静电场的环路定理
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静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
静电场的环流定理的内容
静电场的环流定理一、静电场和环流定理的定义静电场是指空间中存在电荷而产生的电场。
电场又分为静电场和动态电场，前者指的是电荷分布不随时间变化的电场，而后者则是电荷随时间变化的电场。
环流定理是电磁学中的一个重要定理，描述了电场的环流与电荷分布的关系。
根据环流定理，静电场中的环流的散度等于该区域内的总电荷。
二、环流定理的数学表达根据环流定理，可以得到如下的数学表达式：∮ B · dl = μ0 * I其中，∮ B · dl 是环流的散度，B 是磁感应强度，dl 是环流的线元，μ0 是真空中的磁导率，I 是穿过环流的电流。
三、环流定理的推论根据环流定理，可以推导出一些重要的结论：1.根据环流定理，若给定一个闭合回路，计算回路上所有磁感应强度的环流，得到的结果应等于该回路内的总电流。
2.推论1可用于计算磁场中线圈、电流环等磁电感应问题。
3.根据环流定理，可以得到一个磁场引起的环流的流向规律：在磁场中，从磁场线进入某一导体，必然在导体上形成一环流；反过来，如果存在一个环流，那么必定有相应的磁场存在。
4.对于任意给定的闭合环路，环流定理成立，无论回路形状如何，只要该环路内没有电流，则回路上的环流必为零。
以上是环流定理的一些重要推论，它们在电磁学的研究中起到了重要的作用。
四、环流定理的应用举例环流定理作为一种基本的电磁学理论，在解决实际问题中具有广泛的应用。
下面举例说明环流定理在不同情境下的应用。
1. 电感与感应电流当一个电流在某个线圈中产生磁场时，环流定理可用于计算该线圈中的磁感应强度以及从其他线圈中感应出的电流。
2. 磁铁磁场的计算环流定理可用于计算磁铁周围空间的磁场分布。
通过将磁铁分解成若干小线圈，再计算各小线圈对周围空间的贡献，最终得到整个磁铁的磁场分布。
3. 静电场中的电场强度计算环流定理可以用于计算静电场中的电场强度分布。
通过选择一个闭合回路，计算回路上电场强度的环流，可以得到回路内的总电荷分布情况。
静电场的环路定理
它是反映电场本身“能的属性”的物理量，与 场中是否存在电荷无关。 要注意，电势和电势能是两个不同的概念，不 能混为一谈。
Wa E dl 定义电势 ua q0 a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
Wa q0 E dl
a
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
三 电势
电势差
1、电势能 分析：当检验电荷 q 0 从a点移到b点，电 场力要做功，而功是能量转化的量度， 这说明 q 0 从a点移到b点有能量变化。不 管 q 0 从a点沿哪一条路径移到b点，电 场力对电荷 q 0 做的功都是相同的，这说 明电荷 q 0 在a﹑b两点的能量差是一定 的，其值由这两点的位置决定。这种由 电荷在电场中的位置决定的能量，叫做 电势能。显然，电势能是电荷 q 0 和电场 共同具有的。检验电荷在a﹑b两点的电 位能，分别用 W a ﹑W b 表示。
电势能
例2、求均匀带电圆环轴线 上的电势分布。 已知：R、q
解:方法一 微元法
Y
dl
r
x
P
Z
R
X
O
方法二 定义法 由电场强度的分布 qx E 2R 3 dl 2R 2 2 2 4 0 ( x R ) uP du 4 0 r 4 0 r 0 qxdx u Edx 3 q 2 2 2 xp x p 4 ( x R ) 0 2 2 4 0 R x
则ab电场力的功 Aab q0 E dl Wa Wb
b
取 W 0
注意
Wa Aa
q0 E dl
高等物理静电场环路定理
a
a 20
V Edl Edr pp
p
R
z
1q
y
4 0 r
xz
2 ) 定义法:
1
Vp
4 0r
dq
q
qx
x 40(R2x2)3/2dx
q 4
0
1 (R2 x2)1/2
x
o q
4 0 R2 x2
特例:
★若x = 0，
得：Vp
q
40R
W A B q 0 A B E d l E p A E p B ( E p B E p A )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。 若选 B 点为电势能零点，则
B
E P A q 0A E d l q 0A B E d l
E内 0
p
R
q
z
x
z
4 0 R2 x2
V 0
场强分布
电势分布
q
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R
。
解∶由高斯定理得：
p
E外
1 4 0
Q r2
1 V
40
dV
r
1）对球内的一点P，其电势为:
r
r dWFdlq0Edl
Q
p
VEdr drrC
q0Q
1 (1)
20 20
4 0 r ra
2、电势、电势差 ：
V dV （1）、定义：
电势的物理意义：
第10章静电学-3-静电场环路定理
+q
11
(2)电荷分布如图所示, 将点电荷qo从a 经半圆b移到c的 过程中, 电场力对qo的功？
解 Aac qo (Ua Uc )
b
Ua
q
4o R
q
4o R
0
-q
a
+q R
o
c
Uc
q
4 o (3 R)
q
4o R
R
R
q
6o R
Aac
qqo
6o R
12
例10-14 一均匀带电直线段，长为L，电量为q ;取无穷远为电 势零点，求直线延长线上离一端距离为d 的P点的电势。
9
③对于电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多电荷元
dq，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为
dU dq 4πε0r
根据电势叠加原理
U
V
dq
4 0r
dl dq dS
dV
积分遍及整个带电体，V是带电体的体积。
电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场的总电 势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的代数和。
(3)电势差：
b
Uab Ua Ub E dl
a
静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷由a沿任意路 径移至b过程中电场力做的功。
电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。
6
由Wa
q
零势点 E
a
dl ,
得 Wa qUa
由Aab
q
b
E dl
a
Wa Wb ,
得 Aab q(Ua Ub )
(3)等于场强从该点沿任意路径到零势点的线积分。
说明：
(1)电势是相对量，要确定场中各点的电势必须选定电势零点。
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
静电场环路定理
方法二 定义法 先由高斯定理求出场强分布
q
再由定义 u E dl
rR
P
E
4 0 r 2
rR
0
rR
rR
u E dl E dl
R r R
R
O
r＜ R
P
r＞ R
0
q
2
4 0 r q 4 0 R
R
dr
u
2 2
方法二 定义法 已知轴线上的场强分布函数
E qx
2
4 0
R x
u Edx
4 0 ( x R ) qxdx
2
3
2
q
xp
xp
4 0 ( x R )
2 2
3
2
4 0 r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
q
r1 r2 r
2
r2
l cos u 2 4 0 r
其中
q
O
r r 1
q
X
r x y
2 2
2
l
u 1 4 0
2
cos
x x y
2 2
px (x y )
3 2 2
课堂练习： 已知正方形顶点有四个等量的电点荷 q1 q 4.0 10 9 C r=5cm
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
( E ) dS 0
s
E 0; 或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。 高斯定理的微分形式。
静电场环路定理
l
i
l
结论：静电场力做功，与路径无关.
10-4 静电场的环路定理
静电场的环路定理
q0 E dl q 0
q 0 ( E dl
ABC
ABC
E dl 0
l
CDA
E dl ) 0
A
ADC
E dl
B
D
C
E
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
q1
r1
n
n
U i
i 1
i 1
Ei dl
E3
q2
r2
E2
q3
r3
A
E1
10-4 静电场的环路定理
电荷连续分布时 dq dV
dq dU 4πε0 r
1 dq UA 4πε0 r
dq
r
A
10-4 静电场的环路定理
计算电势的方法
q
令 U 0 qdr U E dl r 2
r
4πε0 r
er
r
q U 4 πε0 r
10-4 静电场的环路定理
四
电势的计算
点电荷系 E Ei
i
qi UA i 1 4 π ε0 ri
n
UA
A
E dl
A
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl q0 E cos dl
i
l
结论：静电场力做功，与路径无关.
10-4 静电场的环路定理
静电场的环路定理
q0 E dl q 0
q 0 ( E dl
ABC
ABC
E dl 0
l
CDA
E dl ) 0
A
ADC
E dl
B
D
C
E
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
q1
r1
n
n
U i
i 1
i 1
Ei dl
E3
q2
r2
E2
q3
r3
A
E1
10-4 静电场的环路定理
电荷连续分布时 dq dV
dq dU 4πε0 r
1 dq UA 4πε0 r
dq
r
A
10-4 静电场的环路定理
计算电势的方法
q
令 U 0 qdr U E dl r 2
r
4πε0 r
er
r
q U 4 πε0 r
10-4 静电场的环路定理
四
电势的计算
点电荷系 E Ei
i
qi UA i 1 4 π ε0 ri
n
UA
A
E dl
A
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl q0 E cos dl
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解：1) 用迭加法，各点在o点的电势
V1 V2 V3 V4
V0 4V1 q 4 0 r
q
4 0 r 28.8 102V
2) 由定义知，电场力做的功
A
o
q0Vo 28.8 1011 J
o F l q0 E l q0 E l d d d
6
即：a、b两点的电势差 = A/q0
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
U
A q(V V )
(e )(U )
R2
R1
1 mv 2 0 2 即 eU 1 mv 2 2
第4节 静电场的环路定理
Circuital Theorem of Electrostatic Fields 电场力 → 高斯定理 → 有源场 电场力做功 → 环路定理 → 无旋场 一、静电场力做功
由电场强度的定义可知，在静电场 E 中，电荷q0 受到电场力 F q0 E 的作用。当q0在电场中的位 移为 dl 时，电场力 F 做功： dA F dl q0 E dl 在力 F 作用下，q0从a点经某路径L到达 b点，电场力做的总功为 a A F dl q0 E dl q0 E dl L L L 电场强度 E 沿路径L的线积分 A E dl 积分取决于电场强度 E 的分布 L q0
o
14
例 计算电偶极子电场中任意一点P的电势。已知电偶极子中 两点电荷+q、-q的距离为l。
解：用迭加法
P
VP Vi ( P )
i
q r r ( ) 4 0 r r
r r l cos 2
4 0 r
q
4 0 r
r r r+
q
当 r >> l 可做如下近似
b
E
L
q0 dl
1
1.在点电荷q的电场中
电场力做功 dA F dl q0 E dl q 点电荷q的电场强度为 E e 2 r 4 0 r qq0 dA F dl e dl 2 r 4 0 r qq0 qq0 cos dl dr 2 2 4 0 r 4 0 r
1
2
经L2
b电场力作功：
A Lq0E dl 0
L1
b q E dl a 0
L1
L2
b q E dl a 0
L2
L E dl 0 静电场的环路定理
4
即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零
注
1º 若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该矢量场为无旋场。 静电场两个基本性质：
理论上
9
二、电势的计算
1. 用定义法求V
VP P
r V 0
V 0
E dl
例. 求点电荷q电场中任意一点P 的电势V =？
q
P
解: 设
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4 0r
q
e 2 r
VP P
E dl P
r
注意
1o 电场中某点的 “V ” 由场源电荷及场点位置决定，与q0无关。 它描述的是电场“能的性质”。 2o 电势是标量，有正、负。 3o 电势是相对量，相对于 V =0 处而言。 原则上可选电场中任意一点的电势为零。
8
注意
4º电势零点的选取 电荷分布在有限空间， 取无穷远为 V = 0 点。 电荷分布在无限空间， 取有限远点为V = 0 点。 一般工程上 选大地或设备外壳为V =0点
Electric Potential Gradient 一、等势面 1.定义 电场中所有电势相等的点构成 的曲面叫等势面。 （可由实验测定）
q V 4 0 r
18
2. 等势面与场强的关系 ① 在等势面上移动电荷时,电场力不做功；
Aab q0 (Va Vb )
② 电场线与等势面处处正交; ③ 电场线方向指向电势降低方向; ④ 若相邻等势面电势差相等,则 等势面密处场强大； 等势面疏处场强小。
一、电势差和电势
从上一节讨论可知 b
L2
a L
1
b
b E dl a E dl
L2
L1
存在与位置 有关的态函数
q0
a
与重力势能类似
定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，
b
则两点间的电势差为 Va Vb E dl a
将单位正电荷 从ab电场力作的功 与路径无关
qi
qj
V1 V2 Vk q1 q2 qn 4 0 r1 4 0 r2 4 0 rn
电势叠加原理
qi VP Vi i i 4 0 ri
任意带电体场中的电势
VP q
4 0r
dq
13
例 点电荷q1= q2= q3= q4=4×10-9C，放置在一正方形的顶角上 ，各顶角距离中心5cm 。 求: 1)中心o点的电势； 2)将q0=1×10-9C从无穷远处移动到o点，电场力做的功。
15
例.长为L 的均匀带电导线, 电荷线密度为+. 求:延长线上任意一点 P 的电势。
o
r
x x dx
VP q
4 0r
dq
l
P
L
解：用迭加法，取电荷元
x
dq dx
dq
dV
P 的电势
4 0r
4 0(L l x)
L
dx
VP dV
R
r
q o
x
P
.
x
VP
q dq 0 4 r 0
q
dq 4 0 R2 x 2
q 0
讨论
q 1 | x |R , VP 4 0| x | q o 2 x 0, VP 4 0 R
o
4 0 R2 x 2
x , VP 0
相当于点电荷
17
第6节 电势梯度
高斯定理 E dS 1 qi S
0 S
有源场 无旋场
环路定理 E dl 0 L
2º 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场部分讨 论。
5
第5节 电势差和电势
Electric Potential Difference and Electric Potential
P0
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
P0
可见：当电荷分布到无穷远时， 电势零点不能再选在无穷远处。
12
2. 用叠加法求V
在点电荷系 q1 , q2 qn 的电场中 任意点P处的电势q1
r1 r2
q V 4 0r
.
qn
P
q2
rn
VP P E dl P E1 E2 En dl P E1 dl P E2 dl P En dl
r r l cos q 2 q r r q l cos VP ( ) 4 0 r r 4 0 2 l 2 2 ( r cos ) 4 由 pe er ql er ql cos 得 VP
r l
+q
pe er 4 0r 2
q q R dr 2 4 0r 4 0 R
P
0
R
r
注意
E =0的区域, “V ”不一定为零
关 场与 区点 是的 等位 势置 区无
11
例. 求半径为R, 电荷线密度为的无限长均匀带电细线的 电势分布？ 解：无限长均匀带电细线电场分布
E
若令V= 0 则任意点P的电势为
er 2 0r
P2 P1
dl
20
1.电势梯度定义：
电场中某点的电势沿过该点等势面的 法线方向的空间变化率叫该点的电势 梯度。 （实际上是电势在该点的最大空间变 化率） 梯度定义：
r E
P1
P2
n
V
dl
P2
V dV
dV n grad V dn
dl F
c q0
dr
b
r +dr
r
a
rb
+
积分
A
b a
qq0 qq0 1 1 dr 2 4 0 r 4 0 ra rb
ra
q
——点电荷的电场力作功 只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关 与路径无关
2
2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场) 将电荷q0从a点移动到b点，在任意点c受电场力 F q0 E r a 该处的场强为 En q1 E E1 E 2 E n q0 r E c 电场力作功 E1 q2 b qi A F dl a q0E dl qj b qn b q0a (E1 E2 En) dl
P
P
V 0
E dl
q
P
解: 用定义法, 选V= 0,
r
o
P
R
r
V
r R处 V E dr P P q q r dr 2 P 4 0r 4 0r r R处 0 R VP E dr r E1 dr R E2 dr
V1 V2 V3 V4
V0 4V1 q 4 0 r
q
4 0 r 28.8 102V
2) 由定义知，电场力做的功
A
o
q0Vo 28.8 1011 J
o F l q0 E l q0 E l d d d
6
即：a、b两点的电势差 = A/q0
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
U
A q(V V )
(e )(U )
R2
R1
1 mv 2 0 2 即 eU 1 mv 2 2
第4节 静电场的环路定理
Circuital Theorem of Electrostatic Fields 电场力 → 高斯定理 → 有源场 电场力做功 → 环路定理 → 无旋场 一、静电场力做功
由电场强度的定义可知，在静电场 E 中，电荷q0 受到电场力 F q0 E 的作用。当q0在电场中的位 移为 dl 时，电场力 F 做功： dA F dl q0 E dl 在力 F 作用下，q0从a点经某路径L到达 b点，电场力做的总功为 a A F dl q0 E dl q0 E dl L L L 电场强度 E 沿路径L的线积分 A E dl 积分取决于电场强度 E 的分布 L q0
o
14
例 计算电偶极子电场中任意一点P的电势。已知电偶极子中 两点电荷+q、-q的距离为l。
解：用迭加法
P
VP Vi ( P )
i
q r r ( ) 4 0 r r
r r l cos 2
4 0 r
q
4 0 r
r r r+
q
当 r >> l 可做如下近似
b
E
L
q0 dl
1
1.在点电荷q的电场中
电场力做功 dA F dl q0 E dl q 点电荷q的电场强度为 E e 2 r 4 0 r qq0 dA F dl e dl 2 r 4 0 r qq0 qq0 cos dl dr 2 2 4 0 r 4 0 r
1
2
经L2
b电场力作功：
A Lq0E dl 0
L1
b q E dl a 0
L1
L2
b q E dl a 0
L2
L E dl 0 静电场的环路定理
4
即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零
注
1º 若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该矢量场为无旋场。 静电场两个基本性质：
理论上
9
二、电势的计算
1. 用定义法求V
VP P
r V 0
V 0
E dl
例. 求点电荷q电场中任意一点P 的电势V =？
q
P
解: 设
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4 0r
q
e 2 r
VP P
E dl P
r
注意
1o 电场中某点的 “V ” 由场源电荷及场点位置决定，与q0无关。 它描述的是电场“能的性质”。 2o 电势是标量，有正、负。 3o 电势是相对量，相对于 V =0 处而言。 原则上可选电场中任意一点的电势为零。
8
注意
4º电势零点的选取 电荷分布在有限空间， 取无穷远为 V = 0 点。 电荷分布在无限空间， 取有限远点为V = 0 点。 一般工程上 选大地或设备外壳为V =0点
Electric Potential Gradient 一、等势面 1.定义 电场中所有电势相等的点构成 的曲面叫等势面。 （可由实验测定）
q V 4 0 r
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2. 等势面与场强的关系 ① 在等势面上移动电荷时,电场力不做功；
Aab q0 (Va Vb )
② 电场线与等势面处处正交; ③ 电场线方向指向电势降低方向; ④ 若相邻等势面电势差相等,则 等势面密处场强大； 等势面疏处场强小。
一、电势差和电势
从上一节讨论可知 b
L2
a L
1
b
b E dl a E dl
L2
L1
存在与位置 有关的态函数
q0
a
与重力势能类似
定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，
b
则两点间的电势差为 Va Vb E dl a
将单位正电荷 从ab电场力作的功 与路径无关
qi
qj
V1 V2 Vk q1 q2 qn 4 0 r1 4 0 r2 4 0 rn
电势叠加原理
qi VP Vi i i 4 0 ri
任意带电体场中的电势
VP q
4 0r
dq
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例 点电荷q1= q2= q3= q4=4×10-9C，放置在一正方形的顶角上 ，各顶角距离中心5cm 。 求: 1)中心o点的电势； 2)将q0=1×10-9C从无穷远处移动到o点，电场力做的功。
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例.长为L 的均匀带电导线, 电荷线密度为+. 求:延长线上任意一点 P 的电势。
o
r
x x dx
VP q
4 0r
dq
l
P
L
解：用迭加法，取电荷元
x
dq dx
dq
dV
P 的电势
4 0r
4 0(L l x)
L
dx
VP dV
R
r
q o
x
P
.
x
VP
q dq 0 4 r 0
q
dq 4 0 R2 x 2
q 0
讨论
q 1 | x |R , VP 4 0| x | q o 2 x 0, VP 4 0 R
o
4 0 R2 x 2
x , VP 0
相当于点电荷
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第6节 电势梯度
高斯定理 E dS 1 qi S
0 S
有源场 无旋场
环路定理 E dl 0 L
2º 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场部分讨 论。
5
第5节 电势差和电势
Electric Potential Difference and Electric Potential
P0
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
P0
可见：当电荷分布到无穷远时， 电势零点不能再选在无穷远处。
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2. 用叠加法求V
在点电荷系 q1 , q2 qn 的电场中 任意点P处的电势q1
r1 r2
q V 4 0r
.
qn
P
q2
rn
VP P E dl P E1 E2 En dl P E1 dl P E2 dl P En dl
r r l cos q 2 q r r q l cos VP ( ) 4 0 r r 4 0 2 l 2 2 ( r cos ) 4 由 pe er ql er ql cos 得 VP
r l
+q
pe er 4 0r 2
q q R dr 2 4 0r 4 0 R
P
0
R
r
注意
E =0的区域, “V ”不一定为零
关 场与 区点 是的 等位 势置 区无
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例. 求半径为R, 电荷线密度为的无限长均匀带电细线的 电势分布？ 解：无限长均匀带电细线电场分布
E
若令V= 0 则任意点P的电势为
er 2 0r
P2 P1
dl
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1.电势梯度定义：
电场中某点的电势沿过该点等势面的 法线方向的空间变化率叫该点的电势 梯度。 （实际上是电势在该点的最大空间变 化率） 梯度定义：
r E
P1
P2
n
V
dl
P2
V dV
dV n grad V dn
dl F
c q0
dr
b
r +dr
r
a
rb
+
积分
A
b a
qq0 qq0 1 1 dr 2 4 0 r 4 0 ra rb
ra
q
——点电荷的电场力作功 只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关 与路径无关
2
2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场) 将电荷q0从a点移动到b点，在任意点c受电场力 F q0 E r a 该处的场强为 En q1 E E1 E 2 E n q0 r E c 电场力作功 E1 q2 b qi A F dl a q0E dl qj b qn b q0a (E1 E2 En) dl
P
P
V 0
E dl
q
P
解: 用定义法, 选V= 0,
r
o
P
R
r
V
r R处 V E dr P P q q r dr 2 P 4 0r 4 0r r R处 0 R VP E dr r E1 dr R E2 dr