 库存论 决策分析 可靠性分析
数学规划模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
j 1
n
令 z1=－z，转化为求 max z1 (c j ) x j 。
j 1
n
（2）若某个右端常数 bi<0，则以－1 乘该约束两端。
（3）若某约束为“≤”型的不等式约束，则在左端加上一个非负 变量，称为松弛变量，使不等式化为等式；若某约束为“≥”型，则 在左端减去一个非负变量，称为松弛变量，使不等式转化为等式。
min Z x1 2 x2 3 x3 x1 x2 x3 7 x1 x2 x3 2 3 x x 2 x 5 1 2 3 x1 , x2 0, x3 无符号约束
3 x3 max z x1 2 x 2 3x3 x3 x 4 7 x1 x 2 x3 x x x x x 2 1 2 3 3 5 3 x x 2 x 2 x 5 1 2 3 3 x , x , x , x , x 4 , x5 0 1 2 3 3
3. 库存管理 存货模型将库存理论与计算器的物料管理信息系统相结 合，主要应用于多种物料库存量的管理，确定某些设备 的能力或容量，如工厂的库存、停车厂的大小、新增发 电设备容量大小、计算机的主存储器容量、合理的水库 容量等。 4. 运输问题 这里涉及空运、水运、公路运输、铁路运输、捷运、管 道运输和厂内运输等。包括班次调度计划及人员服务时 间安排等问题。
单 位 消 原 料 耗 品 产
P 1 5 0 2万元
Q 2 2 4 5万元
原料总量 8吨 20吨 12吨
A B C 产品单价
线性规划模型：
解：设P、Q的产量分别为 x1 , x2 因此问题归结为下列模型：
max z 2 x1 5 x2 x1 2 x2 5 x 2 x 1 2 s.t. 4 x2 x1 , x2 8 20 12 0
Max Z CX s.t , AX b X 0
三者皆满足的向量x是最优解 最优值：最优解的目标函数值 满足所有约束条件的向量X 称为LP的可行解
可行域：所有的可行解构成的集合称为(LP) 问题的可行域. 记为D
x1+x210 x1+x2+xs=10，xs0
x1+x210 x1+x2 - xs=10，xs0
（4）若某个xj的符号约束为 xj≤0；那么令xj′=－xj，则 xj′≥0； 若某个xj无符号限制，则可令xj=xj′－xj″，其中 xj′≥0， xj″≥0。
例1：将下列线性规划问题化为标准形式
建立数学模型的方法
• 1.根据影响所达到目的的因素找到决策变量； • 2.由决策变量和所要达到目的之间的函数关系 确定目标函数； • 3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所 要满足的约束条件。
当得到的数学模型的目标函数为线性函数， 约束条件为线性等式或不等式时，该模型 称为线性规划模型。
例2: 奶制品生产计划
c (c1 ,, cn ) 价值向量 c j , j 1,2,, n 价值系数 ⑴．一般形式 x j , j 1,2,, n 决策变量 max(min) z= c1 x1 +c2x2 +…+cnxn
T
a x a x a x ( , )b , a21 a22 a2 n 2 21 1 2 数 n n 22 2 A s矩 .t . a x a x a x ( , )b , 1 1 m2 2 mn n m 右端向量 阵 m a a a m1 m2 mn xi 0, x j 0, i i1 , , ik , j j1 , , jl .
u f ( x)
和
x ( x1, x2 , x3 ,...,xn )
在约束条件 hi ( x) 0, i 1,2,...,m.
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
下的最大值或最小值，
数学规划问题的一般形式
min s.t.
决策变量
f ( x) hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x ) 0, j 1,...,l x D n
7.设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价 如电力系统的可靠度分析、核能电厂的可靠度以及风 险评估等。 8.工程的最佳化设计 在土木、建筑、水利、信息、电子、电机、光学、机 械、环境和化工等领域皆有作业研究的应用。 9.城市管理 包括各种紧急服务救难系统的设计和运用。如消防队救 火站、救护车、警车等分布点的设立。美国曾用等候理 论方法来确定纽约市紧急电话站的值班人数。加拿大亦 曾研究一城市警车的配置和负则范围，事故发生后警车 应走的路线等。
线性规划模型标准型矩阵表示
max z= cX
s.t . AX b X 0
c [c1, c2 , , cn ],
X [ x1, x2 , , xn ]T ,
A [aij ]mn .
b [b1, b2 , , bm ]T ,
注意：
b 0,
变换一般LP为标准形式的方法：
（1）如果原问题目标函数求极小值： min z c j x j
x a 1n a1 a a12 n xn ( , )b1 , 系 a 11 12x 2 11 1 a
b1 b b m
线性规划模型标准型 maxz= c1 x1 +c2x2 +…+cnxn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 s .t . a x a x a x b , m2 2 mn n m m1 1 xi 0, i 1, , n.
☆ 运筹学(《辞海》)：20世纪40年代开始形 成的一门学科，主要研究经济活动与军事活 动中能用数量来表达的有关运用、筹划与管 理方面的问题，它根据问题的要求，通过数 学的分析与运算，做出综合性合理安排，以 达到较经济有效地使用人力物力.
二、运筹学简史
☆ 作为一门定量优化决策科学，起源于第二次世界 战，英文原意 Operation Research；
如机器等待修理、船舶等待装卸、顾客等待服务等
对策论 研究具有利害冲突的各方，如何制定对自己有利 从而战胜对手的斗争策略 田忌赛马
运筹学的应用重点
1.市场销售 在广告预算和媒体的选择、竞争性定价、新产品开发、 销售计划的制定等方面。如美国杜邦公司在五十年代起 就非常重视将作业研究用于研究如合做好广告工作、产 品定价和新产品的引入。 2. 生产计划 在总体计划方面主要是从总体确定生产、储存和劳动力 的配合等计划以适应变动的需求计划，主要用线性规划 和仿真方法等。此外，还可用于生产作业计划、日程表 的编排等。还有在合理下料、配料问题、物料管理等方 面的应用。
分析与表述问题
运 筹 学 应 用 步 骤
建立模型
对问题求解 不满意 对模型和由模型导出的解进行检验
满意 建立起对解的有效控制
方案实施
五、运筹学在数学建模竞赛中的地位
有人统计： 在全国大学生数学建模竞赛题中有40%可以用运筹 学中的优化方法解决
1. CUMCM-1995A: 一个飞行管理问题 2. CUMCM-2000B: 钢管订购与运输 3. CUMCM-2003B：露天矿生产的车辆安排 4. CUMCM-2000D: 空洞探测 5. CUMCM-2006 B: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 6. CUMCM-2006 C : 易拉罐形状和尺寸的最优设计 7. CUMCM-2009B：眼科病床的合理安排
二战中
英美海空军 作战参谋部 组成了运筹 学研究小组 运筹学的 一些分支