定积分计算方法

求定积分的四种方法

定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以1211x dx --⎰＝2π．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0．评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。

定积分计算方法定积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、求解物体的质量和质心等问题。

本文将介绍三种常见的定积分计算方法：几何意义法、Riemann和法和不定积分法。

1. 几何意义法几何意义法是通过将曲线下面的面积分割为若干个几何图形的面积，并求和得出结果。

这种方法适用于简单曲线的定积分计算。

以求解函数f(x)在区间[a, b]上的定积分为例，我们可以将[a, b]区间等分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx=(b-a)/n。

然后，从第一个小区间开始，计算f(x)在该小区间上的函数值，乘以Δx得到该小区间上的面积。

接着，将所有小区间的面积相加，即可得到整个[a, b]区间上的定积分结果。

2. Riemann和法Riemann和法是通过将函数f(x)逐步逼近为一系列简单的几何图形，计算这些几何图形的面积之和来求解定积分。

首先，将[a, b]区间等分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx=(b-a)/n。

然后，在每个小区间上选择一个样本点xi，计算其函数值f(xi)，乘以Δx得到该小区间上的面积。

最后，将所有小区间上的面积相加，即可得到整个[a, b]区间上的定积分结果。

3. 不定积分法不定积分法是通过求解函数的原函数来计算定积分。

不定积分与定积分是相互关联的，可以通过求解定积分来得到不定积分，也可以通过求解不定积分来计算定积分。

对于给定的函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，那么F(x)称为f(x)的原函数。

在这种情况下，我们有∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

通过求解不定积分，我们可以得到函数的原函数F(x)，然后将原函数的上界和下界代入，计算得到定积分的结果。

总结定积分的计算方法有几何意义法、Riemann和法以及不定积分法。

根据不同的问题和曲线特点，选择合适的计算方法能够有效地求解定积分。

需要注意的是，在使用这些方法计算定积分时，正确地确定积分的上界和下界是非常重要的。

定积分计算方法总结

定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。

本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。

一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。

基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。

1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。

如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。

2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。

3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。

凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。

例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。

二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。

换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。

1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。

然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。

2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。

然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。

三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。

分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。

分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。

定积分计算方法总结

定积分计算方法总结 Final revision by standardization team on December 10, 2020.定积分计算方法总结一、不定积分计算方法1.凑微分法2.裂项法3.变量代换法1)三角代换2)根幂代换3)倒代换4.配方后积分5.有理化6.和差化积法7.分部积分法（反、对、幂、指、三）8.降幂法二、定积分的计算方法1.利用函数奇偶性2.利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1.积和式极限2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限3.洛必达法则4.等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则∫f (f )ff f f >=∫f (f )f f dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) 当0<x<兀/2时，2/兀<ffff f⁄<12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M ，最小值为m 则M(b-a)<=∫f (f )ff ff <=M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式[∫f (f )f (f )ff ff]∗f≤∫(f (f ))ff ∗f ff ∫f (f )%fffff4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3)常数变易法4)利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法。

定积分计算方法总结

定积分计算方法总结定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积、曲线长度、质量、动量等问题。

本文将总结几种常见的定积分计算方法。

1.基本积分法：也称为不定积分法，是定积分的基础。

通过求导的逆过程，可以将一些简单的函数反求积分。

例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等，都可以直接得到不定积分的表达式。

但对于复杂函数，基本积分法可能不适用。

2. 牛顿-莱布尼茨公式：也称为换元积分法。

该方法通过引入新的变量，将原积分转化为更简单的形式。

常见的换元变量有正弦函数、指数函数、幂函数等。

换元积分法的关键在于选择合适的换元变量，使得被积函数的形式变得更简单。

例如，对于∫sin(2x)dx，可以通过令u=2x进行换元，得到新的积分∫sin(u)du，再求解即可。

3. 分部积分法：也称为乘法积分法，是对乘积形式的积分进行处理的方法。

通过对乘积函数中的一个函数求导，另一个函数积分，可以将原积分转化为更简单的形式。

分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是可以求导或积分的函数。

该方法适用于许多复杂函数的积分计算，例如多项式函数与指数函数的积分。

4. 凑微分法：也称为凑常数法，是对积分式进行代换，使得被积函数的微分形式展开后更简单，从而进行积分的方法。

例如，对于∫x/(1+x^2)dx，可以通过令u=1+x^2进行代换，得到新的积分∫(1/u)du，再求解即可。

5. 变限积分法：该方法常用于计算曲线与坐标轴之间的面积。

当被积函数为连续函数时，可以通过使用反函数求解，将定积分转化为一系列不定积分的差值。

例如，对于求解曲线y=f(x)与x轴所围成的面积，可以将其表示为∫[a,b]f(x)dx=[F(x)]a^b，其中F(x)是f(x)的原函数。

通过求F(x)的反函数，可以将定积分简化为计算两个不定积分的差值。

6. 参数方程法：该方法适用于计算平面曲线围成的面积。

当曲线由参数方程给出时，可以通过将x或y表示为参数的函数，进而将面积转化为定积分的形式。

求定积分的四种方法

求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0．评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。

求定积分的四种方法

定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以1211x dx --⎰＝2π．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0．评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。

计算定积分的方法

计算定积分的方法定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。

计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。

一、几何法几何法是通过几何图形的性质计算定积分。

常用的几何法计算定积分的方法有：1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。

2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。

二、零散法零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。

常用的零散法计算定积分的方法有：1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。

2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。

3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。

三、换元法换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。

常用的换元法计算定积分的方法有：1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。

2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。

四、分部积分法分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。

常用的分部积分法计算定积分的方法有：1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。

2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。

以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。