高中数学《均值不等式及其应用》针对练习及答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）
针对练习
针对练习一 均值不等式的内容及辨析
1．
,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2
2
21a b a b +>-- B ．2
2a b a b
+≥
C ． 2
a b
+≥D ．2
2a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）
A ．2
a b
a b +>>>B ．2
a b
a b +>>
C ．2a b
a b +>>> D ．2
a b
a b +>>
>
3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．4
4a a
+≥
C ．22
1242a a ++
≥+ D ．224
4a a
+≥
4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．
A ．如果a b >，b c >，那么a c >
B ．如果0a b >>，那么22a b >
C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立
D ．如果a b >，0c >那么ac bc >
5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）
A
．2
112a b a b
+≤≤
+
B
．2
1
12a b
a b
+≤≤
+
C
2
112a b
a b
+≤≤≤+
D
2
112a b a b
+≤≤+
针对练习二 均值不等式的简单应用
6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1
2 B ．14
C ．18
D ．
116
7．已知0m >，0n >
，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1 B
C ．3
D ．5
8．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254
B ．
258
C ．52
D ．54
9．已知21a b -=，则139b
a
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的最小值为（ ）
A ．4 B
C
．D
10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6
C
D
针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用
11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ） A ．114a
b
+≤、 B
≥ C ．221a b +≥ D ．221
4
ab a b +≥
12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22x
y
+有最小值4
B ．xy 有最小值1
C ．22x y +有最大值4
D 4
13．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916a b +≥；①2212
a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①① C ．①①① D ．①①①
14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A ．
222a b +≥ B ．124
a b ->
C ．22log log 0a b +≥
D 2
15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥
C ．228a b +≥
D ．2212a b +≤
针对练习四 均值不等式“1”的妙用
16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a
+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．27
17．若正数,x y 满足31
5x
y
+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245
B ．
285
C ．5
D ．6
18．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119
a b
+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．400
19．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．
2D ．2+
20．设0a >，1b >，若2a b +=，则41
1
a
b +
-的最小值为（ ）
针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别
21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x
=+ B ．4
sin (0)sin y x x x
π=+
<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+
22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）
A
的最小值为2 B ．1
1
x x +
+的最小值为1 C ．1
22x x
+的最小值为2 D ．1
lg lg x x
+
的最小值为2
23．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．1
2a a
+> B ．12a a
+≥
C ．12a a
+≤-
D ．1
2a a
+
≥
24．函数()9
33
y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．9
25．已知函数4y x x
=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值
针对练习六 分式最值问题
26．函数21()1
x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）
A
．B ．3+C ．2+ D ．5
27．若函数()()224
22
x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ）
28．若72x ，则2610
()3
x x f x x -+=-有（ ）
A ．最大值52
B ．最小值52
C ．最大值2
D ．最小值2
29．若a ，b ，c 均为正实数，则222
2ab bc
a b c +++的最大值为（ ）
A ．1
2 B ．14
C D
30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy
z
取得最大值时，212x y z +-的
最大值为（ ） A ．0 B ．3
C ．94
D ．1
针对练习七 均值不等式的综合应用
31．已知1F ，2F 是椭圆22
:12516
x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大
值为（ ）． A ．13 B ．12 C ．25 D ．16
32．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N
两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则11
11
x y +++的最小值为（ ）
A ．1
2 B ．23
C ．34
D ．45
33．已知0a >，0b >，在()3211113
3
ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11
a b
+
的最小值为（ ） A ．1
2 B ．2 C ．34
D ．43
34．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ） A ．1
2 B ．14
C
D
35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥ B ．462a a +≥
C ．76210a a -+≥
D ．1919
11
a a a a +=+
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）
针对练习
针对练习一 均值不等式的内容及辨析
1．
,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2
2
21a b a b +>-- B ．2
2a b a b
+≥
C
． 2
a b
+≥D ．2
2a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】 【分析】
均值不等式使用首要条件都为正数．排除BD ，A 选项可取等号． 【详解】
A 选项，()()()2
2
2221110a b a b a b +---=-++≥，故A 不正确；B 、C 选项的不等式，
只有0,0a b >>时才成立，所以不正确；D 选项, 作差法()2
2
022a b a b ab -+⎛⎫-=≥ ⎪
⎝⎭
，所以正确选项为D ． 【点睛】
均值不等式的使用“一正二定三相等”，缺一不可． 2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）
A ．2
a b
a b +>>>B ．2
a b
a b +>>
C ．2a b
a b +>
>> D ．2
a b
a b +>>
> 【答案】C 【解析】
根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果. 【详解】
因为0a b >>，所以2
a b
a +>
b ，
又根据基本不等式可得，2
a b
+>
所以2
a b
a b +>
>>. 故选：C.
3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a
+≥
C ．22
1242a a ++
≥+ D ．224
4a a
+≥ 【答案】D 【解析】 【分析】
利用作差法和基本不等式分析判断每一个选项的正误得解. 【详解】
A. 2224()2a b ab a b ab +-=--不一定大于等于零，所以该选项错误；
B. 4
a a +，当a 取负数时，显然40a a +<，所以44a a
+≥错误，所以该选项错误；
C. 22122a a ++
≥+，当且仅当221a +=时成立，由于取得条件不成立，所以2
2
1222a a ++
>+，如0a =时，2215
2422
a a ++=<+，所以该选项错误；
D. 2
24a a +
≥，当且仅当a =.所以该选项正确. 故选：D 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．
A ．如果a b >，b c >，那么a c >
B ．如果0a b >>，那么22a b >
C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立
D ．如果a b >，0c >那么ac bc > 【答案】C 【解析】
设图中直角三角形的边长分别为a ，b ，正方形面积，根据图象关系，可得222ab a b ≤+即可得答案. 【详解】
设图中全等的直角三角形的边长分别为a ，b ，
则四个直角三角形的面积为1422
a b ab ⨯⨯⨯=
，正方形的面积为222a b =+， 由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积， 所以222ab a b ≤+，当且仅当a b =时等号成立，
所以对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 故选：C
5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）
A
．2
112a b a b
+≤≤
+
B
．2
1
12a b
a b
+≤≤
+
C
2
112a b
a b
+≤≤≤+
D
2112a b a b
+≤≤+
【答案】A 【解析】
本题可根据
1
111
2a
b
a
b
得出2
11
a b
≤+a b
+≥2a b +≤，
最后根据2
2
2a b
ab +≥2
a b
+≥
，即可得出结果. 【详解】 因为
11
112
2
a b
a b ab
，当且仅当a b =
时取等号， 所以2
11
a
b
≤+
a b =时取等号，
因为a b +≥
a b =时取等号， 2
a b
+≤
，当且仅当a b =时取等号， 因为222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号， 所以()2
2222222a b a b ab
a b +≥++=+，
即
2
222
4
a b a
b 2
a b +，当且仅当a b =时取等号，
综上所述，2
112a b a b
+≤≤
+
a b =时取等号， 故选：A. 【点睛】
本题考查基本不等式的相关性质，主要考查基本不等式通过转化得出的其他形式，考查运算能力，考查转化与化归思想，是简单题.
针对练习二 均值不等式的简单应用
6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1
2 B ．14
C ．18
D ．
116
【答案】C 【解析】 【分析】
根据基本不等式可求得最值.
【详解】
由基本不等式可得2x y +≥
即1≤， 解得18
xy ≤，
当且仅当2x y =，即14
x =，12
y =时，取等号， 故选：C.
7．已知0m >，
0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1
B C ．3
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
结合基本不等式求得mn 的最大值. 【详解】
依题意m n +=
所以2
52m n mn +⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当m n =.
故选：D
8．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．
254
B ．
258
C ．52
D ．54
【答案】D 【解析】
由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2
225
=
8
8
a b ab +≤
，当且仅当2a b =时取等，结合25a b +=即可得解. 【详解】
由a ，b 为正实数，
所以2a b +≥
()2
225=
8
8
a b ab +≤
，
当且仅当2a b =时取等， 又25a b +=，此时54
b =. 故选：D. 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，以及基本不等式的取等条件，属于基础题.
9．已知21a b -=，则139b
a
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的最小值为（ ）
A
．4 B
C ．
D 【答案】C 【解析】 【分析】
结合基本不等式来求得最小值. 【详解】 依题意21a b -=，
2
213239b a b
a
-⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭122a b =-=时取等号． 故选：C
10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6 C
D 【答案】B 【解析】 【分析】
直接由基本不等式可得． 【详解】
3236m n +≥⨯=，当且仅当33m n ==时取等号，所以3m n +的最小值为6，
故选：B
针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用
11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ）
A ．114
a b
+≤ B +≥C ．221a b +≥ D ．221
4
ab a b +≥
【答案】B 【解析】 【分析】
根据条件结合基本不等式进行求解. 【详解】
由题意，()1124b
a
a b a b a b
⎛⎫
++=++≥ ⎪⎝
⎭，故选项A 错误；
2
≥=12
a b ==时，等号成立，故选项B 正确；
2
221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，则22
12
a b +≥，故选项C 错误；
()2
2
2
124a b ab a b ab a b +⎛⎫
+=+≤= ⎪⎝⎭
，故选项D 错误. 故选：B.
12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．2
2x
y
+有最小值4 B ．xy 有最小值1
C ．22x y +有最大值4
D 4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可 【详解】
解： 0x >，0y >，且2x y +=，
对于A ，()2
21222242x y x y x
y x y y x ⎛⎫+
=++=++≥+ ⎪⎝⎭
，当且仅当1x y ==时取等号，所以A 正确，
对于B ，因为2x y =+≥1xy ≤，当且仅当1x y ==时取等号，即xy 有最大值1，所以B 错误，
对于C ，因为224x y +≥==，当且仅当1x y ==时取等号，即22x y +有最小值4，所以C 错误，
对于D ，因为22()4x y x y =+++=，当且仅当1x y ==时取等号，即
4，所以D 错误，
故选：A
13．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14
ab >；①ln ln 0a b +<；①1916a
b
+≥；①2212
a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①①
C ．①①①
D ．①①①
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断
解：对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以1a b =+≥12
a b ==时取等号，得104
ab <≤，所以①错误，
对于①，由①可知，1
04
ab <≤，所以()1ln ln 4
ab ≤，即ln ln 2ln 2a b +≤-，所以ln ln 0a b +<，
所以①正确，
对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以
()19199101016a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当
9a b b a =即13,44a b ==时取等号，所以①正确，
对于①，因为222()21a b a ab b +=++=，所以2212a b ab +=-，由①可知，104
ab <≤，
所以1122ab -≥，所以22
12a b +≥，当且仅当12
a b ==时取等号，所以①正确，
故答案为：D
14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A
．222a b +≥ B ．124
a b ->
C ．22log log 0a b +≥
D 2
【答案】C 【解析】
由基本不等式得1ab ≤，根据各选项结合已知条件即可判断正误. 【详解】
由0a >，0b >，2a b +=，得2
()14
a b ab +≤
=当且仅当a b =时等号成立， 222()22a b a b ab +=+-≥，
124a b b --=，111b a -=->-，即124
a b
->
， 222log log log ()0a b ab +=≤，
2
4a b =++0>2≤，
故选：C
15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥
C ．228a b +≥
D ．2212a b +≤
【答案】C
【分析】
ab 范围可直接由基本不等式得到，22a b +可先将a b +平方再利用基本不等式关系．
【详解】
解：由0a ，0b ，且4a b +=，
∴2
42a b ab +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，当且仅当2a b ==时取等号
而2222216()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当2a b ==时取等号
228a b ∴+．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查基本不等式知识的运用，属于基础题，基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方．
针对练习四 均值不等式“1”的妙用
16．已知0a >，0b >，4
31a b +=，则13b a
+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．27
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】
11443333129152427b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛
⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭，当且仅当49ab ab =，即19a =，b ＝6时，等号成立，故13b a
+的最小值为27 故选：D
17．若正数,x y 满足31
5x
y
+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．
245
B ．
285
C ．5
D ．6
【答案】C
【分析】
利用基本不等式“1”的代换求34x y +的最小值，注意等号成立条件. 【详解】
11123134(34)((13)31)(13555y x x y x y x y x y +=+++≥++=5=，当且仅当2x y =时
等号成立，
①34x y +的最小值是5. 故选：C
18．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119
a b
+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．400
【答案】D 【解析】 【分析】
应用“1”的代换，将目标式转化为1919362b a
a b
++，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】
由,0,191a b a b >+=，
①1
191191919()(19)362362400b a a b a
b a b a b +
=++=++≥+，当且仅当a b =时等号成立. ①119
a b
+
的最小值为400. 故选：D
19．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ） A
．2 B ．3 C ．
2D ．2+【答案】D 【解析】 【详解】
根据题意，3132122a b ab b a
+=⇒
+=，
①3
13
()2222222a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+=
⎪⎝⎭
b =且
32a b ab +=时等号成立，
①
a b +的最小值为2+ 故选：D ．
20．设0a >，1b >，若2a b +=，则4
1
1
a b +-的最小值为（ ） A
．6 B ．9 C ．D ．18
【答案】B 【解析】 【分析】
依题意可得(1)1a b +-=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】
解：0a >，1b >，且2a b +=，
10b ->∴且(1)1a b +-=，
∴4141()[(1)]11
a b a b a b +
=++--- 4(1)4(55291b a b a b -=+
++-， 当且仅当4(1)1b a
a b -=-，即23a =43
b =时取等号， 故41
1
a
b +
-的最小值为9； 故选：B
针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别
21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x
=+ B ．4
sin (0)sin y x x x
π=+
<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+
【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用基本不等式2
a b ab +．(0,0)a b >>和关系式的恒等变换的应用求出结果．
【详解】
解：用基本不等式要满足“一正二定三相等“．
A ．选项中x 的正负不确定．同样的，
C ，选项中3log x 和log 3x 取值不一定大于0．
B ．当(0,)x π∈时，sin (0x ∈，1]sin 0x ⇒>，
4
0sin x
>， 4
sin sin x x
=
时sin 2x ⇒=不符合，所以也不能用基本不等式，不满足三相等， D ．0x e >，40x e ->且4244x x x x e e e e --+=，
当且仅当4x x e e -=即2x ln =时取等号． 故选：D ． 【点睛】
本题考查的知识要点：直接利用基本不等式的性质的应用和用基本不等式要满足“一正二定三相等“．的条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）
A
的最小值为2 B ．1
1
x x +
+的最小值为1 C ．1
22x x
+
的最小值为2 D ．1
lg lg x x
+
的最小值为2 【答案】A 【解析】 【分析】
A.
2
≥，所以该选项正确； B. 函数的最小值不是1，所以该选项错误； C. 函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1
lg 0lg x x
+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 【详解】
解：A.
2
≥，当且仅当1x =时等号成立，所以该选项正确；
B. 11111111x x x x +
=++-≥=++，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是1，所以该选项错误；
C. 1222x x +
≥，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0,0lg x x <<，所以1lg 0lg x x
+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 故选：A
23．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．1
2a a
+
> B ．12a a
+≥
C ．12a a
+≤-
D ．1
2a a
+
≥ 【答案】D 【解析】
当0a <时，1
0a a
+<，选项,A B 不成立；当0a >时，1
0a a
+
>，选项C 不成立；11
||||a a a a
+
=+，由基本不等式可得选项D 成立. 【详解】
取1a =-时，12a a
+=-，可判断选项A,B 不正确； 取1a =时，12a a
+=，可判断选项C 不正确； 因为1,a a
同号，11
=||||2a a a a
+
+≥， 当且仅当1a =±时，等号成立，选项D 正确. 故选:D. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题. 24．函数()9
33
y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．9
【答案】D
【解析】
先将函数解析式化为9
333
y x x =-++-，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】 因为3x >，
所以993333933
y x x x x =+
=-++≥==--， 当且仅当9
33
x x -=-，即6x =时，等号成立. 故选：D. 【点睛】 易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 25．已知函数4
y x x
=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值
【答案】B 【解析】 【分析】
根据基本不等式求解，注意“一正二定三相等”的条件. 【详解】
解：因为()0,4x ∈，所以44y x x
=+≥=，当且仅当42x x ==时等号成立，
所以函数有最小值4，
由于定义域为开区间，故无最大值. 故选：B
人教B版2020高考文科数学第七章 第2节均值不等式及其应用
第2节 均值不等式及其应用 最新考纲 1.了解均值不等式的证明过程；2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题. 知 识 梳 理 1.均值不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤? ????a ＋b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用均值不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4(简记：和定积最大). [微点提醒] 1.b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤? ?? ??a ＋b 22≤a 2＋b 2 2.
3. 2 1 a＋ 1 b ≤ab≤ a ＋b 2≤ a2＋b2 2(a>0，b>0). 基础自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与 a＋b 2≥ab成立的条件是相同的.() (2)函数y＝x＋ 1 x的最小值是2.() (3)函数f(x)＝sin x＋ 4 sin x的最小值为4.() (4)x＞0且y＞0是 x y＋ y x≥2的充要条件.() 解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R； 不等式 a＋b 2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0. (2)函数y＝x＋ 1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f(x)＝sin x＋ 4 sin x 没有最小值. (4)x>0且y>0是 x y ＋y x≥2的充分不必要条件. 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 2.(必修5P73B2改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为() A.9 B.18 C.36 D.81 解析因为x＋y＝18，所以xy≤ x＋y 2 ＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立. 答案 A 3.(必修5P73A8改编)若x<0，则x＋ 1 x() A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2
高中数学《均值不等式及其应用》针对练习及答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习） 针对练习 针对练习一 均值不等式的内容及辨析 1． ,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2 2 21a b a b +>-- B ．2 2a b a b +≥ C ． 2 a b +≥D ．2 2a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭ 2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．2 a b a b +>>>B ．2 a b a b +>> C ．2a b a b +>>> D ．2 a b a b +>> > 3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．4 4a a +≥ C ．22 1242a a ++ ≥+ D ．224 4a a +≥ 4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释． A ．如果a b >，b c >，那么a c > B ．如果0a b >>，那么22a b > C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立 D ．如果a b >，0c >那么ac bc > 5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）
A ．2 112a b a b +≤≤ + B ．2 1 12a b a b +≤≤ + C 2 112a b a b +≤≤≤+ D 2 112a b a b +≤≤+ 针对练习二 均值不等式的简单应用 6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1 2 B ．14 C ．18 D ． 116 7．已知0m >，0n > ，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1 B C ．3 D ．5 8．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254 B ． 258 C ．52 D ．54 9．已知21a b -=，则139b a ⎛⎫ + ⎪⎝⎭ 的最小值为（ ） A ．4 B C ．D 10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6 C D 针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用 11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ） A ．114a b +≤、 B ≥ C ．221a b +≥ D ．221 4 ab a b +≥ 12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22x y +有最小值4 B ．xy 有最小值1
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．若则的最小值是__________． 2．若,且则的最大值为______________. 3．已知，且，则的最小值为______． 4．已知正数满足，则的最小值是_______. 5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______． 6．设正实数满足，则的最小值为________ 7．已知，且，则的最小值是________ 8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______ 9．已知，函数的值域为，则的最小值为________． 10．已知，，且，则的最小值为__________． 11．若正数x，y满足，则的最小值是______． 12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______． 14．若，则的最小值为________. 15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______． 16．已知，且，则的最小值为______． 17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____． 19．已知正实数，满足，则的最大值为______.
20．已知，，则的最小值为____．
参考答案 1． 【解析】 【分析】 根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】 则，即 由题意知，则， 则 当且仅当，即时取等号 本题正确结果： 【点睛】 本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式. 2． 【解析】 【分析】 先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值. 【详解】 当时，，，所以最大值为1， 当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为， 综上的最大值为
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭ 231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数
均值不等式的应用练习题
均值不等式的应用练习题 一、选择题： 1.若0
9.函数y=1 33224+++x x x 的最小值是 10.函数y=x （1-x 2）（0
均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题20道-带答案 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（均值不等式专题20道-带答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为均值不等式专题20道-带答案的全部内容。
均值不等式专题3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________ 一、填空题 1．若则的最小值是__________． 2．若，且则的最大值为______________. 3．已知，且，则的最小值为______． 4．已知正数满足，则的最小值是_______。 5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______． 6．设正实数满足，则的最小值为________ 7．已知,且，则的最小值是________ 8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______ 9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________． 11．若正数x,y满足，则的最小值是______． 12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______． 13．若，,，则的最小值为______． 14．若，则的最小值为________。 15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______． 16．已知，且，则的最小值为______． 17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________． 18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。 20．已知，，则的最小值为____．
均值不等式及其应用练习题含答案
均值不等式及其应用练习题（1） 1. 如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A(−1, 7)，则() A.a=2，b=4 B.a=2，b=−4 C.a=−2，b=4 D.a=−2，b=−4 2. 在下列函数中，最小值是2的是() A.y=x 2+2 x B.y=√x2+2 √x2+2 C.y=7x+7−x D.y= x2+8 x (x>0) 3. 下列不等式中，正确的是( ) A.a+4 a ≥4 B.a2+b2≥4a b C.√ab≥a+b 2 D.x2+3 x2 ≥2√3 4. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学 家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现 证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC= b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( ) A.a+b 2 ≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0) C.√ab≥21 a +1 b (a>0, b>0) D.a2+b2 2 ≥a+b 2 (a≥0, b>0) 5. 若0
6. 下列函数中，最小值是2的是（ ） A.y = a 2−2a+2a−1 (a >1) B.y =√x 2+2√x 2+2 C.y =x 2+1x 2 D.y =x 2 +2 x 7. 若2x +4y =4，则x +2y 的最大值是________． 8. 已知x ，y 均为正实数，且满足1 x +1 y + 3xy =1，则x +y 的最小值为________． 9. 定义max {a,b}={a(a ≥b) b(a
均值不等式及其应用重点题型练习- 高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
均值不等式重点题型训练 一、单选题 1.已知，则的最小值为 A. B. C. D. 2.若，则有 A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值 3.若，都为正实数，，则的最大值是 A. B. C. D. 4.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围 是 A. B. C. D. 5.已知正数，，满足，则的最小值为 A. B. C. D. 6.已知，，且，则的最小值为 A. B. C. D. 7.已知，则函数的最小值是 A. B. C. D. 8.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大 值为 A. B. C. D. 9.已知，，，则的最小值为 A. B. C. D. 10.下列结论正确的是 A. 有最小值 B. 有最小值 C. 时，有最大值 D. 时，有最小值
11.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为元，若每批生产件， 则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A. 件 B. 件 C. 件 D. 件 12.某金店用一杆不准确的天平两边臂不等长称黄金，某顾客要购买黄金，售 货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金 A. 大于 B. 小于 C. 大于等于 D. 小于等于 二、单空题 13.若，，，则的最大值是． 14.若正数，满足，则的最小值为． 15.已知正实数，满足，则的最小值是． 16.已知正实数，满足则的最小值是． 17.已知，，且，则的最小值是． 18.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量单位时间内经过测量 点的车辆数，单位：辆时与车流速度假设车辆以相同速度行驶，单位：米秒、平均车长单位：米的值有关，其公式为：．如果不限定车型，，则最大车流量为________辆时； 如果限定车型，，则最大车流量比中的最大车流量增加________辆时． 19.设，且，则的最小值为______． 20.某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存 储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是． 三、解答题 21.已知正实数．
新教材高中数学课时练十七第二单元等式与不等式第2课时均值不等式的应用含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学新人教B 版必修第一册： 十七 均值不等式的应用 基础全面练 (15分钟·35分) 1.已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0 【解析】选A.由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1 y ＝1， 且x>0，y>0.所以x ＋2y ＝(x ＋2y)×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋4≥4＋4＝8，当且仅当x ＝2y 时等号成立． 2．(2021·鞍山高一检测)若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0
新教材人教B版高中数学必修第一册练习-均值不等式及其应用答案含解析
2.2.4均值不等式及其应用 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 考点1均值不等式的理解 1.(2018·山东兖州二中高二月考)若a ,b ∈R,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( )。 A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2√ab C.1a +1b > 2 √ab D.b a +a b ≥2 答案：D 解析：a 2+b 2≥2ab ,所以A 错误;ab >0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a <0,b <0时,B 错误;同理,C 错误;a b 或b a 都是正数,根据不等式求最值,a b +b a ≥2√a b ×b a =2,故D 正确。 2.若a ,b ∈R,则下列不等式恒成立的是( )。 A. |a+b | 2 ≥√|ab | B.b a +a b ≥2 C. a 2+ b 22≥(a+b 2)2 D.(a +b )(1a +1 b )≥4 答案：C 解析：对于A ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,不等式不成立,故A 中不等式不恒成立;对于B ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b +b a )≥2√a b ·b a =2,那么a b +b a ≤-2,故B 中不等式不恒成立;对于C , a 2+ b 2 2 ≥( a+b 2 )2,故C 中不等式恒成立;对于D ,(a +b ) 1a +1b =2+a b +b a ,当a ,b 同号时a b +b a ≥2,原不等式成立,当a ,b 异号 时,-(a b +b a )≥2√a b ·b a =2,那么a b +b a ≤-2,原不等式不成立,故D 中不等式不恒成立。故选C 。 3.(2019·北京第九十四中高二期中)若正实数a ,b 满足1a +2b =√2ab ,则ab 的最小值为( )。 A.√2 B.2 C.2√2 D.4 答案：B
2023年高考一轮复习精讲精练必备第3练 均值不等式及其应用(解析版)
2023年高考一轮复习精讲精练必备 第3练 均值不等式及其应用 一、单选题 1．已知正实数a ，b 满足24a b +=，则 222a b ++的最小值是（ ） A ．924+ B ．4 C ．92 D ．3242+ 【答案】D 【详解】 设2,x a y b =+=，则2,a x b y =-=，故28x y +=，其中2,0x y >>， ()2212214226288x y x y a b x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ， 由4242x y y x +≥， 当且仅当()422422x y y x x y x =⇒=⇒=-，() 821y =-时等号成立， 此时2x >，0y >满足， 故222a b ++的最小值为() 132642842+=+， 故选：D. 2．函数()122y x x x =+ >-+的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】D 【详解】 因为2x >-，所以20x +>， 102x >+，利用基本不等式可得 ()111222220222 x x x x x x +=++-≥+⋅-=+++， 当且仅当122 x x += +即1x =-时等号成立. 故选：D. 3．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（ ） A ．27 B ．123 C ．12 D ．63 【答案】D 【详解】
因为0x >，0y >，23x y +=，则2293332363x y x y x y ++=+≥=， 当且仅当232x y == 时，等号成立，因此，93x y +的最小值为63. 故选：D. 4．函数()911y x x x =+ >-的最小值为（ ） A ．7 B ．7 C ．6 D ．2 【答案】B 【详解】 1,10x x >->， 999112117111 x x x x x x +=-++≥-⋅+=---， 当且仅当91,41 x x x -= =-时等号成立. 故选：B 5．下列命题为真命题的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b > B ．函数9ln ln y x x =+中最小值为6 C ．若00a b >>，，则2ab ab a b ≥ + D ．若0a b >>，则 lg 1lg a b > 【答案】A 【详解】 由22ac bc >可得20c >，所以a b >，A 对， 当1 e x =时，函数9ln ln y x x =+的函数值为-10，故B 错， 当00a b >>，时，2a b ab +≥，所以 2ab ab a b ≤+，C 错， 取12,2a b == ，则lg 1lg a b =-，D 错， 故选：A. 6．下列不等式恒成立的是（ ） A ．12x x +≥ B ．2a b ab +≥ C ．22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭ D ．222a b ab +≥
2020_2021学年新教材高中数学第二章等式与不等式习题课均值不等式的应用课后提升训练含解析第一册
第二章等式与不等式 习题课均值不等式的应用 课后篇巩固提升 基础达标练 1。某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则（） A。x=a+a 2B.x≤a+a 2 C。x>a+a 2D。x≥a+a 2 解析由条件知A（1+a）(1+b）=A（1+x)2,所以（1+x）2=(1+a) （1+b）≤(1+a)+(1+a) 22,所以1+x≤1+a+a 2 ,故x≤a+a 2 。 2.已知正数x，y满足x+2y—xy=0,则x+2y的最小值为(）A。8 B。4 C.2 D。0 解析由x+2y—xy=0,得2 a +1 a =1，且x>0,y>0。所以x+2y=（x+2y）× 2 a +1 a =4a a +a a +4≥4+4=8,当且仅当x=2y，即x=4，y=2时等号成立. 3.若正实数a，b满足a+b=1，则(） A.1 a +1 a 有最大值4 B。ab有最小值1 4 C。√a+√a有最大值√2 D。a2+b2有最小值√2 2
a ， b 满足a+b=1,所以1a +1a =a +a a +a +a a =2+a a + a a ≥2+2=4,当且仅当a=b=12时，等号成立,故1a +1 a 有最小值4，故A 不正确；由均值不等式可得a+b=1≥2√aa ,当且仅当a=b=12 时，等号成立,∴ab ≤14,故ab 有最大值14 ,故B 不正确；由于(√a +√a ）2 =a+b+2√aa =1+2√aa ≤2，∴√a +√a ≤√2,故√a +√a 有最大值为√2，故 C 正确;∵a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=1-2ab ≥1—12=12,故a 2+b 2有最小值12 ,故D 不正确. 4。（多选题)（2020辽宁高一月考）已知正数a ,b 满足a+b=4,ab 的最大值为t ，不等式x 2+3x —t<0的解集为M ,则下列结论正确的是（ ) A 。t=2 B 。t=4 C 。M=｛x|-4〈x 〈1} D 。M={x|-1〈x<4｝ 正数a ，b 满足a+b=4，∴ab ≤( a +a 2 ) 2=4，即ab 的最大值为 t=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.∵x 2+3x —4〈0的解集为M ,∴M= ｛x|—4
新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时 均值不等式的应用
第二课时 均值不等式的应用 课标要求 掌握均值不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b >0).结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题. 素养要求 通过学习均值不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养. 1.思考 由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的 最大值是x 2＋y 2 2吗？ 提示 最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法错误.要利用均值不等式a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用. 2.填空 均值不等式与最大(小)值 (1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. (2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . 温馨提醒 (1)在2 1a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2中，会根据定值情况，合理地选 择不等式. (2)应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变
形. 3.做一做 判断正误 (1)对于实数a ，b ，若a ＋b 为定值，则ab 有最大值.(×) 提示 a ，b 不一定为正实数. (2)对于实数a ，b ，若ab 为定值，则a ＋b 有最小值.(×) 提示 a ，b 不一定为正实数. (3)若x >2，则x ＋1 x 的最小值为2.(×) 提示 当x >0时，当且仅当x ＝1时不等式取得最小值2，故x >2时，取不到最小值2. (4)已知x >－2，则x ＋ 1 x ＋2 的最小值为0.(√) 题型一 均值不等式的简单应用 角度1 “常数代换法”求最值 例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9 y ＝1，求x ＋y 的最小值. 解 ∵1x ＋9 y ＝1，且x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )· ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ·9x y ＝10＋6＝16. 当且仅当y x ＝9x y .又1x ＋9 y ＝1， 即x ＝4，y ＝12， 故当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 思维升华 若题中不存在满足均值不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，灵活运用“1”的代换.在不等式解题过程中，常常将不等式乘“1”、除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替.
2020届高考数学专题复习- 均值不等式及其应用(解析版)
2020届高考数学专题复习- 均值不等式及其应用 一、选择题 1．已知x ＞0，函数9 y x x =+的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】C 【解析】 ∵x ＞0， ∴函数96y x x =+ ≥=，当且仅当x=3时取等号， ∴y 的最小值是6． 故选：C ． 2．已知1(0,)4 x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ． 14 B ． 16 C ． 18 D ． 110 【答案】C 【解析】 因为1(0,)4 x ∈，所以40,140x x >->， 所以2 114141 (14)=4(14)44216 x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪ ⎝⎭， 当且仅当414x x =-时，即1 8 x =，等号成立. 故答案选C . 3．()2 301x x y x x ++=>+的最小值是( ) A ． B ．1 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】 1,10x x >-∴+>，
2 31x x y x ++∴== +3311111x x x x +=++-++…， 当且仅当 3 11x x =++ ，即1x =时等号成立， 所以()2 301x x y x x ++=>+ 的最小值是1-，故选B. 4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ． 29 B ． 18 C ． 14 D ． 12 【答案】B 【解析】 因为a ，b 都为正实数，21a b +=， 所以2 2121 2228 ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =，即11,42a b ==时，ab 取最大值1 8 . 故选B 5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ． C ．2 D ．4 【答案】D 【解析】 ∵ab=a+b≥2， ≥2 ，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab 的最小值为4， 故选：D ． 6．若0,0,31x y x y >>+=，则 11 3x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．1 2 x x C ．4 D ．【答案】C 【解析】
(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：2.2.4.1 均值不等式 (含答案)
2．2.4 均值不等式及其应用 第1课时均值不等式 1.均值不等式(基本不等式) (1)算术平均值与几何平均值． 前提给定两个正数a，b 结论数 a＋b 2称为a，b的算术平均值数ab 称为a，b的几何平均值 (2)均值不等式 前提a，b都是正数， 结论a＋b 2≥ab ， 等号成立的条件当且仅当a＝b时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
(3)本质：算数平均值的本质就是数a ，b 在数轴上对应点的中点坐标．几何平均值的本质就是a ，b 乘积的开方．均值不等式就是在正数的前提下其算数平均值大于等于其几何平均值． (4)应用：应用均值不等式求最值． (1)均值不等式中的a ，b 只能是具体的某个数吗？ 提示：Xa ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式． (2)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4）2 ≥（－3）×（－4） 是不成立的． 2．均值不等式与最值 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”“二定”“三相等”． 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)两个不等式a 2 ＋b 2 ≥2ab 与a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是相同的．( ) 提示：×．不等式a 2 ＋b 2 ≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是a >0，b >0. (2)当a >0，b >0时a ＋b ≥2ab .( ) 提示：√．均值不等式的变形公式．
高中数学人教B版五学案：第三单元 §3.2 均值不等式(一) 含答案
学必求其心得，业必贵于专精 学习目标1。理解均值不等式的内容及证明。2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式． 知识点一算术平均值与几何平均值 思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。如何用a,b表示PO,PQ的长度? 梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。 知识点二均值不等式及其常见推论 思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?
梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论: (1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R); （2)错误!＋错误!≥2（a，b同号); （3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2； (4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）． 类型一常见推论的证明 例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)． 引申探究 证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)． 反思与感悟 (1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法． 跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.
类型二用均值不等式证明不等式 例2已知x、y都是正数． 求证：（1）错误!＋错误!≥2; （2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。 反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.
均值不等式及其应用--高考数学【解析版】
专题05 均值不等式及其应用 高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性. 【重点知识回眸】 1． 基本不等式 ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +⎛⎫ ≤ ⎪⎝⎭ ,,a b R ∈：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，,a b R ∈ （4）222()22 a b a b ++≤，,a b R ∈ （5） 2,,b a a b a b +≥同号且不为零 （6）重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥ a 2＋ b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ≥b . 上述不等式，当且仅当a ＝b 时等号成立 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． (2)xy ≤ ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22 ，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)． 提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取