安培环路定理和磁通量
11-2 磁通量 高斯定理 安培环路定理.
n v v 安培环路定理 ∫ B ⋅ dl = µ 0 ∑ I i L i =1
一闭合路径的积分的值，等于 µ 0 乘以该闭合路径 闭合路径的积分的值， 的积分的值 包围的各电流的代数和. 所包围的各电流的代数和
v 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任 在真空的稳恒磁场中，
安培环路定理
n v v ∫ B ⋅ dl = µ 0 ∑ I i L i =1
令 当
2）选回路 . ）
d
R
L = 2 πR
B = µ0 NI L
2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
例3 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 ） ）
I
r>R
2π rB = µ0 I
v v ∫ B ⋅ d l = µ0 I
l
R R
L
r
2π r 2 v v πr 0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR 2 µ0r µ0 Ir 2π rB = 2 I B= 2 R 2π R
v 方向不同， （2）若不同电流元在 点dB ）若不同电流元在P点 方向不同，正交分解
B = ∫ dB
统一积 分变量
Bx = ∫ dBx
By = ∫ dBy
二、灵活选择微元，利用已有的结果用叠加原理求解 例3. 4
无限长载流 无限长载流 直导线
B=
µ0I
2πr
圆电流中心 圆电流中心
B =
µ0I
2R
三、安培环路定律 安培环路定律
v v ∫ B ⋅ dL = µ 0 ( I 1 − I 2 + 2 I 3 )
v v v ∫ B ⋅ dL = 0; 但：B ≠ 0
2、磁场的高斯定理和安培环路定理
L
B dl o I i
L
S
B dS 0 j dS
S
B 0 j
安培环路定理的物理意义 磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线 是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈， 通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均 匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很 弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺 线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是 均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定 则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L
磁场中的磁通量与安培环路定理
磁场中的磁通量与安培环路定理磁通量与安培环路定理是电磁学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的联系。
磁通量是衡量磁场强度的物理量，而安培环路定理则描述了电流在闭合路径上产生的磁场。
它们的关系既有理论基础，又有实际应用。
首先，我们来了解一下磁通量的概念。
磁通量是在磁场中通过一个给定面积的总磁场线数，用符号Φ表示。
它是在单位时间内通过单位面积的磁场线数，即磁场线的密度。
磁通量是用于描述磁场的强弱的一个重要参量，单位是韦伯(Wb)。
磁通量与磁场的关系可以用下式表示：Φ = B·A·cosθ其中，Φ表示磁通量，B表示磁场强度，A表示面积，θ表示磁场线与法线之间的夹角。
从这个式子可以看出，当磁场线垂直于面积时，磁通量最大；当磁场线平行于面积时，磁通量为零。
接下来，我们来了解一下安培环路定理。
安培环路定理是在1836年由法国物理学家安培提出的，它描述了电流在闭合路径上产生的磁场。
根据安培环路定理，沿着一条闭合路径，磁场的总磁通量等于该路径内的电流的代数和的N倍，即Φ=A·μ_0·I_N。
在这个公式中，Φ表示磁通量，A表示路径的面积，μ_0表示真空磁导率，I_N 表示通过该路径内的电流的代数和。
公式中的N表示电流回路的圈数，它表示电流环路绕行的次数。
根据安培环路定理，电流越大、回路圈数越多，产生的磁场强度就越大。
安培环路定理与磁通量的关系可以通过一个简单的实验来说明。
我们可以将一个螺线管放在一个磁场中，然后通过螺线管中的电流产生一个磁场。
根据安培环路定理，螺线管所包围的磁通量等于螺线管中的电流的代数和的N倍。
通过这个实验可以得出一个结论：当电流通过螺线管增大时，螺线管所包围的磁通量也会增大。
这就说明了电流对磁场强度的影响。
这一结论对于理解和应用电磁学理论有着重要意义。
磁通量与安培环路定理不仅有理论上的意义，还有着广泛的应用。
例如，在发电机和变压器中，磁通量的变化可以产生感应电动势，从而实现电能的相互转换。
磁场中的磁通量与安培环路定律
磁场中的磁通量与安培环路定律磁通量是描述磁场强度的物理量，而安培环路定律则是磁场与电流之间的重要定律。
本文将详细介绍磁通量和安培环路定律以及它们之间的关系。
一、磁通量的概念和计算磁通量是描述磁场穿过某个曲面的总磁力线数目的物理量。
它的符号为Φ，单位为韦伯（Wb）。
磁通量的计算可以使用以下公式：Φ = B·A·cosθ其中，B表示磁场的磁感应强度，A表示曲面的面积，θ表示磁场线与法线之间的夹角。
在实际应用中，我们常常需要计算通过一个闭合曲面的磁通量。
根据高斯定律，当闭合曲面内没有磁单极子存在时，通过闭合曲面的总磁通量为零。
这一定律被称为高斯磁定理。
二、安培环路定律的基本原理安培环路定律描述了磁场强度和绕过电流的闭合曲线之间的关系。
它的基本原理可以概括为：“磁场强度的环流等于通过这一环路所包围的总电流”。
安培环路定律可以用以下公式表示：∮B·dl = μ0·I其中，∮B·dl表示沿闭合曲线的磁场强度的环流积分，μ0表示磁导率，I表示通过闭合曲线所包围的总电流。
通过安培环路定律，我们可以计算封闭曲线上的磁场强度。
这在磁场计算和电磁感应等领域具有重要的应用价值。
三、磁通量与安培环路定律的关系磁通量和安培环路定律之间存在着密切的关系。
根据安培环路定律，对于任意封闭曲线，通过该曲线所包围的总电流等于封闭曲线上的磁场强度的环流积分。
根据高斯定律，当通过一个封闭曲面的磁通量为非零时，该封闭曲面内存在磁单极子。
然而，根据实验观察和理论研究，至今尚未发现磁单极子的存在。
因此，磁通量为零的情况更符合实际情况。
根据这一观察和推理，我们可以得出结论：通过任意封闭曲面的磁通量等于零。
换句话说，磁通量的总和为零。
这与通过安培环路定律得到的结果相吻合。
四、磁通量和安培环路定律的应用磁通量和安培环路定律在许多领域都有广泛的应用，特别是在电磁感应和电路分析中。
在电磁感应中，根据法拉第电磁感应定律，当磁通量通过一个线圈变化时，线圈中会感应出电动势。
高斯定理和安培环路定理
r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
2、任意两条磁力线在空间不相交。 3、磁力线与电流方向之间可以用右手定则表示。
二.磁通量
磁场的高斯定理
静电场： e E dS qi / 0 S 磁 场： B dS ?
B dN dS
d B dS BS cos
m
通过面元的磁力线条数 —— 通过该面元的磁通量
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
讨论 (1) 积分回路方向与电流方向呈右手螺旋关系 满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0
(2) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想 的一段载流导线不成立
例如 图中载流直导线, 设 θ 1 θ 2 / 4 则 L 的环流为:
B dl
L
I
2
L 4a cos1 cos 2 dl
2 2 2a
0 I
a
0 I
4a
2
0 2I
2
L
0 I
磁场的高斯定理和安培环路定理
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
大学物理-磁场 安培环路定律
Φ BS cos BS
s
一般情况 Φ s BdS
dS2
B
S 2
dS1
1
B1
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
B2
SB cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通
量必等于零（故磁场是无源的）.
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
n
安培环路定理
B dl 0 Ii
i 1
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B沿任
一闭合路径的积分的值，等于 0乘以该闭合
路径所穿过的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定： I 与 L 成右螺旋
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
B
dl
0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若 B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
应用 安培环路定理的应用举例
例1
求载流螺绕环内的磁场
解 （1）对称性分析：环内B 线为同心
B dl B 2r 0 I
B 0 I 1 2r r
I
r LR
r L
分布曲线
B
0 I 2R B r
B 1 r
o
R
r
例4 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
解 如图，作安培环路
abcda，应用安培环路 定理
b
l B d l 2a B dl
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
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安培环路定理和磁通量
安培环路定理是电磁学中的一项重要理论，描述了电流所产生的磁场与其所包围的闭合路径之间的关系。
同时，磁通量也是电磁学中的一个重要概念，用来描述通过某一闭合曲面的磁场总量。
本文将详细介绍安培环路定理和磁通量的概念、原理以及应用。
一、安培环路定理的概念与原理
安培环路定理是在静电场中对于电场环路定理的推广，描述了在定常磁场中沿闭合路径的环路线积分等于该路径所包围的电流的总和倍数。
该定理规定了电流对于磁场产生的影响，从而使我们能够通过测量磁场的大小和电流的大小来获得其他物理量的信息。
安培环路定理的数学表达形式为：
∮ B·dl = μ0·I，
其中，∮ B·dl表示磁场强度B沿闭合路径的环路线积分，μ0为磁导率，I表示路径所包围的电流。
二、磁通量的概念与计算
磁通量是描述磁场穿过一个给定曲面的总磁力线量，用Φ表示。
磁通量的计算可以通过对磁场强度在曲面上的面积分来实现。
假设有一个平行于磁场的面A，磁场的垂直分量为B，面积为A，则磁通量Φ的计算公式为：
Φ = B·A·cosθ，
其中，θ为磁场B与面A的夹角。
三、安培环路定理与磁通量的关系
根据斯托克斯定理，可以将安培环路定理与磁通量联系起来。
斯托克斯定理表明，磁场强度B沿闭合曲线的环路线积分等于曲面S上的磁感应强度B在该曲面上的面积分。
即：
∮B·dl = ∬（∇×B）·dA，
其中，∮B·dl表示闭合曲线上磁场B的环路线积分，∬
（∇×B）·dA表示曲面S上磁感应强度B的面积分。
根据斯托克斯定理，可以得到安培环路定理与磁通量之间的关系：∮B·dl = ∬（∇×B）·dA = ∬J·dA = I，
其中，∮B·dl表示磁场强度B沿闭合路径的环路线积分，∬J·dA表示电流密度J在曲面上的面积分，I为经过闭合路径包围的电流。
由此可见，安培环路定理可以通过磁通量的计算来表示，而磁通量则可以通过对磁场强度在闭合曲面上的面积分来计算。
四、安培环路定理与电磁感应的应用
安培环路定理广泛应用于电磁感应的研究和电路的设计。
在电磁感应中，由于磁场的变化会引起电场的变化，从而产生感应电动势。
利用安培环路定理可以轻松推导出法拉第电磁感应定律，即感应电动势的大。