环路定理电场强度的线积分
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9-5-静电场的环路定理解析
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
第一章 环路定理
电势: 电势: U a = ∫
零点
a
E ⋅ dl
电势差: 静电场中两点电势之差. 电势差: 静电场中两点电势之差
U ab
b 零点 零点 Aa − Ab = Ua −Ub = = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = ∫a E ⋅ dl a b q0
意义: 把单位正电荷从a点沿任意路径移到 点沿任意路径移到b点时电场力所作的功 意义 把单位正电荷从 点沿任意路径移到 点时电场力所作的功
U P = ∫ Edr = ∫ P
Q
R
r
1.6.4 等势面 电势梯度 一. 等势面
电场中电势相等的点组成的曲面叫等势面 电场中电势相等的点组成的曲面叫等势面. 等势面 等势面上的任一曲线叫等势线 等势面上的任一曲线叫等势线. 等势线
性质： 在静电场中 沿等势面移动电荷时 性质： 在静电场中, 沿等势面移动电荷时, 1. 静电场力对电荷不作功 证明: 证明 W = q0 等 势 面 b
将圆环分割成无限多电荷元: 解1: 将圆环分割成无限多电荷元
q
r
R
dU =
dq 4πε 0 r
o
x
环上各点到轴线等距
dU
x
U = ∫ dU =
1 4πε0r
∫0 dq =
∞
q
q 4πε 0 ( x 2 + R 2 )1 / 2
解2: 根据定义式
UP = ∫
零点 P
E ⋅ dl = ∫
xP
qx ⋅ dx 2 2 3/ 2 4πε 0 ( x + R )
U + dU P2 U dn
ˆ n
定义电势梯度矢量: 定义电势梯度矢量 dU 大小: 大小 方向: 方向 沿等势面的正法线方向 dn
63静电场环路定理电势
E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能 比 重力做功 保守力 重力势能
较 静电场力做功 保守力 电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl
10.4静电场环路定理
V V V ( i j k) x y z
V Ez z
E
10-4 静电场的环路定理 V V V E ( i j k) x y z V的梯度: gradV 或
E gradV V
E 的方向与V的梯度反向.
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl qLeabharlann E cos dll l
E
环量的意义：将单位正电荷沿闭合路径 移动一周电场力做的功。
10-4 静电场的环路定理
RB
q A qB qA 1 1 ( ) 4 0 R B 40 r RB
qA qB 40 r 40 RB
（3）r RA
U
RA r
10-4 静电场的环路定理
RB E dr E dr E dr RA RB 0
V
另一方面，由于场强沿法线方向 dV dV E V n E En n n dn dn 电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线 方向的变化率（该方向电势的变化率最大），它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
10-4 静电场的环路定理
静电场力的功 b Aab q E dl qUab q(U a U b )
a
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.6021019 J
10-4 静电场的环路定理
点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
V Ez z
E
10-4 静电场的环路定理 V V V E ( i j k) x y z V的梯度: gradV 或
E gradV V
E 的方向与V的梯度反向.
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl qLeabharlann E cos dll l
E
环量的意义：将单位正电荷沿闭合路径 移动一周电场力做的功。
10-4 静电场的环路定理
RB
q A qB qA 1 1 ( ) 4 0 R B 40 r RB
qA qB 40 r 40 RB
（3）r RA
U
RA r
10-4 静电场的环路定理
RB E dr E dr E dr RA RB 0
V
另一方面，由于场强沿法线方向 dV dV E V n E En n n dn dn 电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线 方向的变化率（该方向电势的变化率最大），它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
10-4 静电场的环路定理
静电场力的功 b Aab q E dl qUab q(U a U b )
a
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.6021019 J
10-4 静电场的环路定理
点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
第11章电势1
上海大学物理系张金仓第五讲q PC PC ∫∫11012rd E q A p P Cr v ⋅=∫21012对单位正电荷而言，有：称为电场强度E 沿任意路径C 的线积分意义：在电场力作用下移动单位正电荷电场力所作的功！二、静止点电荷电场线积分q ∫∫⋅=⋅2121304p P Cp P C rd r rq r d E r r r v πε１、静止点电荷的电场中，电场强度的线积分（对单位正电荷所作的功！）只与积分路经的起点和终点位置有关，而与积分路径无关；２、推广一：对点电荷系，由于合力的功等于分力功之和，故总电场强度的线积分也具有同样特点；３、推广二：对连续带电体，总电场强度的线积分也具有同样特点；)11(421021r r q r d E p PC −=⋅∫πεr v三、静电场的保守性=⋅∫Cr d E r r 静电场的环路定理ab cd对任何静电场，电场强度的线积分（对单位正电荷所作的功！）只与积分路经的起点和终点位置有关，而与积分路径无关——静电场是一保守力场！！！与路径无关r d E 积分即：21p P C rv ⋅∫表述：静电场中电场强度沿任一闭合路径的线积分等于零。
四、静电场的环路定理qrd E U p P r v ⋅=−=∫212112ϕϕ物理意义：有限大带电体无限远处为电势零点 对正电荷，电势高意味着电势能高，对负电荷则相反；二、电势rd E U p P r v ⋅=−=∫212112ϕϕrd E p PP P r v ⋅=−=∫0ϕϕϕ意义：场中某一点Ｐ的电势，在数值上等于把单位正电荷自Ｐ点移动到电势零点Ｐ０处电场力所作的功。
rd E U p P r v ⋅=−=∫212112ϕϕ三、电势与电势差的关系rd E p PP P rv ⋅=−=∫00ϕϕϕ四、电场力的功rd E q q U q A p P r v ⋅=−==∫21021012012)(ϕϕ电势为五、点电荷的电势分布q+1P 1r 2r 2P rv r d r rr +rd r θFrE r 0q C P )11(44210302121r r qrd r rqr d E p P p P P −=⋅=⋅=∫∫πεπεϕr r rv 选择无限远处为电势零点，距静止点电荷为r 处电场中的电势：),(4210∞===r r r rq πεϕ+Vr014q V rπε=q >Vr014q V rπε=q <- q ＞0电势是正的愈远愈小。
静电场的环路定理(北邮)
Wa Aa
W Ua a q0
a
0
q 0 E dl
E
a
E dl
a
4、电势差:
U a U b E dl E dl
a b
E 减少， 能量哪里去了？
解: 由高斯定理
0
E
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
RB
U AB U A U B
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 40 RA RB RA 40 r
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿adc 移至c ，电场力所作的功
例2：求半径为R、电量Q均匀分布的球面在 球心O处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 4 0 R 40 R 40 R
好
(2):
U
O
E dl
R
O
E dl E dl
R
E dl R
F-
q
M
能量最低，稳定平衡。
, W pE 能量最大，非稳定平衡。
5、电场力作正功时，电势能减少，能量
哪里去了？
Aa b q0 E dl q0 ( U a U b )
b a
1 q0 ( Ua Ub ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
求E 。
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
W Ua a q0
a
0
q 0 E dl
E
a
E dl
a
4、电势差:
U a U b E dl E dl
a b
E 减少， 能量哪里去了？
解: 由高斯定理
0
E
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
RB
U AB U A U B
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 40 RA RB RA 40 r
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿adc 移至c ，电场力所作的功
例2：求半径为R、电量Q均匀分布的球面在 球心O处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 4 0 R 40 R 40 R
好
(2):
U
O
E dl
R
O
E dl E dl
R
E dl R
F-
q
M
能量最低，稳定平衡。
, W pE 能量最大，非稳定平衡。
5、电场力作正功时，电势能减少，能量
哪里去了？
Aa b q0 E dl q0 ( U a U b )
b a
1 q0 ( Ua Ub ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
求E 。
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
6-3静电场的环路定理电势
dV
dE
10
红
已知场强分布 Ex, y, z ，求场中任一点P 的电势时，
可先作不定积分
V E dl C
选择使积分常量 C 0 的点为零电势的参考点，再
电
子 工 程 学 院
作积分，可求 P 点的电势 VP
对于有限电荷分布情况，可直接选无限远为零势能
点，作积分可得
VP
E dl
P
x
1 qdl
dVP 4π 0r 2π R
x
院
杨 VP
小
1
4π 0r
qdl q
q
2π R
4π 0r
4π 0
x2
R2 13
红
VP
4π 0
q x2 R2
电 讨论
子 工 程 学 院
杨
x
0，V0
q
4π 0R
x
R，VP
q
4π 0x
小
红
q
V
4π 0 R
o
x
q
4π 0 (x2 R2 )1 2
14
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
点
电
电荷
子的
工 程 学 院
等 势 面
杨 小 红
dl2 dl1 E2 E1
dl1 dl2
21
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
电 子 工 程 学 院
杨
小
22
红
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
电
子 工
+
程
学
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
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的功为
L2
er
q0
P1
q0 dl dr
P1
r1
L1 r2 P2
r1
P2
r2
Q
Q
A
=
∫PP12 F ⋅
( L1 )
dl
=
q0Q
4πε 0
(1 r1
−
1 r2
)
A
=
∫PP12 F ⋅ dl
(L2 )
=
q0Q
4πε 0
(1 r1
−
1 r2
)
L2 q0
从前面的讨论, 我们知道
∫PP12 F ⋅ dl = ∫PP12 F ⋅ dl
Q
L'1 + L2
( L2 )
( L'在点电荷Ｑ的电场中, 试探电荷沿回路L转一圈,电场力的功为
L
A = q0 ∫L E ⋅dl = 0
所以有: ∫L E ⋅dl = 0
考虑到叠加原理, 上式应对任意静电场都成立.
B
r q0 Q
此式表明, 静电场强沿任一闭合回路L的环路积分为零.
3.电势差
B
定义A,B两点的电势差为
ϕ A − ϕB = ∫AP0 E ⋅ dl − ∫BP0 E ⋅ dl
P0
A
= ∫AP0 E ⋅ dl + ∫PB0 E ⋅ dl = ∫ABE ⋅ dl
点电荷从A移动到B,静电场做功可由A和B的电势差求得.
A = ∫ABF ⋅ dl = ∫ABq0E ⋅ dl = q0U AB = q0 (ϕ A − ϕB )
F
⋅
dl
=
q0E
⋅
dl
=
q0Qer
4πε0r 2
⋅
dl
=
q0Qdr
4πε0r 2
er
er
P1
q0
dl dr
r1
r2
dl
θ
q0
dr
P2 dl → 0 虚线与 er 趋于平行, 所以
Q
lim dr
dl →0
=
dl
cosθ
=
dl ⋅er
所以从 P1 点运动到 P2 点时电场力的功为
er
q0 dl
P1 r1
环路定理 电场强度的线积分
静电场的环流为零
电势
环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述 形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.
§17-4 环路定理 电势
一.试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中运动时电场力的功
试探电荷q0 移动 dl 时,电场力的元功为
dA
=
x
R
r = R2 + z2
zz
y
ϕ
=
1
4πε 0
ηdl
∫L r
=
4πε 0
1 R2
+
z2
∫L
dq
=
q
4πε0 R2 + z2
例题 17-4-2 求半径为R总电量为q的均匀带电球在球内外的
电势分布.
∞
解:由例题17-3-1,可知电场强度分布为
E
=
⎧ qr
⎪⎪⎪⎨4πεq0rR3 ⎪⎩ 4πε0r3
, ,
)
六.电场线 规定电场线上每一点的切线方向与该点的E的方向一致.
-q
q
-q
2q
三个点电荷位于等边三角形的顶点上, 电荷大小都为 q .
从中心附近的电场的方向可以简单的看出, 位于中心的点电荷处于不 稳定平衡. 定性上看黑色虚线所示球面上的通量为零.
电场线的三条性质：
(1)电场线始于正电荷或无穷远,终于负电荷或无穷远,在无 电荷处不中断.
r<R r>R
取参考点为无穷远,电势为
ϕ(r) = ∫r∞ E ⋅ dl
P
r
R
路径选为沿径向(图中橙色线), 场点在球外时,电势为
ϕ(r)
=
∫r∞
qdr
4πε0r 2
=
q
4πε0r
场点在球内时，电势为
ϕ(r)
=
∫rR
qrdr
4πε 0 R 3
+
∫R∞4πqεd0rr 2
=
q (3 −
8πε 0 R
r2 R2
q
-q
S1
S2
S3
规定过任一面元的Ｅ通量与通过该面元的电场线数目成正比，则 电场线的疏密程度能反映电场强度大小．
(2)电场线不相交, 否则试探点电荷受力有两个可能的方向.
(3)电场线不闭合.
七.等势面 空间中电势相等的点的集合构成了等势面.
点电荷的等势面 等势面与电场强度处处正交. 作业: 17-13, 17-14, 17-15
P1
r1
L1 r2
(L2 )
( L1 )
P2
我们把路径1的方向反过来, 由下图容易看出
Q
∫PP12 F ⋅ dl = − ∫PP21 F ⋅ dl
( L1)
( L'1)
L2
这样, 就有
P1
q0 L'1 r1
r2
∫PP12 F ⋅ dl+ ∫PP21 F ⋅ dl = 0
P2
( L1 )
( L'1)
= ∫PP12 F ⋅ dl+ ∫PP21 F ⋅ dl
《费曼物理学讲义》 R. P. Feynman
第二卷是关于电磁学的.
C
A = ∫BCF ⋅ dl = ∫BP0 q0E ⋅ dl + ∫PC0 q0E ⋅ dl
B
= ∫BP0 q0E ⋅ dl − ∫CP0 q0E ⋅ dl = WB −WC P0
2.电势 定义单位点电荷在静电场中的电势能为电势,即
ϕP
= WP q0
=
1 q0
∫PP0 q0E ⋅ dl
=
∫PP0 E ⋅ dl
五.电势的计算
点电荷Q 的电势.取参考点在无穷远处.
ϕ
=
∫P∞E ⋅ dl
=
∫P∞
Qer
4πε 0 r
2
⋅ er dr
=
∫r∞
Qdr
4πε0r 2
=
Q
4πε 0
(− 1) r
|∞r =
Q
4πε 0 r
由叠加原理，不难得到， n个点电荷的电场的电势为
ϕ
=
1
4πε 0
n
∑
Q
i =1 ri
∞
P r Q
例题 17-4-1 圆环均匀带电,半径为R,电量为q,求轴线上的电势.
四. 电势和电势差
1. 电势能和电场力做功的关系
(1)选定参考点 P0 ,规定此点电势能为零.
(2)定义试探电荷 q0在任一场点 P 的电势能为
WP = ∫PP0 F ⋅ dl = ∫PP0 q0E ⋅ dl =A
有了电势能，我们可以根据点电荷在电场中的始末位置
来求电场力做的功.如图所示，静电场对点电荷q0 做功为
无关．
A = A1 + A2
q0 dl
= q0Q1 ( 1 − 1 )
4πε0 r11 r12
P1 r11
r12
P2
+ q0Q2 ( 1 − 1 )
r22
4πε0 r21 r22
上述结论容易推广到多个点电荷
Q1 r21 Q2
的电场. 如果电荷连续分布, 只须 把它们分成电荷元就行了.
试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中, 从 P1 点运动到 P2点时电场力
dr P2
r2
Q
A=
∫PP12 F ⋅ dl
=
∫rr12
q0Qdr
4πε0r 2
= q0Q
4πε0
(1 r1
−
1) r2
由上式可见, 静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关．
二.试探电荷 q0 在任何电场中运动时电场力的功
考虑两个点电荷的电场, 据叠加原理可知,
E = E1 + E2
在每个点电荷的电场中, 电场力做功只与始末位置有关，与路径
L2
er
q0
P1
q0 dl dr
P1
r1
L1 r2 P2
r1
P2
r2
Q
Q
A
=
∫PP12 F ⋅
( L1 )
dl
=
q0Q
4πε 0
(1 r1
−
1 r2
)
A
=
∫PP12 F ⋅ dl
(L2 )
=
q0Q
4πε 0
(1 r1
−
1 r2
)
L2 q0
从前面的讨论, 我们知道
∫PP12 F ⋅ dl = ∫PP12 F ⋅ dl
Q
L'1 + L2
( L2 )
( L'在点电荷Ｑ的电场中, 试探电荷沿回路L转一圈,电场力的功为
L
A = q0 ∫L E ⋅dl = 0
所以有: ∫L E ⋅dl = 0
考虑到叠加原理, 上式应对任意静电场都成立.
B
r q0 Q
此式表明, 静电场强沿任一闭合回路L的环路积分为零.
3.电势差
B
定义A,B两点的电势差为
ϕ A − ϕB = ∫AP0 E ⋅ dl − ∫BP0 E ⋅ dl
P0
A
= ∫AP0 E ⋅ dl + ∫PB0 E ⋅ dl = ∫ABE ⋅ dl
点电荷从A移动到B,静电场做功可由A和B的电势差求得.
A = ∫ABF ⋅ dl = ∫ABq0E ⋅ dl = q0U AB = q0 (ϕ A − ϕB )
F
⋅
dl
=
q0E
⋅
dl
=
q0Qer
4πε0r 2
⋅
dl
=
q0Qdr
4πε0r 2
er
er
P1
q0
dl dr
r1
r2
dl
θ
q0
dr
P2 dl → 0 虚线与 er 趋于平行, 所以
Q
lim dr
dl →0
=
dl
cosθ
=
dl ⋅er
所以从 P1 点运动到 P2 点时电场力的功为
er
q0 dl
P1 r1
环路定理 电场强度的线积分
静电场的环流为零
电势
环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述 形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.
§17-4 环路定理 电势
一.试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中运动时电场力的功
试探电荷q0 移动 dl 时,电场力的元功为
dA
=
x
R
r = R2 + z2
zz
y
ϕ
=
1
4πε 0
ηdl
∫L r
=
4πε 0
1 R2
+
z2
∫L
dq
=
q
4πε0 R2 + z2
例题 17-4-2 求半径为R总电量为q的均匀带电球在球内外的
电势分布.
∞
解:由例题17-3-1,可知电场强度分布为
E
=
⎧ qr
⎪⎪⎪⎨4πεq0rR3 ⎪⎩ 4πε0r3
, ,
)
六.电场线 规定电场线上每一点的切线方向与该点的E的方向一致.
-q
q
-q
2q
三个点电荷位于等边三角形的顶点上, 电荷大小都为 q .
从中心附近的电场的方向可以简单的看出, 位于中心的点电荷处于不 稳定平衡. 定性上看黑色虚线所示球面上的通量为零.
电场线的三条性质：
(1)电场线始于正电荷或无穷远,终于负电荷或无穷远,在无 电荷处不中断.
r<R r>R
取参考点为无穷远,电势为
ϕ(r) = ∫r∞ E ⋅ dl
P
r
R
路径选为沿径向(图中橙色线), 场点在球外时,电势为
ϕ(r)
=
∫r∞
qdr
4πε0r 2
=
q
4πε0r
场点在球内时，电势为
ϕ(r)
=
∫rR
qrdr
4πε 0 R 3
+
∫R∞4πqεd0rr 2
=
q (3 −
8πε 0 R
r2 R2
q
-q
S1
S2
S3
规定过任一面元的Ｅ通量与通过该面元的电场线数目成正比，则 电场线的疏密程度能反映电场强度大小．
(2)电场线不相交, 否则试探点电荷受力有两个可能的方向.
(3)电场线不闭合.
七.等势面 空间中电势相等的点的集合构成了等势面.
点电荷的等势面 等势面与电场强度处处正交. 作业: 17-13, 17-14, 17-15
P1
r1
L1 r2
(L2 )
( L1 )
P2
我们把路径1的方向反过来, 由下图容易看出
Q
∫PP12 F ⋅ dl = − ∫PP21 F ⋅ dl
( L1)
( L'1)
L2
这样, 就有
P1
q0 L'1 r1
r2
∫PP12 F ⋅ dl+ ∫PP21 F ⋅ dl = 0
P2
( L1 )
( L'1)
= ∫PP12 F ⋅ dl+ ∫PP21 F ⋅ dl
《费曼物理学讲义》 R. P. Feynman
第二卷是关于电磁学的.
C
A = ∫BCF ⋅ dl = ∫BP0 q0E ⋅ dl + ∫PC0 q0E ⋅ dl
B
= ∫BP0 q0E ⋅ dl − ∫CP0 q0E ⋅ dl = WB −WC P0
2.电势 定义单位点电荷在静电场中的电势能为电势,即
ϕP
= WP q0
=
1 q0
∫PP0 q0E ⋅ dl
=
∫PP0 E ⋅ dl
五.电势的计算
点电荷Q 的电势.取参考点在无穷远处.
ϕ
=
∫P∞E ⋅ dl
=
∫P∞
Qer
4πε 0 r
2
⋅ er dr
=
∫r∞
Qdr
4πε0r 2
=
Q
4πε 0
(− 1) r
|∞r =
Q
4πε 0 r
由叠加原理，不难得到， n个点电荷的电场的电势为
ϕ
=
1
4πε 0
n
∑
Q
i =1 ri
∞
P r Q
例题 17-4-1 圆环均匀带电,半径为R,电量为q,求轴线上的电势.
四. 电势和电势差
1. 电势能和电场力做功的关系
(1)选定参考点 P0 ,规定此点电势能为零.
(2)定义试探电荷 q0在任一场点 P 的电势能为
WP = ∫PP0 F ⋅ dl = ∫PP0 q0E ⋅ dl =A
有了电势能，我们可以根据点电荷在电场中的始末位置
来求电场力做的功.如图所示，静电场对点电荷q0 做功为
无关．
A = A1 + A2
q0 dl
= q0Q1 ( 1 − 1 )
4πε0 r11 r12
P1 r11
r12
P2
+ q0Q2 ( 1 − 1 )
r22
4πε0 r21 r22
上述结论容易推广到多个点电荷
Q1 r21 Q2
的电场. 如果电荷连续分布, 只须 把它们分成电荷元就行了.
试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中, 从 P1 点运动到 P2点时电场力
dr P2
r2
Q
A=
∫PP12 F ⋅ dl
=
∫rr12
q0Qdr
4πε0r 2
= q0Q
4πε0
(1 r1
−
1) r2
由上式可见, 静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关．
二.试探电荷 q0 在任何电场中运动时电场力的功
考虑两个点电荷的电场, 据叠加原理可知,
E = E1 + E2
在每个点电荷的电场中, 电场力做功只与始末位置有关，与路径