二次函数的图像和参数的变化
二次函数的性质及其图像变化
二次函数的性质及其图像变化二次函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和图像变化。
本文将详细介绍二次函数的性质，并探讨其图像在参数变化时的变化规律。
一、二次函数的定义和一般式二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和图像的开合程度，b决定了图像在x轴方向的平移，c则是二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的性质1. 开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
2. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即y = 0的解。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)求得零点。
3. 顶点二次函数的顶点是指函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标则是将横坐标代入函数中得到的值。
4. 对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程可以通过将顶点的横坐标代入x = -b / (2a)得到。
5. 单调性二次函数的单调性是指函数图像在某个区间内的变化趋势。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
三、二次函数图像的变化规律在探讨二次函数图像的变化规律时，我们将分别讨论a、b、c的变化对图像的影响。
1. a的变化当a的绝对值增大时，二次函数图像的开合程度增加，即图像变得更加尖锐；当a的绝对值减小时，二次函数图像的开合程度减小，即图像变得更加平缓。
当a 的符号改变时，图像的开口方向也会改变。
2. b的变化当b增大时，二次函数图像整体向左平移；当b减小时，二次函数图像整体向右平移。
b的符号改变时，平移方向也会相应改变。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数的图像与常见变化
二次函数的图像与常见变化二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将从二次函数的图像和常见的变化入手，探讨其特点和应用。
首先，我们来看二次函数的图像。
一般来说，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
其标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
在图像的形状上，二次函数的a值决定了抛物线的开口大小。
当a的绝对值越大时，抛物线越“扁平”，开口越大；当a的绝对值越小时，抛物线越“瘦长”，开口越小。
这一特点在实际应用中十分有用，例如在物理学中，通过调整抛物线的形状可以模拟不同的物体运动轨迹。
其次，我们来探讨二次函数的常见变化。
二次函数的图像可以通过平移、缩放和翻转等变换来改变其位置和形状。
这些变化可以通过调整函数中的常数来实现。
首先是平移变化。
当二次函数的图像沿x轴平移时，可以通过改变b的值来实现。
当b大于零时，图像向左平移；当b小于零时，图像向右平移。
这种变化在实际应用中常用于描述物体在坐标轴上的位置变化。
其次是缩放变化。
当二次函数的图像在x轴或y轴方向上进行缩放时，可以通过改变a和c的值来实现。
当a的绝对值大于1时，图像在y轴方向上缩放；当a 的绝对值小于1时，图像在x轴方向上缩放。
而c的值则决定了图像在y轴上的位置。
最后是翻转变化。
当二次函数的图像在x轴或y轴方向上进行翻转时，可以通过改变a的符号来实现。
当a大于零时，图像不发生翻转；当a小于零时，图像在x轴方向上发生翻转。
这种变化在实际应用中常用于描述对称性。
除了以上常见的变化，二次函数的图像还可以通过其他方式进行调整，如通过改变a、b和c的值的组合来实现复杂的变化。
这些变化在数学和实际问题中都有广泛的应用，例如在经济学中，通过分析二次函数的图像可以预测市场的变化趋势；在工程学中，通过调整二次函数的图像可以优化设计方案。
二次函数y=ax2+c的图像和性质
抛物线y=x2 2021/3/28
向下平移 1个单位
抛物线
y=x2－1
28
抛物线y=ax2与y=ax2±c之间的关系是:
形状大小相同,开口方向相同,对称轴相同， 而顶点位置和抛物线的位置不同． 抛物线之间的平移规律:
向上平移
抛物线y=ax2 c个单位 抛物线 y=ax2+c
抛物线y=ax2
2021/3/28
-5
y=x -2 2 O
5x
10
-2
-4
-6 y=-x2-2
-8
当a>0时,抛物线y=ax2+c的开口 向,上对称轴
是 y轴，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的
增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大，
当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 c ;
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的
(1) y=5x2 向上,y轴 （0, 0) (2) y=-3x2 +2 向下,y轴 （0, 2) (3) y=8x2+6 向上,y轴 （0, 6) (4) y= -x2-4 向下,y轴 （0, - 4)
2021/3/28
11
（大本p89（7））已知二次函数y=ax2+c , 当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐 标)时,函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 （D ）
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
20|2a1/|3越/28 大,抛物线的开口就越小.
二次函数的参数与图像的变化规律
参数调整在数学建模中的应用
调整参数以优化模型 参数变化对模型稳定性的影响 参数调整在控制模型误差中的应用 参数调整在提高模型预测精度中的作用
参数变化在解决实际问题中的应用
优化问题：通过调整参数， 寻找最优解，解决优化问题
参数变化与顶点位置
当a>0时，抛物线开口向上，顶点 为最低点
当a<0时，抛物线开口向下，顶点 为最高点
b=0时，对称轴为y轴
c>0时，抛物线与y轴交于正半轴 c<0时，抛物线与y轴交于负半轴
参数变化与Байду номын сангаас像对称性
当参数a为正数时，二次函数的图像关于y轴对称 当参数a为负数时，二次函数的图像关于x轴对称 当参数b为正数时，二次函数的图像关于一、三象限对称 当参数b为负数时，二次函数的图像关于二、四象限对称
参数k：决定顶 点位置，k>0顶 点在y轴正方向， k<0顶点在y轴 负方向
参数变化规律： a、h、k的变化 都会影响图像的 形状和位置
开口大小
参数a：决定开 口大小，a>0时， 开口向上；a<0 时，开口向下
a的绝对值越大， 开口越小；a的 绝对值越小，开 口越大
图像对称轴：y 轴
顶点坐标：与参 数b和c有关， 一般形式为(b/2a, cb^2/4a)
添加标题
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添加标题
结合数学与其他学科，拓展二次 函数在实际生活中的应用。
未来研究方向将更加注重实际应 用，努力解决现实问题。
感谢观看
汇报人：XX
03
实际应用
利用参数变化优化图像
二次函数图像与参数课件
02
03
通过求导和分析导数的符号变化 ，可以判断高次多项式的单调性 和极值点。
04
感谢您的观看
THANKS
判别式的意义
判别式$Delta$决定了二次函数图像的根的情况。当$Delta > 0$时，方程有两个不相等的实根，抛物 线与$x$轴有两个交点；当$Delta = 0$时，方程有两个相等的实根，抛物线与$x$轴有一个交点；当 $Delta < 0$时，方程无实根，抛物线与$x$轴无交点。
02
二次函数图像特征
二次函数图像与参数课件
汇报人：XXX 2024-01-29
目录
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 参数变化对图像影响 • 典型二次函数图像分析 • 二次函数与实际问题应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
二次函数基本概念
定义与性质
定义
二次函数是一般形式为 $y=ax^2+bx+c$（$a neq 0$） 的函数，它描述了一个变量与另 一个变量的二次关系。
3
注意
以上内容中，$a,b,c,h,k$均为常数，且$aneq 0$。
03
参数变化对图像影响
a值变化对图像影响
当a>0时，二次函数的图像是一个开口向上 的抛物线。随着a值的增大，抛物线的开口逐 渐变窄，函数的增减速度逐渐加快。
当a<0时，二次函数的图像是一个开口向下 的抛物线。随着a值的减小，抛物线的开口逐 渐变宽，函数的增减速度逐渐减慢。
对称中心
对于标准形式的二次函数$y=a(x-h)^2+k$，其对称中心为 点$(h,k)$。
与坐标轴交点情况
1 2
与$x$轴交点
当$Delta=b^2-4ac>0$时，与$x$轴有两个交 点；当$Delta=0$时，与$x$轴有一个交点；当 $Delta<0$时，与$x$轴无交点。
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
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二次函数的图像和参数的变化二次函数是代数学中的一个重要概念，也是数学中常见的函数
类型之一。
在二次函数的研究中，了解它的图像和参数的变化十
分关键。
本文将从图像和参数两个方面，详细探讨二次函数的变
化规律。
一、二次函数的图像变化
由于二次函数具有一条抛物线的特点，所以它的图像形状较为
固定，但其位置和方向却可以通过参数的改变而产生相应的变化。
我们首先来研究二次函数在参数a不同时的图像变化。
1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上。
随着a的增大，抛
物线的开口越来越宽，同时顶点也向上移动。
当a=1时，抛物线
的开口最为标准，即为x^2函数的图像。
当a>1时，抛物线的开
口更加宽广；当0<a<1时，抛物线的开口变窄。
总之，参数a的
增大会让抛物线的开口变得更大。
2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下。
随着a的减小，抛
物线的开口也越来越宽。
当a=-1时，抛物线的开口最为标准，即
为-x^2函数的图像。
当a<-1时，抛物线的开口更加宽广；当-
1<a<0时，抛物线的开口变窄。
与正数的情况类似，参数a的减小会让抛物线的开口变得更大。
在参数a不变的情况下，我们再来关注参数p对二次函数图像
的变化影响。
1. 当p>0时，二次函数的抛物线的顶点向左移动。
随着p的增大，顶点距离原点的水平偏移越大，抛物线在原点的右侧越陡峭。
当p=1时，抛物线的顶点达到最小值，即抛物线在y轴右侧经过(1,0)的点；当p>1时，抛物线的顶点进一步向左移动。
总之，参
数p的增大会让抛物线的顶点向左移动。
2. 当p<0时，二次函数的抛物线的顶点向右移动。
随着p的减小，顶点距离原点的水平偏移越大，抛物线在原点的左侧越陡峭。
当p=-1时，抛物线的顶点达到最小值，即抛物线在y轴左侧经过(-1,0)的点；当p<-1时，抛物线的顶点进一步向右移动。
与正数的
情况类似，参数p的减小会让抛物线的顶点向右移动。
总结起来，二次函数的图像变化与参数a和p的变化密切相关。
参数a决定了抛物线的开口大小和方向，参数p决定了抛物线的
顶点位置。
二、二次函数的参数变化
除了图像的变化外，二次函数的参数还会影响其它一些重要性质，如顶点坐标、对称轴和零点等。
1. 顶点坐标：对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示函数在点x处的取值。
可
以看出，顶点的横坐标与二次函数的参数b和a有关。
当a>0时，顶点横坐标随着b的增大而减小，反之亦然；当a<0时，则相反。
顶点的纵坐标则与参数c有关，c的增大会使顶点上移，反之下移。
2. 对称轴：对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴的方程为x = -b/2a。
因此，对称轴的位置与参数b和a有关，当
b增大时，对称轴向左平移，当b减小时，对称轴向右平移。
而参
数a的正负决定了对称轴的倾斜方向。
3. 零点：二次函数的零点是指函数在x轴上的交点，即使函数等于0的点。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，其零点的个数和位置取决于判别式D = b^2 - 4ac的值。
当D>0时，函数有两个不同的零点；当D=0时，函数有一个重根；当D<0时，函数无实数零点。
综上所述，二次函数的图像和参数的变化是相互联系的。
通过改变参数a，我们可以控制抛物线的开口大小和方向；通过改变参数p，我们可以移动抛物线的顶点位置；而参数b和c则与顶点坐标、对称轴和零点等相关。
对二次函数的深入研究，有助于我们更好地理解它的性质和应用。