安徽省合肥市2020届高三数学4月第二次质量检测试题 理
2020届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案。
【详解】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题。
2．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求出集合，然后与集合取交集即可。
【详解】由题意，，，则，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题。
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．【答案】C4．在中，，则（）A．B．C．D．【答案】B5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比净利润占比则下列判断中不正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B6．将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．函数的周期是C．函数在上单调递增D．函数在上最大值是1【答案】C7．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若，则该椭圆离心率是（）A．B．C．D．【答案】D8．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务必须排在前三项执行，且执行任务之后需立即执行任务；任务、任务不能相邻.则不同的执行方案共有（）A．36种B．44种C．48种D．54种【答案】B9．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案。
安徽省合肥市2020年高三第二次质量检测理科数学试卷文字版含解析
合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}22,0322≥=≤--=x x B x x x A ，则B A I =（ ） A ．]3,21[ B ．]1,21[ C ．]21,3[- D ．]3,2[2．欧拉公式θθθsin cos i e i +=把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数θcos 和θsin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i z i e i =⋅+)(π，则z =（ ）A ．1B ．22C ．23 D ．2 3．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≥-+032304042y x y x y x ，则y x z -=2的最小值是（ ）A ．5-B ．4-C ．7D ．164．已知)(x f 为奇函数，当0<x 时，2)(ex ex f x -=-（e 是自然对数的底数），则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程是（ ）A ．e ex y +-=B ．e ex y +-=C ．e ex y +-=D ．e ex y +-=5．若110tan 380cos =+οοm ，则m =（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．已知函数)20,0)(tan()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象关于点)0,6(π成中心对称，且与直线y=a 的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象的对称中心为))(0,6(Z k k ∈+ππC ．函数)(x f 的图象可由2tan =y 的图象向左平移6π得到 D ．函数)(x f 的递增区间为))(62,32(Z k k k ∈+-ππππ 7．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b ，宽为内接正接正方形的边长d ，由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得b a ab d +=； ②由AE≥AF 可得2222b a b a +≥+； ③由AD≥AE 可得b a b a 112222+≥+； ④由AD≥AF 可得ab b a 222≥+。
安徽省合肥市2020年高三第二次教学质量检测理科数学试题(含答案)
A. -5
3.r+ 2y- 3
B. -4
C. 7
· D. 16
4.已知 f(:r） 为奇函数，当 .T < （：）时， f（�T) = e-.-r … ex2 ( e 是自然对数的底数〉 ， 则曲线
Y = f(.r）在 .T = 1处的切线方程是
A. y ＝一 町 ＋ e B. y = er +e
C. y ＝町 － e
充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥气若复数 z 满足 （eiir +
cost)
i) •
和 sin8 联系在一起，
z = i，则 I zl =
A ....
R号
已号
nD. ..!?.
2.r+y-4 注。
时崎旧隅
； ：三。 3.若实数 .T 'y 满足约束条件 x-y 十 4 ；主 0，则 z = 2x-y 的最小值是
同理得，CN 平面 ABEF ，∴ DM // CN . 又∵ DM CN ∴四边形CDMN 为平行四边形 ∴CD // MN .
∵M，N 分别是 AF，BE 的中点 ∴MN // AB
∴CD // AB .
………………………………5 分
(2)在 AB 边上取一点 P ，使得 AP DF .
由图(1)可得， ADFP 为正方形，即 AP FP . ∵M 为 AF 的中点 ∴MP MA .
合肥市 2020 年高三第二次教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
安徽省合肥市2020届高三第二次教学质量检测(数学理)doc高中数学
安徽省合肥市2020届高三第二次教学质量检测（数学理）doc高中数学安徽省合肥市2018年高三第二次教学质量检测数学试题〔理科〕〔考试时刻：120分钟，总分值：150分〕本卷须知： 1．答卷前，考生先使用黑色字迹的签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在指定位置；核对条形码上本人的姓名和准考证号码，无误后，将共粘贴在指定的方框内。
2．非选择题答题书写要工整，字迹清晰。
修改答案时禁止使用涂改液或涂改胶条。
3．请在题号指定的答题区域内作答，在题号指定区域以外答题或超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．考试结，监考人将答题卷收回，试卷不收回。
第一卷〔总分值50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1．集合{|06,},{1,3,6},{1,4,5}U x x x Z A B =≤≤∈==，那么()U A C B ⋂= 〔 〕A ．{1}B ．{3，6}C ．{4，5}D ．{1，3，4，5，6}2．复数32,4a i b xi =+=+〔其中i 为虚数单位〕，假设复数aR b∈，那么实数x 的值为〔 〕A ．-6B ．6C ．83 D ．-833．sin()2sin(),sin cos 2ππαααα-=-+⋅=则〔 〕A ．25B ．25-C ．25或25- D ．15-4．双曲线22221x y a b-=，F 1是左焦点，O 是坐标原点，假设双曲线上存在点P ，使1||||PO PF =，那么此双曲线的离心率的取值范畴是〔 〕A ．(]1,2B ．(1,)+∞C ．〔1，3〕D ．[)2,+∞5．某农科院在3×3的9块式验田中选出6块种植某品种水稻进行试验，那么每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为 〔 〕A ．156B ．17C ．114D ．3146．假设随机变量(1,4),(0),X N P x m -≤=则P(0<X<2)=〔 〕A ．12m -B ．12m-C ．122m-D ．1m -7．右图是某四棱锥的三视图，那么该几何体的表面积等于〔 〕A ．3465+B ．66543+C ．663413+D ．175+8．在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，,45AD AB B ⊥∠=°，AB=2CD=2，M 为腰BC 的中点，那么MA MD ⋅=〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．49．R 上可导函数()f x 的图象如下图，那么不等式2(23)()0x x f x '-->的解集为〔 〕A ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞B ．(,2)(1,2)-∞-⋃C ．(,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞D ．(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞10．已右函数21(0)()(1)1(0)x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，那么该数列的通项公式为 〔 〕A ．*(1)()2nn n an N -=∈ B ．*(1)()n a n n n N =-∈ C ．*1()n a n n N =-∈D ．*22()n n a n N =-∈第二卷〔总分值100分〕二、填空题〔本大题共5题，每题5分，共25分。
安徽省合肥市2020年高三4月第二次教学质量检测理科综合试卷
合肥市2020年高三第二次教学质量检测理科综合试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷 （每小题6分，共126分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C AD C B D A C C B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案D B C C B C D ABC AC BD 题号21 答案CD第Ⅱ卷22．(7分) （1）将气垫导轨调节水平 （2分）（2）②③④⑤； （1分）（3）mgL ；22211()((2d d M m t t ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ （各1分） （4）气垫导轨没有水平且B 端偏低（备注：作答“由于阻力…”不给分） （2分）23．(8分) （1）9.0Ω；偏小 （各1分）（2）①如图所示（3分） ②10.0（1分） ③并联；0.05 （各1分）24.（14分）（1）只有当开关S 接1时回路中才有焦耳热产生，在导体棒上升过程，设回路中产生的焦耳热为Q ，根据能量守恒有 2012mv mgh Q =+ （2分） 又12:2:3R R =，因此电阻R 1产生的热量为 135Q Q = （1分） 21031()52Q mv mgh =-（1分）（2）当开关S 接2时，导体棒由静止开始下落，设导体棒下落的加速度为a ，由牛顿第二定律得mg ILB ma -=（1分） 又Q C U CBL v I CBLa t t t∆∆∆====∆∆∆ （2分）联立得 22mg a CB L m=+ （1分） 所以导体棒做初速度为0，加速度为a 的匀加速直线运动，设导体棒回到出发点的速度大小为v ，由22v ah = （1分）得 v = （1分）（3）当导体棒向上运动时，由于所受安培力向下且不断减小，所以导体棒做加速度逐渐减小的减速运动；当导体棒开始向下运动时做初速度为0的匀加速直线运动，由于所受安培力与重力反向，所以此过程加速度小于g（4分）25.（18分）（1）选水平向右为正方向，设甲的加速度为1a ，对甲，由牛顿第二定律11(2)m g ma μ= （1分）212m/s a = （1分）设甲速度由0v 减到0过程通过的位移为1x ，经历的时间为1t 。
【附加15套高考模拟试卷】安徽省“江淮十校”2020届高三4月联考数学(理科)试题含答案
晷影长（寸）
16.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，春分晷影长为 72.4 寸，那么《易经》中所记录的夏至的晷
影长应为（ ） A．14.8 寸 B．15.8 寸 C．16.0 寸 D．18.4 寸
x sin x, x 0
2．设 f (x)
x3 1, x 0
，则函数 f (x)
的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中
寸表示 115 寸 分（1 寸=10 分）.
节气
冬至
小寒（大雪） 大寒（小雪） 立春（立冬） 雨水（霜降）
晷影长（寸） 135
节气
惊蛰（寒露） 春分（秋分） 清明（白露） 谷雨（处暑） 立夏（立秋）
晷影长（寸）
75.5
节气
小满（大暑） 芒种（小暑） 夏至
线 AB 的方程为（ ）
y 1x2
y 1 x3
y 1 x3
y 1x2
A． 2
B． 4
C． 2
D． 4
7．若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8 8．在学校举行一次年级排球赛比赛中，李明、张华、王强三位同学分别对比赛结果的前三名进行预测：
李明预测：甲队第一，乙队第三
D．命题 p： x>0，sinx>2x-1，则 p 为 x>0，sinx≤2x-1
4．有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用.这种神奇的三角形，就是以 19 世纪德国工程师勒洛的名 字命名的勒洛三角形.这种三角形常出现在制造业中（例如图 1 中的扫地机器人）.三个等半径的圆两两互 相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图 2 所示.现从图 2 中的勒洛三角形内部随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为
安徽省合肥市2020届高三4月第二次质量检测数学(文)附答案
第Ⅱ卷 (90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题、 第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分. 把答案填在
在其《九章算术注》中利用出入相
理给出了这个问题的一般解法：如
方” 问勾 刘徽 补原 图 1，
用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的 分成两个直角三角形，每个直角三 再分成一个内接正方形(黄)和两
矩形 角形 个小
直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 a b ，宽为
D. 2
2x y 4 0，
3.若实数
x
，
y
满足约束条件
x
y
4
0，
则 z 2x y 的最小值是
3x 2 y 3 0，
A.16
B.7
C.-4
D.-5
4.已知数列 an 是等差数列，若 a2 2 ， S6 39 ，则 a7
A.18
B.17
C.15
D.14
5.在平行四边形 ABCD 中，若 DE EC ， AE 交 BD 于 F 点，则 AF
合肥市 2020 届高三第二次教学质量检测 数学试题(文科)
(考试时间：120 分钟 满分：150 分)
第Ⅰ卷 (60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1.若集合 A 1，3，5，7 ， B x 2x 8 ，则 A B
合肥市2020届高三第二次教学质量检测(理科数学)详细解析
x x
y1 ，
∴ 的分布列为
60x y1
60
3 4
x
x
y1
60 x x y1
p
0.4
0.4
0.2
E
0.4 60x
y1
0.4
60
3 4
x
x
y1
0.2 60
x x
y1
2 3
x3
15 2
x2
50x
160
.
………………………………9 分
设f
x E
2 3
x3
15 2
x2
50x
160
，0 x 20 ，∴ f x 2x2
15x 50 .
f x 0 0 x 10 ， f x 0 10 x 20 .
高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）
设平面 DFE 的一个法向量为m x，y，z .
由 FFDE
m m
0 0
得 xxzy00
.
令 x 1 ，则 y 1，z 1 ，∴m (1，1，-1).
由平面 ADF 是坐标平面 xMz 可得：平面 ADF 一个法向量为n (0，1，0).
由(1)知，MD 平面 ABEF ，∴MA，MP，MD 两两垂直.
以M 点为坐标原点，直线MA，MP，MD 分别为坐标轴建立空间直角坐标系M xyz ，如图.
设AF 2 ，则 D (0，0， 1)， A (1，0，0)， P (0，1，0)， F (-1，0，0)， ∴ FD (1，0，1)， FE AP (-1，1，0).
∵b1 b2 b3 bn 2 2 2 2 ，∴b1 b2 b3 bn1 2 2 ( n 2 )，
安徽省合肥市2024届高三下学期二模试题 数学含答案
2024年合肥市高三第二次教学质量检测数学（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()U A B = ð（）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x <≤C ．{}2x x >D ．{}12x x ≤<2．已知i2i z z-=+，则z =（）A ．12B ．22C ．1D ．23．设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（）A ．,,a b a b αβ∥∥∥B ．,,a b a b αβ⊥⊥⊥C ．,,a b a bαβ⊥⊥∥D ．,,a b a αβ∥∥与b 相交4．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（）A ．164B ．332C ．532D ．15645．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（）A ．125125122T T -+=B ．125125122T T +=C ．22125125122log log T T -+=D ．22125125122log log T T +=6．已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A ．(]),4-∞-+∞B ．[]1,1-C ．(-D ．⎡-⎣7．记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC △面积的最大值为（）A ．1+B ．1+C ．D ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y 轴于点E ，且23PF PE = ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．12+B ．1+C ．1+D ．2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,C x a y a R -+-=∈，则（）A ．两圆的圆心距OC 的最小值为1B ．若圆O 与圆C 相切，则a =±C ．若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则a -<<D ．若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为210．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A ．11n nS S qS +=+B ．对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C ．对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D ．若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<<11．已知函数()sin sin sin 66f x x x ππ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数51122y f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数C ．当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点D ．设数列{}n a 是首项为6π，公差为6π的等差数列，则()1202420272i i f a ==-∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在6x ⎛- ⎝的展开式中，3x 的系数为_________．13．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM = ，则AM =_________．14．已知实数,,x y z，满足20y z +-=，则+++的最小值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD．（1）求三棱锥M ABC -的体积；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．16．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，短轴长为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．17．（15分）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．（1）证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,Nμσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()17,18,19P X μσμσ-≤≤+≈．18．（17分）已知曲线():e e x x C f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．（1）求直线l 的方程；（2）证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；（3）设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--．19．（17分）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．（1）计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；（2）设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；（3）证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．2024年合肥市高三第二次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．A 2．B 3．C4．C5．B6．D7．A 8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．AD10．ACD11．BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1513．14．+四、解答题：本题共5小题，共77分．15．解析：（1）如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为PAD △是正三角形，所以PO AD ⊥．又因为平面PAD ⊥底面,ABCD PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，且PO =又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD 的距离为2，1222sin 23ABC S π=⨯⨯⨯=△所以三棱锥M ABC -的体积为11322=．（2）连接,BO BD ，因为3BAD π∠=，所以ABD △为等边三角形，所以BO AD ⊥，以O 为原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(()()(),1,0,0,0,,2,P A B C -，所以(()33331,,,,,3,3,2,0,02222M AM PB BC ⎛⎫⎛-=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭．设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33020z x -=-=⎪⎩，取1z =，则1y =，所以()0,1,1n =．设AM 与平面PBC 所成角为θ，则33sin cos ,11AM n θ== ．即AM 与平面PBC 所成角的正弦值为3311．注：其他解法酌情赋分．16．解析：（1）因为23b =，所以3b =31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入22213x y a +=得21314a +=，解得24a =，故粗圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意可设()()1122:1,,,,l x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=，所以12122269,3434t y y y y t t +=-=-++，又因为()2,0A -，所以直线PA 的方程为()1122y y x x =++，令4x =，则1162yy x =+，故1164,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，从而()()112112126662,413333y y y x k k ty ty +===-++，故()()()212121222212121222363643419189333993434y y y y t k k t t ty ty t y y t y y t t -+===-+++++--+++．注：其他解法酌情赋分．17．解析：（1）()()222111n mi i i i s x z y z m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()22111n mi i i i x x x z y y y z m n ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()()()2222111()2()()2()n mi i i i i i x x x z x x x z y y y z y y y z m n ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎨⎬⎣⎦⎣⎦+⎩⎭∑∑()()()123112()2()2()0nni i n i i x x x z x z x x x z x x x x nx ==--=--=-++++-=⎡⎤⎣⎦∑∑ ,同理()12()0nii yy y z =--=⎡⎤⎣⎦∑．所以{}222221()(x y s n s x z m s y z m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+（2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为z ，方差记为2s ，则()13010020909650z =⨯+⨯=，所以{}222130256(10096)20361(9096)32250s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦18≈，所以18s ≈．即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．（3）由（2）知96,18μσ==，所以全年级学生的考试成绩X 服从正态分布()296,18N ，所以()()961896180.68,960.5P X P X -≤≤+≈≥=．()(7896)(96114)0.34,114(78)0.16P X P X P X P X ≤<=≤<≈≥=<≈．故可将114X ≥定为A 等级，96114X ≤<定为B 等级，7896X ≤<定为C 等级，78X <定为D 等级．注：其他解法酌情赋分．18．解析：（1）因为()e e x x f x x =-，所以()()()10,e ,1e x f f x x f =-''==-，所以直线l 的方程为：e e y x =-+（2）令()e e e e x x g x x x =-+-+，则()e e e e e e x x x x g x x x =--++=-+'，令()()h x g x ='，则()()1e x h x x +'=，由()0h x '>，解得1x >-，由()0h x '<，解得1x <-，所以()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，当x →-∞时，()()e,10h x h →-=，所以()g x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =等号成立，所以除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．（3）由()e 0x f x x '=->，解得()0,e 0x x f x x <=-<'，解得0x >，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，()()max ()01,10f x f f ===，当x →-∞时，()0f x →．因为()()1212,f x f x t x x ==≠，则01t <<，不妨令120,01x x <<<．因为曲线C 在()1,0点的切线方程为()e e x x ϕ=-+，设点()3,x t 在切线上，有()3e 1t x =--，由（1）知()0,1x ∈时，()()x f x ϕ>，则()()()223x f x t x ϕϕ>==，即231etx x <=-+，要证：1221etx x t +<--，只要证：121121e et tx x x t +<+-<--，只要证：122x t <-，又111e e x xt x =-，只要证：11112e 2e 2x xx x <--，令()2e 2e 2,0xxF x x x x =---<，则()2e 1xF x x '=--，易证()F x '在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以()()2110eF x F ≤-=-'<'，所以()F x 在(),0-∞上单调递减，所以()()00F x F >=成立，所以原命题成立．注：其他解法酌情赋分．19．解析：（1）由定义知，1224122||max max ,112124233t PQ ⎧⎫--⎪⎪⎧⎫===⎨⎨⎬+-+-⎩⎭⎪⎪⎩⎭；（2）设(),P x y 是以原点O 为圆心，以12为半径的t -圆上任一点，则1max ,112x y x y⎧⎫⎪⎪=⎨⎬++⎪⎪⎩⎭．若1112y x y x ≤=++，则1,1x y =≤；若1112x y x y ≤=++，则有1,1y x =≤．由此可知，以原点O 为圆心，以12为半径的t -圆的面积为4（3）考虑函数()()01t f t t t =≥+．因为()210(1)f t t ='>+，所以()f t 在[)0,+∞上单调递增．又131223x x x x x x -≤-+-，于是1312231223131223122312231111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+---≤=++-+-+-+-+-+-+-1223122311x x x x x x x x --≤++-+-，同理，131223131223111y y y y y y y y y y y y ---≤++-+-+-．不妨设1313131311y y x x y y x x --≤+-+-，则13122313131223111t x x x x x x PP x x x x x x ---=≤++-+-+-1212232312122323max ,max ,1111x x y y x x y y x x y y x x y y ⎧⎫⎧⎫----⎪⎪⎪⎪≤+⎨⎬⎨⎬+-+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭1223t tPP P P =+注：其他解法酌情赋分．。
安徽省“江南十校”2020届高三数学下学期4月综合素质检测试题文(含解析)
y2 c2
1
，
设点 Q 的坐标为(x,y) ,则 x2 2c2 2 y2 ，
所以
| PQ |
x2
y
c 2 2
2c2
2y2
y
c 2 2
y2 cy 9 c2 4
y
c 2
2
5 2
c2„
10 c
2
d 10 c, d 10
所以
2
c 2.
故选：C
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，利用二次函数求最值，考
s 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 ,i 6
55555 2345
，结束循环，
故输出
s=
1 5
(1
2
3
4
5)
1
1 2
1 3
1 4
1 5
3
137 60
43 60
，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.
9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写成两
，
所以所给四个编号符合条件的是 k 19 时，19 25 (19 1) 469 号.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了系统抽样的概念和性质，属于中档题.
cos
a
3 sin
6.已知 5 ，则 5 （ ）
A. a 1 a2
B. a 1 a2
C. 2a 1 a2
D.
2a 1 a2
【答案】C
【解析】 【分析】 根据诱导公式及正弦的二倍角公式求解即可.
所以 sin C 2sin C c os C .
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A．
1 2
, 3
B．
1 2
,1
C．
3,
1 2
D． 2, 3
2.欧拉公式 ei cos sin 把自然对数的底数 e ，虚数单位 i ，三角函数 cos 和sin 联系在一起， 充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足 (ei i)z i 则 z
题卡上的相应位置.
13.已知向量 a和b 满足 a =｜a 2b｜＝ 2, a b ＝1, 则 ab _________.
14.三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者，在某次三人制 足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加。甲、乙丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的 一个人。若由甲开始发球（记为第一次传球），则第 4 次传球后，球仍回到甲的概率等于_________.
产品的年度总成本
y1（万元）为
y1＝
1 3
x3
8x 2＋10x＋160
，实行方案
B
时新产品的年度总成本
y2（万元）
为
y2＝
1 3
x3
3x 2＋20x＋100
.已知
p＝0.2,
x
20
.若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销
和滞销时，新产品的单价 t （元）分别为 60，60 3 x, 60 x ，且生产的新产品当年都能卖出去试问:当 x 4
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安徽省合肥市 2020 届高三数学 4 月第二次质量检测试题 理
（考试时间:120 分钟满分:150 分） 第 I 卷（满分 60 分）
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲
已知不等式 x 1 ＋ 3x 5 ＜m 的解集为（ 3 , n） 2
（1）求 n 的值；
（2）若三个正实数 a,b, c 满足 a＋b＋c＝m ，证明: b2＋c2 ＋c2＋a2 ＋a2＋b2 2 .
a
b
c
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某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择:方案 A 是报废原有生产线，重建一条新的 生产线；方案 B 是对原有生产线进行技术改造,由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生 变化.该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表:
三个扶贫项目的意向如下表:
扶贫项目
A
B
C
贫困户
甲、乙、丙、丁
甲、乙、丙
丙、丁
若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则
不同的选法种数有
A． 24 种
B． 16 种
C． 10 种
D．8 种
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9.几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示已知半球的半径为 6 ，则当此几何体体
A． y ex
B．
y ex e
5.若 m cos 80＋ 3 tan10＝1 ，则 m＝
C． y ex e
D． y (2e 1)x 2e 1
e
e
A． 4 B．
2 C．
2
D． 4
6.已知函数
（f x）＝tan（x＋）（＞0，0＜＜
）的图象关于点（
，0）成中心对称，且与直线
2
6
A． 2 ln 3, 2 ln 2 B． , 2 ln 2 C． , 2 ln 3
D．, 2 ln 3
12.在三棱锥 P ABC 中，二面角 P AB C、P AC B和P BC A 的大小均等于 ， 3
AB : AC : BC＝3 : 4 : 5 ，设三棱锥 P ABC 外接球的球心为 O，直线 PO 与平面 ABC 交于点 Q，则 PO OQ
1
A．
B．
2 C．
3 D．4
4
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、
第（23）题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.把答案填在答
A．
1
B．
2
2
C．
3
2
D． 2
2x y 4 0
3.若实数
x，y
满足约束条件
x
y
4
0
则 z＝2x y 的最小值是
3x 2 y 3 0
A． 5
B．
4 C． 7 D．16
4.已知 （f x）为奇函数，当 x＜0 时， （f x）＝ex ex 2 （ e 是自然对数的底数）则曲线
y＝（f x）在 x＝1处的切线方程是
取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 （f x）＝ex sin x （ e 是自然对数的底数）
（1）求 （f x）的单调递减区间
（2）记 g（x）＝（f x） ax, 若0＜a＜3 ，试讨论 g（x）在 (0, ) 上的零点个数.（参考数据 e 2 4.8 ）
18.（本小题满分 12 分）
如图（1），在矩形 ABCD 中，E，F 在边 CD 上， BC＝CE＝EF＝FD 沿 BE, AF 将△CBE 和△DAF 折起，使
平面CBE和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，如图（2）
（1）试判断图（2）中直线 CD 与 AB 的位置关系，并说明理由； （2）求平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值 19.（本小题满分 12 分）
请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分，
作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程
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在直角坐标系
xOy
中，曲线
y＝a 的两个相邻交点间的距离为 ，则下列叙述正确的是
2
A.函数 （f x）的最小正周期为
B.函数 （f x）图象的对称中心为 (k＋ ，0（) k Z） 6
C.函数 （f x）的图象可由 y＝tan 2x 的图象向左平移 得到 6
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D.函数
tan B
三、解答题:本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 12 分）
已知等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn ， a2＝1, S7＝14 ，数列｛bn｝满足
n2 n
b1b2 b3 bn＝2 2 （1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；
（2）若数列｛cn｝满足 cn＝bn co（s an），求数列｛cn｝的前 2n 项和 T2n .
市场销售状态
畅销
平销
滞销
市场销售状态概率
2p
（0＜p＜1）
13p
p
预期平均 方案 A
700
400
400
年利润（单
位:万元） 方案 B
600
300
100
（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问:该企业应选择哪种方案？
（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为 x （万件），通过核算，实行方案 A 时新
C
的参数方程为
x y
3 cos 12 cos 5
4
sin 9 sin 5
(为参数）.以坐标原点
O
为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 i（n ＋ ）＝ 3 . 3
（1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，M（2，0），求 MP ＋ MQ 的值
由刘构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图 3.设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接正
方形对角线 AE，过点 A 作 AF BC 于点 F，则下列推理正确的是
①由图
1
和图
2
面积相等得
d＝
ab ab
②由 AE AF 可得 a2 b2 a b
2
2
③由 AD AE 可得
（f x）的递增区间为
k 2
3
, k 2
6
(k
Z)
7.《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘
徽在其《九章算术注》中利用出相补原理给出了这个问题的一般解法:如图 1，用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、 青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 a＋b ，宽为内接正方形的边长 d ,
a2 b2 2
2
11
ab
④由 AD AF 可得 a2 b2 2ab
A． ①②③④
B． ①②④
C． ②③④
D． ①③
8.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A，B，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对
该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择 A，B，C