6三章复变函数的积分
第三章复变函数的积分
§1. 复积分的概念
一.复积分的定义与计算
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑>曲线,
如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向>, 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.
如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A 就是曲线C的负向,
定
义：设C为z平面上一条以A为起点，以B为终点的简
单光滑曲线，复变函数在C上
有定义.在曲线C上任取将C分为n
个小弧段，<，）在
每个小弧段上任取一点，作和式
设若当时，该式的极限存在，且
与小弧段的分法及的取法无关，则称此极限值为
复变函数在C上从A到B的复积
分，记作；若曲线方向改为由B到A,则积分
记作；当C为简单闭曲线时，则此积分记
作.<规定逆时针方向为C的正向）
定理
1设在光滑曲线C上连续，
则积分存在，且为
<注：上式在形式上可看做函数与微分
相乘后得到的，这样便于记忆）特别地，若C的参数方程为：
<），则有
例1 计算，其中C是如图所示：
<1）从点1到点i
的直线段；
<2）从点1到点0
的直线段，再从点0到点的直线段i
的直线段
所连接成的折线段
=
+.
例2
x
1
i
y
计算，其中n为任何整数，C为以
为中心，r为半径的圆周.
例3计算其中C为从原点到点3+4i的直线段.
二.复积分的基本性质
(1> ；
(2> ；
(3> 。
(4> , 其中；
(5> .<积分估值）
例4
设C为从原点到点3+4i的直线段，试求积分
模的一个上界。
例5试证：.
§2. 柯西积分定理
定理2<柯西定
理）设函数在单连通域D内解读，
则在D内任一简单闭曲线C上的积
分一定为零，即
.
注：当积分曲线C为一般闭曲线时结论依然成立. 定理3设函数在单连通域D内解读，
为D内任意两点，为连接的
且完全含于D内的两条简单曲线，则
.
例6计算积分其中C是圆周
的上半圆周从0到2.
例7
定理4 <闭路变形原理）设是两条简单
闭曲线，含于的内部.在
所围成的二连通域内解读，且在闭域
上连续，则
.
其中均按逆时针方向取向.
推论<复合闭路定理）设C为多连通域D内的一条简单闭曲线
，是在C内部的简单闭曲线，它
们互不包含也互不相交，且以
为边界的区域全部含于D.如果在D内
解读，则有
，
其中均按左手法则取正向. 例8
计算其中C为包含0与1的简单闭
曲线.
定义：若函数在单连通域D内解读，为
D内任意定点，为D内任意动点，
C为以为起点，以为终点，且全部含
于D内的简单曲线，由积分所
确定的复变函数
称为在单连通域D内以为起点的变上限积分<或不定积分），即
.
定理5若函数在单连通域D内解读，那么，变上限积分所确定的函数
也在D内解读，且.
定
义：设在单连通域D内，若函数恒
满足，则称是的一
个不定积分或原函数.
定理6 <复积分的牛顿——莱布尼兹公式）
设函数在单连通域D内解读，是
的一个原函数，则
，
其中为D内的点.
例8 计算积分均为有限复数. 例9 计算其中C是从-i到i的直线段.
§3. 柯西积分公式
问题:
根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线C 的变化而改变,求这个值.
定理7<柯西积分公式）设
函数在简单闭曲线C所围成的区域内解读，在上连续，为D内任意一点，则
.
关于柯西积分公式的说明:
(1>
把函数在C内部任一点的值用它在边界上的
值表示. (这是解读函数的又一特征>
(2>
公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积
分的一种方法,
而且给出了解读函数的一个积分表达式.(这
是研究解读函数的有力工具>
(3> 在复积分中，称为柯西积分. 推论1<平均值公式）设
函数在圆域内解读，在圆周
上连续，则
.
即在圆心的值等于它在圆周上的算术平均值.
推论2设
函数在简单闭曲线所围成的二
连域D内解读，并在上连续，在
的内部，为D内任意一点，则
.
其中均取逆时针方向.
例10 求下列积分的值:
(1>(2>
例11
计算积分其中C为不经过0
及1点的简单闭曲线.
例12
定理8<最大模原理）
设函数在区域D内解读，又在区
域D内不为常数，则在D内,没有最
大值.
推论1
在区域D内解读的函数，若其模在D的内
点达到最大值，则此函数必为常数.
推论2若函数在区域D内解读，在上连续，
则必在D的边界上达到最大值.
最大模原理说明了解读函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模.这也是解读函数所特有的性质.
例13
设函数f(z>在全平面解读，又对任意r>0,令
求证：M(r>是r的单调上升函数.
§4. 解读函数的高阶导数
定理9设
函数在简单闭曲线C所围成的区
域D内解读，在上连续，
则
的各阶导函数均在D内解读，且
对为D内任意一点，有
说明:定理9的作用通常不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来计算某种类型的积分.
例14求下列积分的值:
(1>, (2>
例15
定理10 <柯西不等式）设函数在圆域
内解读，又
，则有不等式
恒成立.
在整个复平面解读的函数称为整函数，根据柯西不等式可以得到一个关于整函数的结论.
刘维尔定理有界整函数必为常数.
例16<代数学基本原理）在z平面上，n次多项
式
至少有一个零点.
第三章 复变函数的积分 第一节、柯西定理
第三章复变函数的积分 (Integration of function of thecomplex variable) 第一讲 授课题目：§3.1复积分的概念 §3.2柯西积分定理 教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理. 学时安排：2学时 教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定 积分的概念 教学重点：复变函数积分的计算问题 教学难点：柯西积分定理 教学方式：多媒体与板书相结合 P思考题：1、2、习题三：1-10 作业布置： 75 76 板书设计：一、复变函数积分的计算问题 二、柯西积分定理 三、举例 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育 出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社， 第二版）2005年5月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等
教育出版社，2008年4月. 课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分 2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方 法掌握不理想 3、利用课余时间多和学生交流 教学过程： §3.1 复积分的概念 (The conception of complex integration) 一、复变函数的积分的定义（Complex function of the
integral definition ） 定义（Definition ）3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中 ),...,2,1,0(n k y x z k k k =+= 在每个狐段上任取一点k k k ηξς+=，作和式 ))((11 -=-∑k n k k k z z f ς （1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξς+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作 =⎰C z z f d )())((lim 110-=→-∑k n k k k z z f ςλ
复变函数的积分习题与解答
第三章 复变函数的积分习题与解答 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系 【答案 单连通 无关，复连通 有关】 计算积分 ||z ?i 【答案 0】 计算积分 22d L z z a -?i :其中0a >．设 L 分别为 （1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+= 【答案 (1)0；（2）πi a ； (3)πi a -】 计算积分 Im d C z z ?，其中积分曲线C 为 （１）从原点到2i +的直线段； （２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-； （３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向） 【答案 2 (1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】 计算积分 d ||C z z z ?i 的值， (1)||2; (2)||4;z z == 【答案(1)4πi;(2)8πi 】 计算积分的值 π2i 0 cos d 2z z +? 【答案 1/e e +】 计算下列积分的值 （1） ||1d cos z z z =?i ；（2）2||2d z ze z =?i 21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++??i i 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi 4i +】 计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)cos (3)d ; (4)d (i)(2)d (5)d ; (6)(4)z z z z z z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+??????i i i i i i 【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π8-】 计算积分 （1）π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --??? 【答案 1 3(1)sin1cos1; (2)i; (3)1cos1i[sin(1)1]--+-】
3第三章 复变函数的积分3第三章 复变函数的积分
1 第三章 复变函数的积分 复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。 §3.1 复变函数积分的概念 1 积分的定义 复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为- C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤t t 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。 定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C ： )(t z z =，βα≤≤t ， 以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ， 把曲线C 分成n 个小弧段。在每个小弧段 上任取一点k ζ，作和 ∑=∆=n k k k n z f S 1 )(ζ， 其中1--=∆k k k z z z ，记{ } n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到 b ）的积分，并记为⎰=C dz z f J )(，即为 ∑⎰=→∆=n k k k C z f dz z f 1 )(lim )(ζλ 。 （3.1.1） C 称为积分路径，⎰C dz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰- C dz z f )(表示沿C 的负方向的积分。如果C 为有 向闭曲线，且正向为逆时针方向，那么沿此闭曲线的积分可记作 ⎰C dz z f )(。 2 复积分的性质 根据复积分的定义或根据下一段中定理3.1.1所述的复变函数积分和曲线积分之间的关系以及曲线积
(完整版)复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结 [键入文档副标题] acer [选取日期]
复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z =θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，Arg=argz+2k π 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。z=re i θ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2… n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k?1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k?1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0 时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫f(z)dz c =lim δ 0 ∑f(ξk )n k?1?z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0.
题3 答案
第三章 复变函数的积分 一、选择题： 1．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z z c ?+-2)1)(1(为( D ) （A ）2i π （B ）2 i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 根据c 是否包含奇点1与1-，有不同结果。 2．设c 为正向圆周21=z ，则=--?dz z z z c 23) 1(21cos ( B ) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π- 奇点1，2都在c 外。Cauchy-Goursat 3．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c ?+'+'') ()()(2)( ( C ) （A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 )(z f 处处解析则)()(z f n 处处解析 4．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-?c dz i a z z 2)(cos ( C ) （A ）ie π2 （B ）e i π2 （C ）0 （D ）i i cos i a -是常数，0cos )()(cos 22=-=-??c c zdz z i a dz i a z z 。 5．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线， 它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( C )
（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 两解析函数)(z f 与2)(≡z g 在曲线c 上重合，则他们就是同一个解析函数，即在其他点取 值一样。来自解析函数的唯一性定理。 6．下列命题中，正确的是( C ) （A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =。可以相差一个常数。 （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。反过来是对的。 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则x u ??为D 内的调和函数。 )(z f 处处解析则)()(z f n 处处解析, 解析函数x x iv u z f +=')(由两调和函数组成。 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。不一定满足CR 方程。 7．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( B ) （A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）x v i x u ??-?? ),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数意思是iv u z f +=)(解析，所以 v iu z if +-=-)(也解析。 二、填空题 1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=? c dz z 2 2 2．设c 为正向圆周14=-z ，则i dz z z z c π10)4(232 2=-+-? 留数或高阶导数公式 3．设c 为正向圆周3=z ，则 i dz z z z c π6=+?
复变函数教案第三章
章节名称：复变函数的积分 学时安排：6学时 教学要求：使学生掌握复变函数积分定义，会灵活运用柯西积分公式计算相关积 分，以及会利用解析函数性质求函数的共轭调和函数。 教学内容：复变函数积分定义，积分计算公式，柯西积分公式，高阶导数，以及 解析函数和调和函数关系 教学重点：柯西积分公式以及解析函数和调和函数的关系 教学难点：柯西积分公式 教学手段：课堂讲授 教学过程： 第三章 复变函数的积分 §1、复变函数积分的概念 1，有向曲线：设C 为平面上给定的一条光滑（或者按段光滑）曲线，如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向（或者正向），那么我们把C 理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。 2，积分：设函数)(z f =ω定义在区域D 内， C 为在区域 D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线。把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为 B z z z z z z A n k k ==-,,,,,,,1210 ， 在每个弧段 k k z z 1-),,2,1(n k =上任意取一点k ζ，并作和式 ∑∑==-?=-=n k k k n k k k k n z f z z f S 1 1 1)())((ζζ 这里1--=?k k k z z z 。记 k k k z z s 1-=?的长度，}{max 1k n k s ?=≤≤δ。当n 无限增加，且δ 趋于零时，如果不论对C 的分法及k ζ的取法如何，n S 有唯一极限，那么称这极限值为函数)(z f =ω沿曲线C 的积分。记作 k n k k C n z f dz z f ?=∑? =∞ →1 )(lim )(ζ。 注意：1）如果曲线C 为闭曲线，那么沿此闭曲线的积分记作?C dz z f )(。 2）当曲线C 是x 轴上的区间b x a ≤≤，而)()(x u z f =时，这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义。 3，积分存在的条件及其计算法：
第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分 复变函数的积分(简称复积分)是研究解析函数的有力工具,解析函数许多重要的性质都需要利用复积分来证明.本章主要介绍复变函数积分的定义、性质与基本计算方法，解析函数积分的基本定理——柯西-古萨定理及其推广，柯西积分公式及其推论以及解析函数与调和函数的关系.柯西-古萨定理和柯西积分公式是复变函数的理论基础，以后各章都直接地或间接地用到它们. §3.1 复变函数积分的概念 1.复变函数积分的定义 在介绍复变函数积分的定义之前，首先介绍有向曲线的概念.设平面上光滑或分段光滑曲线C 的两个端点为A 和B .对曲线C 而言，有两个可能方向：从点A 到点B 和从点B 到点A .若规定其中一个方向(例如从点A 到点B 的方向)为正方向，则称C 为 有向曲线.此时称点A 为曲线C 的起点，点B 为曲线C 的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B 到起点A 的方向则称为曲线C 的负方向，记作C -. 定义3.1 设C 为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A 为起点，B 为终点.函数f (z )在曲线C 上有定义.现沿着C 按从点A 到点B 的方向在C 上依次任取分点： A =z 0,z 1,…,z n -1,z n = B , 图3.1 将曲线C 划分成 n 个小弧段.在每个小弧段1k k z z -(k =1,2,…,n )上任取一点,k ξ,并作和式 1 ().n n k k k S f z ξ==∆∑ 其中1k k k z z z -∆=-.记λ为n 个小弧段长度中的最大值.当λ趋向于零时，若不论对曲线C 的分法及点k ξ的取法如何，n S 极限存在，则称函数f (z )沿曲线C 可积，并称这个极限值为函数f (z )沿曲线C 的积分.记作 1 ()d lim (),n k k k C f z z f z λ ξ→==∆∑⎰
第三章 复变函数的积分.doc
习题 3 第三章 复变函数的积分 1.（1）计算积分1 1z dz -?，积分路径是直线段 解：C: z=x,-1≤x ≤1因此， 1 1 z dz -? =1 1x dx -?=1 ()2计算积分1 1z dz -?,积分路径是上半单元圆周 解 c:i z e θ=,θ是从π变到0,因此 ()0 1 1 cos sin i i c z dz de i e d i d θθ π π θθθθ-===+=? ??? 2 2．（1）利用积分估值，证明()2 2c x iy dz 2+≤?，其中C 是连接-i 到i 的直线段。 证明：C: x=0,-1y 1≤≤ 因为()2222f z x iy iy y 1=+==≤ 而积分路径长为()i--i 2= 故 ()()i 2 2 2 2c i x iy dz x iy dz 12=2-+= +≤??? （2）利用积分估值，证明 22()c x iy dz π+≤? ，其中C 是连接-i 到i 的右半圆周. 证明：C ：221x y +=，0x ≥ 2244()()1f z x iy x y =+≤+≤，右半圆为长度为π。 22(())()C x iy f z L +≤? ，L π=； 即： 22(())1C x iy ππ+≤?=? 3.不用计算，验证下列积分之值为零，其中C 均为单位圆周z 1=。 ()c dz 1cos z ? 证：因为距离原点最近的奇点Z=2π± ，在单位圆z 1≤外部，所以1 cos z 在z 1≤上
处处解析，由积分柯西定理知 c dz 0cos z =? （2）2 56 z C dz z e z ++? 证： 2 (2)(3) 56 z z z z z e e z = ++++，因奇点2,3z =--在单位圆1z ≤外部，所以 2 22 z z e z ++在1z ≤处处解析。由柯西积分定理：2 056 z C dz z e z =++? 。 （3）2 cos C z dz z ? 证：因为2cos z z 在1z ≤上处处解析，由柯西积分定理知：2 cos 0C z dz z =? 。 4、求积分()d z z a z ? ++π20 2 182 解：由于()1822++=z z z f 在z 平面上解析， 所以在z 平面内积分与路径无关。 因此，选取最简单的路径为o 与a π2的直线段[]a π2,0, 则： ( ) a a a z z z dz z z a a πππππ2163 16432182223 320 2320 2++= ? ?? ??++=++? 7．（分布积分法）设函数f(z),g(z)在单连通区域D 内解析，αβ，是D 内两点，试证 ()()()()[()()]f z g z dz g z f z dz f z g z β β β α αα ''=-?? 证明：因为f(z),g(z)在单连通区域D 内是解析。故f(z)g(z)在[()()][()()]()()()() ()()()()()()[()()()()][()()]()()[()()](f z g z D f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z dz f z g z f z g z dz f z g z f z ββ α α β β αα ''''??=+''+''+=?''=?-?? 在内解析，且 仍解析。所以是的一个原函数。 所以 所以 )()g z dz β α ? 8.计算（C ：2z =） （1） 221 1 C z z dz z -+-?
第三章复变函数的积分(答案).doc
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设 C 为从原点沿 y 2 x 至 1 i 的弧段，则 ( x iy 2 ) dz [ ] C （ A ） 1 5 i （ B ） 1 5 i （ C ） 1 5 i （ D ） 1 5 i 6 6 6 6 6 6 6 6 2. 设 C 是 z (1 i)t ， t 从 1 到 2 的线段，则 arg zdz [ ] C （ A ） （ B ） i （ C ） 4 (1 i) （ D ） 1 i 4 4 3．设 C 是从 0 到 1 i 的直线段，则 ze z dz [ ] 2 C （A ）1 2 e （B ） 1 e （C ） 1 ei （D ）1 ei 2 2 2 4．设 f ( z) 在复平面处处解析且 i 2 i ，则积分 i z)dz [ ] f ( z)dz f ( i i （A ） 2 i （ B ） 2 i （C ） 0 （ D ）不能确定 二．填空题 1． 设 C 为沿原点 z 0到点 z 1 i 的直线段，则 2 z dz 2 。 C 2． 设 C 为正向圆周 | z 4 | 1 ，则 z 2 3z 2 dz 10 i. C (z 4)2 三．解答题 1．计算下列积分。 （ 1） 3 i e 2 z dz i 1 2 z 3 i e i 2 1 (e 6 i e 2 i ) 0 2
复数函数的积分
第三章 复数函数的积分 重点： 1．复变函数的积分的定义与计算方法 )dx ()()()1(iay iv u dz z f c c ++=⎰⎰ )vd ud ()v (x y i dy udx C ++-=⎰ 其中f(z)=u(z ，y)+iv(z ，y) (2)若曲线C 的方程为 ,),()()(βα≤≤+==t t iy t x t z z 则 由公式，得 dt t y t y t x v t x t y t x u dz z f c a )}()](),([)()](),([{)('-'=⎰⎰β ,)}()](),([)()](),([{dt t x t y t x v t y t y t x u i a '+'+⎰β 上式右端可以写成 dt t y i t x t y t x w t y t x u a )]()()]}[(),([)](),([{'+'+⋅⎰ β dt t t z z a )()]([f ⎰=β 因此复变函数的积分可利用公式 t )()]([)(t z t z f dz z f a r '=⎰⎰β 来进行计算．这是计算复变函数积分的参数方程法． 2．柯西定理 ,0)(=⎰dz z f C 其中，(z)在D 内解析，C 在D 内。 推论1 设函数，(z)在单连通区域D 内解析，则积分dz z f c )(⎰只与曲线C 的起点和终点有关，而与曲线C 无关。 推论2 设闭曲线C 是在单连区域D 的边界，函数，(z)在D 内解析，在C 上连续，则.0)(=⎰dz z f c (1)原函数与不定积分 设f(z)是单连通区域D 内的解析函数，则 ζζd f x F z x )()(0 ⎰= 也是D 内的解析函数，且).()(z f z F =' 若函数，(z)在区域D 内解析，)(z Φ是，(z)在D 内的一个原函数，21,z z 是D 内的两
复变函数 积分
复变函数积分 复变函数积分是高等数学中的一门重要的课程，它是微积分中不 可或缺的一部分。复变函数的积分在工程学、物理学、数学和其他科 学领域都有广泛的应用。 复变函数积分是一个涉及到复数的复杂问题。在实际应用中，计 算实数函数的积分时，我们只需要使用微积分知识来求其积分。但是，当函数中涉及到复数时，我们需要使用一些特殊的方法来求解它的积分。 复变函数的积分可以分为两类，一类是沿着一条曲线对函数进行 积分，这被称为曲线积分；另一类是在一个区域内对函数进行积分， 这被称为区域积分。 在曲线积分中，我们需要根据曲线的特征来将曲线分成若干个小段，然后再对每一个小段分别计算在该段上函数的积分。每一个小段 的长度越短，我们计算的结果就越准确。 在区域积分中，我们需要将整个区域分解成若干个小块，然后再 对每一个小块分别计算在该块上函数的积分。每一个小块的面积越小，我们计算的结果就越准确。 对于复变函数积分而言，最重要的概念是共形映射。共形映射是 指能够保持较小的弧长比例的映射。共形映射有很多应用，比如计算
区域积分时，我们可以利用共形映射把我们要计算的复变函数积分转化为一个已知的积分。 在计算复变函数积分时，我们还需要注意极点。一个复变函数的极点是指在某个点上该函数不连续并且不存在极限。对于一个带有极点的函数，我们需要将它分解成若干个小段，然后再对每一个小段分别进行积分。 最后，我们需要注意一些技巧。比如，我们可以使用洛朗级数来展开一个带有极点的函数，并将其转化为计算可能更加容易的项。此外，我们还可以使用Cauchy积分定理来计算复变函数积分，这是计算复变函数积分最重要的工具之一。 综上所述，复变函数积分是一门重要的课程，它与实际应用密切相关。在学习复变函数积分时，我们需要掌握曲线积分和区域积分，了解共形映射的概念，并掌握一些技巧，比如展开函数或使用Cauchy 积分定理。掌握这些知识和技巧，可以帮助我们更好地计算复变函数积分，解决实际问题。
第3章复变函数的积分
第3章 复变函数的积分 3.1 复变函数积分、柯西积分定理与解析函数的导数 复变函数的积分本质上是二元函数的第二类线积分. 积分时用到⎰⎰⎰--- === π π π π π π θθθπθθθθ0d sin cos ;d cos sin 2 2d 3-1 设C 是i e z θ=，θ从π-到π的一周，则R e()d C z z =⎰（ ）. （A ）-π （B ）π （C ）-πi （D ）πi 解 c o s ,s i n ,R e ()c o s ,d (s i n i x y z z θθθθθθ====-+ 故 ππ 2 π R e ()d c o s s i n d i c o s d πi.C z z π θθθθθ--= - +=⎰ ⎰ ⎰ 选（D ）. 3-2 ||1 sin πd 21 z z z z ==+⎰ （ ）. （A ）2πi （B ）2πi - （C ）πi （D ）πi - 解 原式12 sin πz 2πi πi.2 z =- ==- 选（D ）. 这些题均可用留数做，在这里是为了熟悉柯西积分公式及复合闭路定理. 3-3 2 ||1 c o s 2π d 861 z z z z z ==++⎰ （ ）. （A ）0 （B ）πi （C ）πi - （D ）2πi 解 2861(41)(21)z z z z ++=++，在||1z <内被积函数有2个奇点：12 z =- 和 14 z =- ，故 原式114 2 πi cos 2πcos 2ππi π.2 2+1 41 z z z z i z z =- =- =+=+ 选（B ）. 3-5 2 2|1|3 sin πd 231 x z z z z += =++⎰ （ ）. （A ）0 （B ）πi （C ）2πi （D ）2πi - 解 1z =-和12 z =-都是奇点，故 原式11 2 sin πsin π2πi πi 2πi 2+1 1 z z z z z z =-=- =+=+. 选 （C ）. 高阶导数公式. 3-6 3 ||1e d z z z z ==⎰ （ ）.
第三章复变函数的积分
第三章 复变函数的积分 §1. 复积分的概念 一. 复积分的定义与计算 设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A 到B 作为曲线C 的正向, 那么B 到 A 就是曲线C 的负向, 定义： 设C 为z 平面上一条以A 为起点，以B 为 终点的简单光滑曲线，复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上有定义.在曲线C 上任取B z z z A n == ,,10将C 分为n 个小弧段，（k k k y i x z +=，k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1）在每个小弧段上任取一点k k k i ηξς+=，作和式 (),z f S n k k k n ∑=∆=1ς 设,max k z ∆=λ若当0→λ时，该式的极限存在，且与小弧段的分法及k ς的取法无关，则称此极限值为复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上从A 到B 的 . - C 记为
复积分，记作()⎰c dz z f ；若曲线方向改为由B 到A ,则积分记作 ()⎰ - c dz z f ；当C 为简单闭曲线时，则此 积分记作()⎰c dz z f .（规定逆时针方向为C 的正向） 定理1 设()()()y x v i y x u z f ,,+=在光滑曲线C 上连续，则积分()⎰c dz z f 存在，且为 ()()()()().,,,,⎰⎰⎰++-=c c c dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f （注：上式在形式上可看做函数()v i u z f +=与微分 y i x dz +=相乘后得到的，这样便于记忆） 特别地，若C 的参数方程为：()()()t y i t x t z += （()()B b z A a z ==,），则有 ()()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()() ()()()()()()[]()()[]()[](). ,,,,,,,,,,dt t z t z f dt t y i t x t y t x v i t y t x u t dy t y t x u t dx t y t x v i t dy t y t x v t dx t y t x u dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f b a b a b a b a c c c '='+'+=++-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
复变函数的积分方法
复变函数的积分方法 一、引言 复变函数是数学中的重要概念，它与实变函数有着很大的区别。复变函数的积分方法是研究复变函数在复平面上的积分性质和计算积分值的方法。本文将介绍一些常见的复变函数的积分方法。 二、复变函数的积分定义 在复变函数中，积分是对函数的一种运算，类似于实变函数中的积分。复变函数的积分定义如下： 设f(z)是定义在复平面上的一个函数，如果存在一个复数C，使得对于给定曲线γ上的任意两个点A和B，都有： ∫[A,B]f(z)dz = C 那么我们就说f(z)在曲线γ上是可积的，并且称C为f(z)沿曲线γ的积分。 三、复变函数的积分方法 1. 直线积分 直线积分是最常见的一种复变函数的积分方法。它是沿着一条直线对复变函数进行积分。直线积分的计算方法是将直线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个直线的积分值。
2. 曲线积分 曲线积分是复变函数的另一种常见的积分方法。它是沿着一条曲线对复变函数进行积分。曲线积分的计算方法是将曲线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个曲线的积分值。 3. 围道积分 围道积分是复变函数的一种特殊的积分方法。它是沿着一个围道对复变函数进行积分。围道积分的计算方法是将围道分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个围道的积分值。围道积分的计算方法比直线积分和曲线积分要复杂一些，需要使用复变函数的柯西-黎曼积分定理等相关定理。 四、复变函数的积分应用 复变函数的积分方法在数学和物理中有着广泛的应用。它可以用来计算复变函数的积分值，求解一些特殊的微分方程，研究复杂的物理现象等。 在数学中，复变函数的积分方法可以用来计算复变函数的奇点，判断函数是否解析，计算函数的留数等。 在物理中，复变函数的积分方法可以用来计算电场、磁场等物理量的积分，求解电磁场的边界值问题，研究光学现象等。
复变函数的积分柯西定理
第三章 复变函数的积分 §3-1复变函数的积分 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】 复变函数积分的定义： 设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,, ,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段 [1k k z z -]上任取一点k ξ作和数： ()()()11 1 n n n k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=- 如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式 ()1 n k k k f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这 一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分: ()()1 lim lim n n k k C n n k f z dz S f z ξ→∞ →∞ ===∆∑⎰ ， C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。 若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()C f z dz ⎰ . (围道积分) 几点说明： 1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。(与我们以前
在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。) 2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是 ()()()(),,C C f z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤ =-++⎣⎦⎣⎦ ⎰⎰， 所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。 3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质： （1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。 （2）()()()()11221122C C C a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰，1a 、2a 为复常数。 （3）()()()1 2 C C C f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰, 其中积分路径C 由路径1C 、 2C 连接而成。 （4）()()C C f z dz f z dz - =-⎰⎰, C - 表示与C 方向相反的同一 条曲线。 4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分()C f z dz ⎰时必须先规定积分路径的环绕方向（因为：()()C C f z dz f z dz - =-⎰⎰ ）。 以后 凡遇围道积分，如不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。 ( C 为逆时钟方向，C - 代表顺时钟方向)
第三章 复变函数的积分习题解答
1. 计算积分 ()2 C x y ix dx -+⎰,其中 C 原点到1i +的直线段. 解 设直线段的方程为 y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤故 ()()1 2 2 1 23 10 0() 1 1 (1)(1)(1)3 33 C x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰ 2. 计算积分 ()1C z dz -⎰,其中积分路径 C 为 (1) 从点O 到1i +的直线段 (2) 沿抛物线2 y x =,从点O 到1i +的弧段 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 11()C z dz x ix d x ix i -=-++=⎰⎰ (2)设2z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 22 211()3 C i z dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰ 3. 计算积分 C z dz ⎰,其中积分路径 C 为 (1) 从点i -到i 的直线段 (2) 沿单位圆1z =的左半圆周,从从点i -到i (3) (3) 沿单位圆1z =的右半圆周,从从点i -到i 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤ 1 1 1 1 C z dz ydiy i ydy i --===⎰⎰ ⎰ (2)设i z e θ=. θ从 32π到2 π 2 2332 2 12i i C z dz de i de i π π θ θ ππ===⎰⎰ ⎰ (3) 设i z e θ=. θ从 32π到2 π 232 12i C z dz de i π θ π==⎰⎰
6. 计算积分()sin z C z e z dz -⋅⎰,其中C 为0z a =>. 解 ()sin sin z z C C C z e z dz z dz e zdz -⋅= -⋅⎰⎰ ⎰ ∵sin z e z ⋅在z a =所围的区域内解析 ∴ sin 0z C e zdz ⋅=⎰ 从而 ()20 22 sin 0 z i C C i z e z dz z dz adae a i e d π θ π θθ-⋅= ===⎰ ⎰ ⎰⎰ 故 ()sin 0z C z e z dz -⋅=⎰ 7. 计算积分 2 1 (1) C dz z z +⎰ ,其中积分路径C 为 （1）11: 2 C z = （2）2 3:2 C z = （3）3 1:2 C z i += （4）4 3:2 C z i -= 解：（1）在12 z = 所围的区域内， 2 1(1) z z +只有一个奇点0z =. 121 11111 ()2002(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -⋅-⋅=--=+-+⎰ ⎰ （2）在2C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.故 221 11111()20(1) 22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ= -⋅-⋅=--=+-+⎰ ⎰ （3）在2C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故 321 11111()00(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -⋅-⋅=--=-+-+⎰ ⎰ （4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,故 421 11111()2(1) 22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ= -⋅-⋅=-=+-+⎰ ⎰ 10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) 20 cos 2 i z dz π+⎰ (2) z i e dz π --⎰ (3) 21 (2)i iz dz +⎰
复变函数的积分总结
复变函数的积分总结 1. 复变函数的积分你们拿到一道题是怎样去考虑的 首先看积分曲线是不是闭曲线，不是闭曲线的话只能用最一般的方法做，就是用复数的各种表达式进行转化，假如是闭曲线，就有很多很好的方法.这是要找出函数全部不解析的点，看闭曲线内部有没有不解析的点，假如没有，依据柯西古萨基本定理，这个积分就等于0，假如有不解析的点，先看被积函数的表达式，假如是简洁的f(z)dz/(z-z0)形式的可使用柯西积分公式（某些较简单的形式往往可以通过变形变成这种形式），否则就要用留数定理计算了，这就需要进一步确定奇点的类型（可去，极点，本性），然后依据相应的法则求出各奇点的留数，再用留数定理求积分.。 2. 复变函数求定积分 用留数定理做。 曲线C:(x-2)^2+y^2 = 4 以（2,0）为中心，半径为2的圆周由柯西积分定理，假如在闭合的积分曲线内没有孤立极点，则积分值为零。下面就需要在C内查找被积函数的极点（使分母为零），分别是z = 2, z = pi/2；注：都是一级极点 Res[f(z),a] = lim (z-a)f(z)则I = 2*pi*i*[Res(f(z),2) + Res(f(z),pi/2)] = 2*pi*i*( 1/(4cos2) + 1 / (pi^2/4-4) )。 3. 复变函数的积分
前一个积分可化为（用z(z共轭)=|z|²=4) 这个积分在n=0时=8πi，在n≠0时=0 后一个积分即 当n=2时，=2πi，当n≠2时=0，所以要让他们相等 n≠0且n≠2 4. 求复变函数的积分 高校的？我是数学专业的你们这应当是一门课吧？你参考下吧复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就消失了负数开平方的状况。 在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的进展，这类数的重要性就日益显现出来。 复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。 解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论次要就讨论复数域上的解析函数，因而通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的进展简况复变函数论产生于十八世纪。 1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。 因而，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼讨论流体力学时，
复变函数的积分例题及解析
复变函数的积分例题及解析 复变函数的积分是初中数学中的一项重要内容，它主要是应用微积分的知识来解决实际问题。复变函数的积分包括：定积分、变量替换法以及椭圆定积分等多种方面。本文将以定积分为例，来详细讲解复变函数的积分。 首先，我们来看看定积分是如何计算的。首先，我们要了解定积分是指根据某个函数在某个区域内的积分。其中，当我们求解定积分时，需要准确定义函数的范围，积分的上下限，以及总体的积分的表达式。通常，当我们求解定积分时，我们要首先计算函数的一阶导函数，其次，确定需要求解的上下限，最后，将函数的一阶导函数代入积分表达式，利用数学软件或者计算器来求解积分。 接下来，我们来看看定积分的实际例题：求解：∫cosx2dx。首先，我们需要确定函数的上下限，这里我们可以设置上下限为0到2π。其次，我们要计算cosx2的一阶导函数，其结果为：-sin((x+1)/2)。最后，将函数与其一阶导函数代入积分表达式，并使用数学软件或计算器等工具来求解积分。 此外，另一种积分方法即变量替换法也是一种常用的方法，它的基本思想是使用特定的变量替换原来的变量，以期求解更为方便。例如，求解：∫cosx√2-sin2xdx。首先，我们需要确定函数的上下限，这里我们可以设置上下限为0到2π。其次，我们可以设置一个新变量替换原来的变量，这里我们可以设置替换变量为u=√2-sin2x，并把原来的变量转换为u的函数，这里我们可以得到x=arcsin（√2-u），
这时我们可以得到新的函数：cosarcsin（√2-u）du。最后，使用数学软件或者计算器来求解积分即可。 最后，我们再来看看椭圆定积分的例题：求解：∫6x-xdx。首先，我们需要确定函数的上下限，这里我们可以设置上下限为0到2。其次，我们需要将原始函数转换为椭圆函数，这里我们可以将椭圆变形为：X=3cosθ，Y=2sinθ。这时，我们可以将原来的函数转换为椭圆函数，即：f（x,y）=6x-x2，Y=2sinθ。最后，使用数学软件或者计算器来求解积分即可。 以上就是本文关于复变函数的积分的相关内容，以及定积分、变量替换法以及椭圆定积分的实例，希望能够给读者带来帮助与启发。复变函数的积分必须熟记数学规则，并且要精确准确的计算出积分的结果，最后，在求解实际问题时，要根据不同的情况来选择不同的积分方式，认真求解，取得满意的结果。