(完整版)静电场环路定理电势
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静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
63静电场环路定理电势
E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能 比 重力做功 保守力 重力势能
较 静电场力做功 保守力 电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl
§8-4静电场的环路定律电势(精)
dq C V p dV V E d l p Q 4 r p 0 关于电势零点的选择: •原则上可以任意选取; VC (rC ) 0. •源电荷分布在有限区域,自然有: •源电荷分布为无限大时,可指定电势零点, 可令 V p (r p ) 0 V p V p V p0 0 0
0
(Wb Wa ) W 电场力对qo作功=静电势能减少 •电势能属于qo与电场系统所有. •场点a 的电势能是相对电势能零点的. 取C为电势能零点,WC= 0.选择原则:任意
a点的电势能为: W A q C E dl a a0 0
a
Wa Wb Aab q 0 E dl
[例1] 已知: q1=-q2=410-8C, r =0.1m, q0=110-8C,将电荷q0从a点移到b点时, 静电场力所作的功为多少? q1 q0 q2
r a r r
b
V a =V q 1 + V q 2 = 0 q1 q2 q1 q 1 ( + 2) Vb= + = 4 4 πε o3r πε o r 4 πε o r 3 8 9 1 4.0 4.0)×10 = 9 ×10 ×0.1 ( 3 = 2.40×10 (V)
点电荷的等势面
+
带电平行板电容器 电场的等势面
++ ++ + + + + +
电偶极子的等势面
+
二. 电势梯度与电场强度的关系
dV E en gradV dn V V V Ex Ey Ez x y z [ 例1 ] 已知均匀带电圆环轴线上任一点 q 的电势为: V q 2 2 1/ 2 40r 40 (x R ) 求:轴线上任一点的场强 V q x E Ex [ 2 ] 2 3 /2 x 40 (x R )
静电场的环路定理 电势
· · a O
2
均匀带电球体内、外的场强： E内 r 3 0 均匀带电球体内某点的电势
2 腔内电势: U ( r ) U 1 U 2 [( 3 R12 r 2 ) ( 3 R2 r 2 )] 6 0
对O2点，r a, r 0
U r
(2) 点电荷系的电势
qi UA i 4 π ε0 ri
推广：
E Ei
A
U Ui
i
r1
q1
r2 ri
qi
rN
qN
电势叠加原理 （标量叠加）
q2
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
(3) 有限连续带电体
【方法一】微元分割＋积分法
Q
dq
e
带电体
r
A
UA ? dU 4 0 r
但在工程技术中，取大地、仪器外壳等为电势零点； （2）电场的电势分布确定后，电场力做功
W AB q0 (U A U B )
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
2、电势的计算 (1) 点电荷的电势
q
+
A
积分至无穷远
r
E
q U (r ) 4πε0 r
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
3 解：取如图所示C点(0,3R/2) 0, R r 2 根据对称性 U B U C O A x C 补上下半球面成为完整球面后 y B Q R U A 4 0 R 0 R U U UC AC A 3 0 Q 2R UC 4 0 ( 3 R / 2) 3 0 1 R 再由根据对称性 U AB U AC U AC 2 6 0
6-3 静电场的环路定理和电势
V(r>R)
1
4 0
q r
练习 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处 为电势零点，则 M点的电势为
2q P M
a
a
（A） q
2π 0a
（C）
q
8π
0
a
q
（B）
4π 0a
（D） q
4π 0a
练习 在点电荷q的电场中，选取以q为中心，R为半 径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离 为r的P’点电势为
A
（D）电场力作的功 W 0
电势的求解方法
（1）利用电势叠加原理
VP
dq
4π0r
使用条件：有限大带电体且选无限远处为电势零点.
（2）利用电势的定义
V 0点
VA E dl
A
使用条件：场强分布已知或很容易确定.
均匀带电球面：
V( r R )
1
4 0
q R
四 电势
1、电势
VA
EpA q0
E dl
AB
(VB 0)
q0
A
B E
物理意义：描述电场能的性质，某点的电势在数值上等于将单 位正电荷从该点沿着任意路径移到零势能点时电场力所做的功.
B
电势差（电压）：U AB VA VB
E dl
A
WAB q0 (VA VB ) (EPB EPA)
位置有关，与路径无关.
B
dr
dl
q0
E
二 静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
09-4静电场的环路定理和电势
电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
静电学03环路定理和电势
带 电
a
板
VP
Vpq
Vp板
a qdx
a/2 4 π0x2
a ( ) d x a / 2 20
q ( 1 1) a q a 4 π 0 a / 2 a 20 2 4 π 0a 40
例 用静电场的环路定理证明电力线如图分布的 电场不可能是静电场。
D C
AB
证明 在电场中作扇形环路 ABCDA，
PB
vv E dl UB
令 UB 0
UP
rB
v E
drv
r
rB r
2π 0r
er
dr
ln rB 2π 0 r
oB
rB
r
P
r
例. 电荷分布如图所示，设 q >0, >0， 求P点电势
能否选无限远处为电势零点？
q•
可统一选大平板处 P0 点电势为零，
无
P
p0
限 大 均
匀
a /2
1. 点电荷的电势：V q
4π 0 r
2. 点电荷系的电势：(q1,q2,…qn)
V
n
Vi
i
n i
qi
4π 0 ri
3.电荷连续分布带电体, 场中 P 点电势：
dq
V 4π0r
线电荷分布 dq dl 面电荷分布 dq dS
体电荷分布 dq dV
例 求半径为R的均匀球面电荷q的电场强度和电势分布？
2
dr
q
4π 0 r
VA
E dr
A
A (E1 E2 En ) dr
A E1 dr A E2 dr
A En dr
VA
n
2023-2024学年高二下学期物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
四、电势差
Q Aab qo
bv v a E dl Wa Wb
电势差：
b
E dl
Wa
Wb
a
qo b qvo v
Uab Va Vb
E dl
a
结论：静电场中a,b两点的电势差，在数值上等于 将单位正电荷从a点移至b点电场力所作的功。
Aab W Wa Wb qo (Va Vb )
二、电势能（W）
Wa q0
Wb
保守力作功等于势能的减少 a
b
b
Aab qo a E dl Wa Wb W
Wa,Wb的量值是相对的量；与零势能参考点的选取 有关，而势能的增量 W与零势能点选取无关是绝对
的量.
1、对有限的带电体选无限远处作为电势能零点，
Aa
qo
a
E dl
Wa W
1) rib
电场力是保守力
qi ria
qn a
qo
3、若q0在电场中沿L运动一周
A lqo E dl 0
q0
静电场的环路定理：
l
静电场中电场强度 E的环流为零。
l E dl 0
结论：一定量的电荷在静电场中移动时，电场力所作 的功只与电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无 关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
致冷系数：
Q2 Q2
A Q1 Q2
K‘系观察者测得相对他静止的棒的长度为：
l0 x2 ' x1 ' l0 称为固有长度
问：在K系中观察者（相对棒运动的观察者）测得
的棒的长度为多少？
他测得棒两端的坐标为x1和x2, t1=t2=t（同时测）
则棒长 l= x2-x1
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
静电场的环路定律与电势
E dl
Q 4π 0 r
dl dr
1）公式
r
r
ˆ dr r 2
r
Q 4 0 r
2
dr
Q 4π 0 r
2）说明：
①Q含符号，
■ ②∞为电势零点。 14
（2）点电荷系的场
1）公式
P 0 P 0 E dl Ei dl Ei dl
a b
1）定义：静电场中a、b两点的电势差等于电场 力把单位正电荷从a点移到b所做的功。■ 11
2）说明： ①若求任意点的电势，则需选一电势零点 ， 如选b点为电势零点，则 a点的电势：
a E dl
a
b
②积分路径为连接a、b两点的任意路径。
③电势零点的选择(参考点)任意，视分析问题 方便而定，参考点不同电势不同。■
dq
ra
结论： 电场力的功与路径无关，只与始末位置及试 验电荷的电量有关。 对闭合路径，A=?
F dl q 0 E dl 0
■
5
2、静电场力的功的特点： 只与始末位置及试验电荷的电量有关，而与具 体的路径无关。
｛静电场是保守力场。
F d l 0
§4.4 静电场的环路定理 和电势(electric potential) 4.4.1静电场的保守性 4.4.2静电场的环路定理
4.4.3电势(electric potential)
4.4.4由电势求电场强度
1
4.4.1静电场的保守性
1、静电场力的功 （电荷q0在电场中移动时静电场力所做的功） 1）点电荷激发的场：
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E dl
p
q1
r1
E2
q2
r2 P
E1
p (E1 E2 ) dl
q1 dr
r1 4 0r 2
q2 dr
r2 4 0r 2
q1 q2
40r1 40r2
对n 个点电荷
n
u
qi
i1 40ri
• 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
ua
Aa"0" q0
"0" E dl
a
中电场力作的 功。
• 电势的理解： 1.电势是标量，电势的正负由电势零点的选取而定
如 q
若 U 0
a Ob
则Ua E dl 0
a
Ub E dl 0
b
若 U0 0
0
则Ua E dl 0
a
0
Ub E dl 0
b
2. 电势的单位：伏。
1) rc
c qE dl
a
a qQ
40
(1 ra
1 rc
)
两点的电势能差：
Wa Wb
b qE dl
(1 1)
a
40 ra rb
§10.5 电势 电势差
a点电势在量值 上等于：将单
一. 电势（电势是从能的角度来描述电场分布的物理量） 位正电荷
a“零”过程
• 电势定义
ua
Wa q0
对连续分布的带电体 u
dq
V 40r
——标量积分
三.电势的计算
（1） 已知电荷分布 u
dq
方法
V 40r
（2） 已知场强分布 u p
"0" E dl
p
例 均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为。
求 圆环轴线上一点的电势
解 建立如图坐标系，选取电荷元 dq
dq dl
dq r
R
O
Px
du dq
§10.4 静电场的环路定理 电势能
一.静电力作功的特点
• 单个点电荷q 产生的电场中移动试验电荷q0
b
A F dl a(L)
rb
b
O
a(L) q0E dl
q
b
a(L) q0E dl cos dl cos dr
r
ra
a
b
d
40
rb ra
1 r2
dr
qq0 ( 1 1 )
力学
保守力场
引入势能
静电场
保守场
引入静电势能
三. 电势能
b
• 电势能的差
定义：q0 在电场中a、b 两点电势能
E
之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点过程 中电场力所作的功。
q0 a
b
Wa Wb Aab a q0E dl
• 电势能
取势能零点 W“0” = 0 q0 在电场中某点 a 的电势能：
"0"
Wa Aa"0" a q0E dl
说明
(1) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。
(2) 电荷在某点电势能的值与零点选取有关,而两点的差值与 零点选取无关
(3) 选势能零点原则： • 当(源)电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选在 无穷远处。 • 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。 • 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。
利用定义计算电势――已知 E 的分布，求U
例 ：均匀带电球面，R, q ，求电场中任一点的电势。
q
R O
E
P
q
40r 2
，r
R，方向沿半径向外
0，r R
（ r=R 时，场强值突变，不连续。）
有限大带电体 U 0
i 40 rai rbi
结论
L
a•
q1 q2
qi qn1
qn
电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力
是保守力，静电场是保守力场。
二.静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功
Aaba F dl q0E dl
b
b a
a(L1) q0E dl b(L2 ) q0E dl
例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，有
一带电量为q 的点电荷 求 q 在a 点和 b 点的电势能
b
解 选无穷远为电势能零点
Wa
qE dl
a
40ra
Q
c
q
Wb
qE dl
b
4 0 rb
选 C 点为电势能零点
Wa
Wb
c qE dl
(1
b
40 rb
• 电势差
uab
ua
ub
Wa q0
Wb q0
Aab q0
b E dl
a
单位正电荷自ab 过 程中电场力作的功。
• 点电荷的电势
ua a E dl
E
q
40
1 r2
r0
dl
dr
r0
q r
ua
q
40
dr r r2
q
4 0 r
a dl
二. 电势叠加原理
• 点电荷系的电势
up
静电场是无旋场
E
dl
讨论
(1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验
一个电场是不是静电场。
b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a E1dl c E2dl
0
不是静电场
a
b
d
cE
(2) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。
q
1
40 x2 R2
1 )
x2 R2 x
注：和方法1相比较复杂
例 ： 均匀带电圆盘，R 求中心轴线上任一点的U
解： dU
2 rdr
1
40 (r 2 x2 ) 2
r
P
x
R
U 0
2 rdr
1
40 (r 2 x2 ) 2
2 0
R rdr
0
1
(r2 x2 )2
( R2 x2 x) 2 0
40 ra rb
(与路径无关)
• 任意带电体系产生的电场中
电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有
b b
Aab
F dl
a(L)
a(L) q0E dl
b •
b
n
a(L) q0 ( Ei ) dl
i1
n b
a(L) q0Ei dl i1
qiq0 ( 1 1 )
L1
b b
a(L1) q0E dl a(L2 ) q0E dl
L2
a
0
E dl 0 ——环路定理（场强的环流为零） L
例：由静电场的环路定理证明：静电场的 电力线不能是闭合曲线
证：反证法，设静电场的某条电力线 是闭合曲线
LE dl LE cosdl 0
与静电场的环路定理矛盾 结论： 静电场的电场线不可能是闭合的
dl
40r 40 R2 x2
up
2R
dl
0 40 R2 x2
2R 40 R2 x2
dq
r
方法II：
为势能零点
R
O
Px
UP
E dl
P
E cosdl
P
沿ox轴积分
其中：E
1
4 0
(x2
qx R2 )3/ 2
cos 1 dl dx
1
qx
q
U P x 40 (x2 R2 )3/2 dx 40 (