均值不等式习题大全
均值不等式题型汇总 杨社锋
均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。
类型一：证明题
1. 设*
,,1,a b R a b ∈+=求证：1125()()4
a b a b ++≥
2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++
3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：
222
b c a a b c a b c
++≥++
4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222
a b c ab bc ac ++≥++
5. 已知实数,,x y z 满足：2
2
2
1x y z ++=，求xy yz +得最大值。
6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥
7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：
222
2
111()a b c a b c
+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。
类型二：求最值：
利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设11
,(0,)1x y x y
∈+∞+=且
，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求
11
2x y
+的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1
ab ab
+
的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x
=
+<<-的最小值。 变式：求函数291(0)122
y x x x =
+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。
8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若2
2
41x y xy ++=，求2x y +的最大值。
9. 求函数y =
的最大值。
变式：y =
10. 设0x >求函数21
x x y x
++=的最小值。
11. 设设1x >-求函数21
1
x x y x ++=+的最小值。
12. （2010山东高考）若任意0x >，
2
31
x
a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 13. 求函数22
233
(1)22
x x y x x x -+=>-+的最大值。 类型三、应用题
1.（2009湖北）围建一个面积为2
360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。
（1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。
（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。
2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用， 平均购地费用=购地总费用建筑总面积）
附加题：
若正数,,a b c 满足1a b c ++=，那么2
2
2
111()()()a b c a
b
c
+++++的最小值为
最全的均值不等式专题练习
《 均值不等式》练习题 1、 求下列函数的最小值 （1） 已知t > 0 ,y = t t t 142+- ;（2） 、y = x 2 + 142+x ; （3）、y = 1 82++x x (x > 0 ) （4）已知：0< x < 2π,求 f(x) = x x x 2sin sin 62cos 12++的最小值 （5）若x> 0,y > 0,求 (x+ 22)21()21x y y ++ 的最小值 2、已知 x < 45, 求函数 y = 4x －2 +5 41-x 的最大值。 3、求下列函数的最大值 （1）、y = 4 1622++x x ; （2）、若20
8、已知 a + b = 1 ,求1212+++b a 的最大值 9、若a + b+ c = 1,求121212+++++c b a 的最大值。 10、求下列函数的最大值 （1）0< x <2 3,y = 4x (3－2x) (2) y = x 21x - (3)已知： a > 0,b > 0,c > 0,a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 , 求y =ab +bc + ac 的最大值（结果用R 表示） （4）、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值 （5）、已知x > 0,y > 0,且 143=+y x ,求xy 的最大值 11、求下列函数的最小值 （1）已知:x > 0, y > 0,且 ,191=+y x 求 x + y 的最小值 （2）已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求b a 11+的最小值 （3）、已知：x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值
均值不等式练习
均值不等式练习 【同步达纲练习】 知识强化： 一、选择题 1.下列不等式中，对任意实数x 都成立的是（ ） A.lg(x 2+1)≥lgx B.x 2 +1>2x C. 1 12+x ≤1 D.x+x 1 ≥2 2.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则在①222b a +≥ab ②b a a b +≥2 ③ab ≤（2b a +）2 ④（2 b a +）2≤22 2b a +这四个不等式中，恒成立的个数是（ ） A 。1 B.2 C.3 D 。4 3。已知a,b ∈R + ，且a+b ＝1，则下列各式中恒成立的是( ) A. ab 1≥2 1 B 。b a 1 1+≥4 C 。ab ≥21 D.221b a +≤2 1 4。函数y ＝3x 2 +1 62+x 的最小值是（ ） A.32-3` B.—3 C 。62 D 。62—3 5。已知x>1,y>1，且lgx+lgy ＝4，则lgxlgy 的最大值是（ ) A.4 B.2 C.1 D 。4 1 二、填空题 6。已知a>b 〉c ，则c)-b)(b -(a 与 2 c a -的大小关系是 . 7.若正数a ， b 满足ab ＝a+b+3，则ab 的取值范围是 . 8.已知a,b,c ∈R 且a 2+b 2+c 2 ＝1，则ab+bc+ca 的最大值是 ，最小值是 。 三、解答题 9.已知a,b,c ∈R,求证：a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2 ≥abc(a+b+c ）.
10.（1）求y ＝2x 2 + x 3 （x 〉0)的最小值。 （2）已知a,b 为常数，求y ＝（x-a)2 +(x —b)2 的最小值. 素质优化： 一、选择题 1.已知f （x ）＝( 21)x ，a,b ∈R + ，A ＝f(2b a +），G ＝f(ab ),H ＝f(b a a b +2),则A 、G 、H 的大小关系是( ) A 。A ≤G ≤H B.A ≤H ≤G C 。G ≤H ≤A D.H ≤G ≤A 2。已知x ∈R + ，下面各函数中，最小值为2的是（ ） A.y ＝x+ x 1 B 。y ＝22+x +2 12+x C.y ＝x+x 16 D.y ＝x 2 —2x+4 3。当点（x,y ）在直线x+3y-2＝0上移动时，表达式3x +27y +1的最小值是( ) A 。339 B.1+22 C 。6 D 。7 4。设M ＝（a 1—1）（b 1 -1)（c 1 -1)，且a+b+c ＝1，(其中a ，b,c ∈R + ），则M 的取值范围是 A.［0， 81］ B 。［8 1，1］ C 。［1，8］ D 。［8，+∞) 5。若a ，b,c,d,x ，y ∈R + ,且x 2 ＝a 2 +b 2 ，y 2 ＝c 2 +d 2 ,则下列不等式中正确的是( ) A.xy 〈ac+bd B 。xy ≥ac+bd C 。xy 〉ac+bd D.xy ≤ac+bd 二、填空题 6。斜边为8的直角三角形面积的最大值是 . 7.已知x ，y ，∈R +，且xy 2 ＝4，则x+2y 的最小值是 。 8.设x 〉y>z ，n ∈N ，且z y y x -+-11≥z x n -恒成立，则n 的最大值是 。 三、解答题 9。设n ∈N ，求证3221⨯+⨯+…+)1(+n n <2 )1(2 +n . 10.证明，任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4+22. 创新深化： 一、选择题 1.设x ∈R,且满足 2x +x 21＝cos θ，则实数θ的值为（ ）
20道均值不等式练习题总结
最新模拟题均值不等式练习题总结 1.在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(-1，0)，点P(a ，b )(ab ≠0)满足 AP BP =，则 2 241 a b +的最小值为( ) A.4 B.9 C. 32 D. 94 2已知x ＞0，y ＞0，2x +y =2，则xy 的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. x x y 4+ = B.)0(sin 4sin π<<+=x x x y C.x x e e y 4 + = D.81log log 3x x y += 4、已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则1 1 3x y + 的最小值是（ ） A ．2 B ． ．4 D ．5.设为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 6.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆22 2410x y x y ++-+=截得弦长为 4，则41 a b +的最小值是（ ） .A 9 .B 4 . C 12 .D 1 4 7、已知0,0x y >>，182x y x y -=-，则2+x y 的最小值为( ) A B ． C ． D ．4
8．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b =+的最小值是（ ） A ．72 B. 92 C ．5 D ．4 9．已知0,0,,a b a b >>的等比中项为2，则11a b b a +++的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ． 10．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24m x y +≥恒成立，则m 的取值范围是 A ．)+∞ B ．[)2,+∞ C ．( D ．(]0,2 11．设， 是与的等比中项，则1 1a b +的最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D ．4 12已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为______________； 13.设1,0>>b a ,若2=+b a ,则1 1 4-+b a 的最小值为 __________________． 答案 1. D 2. A 3. C 4. 【答案】C 【解析】∵lg2x +lg8y ＝lg2，∴lg （2x ?8y ）＝lg2，∴2x +3y ＝2，∴ 0a >0b >3a 3b 28 3
28道基本不等式均值不等式练习题
基本不等式习题 1．若,0>>b a 则下列不等式成立的是 （ ） A.ab b a b a >+> >2 B.b ab b a a >>+>2 C.ab b b a a >>+>2 D.b b a ab a >+>>2 2．已知点(,)A m n 在直线21x y +=上，其中0mn >，则21m n +的最小值为 （ ）A. 42 B.8 C.9 D.12 3．已知0,2b a ab >>=，则22 a b a b +-的取值范围是（ ） A ．(],4-∞- B ．(),4-∞- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞- 4．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是 A ．6 B ．5 C ．322+ D ．42 5．设0,1a b >>，若3121 a b a b +=+-，则的最小值为 A.23 B.8 C.43 D.423+ 6．若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ） A.245 B.285 C.6 D.5 8．若0a b >> 且3322a b a b -=-，则+a b 的取值范围是（ ） A ．()0,+∞ B ．()1,+∞ C ．()1,2 D ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．若两个正实数y x ,满足141=+y x ，且不等式m m y x 34 2-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)4,1(- B ．),4()1,(+∞--∞ C ．)1,4(- D ．),3()0,(+∞-∞ 10．已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,21 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3431， D ．⎥⎦ ⎤ ⎝⎛34,1 11．已知0,0a b >>，如果不等式 212m a b a b +≥+恒成立，那么m 的最大值等于（ ）A ．10 B ．7 C ．8 D ．9
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析 一．均值不等式 1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab 2. 若a,b?R*，则 a?b2 ? * ? a?b2 22 a?b时取“=”） ab 若a,b?R，则a?b?2 2 ab a?b?若a,b?R，则ab??） ?? ? 2 a?b2 注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”
均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域 y＝3x解：y＝3x＋ 11 y＝x＋xx 1 3x ＝∴值域为[，+∞） 2x 1 x· ＝2； x 1 x· =－2 x 1 ≥22x1 当x＞0时，y＝x＋≥x 11 当x＜0时， y＝x＋= －≤－2 xx ∴值域为 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?
54 ，求函数y ?4x?2? 14x?5 的最大值。 1 解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x? 54 ,?5?4x?0，?y?4x?2? 1 4x?5 不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项， 2?3?1 ??3? 1? 5?4x? 4x?55?4x? 当且仅当5?4x? 15?4x ，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数
例1. 当时，求y?x的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。 当 ，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。 32 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0?x? ，求函数y?4x的最大值。 3 2 2x?3?2x?9 解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2 222?? 当且仅当2x?3?2x,即x? 3 ?3? ??0,?时等号成立。?2? 技巧三：分离 例3. 求y?
均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题20道-带答案 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（均值不等式专题20道-带答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为均值不等式专题20道-带答案的全部内容。
均值不等式专题3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________ 一、填空题 1．若则的最小值是__________． 2．若，且则的最大值为______________. 3．已知，且，则的最小值为______． 4．已知正数满足，则的最小值是_______。 5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______． 6．设正实数满足，则的最小值为________ 7．已知,且，则的最小值是________ 8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______ 9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________． 11．若正数x,y满足，则的最小值是______． 12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______． 13．若，,，则的最小值为______． 14．若，则的最小值为________。 15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______． 16．已知，且，则的最小值为______． 17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________． 18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。 20．已知，，则的最小值为____．
(完整版)均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题 一、选择题 1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ） A ．x 2+1≥x B ．1 12+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ） Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ． 210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ） Ａ．（a+b ）(b a 11+)≥4 Ｂ．a 3+ b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+ x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0
(完整版)均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题 5 .设a>0, b>0,贝U 以下不等式中不恒成立的是( 1 1 A . (a+b ) ( ) > 4 a b C . a 2+b 2+2> 2a+2b 二 .填空题： 8. _____________________________________________ 设x>0,则函数y=2— - — X 的最大值为 ________________________________________ ;此时X 的值是 _________ X 9 .若x>1,则log 2X + log X 2的最小值为 _______________ ；此时X 的值是 ________ 。 2 11 .函数f （x ）= 仝 （X 工0）的最大值是 ；此时的X 值为 X 4 2 一、选择题 1 .已知a 、b €（ 0，1）且a ^b ,下列各式中最大的是（ 2 2 A. a+b B.2 . ab C. 2a b D. a +b 2 . x € R,下列不等式恒成立的是( ) 2 1 2 A. X 2 +1>X B . ^^<1 C . lg(x 2 +1) > lg(2x) X 1 .X 2+4>4X 3 .已知x+3y-1=0，则关于2X 8y 的说法正确的是（ D. A .有最大值8 B .有最小值2 2 C .有最小值8 4 . A 设实数X , y, m n 满足x 2+y 2=1, n i +n 2=3那么mx+ny 的最大值是 有最大值2 2 A. 3 B. 2 D. 3 . 3、小,2 B. a +b > 2ab D. J ab Va Vb 6. F 列结论正确的是（ A. 1 当X >0且X 工1时，lgx+ > 2 ig X .当 X >0 时，.x+ 1 > 2 J X C. 1 当X > 2时，X +丄> 2 X .当O
均值不等式习题大全
均值不等式题型汇总 杨社锋 均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型一：证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足：2221x y z ++=，求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥ 7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明： 2222111()a b c a b c +++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。 类型二：求最值： 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。 变式：求函数291(0)122y x x x = +<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。
均值不等式练习题
. 一、选择题 1．若 x 0 ， y 0 且 ，那么 2x 3y 2 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 4 3 2．设 若 的最小值 ( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 8 4 3．若 a b c 会集 M { x |b x a b }, N { x | ab x a} ，则会集 M I N 等于（ ） 2 A. { x | b x ab} B.{ x |b x a} C.{ x | ab a b a b a} x } D. { x | x 2 2 4．关于函数 y f (x) ( x I ), y g(x) ( x I ),若对任意 x I ,存在 x 0 使得 f (x) f ( x 0 ) , g(x) g( x 0 ) 且 f (x 0 ) g( x 0 ) ,则称 f (x) , g(x) 为“兄弟函数”,已知 f ( x) x 2 px q , g(x) x 2 x 1 定义在区间 [ 1 ,2] 上的“兄弟函数”,那么函数 f (x) 在区间 [ 1 ,2] 上的最大值为 x 2 2 A. 3 C. 4 5 B. 2 D. 2 4 5．若 x 0 ，则 x 1 的最小值为（ ） x A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6．若实数 x, y 满足 x 2 y 2 2x 2 3y 3 0 ，则 x 3y 的取值范围是（ ） A. 2, B. 2,6 C. 2,6 D. 4,0 7．设 a 0, b 0 ，若 a b 1，则 1 1 ） a 的最小值是（ b 1 A ． 8 B ． 4 C ． 1 D ． 4 8．正数 x, y 满足 x 2 y 1 ，则 xy 的最大值为 A ． 1 B ． 1 C ． 1 D ． 3 8 4 2 9．已知 ，则 的最小值是 () A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
均值不等式练习题
均值不等式练习题 1. 练习题一 已知非零实数a、b满足ab<0，证明(a+b)/2 > √ab. 解： 我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。首先，根据均值不等式，我们知道对于任意两个正数x和y，有(x + y)/2 ≥ √xy. 因此，我们可以推导出(a + b)/2 > √ab. 首先，根据已知条件ab < 0，我们可以得出a和b有不同的符号。假设a>0，b<0，那么我们可以得到√ab = √(a*(-b)) = √(a * -1 * (-b)) = √(a * 1 * b) = √(ab) < 0. 另一方面，由于a>0，b<0，所以(a + b)/2 = (a + b)/2 > a/2 + b/2 > √ab + √ab = 2√ab > √ab. 综上所述，我们证明了(a + b)/2 > √ab. 2. 练习题二 已知非零实数a、b、c满足abc = 1，证明a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c. 解： 我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。首先，根据均值不等式，我们知道对于任意三个正数x、y、z，有(x/y + y/z + z/x)/3 ≥ (x + y + z)/(x + y + z)，即(x/y + y/z + z/x) ≥ (x + y + z).
因此，我们可以推导出(a/b + b/c + c/a)/3 ≥ (a + b + c)/(a + b + c)，即(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c). 首先，根据已知条件abc = 1，我们可以得到a、b、c有不同的符号。假设a>0，b<0，c>0，那么我们可以得到b/c < 0，c/a > 0，那么a/b + b/c + c/a = a/b + (b/c) + (c/a) > a/√(bc) + (-1) + √(bc)/a = (a^2 - bc)/a√(bc) = (a^2 - 1)/a√(bc) = (a - 1/a)/√(bc). 另一方面，由于abc = 1，我们知道√(bc) = 1/√a，所以(a - 1/a)/√(bc) = (a - 1/a)√a = (a^2 - 1)/a ≥ a + b + c. 综上所述，我们证明了(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c). 3. 练习题三 已知非零实数a、b满足a+b = 2，证明a^2b^2(a^2+b^2) ≤ 2. 解： 我们将通过变量替换的方法来证明这个不等式。令x = a^2，y = b^2，那么根据已知条件，x + y = 4. 然后考虑到a^2b^2(a^2 + b^2) = xy(x + y) = 4xy. 我们只需证明4xy ≤ 2. 根据均值不等式，我们知道对于任意两个正数p和q，有(p + q)/2 ≥ √(pq). 将p = 2x，q = 2y带入上述不等式，我们可以得到(2x + 2y)/2 ≥ √(2x * 2y)，即x + y ≥ 2√(xy). 另一方面，根据已知条件x + y = 4，我们有x + y ≥ 2√(xy).
高考均值不等式经典例题
2022年3月23日；第1页共1页 高考【1】均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=，则58310a b c +++的最小值为。 2.设M 是ABC 内一点，且23,30AB AC A =∠=︒，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是,,MBC MCA MAB 的面积，若1()(,,)2 f M x y =，则14x y +的最小值为. 3.已知实数1,12 m n >>，则224211n m m n +--的最小值为。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为。 5.设,,a b c R ∈，且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=，则c 的最大值为。 6.已知ABC 中，142, 10sin sin a b A B +=+=，则ABC 的外接圆半径R 的最大值为。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=，则a b +的最大值为。 8.,,a b c 均为正数，且222412a ab ac bc +++=，则 a b c ++的最小值为。 9.,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为。 10.函数()f x = 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为。 12.若*3()k k N ≥∈，则(1)log k k +与(1)log k k -的大小：。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取最大值时，212x y z +-的最大值为。 14.若平面向量,a b 满足23a b -≤，则 a b ⋅的最小值为。 15.的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为。 16.设{}n a 是等比数列，公比q = n S 为{}n a 的前n 项和，记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n =。
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案 均值不等式练习题及答案 均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。 a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则 时取“=”） *a?b?ab 2若a,b?R，则a?b?*2ab 2?* a?ba2?b2 ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2 时等号成立。 平均数） 一、基本技巧 技巧1：凑项 例已知x? 技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。x?5 x2?7x?10的值域。例求y?x?1 技巧3：利用函数单调性 例 求函数y?2的值域。 技巧4：整体代换 例已知x?0,y?0，且 19??1，求x?y的最小值。 xy 典型例题 1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是 a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd
是 A.0 B.1 C. D. 23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是ab A.1 B. C.4 D.3+22 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 . 6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为 ab 1A B C 1 D 7. 设a?0,b? 0.3与3的等比中项，则 8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428 B. C. D.65 9. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件 的a,b恒成立的是． ①ab?1； ②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3； ⑤11??ab 210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是 abaa?b1234 11.下列命题中正确的是 12A、y?x?的最小值是B 、y?的最小值是x
均值不等式练习题
一、选择题 1．若0≥x ，0≥y 且，那么2 32y x +的最小值为（ ） A. 2 B. D. 0 2．设若的最小值 ( ) A. 2 B. C. 4 D. 8 3．若c b a >>集合{|},{|}2a b M x b x N x x a +=<< =<<，则集合M N 等于（ ） A.{|x b x < B.{|}x b x a << C.{}2a b x x +<< D.{|}2 a b x x a +<< 4．对于函数)(x f y =(I x ∈),)(x g y =(I x ∈),若对任意I x ∈,存在0x 使得)()(0x f x f ≥, )()(0x g x g ≥且)()(00x g x f =,则称)(x f ,)(x g 为“兄弟函数”,已知q px x x f +++=2)(, ,那么函数)(x f 在区间 B. 2 C. 4 D.5．若0x >，则 ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6．若实数,x y 满足 ） A.[)2,+∞ B.()2,6 C.[]2,6 D.[]4,0- 7．设0,0a b >>，若1a b +=，则 ） A ．8 B ．4 C ．1 D 8．正数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为 A ．18 B ．14 C ．1 D ．32 9．已知，则的最小值是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10．已知关于x 的不等式在),(+∞∈a x 上恒成立，则实数a 的最小值为 ( ) A. 1 B. 32 C. 2 D. 11．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是. B. 2 C. 4 D. 8 12．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实 数，且具有性质： （1）对任意R a ∈，0a a *=； （2）对任意,R a b ∈，(0)(0) a b ab a b *=+*+*. ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 13．若直线01=+-by ax 平分圆C ：014222=+-++ y x y x 的周长，则ab 的取值范围是 14．已知关于x 的不等式022 >++b x ax (0≠a )，且b a >，则 A ．2 C.．1 15．在R 上定义运算：对R y x ∈,，有y x y x +=⊕2，如果1 =⊕b a (0>ab )的最小值是（ ） A ． 10 B ．9 C 16．若0>>b a ，则代数式( ) A.2 B. 3 C.4 D. 5 17．若0>a ，0>b ，且2=+b a ,则下列不等式恒成立的是( )