静电场环路定理
视dq为点电荷 dq
dU
4 0
dq U dU
Q 4 0r
4、电势迭加原理
r
L
s
V
dl
4 0r dS
4 0r dV
4 0r
dq
r P
Q
电场中任意一点的电势，等于各带电体单独存在
时在该点产生的电势的代数和
n
U ui
i 1
U
P
P
E
P
dl
E
dl
E
r
dr
பைடு நூலகம் q
4 0
1 r r2
dr
1
4 0
q r
例2 、求电偶极子电场中任一点P的电势
由叠加原理
Y
uP
u1
u2
q
4 0r1
q
4 0r2
q(r2 r1 )
4 0r1r2
P( x, y)
r l r2 r1 l cos
28.8 102V
q1
q2
O
r
q4
q3
②将 q0 1.0 109 c 从 0 电场力所作的功
A0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8 102 ) 28.8 107 J
③求该过程中电势能的改变
A0 W W0 28.8 107 0 电势能
x2
u
q
qx
E 4 0 ( x 2 R2 )32
qxdx
Edx
xp
xp 4 0 ( x 2
R2
3
)2
4 0r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q
解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
其面积dS 2 ( R sin )( Rd ) dq dS 2R2 sind
1、电场力作功的特点 ⑴ 单个点电荷的电场
dA F dl q0 E dl q0 E cosdl
其中 cosdl dr
则
dA q0Edr
q
ra
b
rb
r dr r
a
dr c dl
cE
b
A q0 Edr
a
rb ra
qo
q
4 0r 2
E
2 or 2
r
而U
A E dl
Q
取dl
dr
U
a r
2 0r 2
r dr
2 0
lnn aa
r
ln r
A 选UA 0
aQ
对于延长线上的P点
r
1 dx
dU
4 .0 (r x)
2l
UP
l
q l cos
u
4 0
r2
r1r2 r 2
q
r2
r r1
O q
X
其中 r 2 x2 y2
l
cos x
x2 y2
u
1
4 0
(x2
px
3
y2)2
课堂练习：
已知正方形顶点有四个等量的电点荷
q 4.0109C r=5cm
① 求u0
u0
4
q1
4 0r
L
S
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
s ( E) dS 0
E 0;或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。
高斯定理的微分形式。
E 0 该矢量场有源 e 0
环路定理的微分形式。
E 0;或者rotE 0
dU
1
dx
l 4 0 r x
o
x dx
r
ln r l 4 0 r l
q ln r l
8 0l r l
Px
课堂练习 如图所示，求o点处的场强和电势
解：由迭 加原 理知
E E1 E2 E3 而E1＝ －E2 E E3＝ E3xi E3 y j
A
B E cos dl En C(常 数)
A
E大，n小；E小，则n大。
课堂练习：
由等势面确定a、b两点场强的方向,比较其大小 Eb
已知 u1 u2 u2 u3 0
Ea
b u3
2、电势梯度
a
⑴ 梯度——标量函数沿其等 值面法线方向的变化率
u2 u1
⑵ 电势梯度
r1
n
i 1
n
q1
u E dl Ei dl Ei dl
P n
i 1
ui
P
u1
i 1
u2
i 1 ri
...... un
n i 1
qi
4 0ri
P
r2 P
qnrn
3、任意带电体电场的电势
a
a
a
A1
A2
An
i
q0qi
4 0
(
1 ria
1 rib
)
⑶ 作功特点
试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功 只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
静电场是保守力场
2、静电场的环路定理
⑴定理内容
q E rb
ra 0
dl
qq0
4 0
1 ( ra
1 )
dx
dx
dU
4 0r 4 0 x2 r 2
Q点的总电势
l 1 dx
l
U dU 2
ln
0 4 0 r 2 x2 2 0
q
l l2 r2 ln
4 0l
r
r
l2 r2 r
问题：若带电直线→∞，能不否能用取上无述穷方远法为得电到势结零果点？！
a
三、电势的计算
1、点E电 荷 电4场q0的r 2电r0势
q
q r0
r
q
uP P E dl r 4 0r 2 dr 4 0r
注意点：由电势函数看电势分布特征
2、点电荷系电场的电势 n
q2
E E1 E2 ....... En Ei
du dn
n
u
x
i
y
j
du dq 1 2R2 sind
4 0l 4 0
l
q sind
8 0l
rR
d
R O
l
rP
由图 l 2 R2 r 2 2Rr cos
2ldl 2rR sind
qdl du
8 0rR
r R qdl
q
u
r R 8 0rR 4 0r
dl
E
b、电场线总是指向电势降低的方向
b
if 任:U意A 相U邻B 等AB势E 面dl 之 间AB E的co电s势dl＞差0
沿场线积分，cos＝0 then : U A＞UB
U
UA
UB
E
A
B
c、电场线密集的地方，等势面也比较密集
U A UB
B E dl
由电势差定义
uAB
uA
uB
B E dl
A
q RB
RA 4 0r 2
dr
q
4 0
1 ( RA
1 RB
)
例5、计算有限长均匀带电直线中垂线上一 点Q
和延长线上一点P的电势。
已知：长度为2l，单位长度上的电量
q
2l
解：取电荷元dq=λdx
选无穷远为电势零点，则dq在Q点的电势
上节回顾
一、电场线与电通量
de E dS
二、高斯定理
e E dS或e E dS
S
S
1、定理内容
e
s
E dS
1
0
q内
2、定理的验证
3、高斯定理的微分形式
divE
E
1
0
e
§9－3 静电场的环路定理 电势
一、静电场的保守性与电势能
dl d 3
R R
1
o
R 2
x
E3x dE3x dE cos 0
y dE
E3 y dE3 y
l3
dE sin
0
dl 4 0R2
sin
0
4 0R
sind
E E3 y 2 0R
O点处的电势： U U1 U2 U3
q
4 0 R
q
u
r
4q0r 2
dr
4 0r
R
O
r＜R
rR rR
P
r＞R
课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面的电势差 已知+q 、-q、RA 、RB
合集下载
静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
6-3 静电场的环路定理和电势
V(r>R)
1
4 0
q r
练习 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处 为电势零点，则 M点的电势为
2q P M
a
a
（A） q
2π 0a
（C）
q
8π
0
a
q
（B）
4π 0a
（D） q
4π 0a
练习 在点电荷q的电场中，选取以q为中心，R为半 径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离 为r的P’点电势为
A
（D）电场力作的功 W 0
电势的求解方法
（1）利用电势叠加原理
VP
dq
4π0r
使用条件：有限大带电体且选无限远处为电势零点.
（2）利用电势的定义
V 0点
VA E dl
A
使用条件：场强分布已知或很容易确定.
均匀带电球面：
V( r R )
1
4 0
q R
四 电势
1、电势
VA
EpA q0
E dl
AB
(VB 0)
q0
A
B E
物理意义：描述电场能的性质，某点的电势在数值上等于将单 位正电荷从该点沿着任意路径移到零势能点时电场力所做的功.
B
电势差（电压）：U AB VA VB
E dl
A
WAB q0 (VA VB ) (EPB EPA)
位置有关，与路径无关.
B
dr
dl
q0
E
二 静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
04静电场的环路定理 电势
R
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
第10章静电学-3-静电场环路定理
+q
11
(2)电荷分布如图所示, 将点电荷qo从a 经半圆b移到c的 过程中, 电场力对qo的功？
解 Aac qo (Ua Uc )
b
Ua
q
4o R
q
4o R
0
-q
a
+q R
o
c
Uc
q
4 o (3 R)
q
4o R
R
R
q
6o R
Aac
qqo
6o R
12
例10-14 一均匀带电直线段，长为L，电量为q ;取无穷远为电 势零点，求直线延长线上离一端距离为d 的P点的电势。
9
③对于电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多电荷元
dq，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为
dU dq 4πε0r
根据电势叠加原理
U
V
dq
4 0r
dl dq dS
dV
积分遍及整个带电体，V是带电体的体积。
电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场的总电 势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的代数和。
(3)电势差：
b
Uab Ua Ub E dl
a
静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷由a沿任意路 径移至b过程中电场力做的功。
电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。
6
由Wa
q
零势点 E
a
dl ,
得 Wa qUa
由Aab
q
b
E dl
a
Wa Wb ,
得 Aab q(Ua Ub )
(3)等于场强从该点沿任意路径到零势点的线积分。
说明：
(1)电势是相对量，要确定场中各点的电势必须选定电势零点。
09-4静电场的环路定理和电势
电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
静电场环路定理
方法二 定义法 先由高斯定理求出场强分布
q
再由定义 u E dl
rR
P
E
4 0 r 2
rR
0
rR
rR
u E dl E dl
R r R
R
O
r＜ R
P
r＞ R
0
q
2
4 0 r q 4 0 R
R
dr
u
2 2
方法二 定义法 已知轴线上的场强分布函数
E qx
2
4 0
R x
u Edx
4 0 ( x R ) qxdx
2
3
2
q
xp
xp
4 0 ( x R )
2 2
3
2
4 0 r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
q
r1 r2 r
2
r2
l cos u 2 4 0 r
其中
q
O
r r 1
q
X
r x y
2 2
2
l
u 1 4 0
2
cos
x x y
2 2
px (x y )
3 2 2
课堂练习： 已知正方形顶点有四个等量的电点荷 q1 q 4.0 10 9 C r=5cm
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
( E ) dS 0
s
E 0; 或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。 高斯定理的微分形式。
静电场的环路定理
8-7 电势
一 电势
1 电势VA
定义：电场中A点的电势
VA
E pA q0
EpA q0 AB E dl EpB
A
B
E
VA AB E dl VB (VB为参考电势，值任选。)
令 VB=0，则有： VA AB E dl
VA
B
A
E
dl
(B点为电势参考点)
电势是标量，它的单位是伏特简称伏，符号为V。 电场中A点的电势在数值上等于把单位正电荷从 点A移到无穷远时，静电场力所作的功。 电势零点的选取可视问题性质而定。
与该路径的形状无关。
说明：静电场力是保守力，静电场是保守场。
二 静电场的环路定理
q0沿闭合路径l移动一周，电场力作功为：
W
l
q E dl 0
q 0
l
E dl
A
又由静电场力作功特点知：W=0
E
则：
q 0
l
E dl
0
q 0 0
l E dl 0 此即静电场的环路定理
式中 l E dl 称为电场强度矢量环流。
o
x
环心和无穷远处的电势
x0，V0
q
4 0
R
x
R，VP
q
4
0
x
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dq 2 rdr
dVP
1
4 0
2 rdr
x2 r2
r
Ro
VP
1
4 0
R
0
2 rdr
x2 r2
2 0
(
x R
静电场环路定理
l
i
l
结论：静电场力做功，与路径无关.
10-4 静电场的环路定理
静电场的环路定理
q0 E dl q 0
q 0 ( E dl
ABC
ABC
E dl 0
l
CDA
E dl ) 0
A
ADC
E dl
B
D
C
E
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
q1
r1
n
n
U i
i 1
i 1
Ei dl
E3
q2
r2
E2
q3
r3
A
E1
10-4 静电场的环路定理
电荷连续分布时 dq dV
dq dU 4πε0 r
1 dq UA 4πε0 r
dq
r
A
10-4 静电场的环路定理
计算电势的方法
q
令 U 0 qdr U E dl r 2
r
4πε0 r
er
r
q U 4 πε0 r
10-4 静电场的环路定理
四
电势的计算
点电荷系 E Ei
i
qi UA i 1 4 π ε0 ri
n
UA
A
E dl
A
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl q0 E cos dl
i
l
结论：静电场力做功，与路径无关.
10-4 静电场的环路定理
静电场的环路定理
q0 E dl q 0
q 0 ( E dl
ABC
ABC
E dl 0
l
CDA
E dl ) 0
A
ADC
E dl
B
D
C
E
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
q1
r1
n
n
U i
i 1
i 1
Ei dl
E3
q2
r2
E2
q3
r3
A
E1
10-4 静电场的环路定理
电荷连续分布时 dq dV
dq dU 4πε0 r
1 dq UA 4πε0 r
dq
r
A
10-4 静电场的环路定理
计算电势的方法
q
令 U 0 qdr U E dl r 2
r
4πε0 r
er
r
q U 4 πε0 r
10-4 静电场的环路定理
四
电势的计算
点电荷系 E Ei
i
qi UA i 1 4 π ε0 ri
n
UA
A
E dl
A
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl q0 E cos dl