静电场的环路定理
9-5-静电场的环路定理解析
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
静电场的安培环路定理
静电场的安培环路定理静电场的安培环路定理是电磁学中非常重要的一条定理，它描述了静电场中电流所沿路径的总和。
在这篇文章中，我们将会介绍什么是安培环路定理、它的应用以及如何使用它来解决问题。
什么是安培环路定理？安培环路定理是由法国物理学家安培提出的，它表明在任何一个闭合的回路中，电流的总和等于穿过该回路的磁通量的变化率。
这个定理的意义在于，它提供了一种计算电流的方法，尤其是在复杂的电路中。
安培环路定理可以简化电路分析的过程，因为它允许我们通过观察磁场的变化来推断电流的大小和方向。
应用安培环路定理在电路分析中有着广泛的应用。
在解决电路问题时，我们可以选择一个合适的回路并应用安培环路定理来计算电流。
这个回路可以是任何形状，只要它能够完全包括电流所通过的路径即可。
除了电路分析，安培环路定理还有其他应用。
例如，在磁感应强度不均匀的磁场中，我们可以通过应用安培环路定理来计算磁场的强度。
此外，它还可以用于分析电感器、变压器和电机等电磁设备。
如何使用安培环路定理？在使用安培环路定理时，首先需要选择一个合适的闭合回路。
然后，需要注意该回路中的电流方向。
如果电流方向与所选择的回路方向相同，则电流对于回路的贡献为正；如果电流方向与所选择的回路方向相反，则电流对于回路的贡献为负。
接下来，需要计算穿过回路的磁通量的变化率。
这个磁通量的变化率可以通过测量磁场强度和磁通量来计算。
如果磁场强度和磁通量之间的关系已知，则可以直接计算出磁通量的变化率。
否则，可以使用麦克斯韦方程组来计算。
将电流的总和与穿过回路的磁通量的变化率相等，即可得到安培环路定理的表达式。
总结安培环路定理是电磁学中非常重要的一条定理，它可以用于计算闭合回路中电流的总和。
它在电路分析、磁场计算以及电磁设备分析等方面有着广泛的应用。
在使用安培环路定理时，需要选择一个合适的回路并注意电流方向，计算穿过回路的磁通量的变化率，最后将电流的总和与磁通量的变化率相等。
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
静电场的环流定理的内容
静电场的环流定理一、静电场和环流定理的定义静电场是指空间中存在电荷而产生的电场。
电场又分为静电场和动态电场，前者指的是电荷分布不随时间变化的电场，而后者则是电荷随时间变化的电场。
环流定理是电磁学中的一个重要定理，描述了电场的环流与电荷分布的关系。
根据环流定理，静电场中的环流的散度等于该区域内的总电荷。
二、环流定理的数学表达根据环流定理，可以得到如下的数学表达式：∮ B · dl = μ0 * I其中，∮ B · dl 是环流的散度，B 是磁感应强度，dl 是环流的线元，μ0 是真空中的磁导率，I 是穿过环流的电流。
三、环流定理的推论根据环流定理，可以推导出一些重要的结论：1.根据环流定理，若给定一个闭合回路，计算回路上所有磁感应强度的环流，得到的结果应等于该回路内的总电流。
2.推论1可用于计算磁场中线圈、电流环等磁电感应问题。
3.根据环流定理，可以得到一个磁场引起的环流的流向规律：在磁场中，从磁场线进入某一导体，必然在导体上形成一环流；反过来，如果存在一个环流，那么必定有相应的磁场存在。
4.对于任意给定的闭合环路，环流定理成立，无论回路形状如何，只要该环路内没有电流，则回路上的环流必为零。
以上是环流定理的一些重要推论，它们在电磁学的研究中起到了重要的作用。
四、环流定理的应用举例环流定理作为一种基本的电磁学理论，在解决实际问题中具有广泛的应用。
下面举例说明环流定理在不同情境下的应用。
1. 电感与感应电流当一个电流在某个线圈中产生磁场时，环流定理可用于计算该线圈中的磁感应强度以及从其他线圈中感应出的电流。
2. 磁铁磁场的计算环流定理可用于计算磁铁周围空间的磁场分布。
通过将磁铁分解成若干小线圈，再计算各小线圈对周围空间的贡献，最终得到整个磁铁的磁场分布。
3. 静电场中的电场强度计算环流定理可以用于计算静电场中的电场强度分布。
通过选择一个闭合回路，计算回路上电场强度的环流，可以得到回路内的总电荷分布情况。
高等物理静电场环路定理
a
a 20
V Edl Edr pp
p
R
z
1q
y
4 0 r
xz
2 ) 定义法:
1
Vp
4 0r
dq
q
qx
x 40(R2x2)3/2dx
q 4
0
1 (R2 x2)1/2
x
o q
4 0 R2 x2
特例:
★若x = 0，
得：Vp
q
40R
W A B q 0 A B E d l E p A E p B ( E p B E p A )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。 若选 B 点为电势能零点，则
B
E P A q 0A E d l q 0A B E d l
E内 0
p
R
q
z
x
z
4 0 R2 x2
V 0
场强分布
电势分布
q
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R
。
解∶由高斯定理得：
p
E外
1 4 0
Q r2
1 V
40
dV
r
1）对球内的一点P，其电势为:
r
r dWFdlq0Edl
Q
p
VEdr drrC
q0Q
1 (1)
20 20
4 0 r ra
2、电势、电势差 ：
V dV （1）、定义：
电势的物理意义：
第10章静电学-3-静电场环路定理
+q
11
(2)电荷分布如图所示, 将点电荷qo从a 经半圆b移到c的 过程中, 电场力对qo的功？
解 Aac qo (Ua Uc )
b
Ua
q
4o R
q
4o R
0
-q
a
+q R
o
c
Uc
q
4 o (3 R)
q
4o R
R
R
q
6o R
Aac
qqo
6o R
12
例10-14 一均匀带电直线段，长为L，电量为q ;取无穷远为电 势零点，求直线延长线上离一端距离为d 的P点的电势。
9
③对于电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多电荷元
dq，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为
dU dq 4πε0r
根据电势叠加原理
U
V
dq
4 0r
dl dq dS
dV
积分遍及整个带电体，V是带电体的体积。
电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场的总电 势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的代数和。
(3)电势差：
b
Uab Ua Ub E dl
a
静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷由a沿任意路 径移至b过程中电场力做的功。
电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。
6
由Wa
q
零势点 E
a
dl ,
得 Wa qUa
由Aab
q
b
E dl
a
Wa Wb ,
得 Aab q(Ua Ub )
(3)等于场强从该点沿任意路径到零势点的线积分。
说明：
(1)电势是相对量，要确定场中各点的电势必须选定电势零点。
静电场环路定理
方法二 定义法 先由高斯定理求出场强分布
q
再由定义 u E dl
rR
P
E
4 0 r 2
rR
0
rR
rR
u E dl E dl
R r R
R
O
r＜ R
P
r＞ R
0
q
2
4 0 r q 4 0 R
R
dr
u
2 2
方法二 定义法 已知轴线上的场强分布函数
E qx
2
4 0
R x
u Edx
4 0 ( x R ) qxdx
2
3
2
q
xp
xp
4 0 ( x R )
2 2
3
2
4 0 r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
q
r1 r2 r
2
r2
l cos u 2 4 0 r
其中
q
O
r r 1
q
X
r x y
2 2
2
l
u 1 4 0
2
cos
x x y
2 2
px (x y )
3 2 2
课堂练习： 已知正方形顶点有四个等量的电点荷 q1 q 4.0 10 9 C r=5cm
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
( E ) dS 0
s
E 0; 或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。 高斯定理的微分形式。
静电场环路定理
i
l
结论：静电场力做功，与路径无关.
10-4 静电场的环路定理
静电场的环路定理
q0 E dl q 0
q 0 ( E dl
ABC
ABC
E dl 0
l
CDA
E dl ) 0
A
ADC
E dl
B
D
C
E
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
q1
r1
n
n
U i
i 1
i 1
Ei dl
E3
q2
r2
E2
q3
r3
A
E1
10-4 静电场的环路定理
电荷连续分布时 dq dV
dq dU 4πε0 r
1 dq UA 4πε0 r
dq
r
A
10-4 静电场的环路定理
计算电势的方法
q
令 U 0 qdr U E dl r 2
r
4πε0 r
er
r
q U 4 πε0 r
10-4 静电场的环路定理
四
电势的计算
点电荷系 E Ei
i
qi UA i 1 4 π ε0 ri
n
UA
A
E dl
A
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl q0 E cos dl
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已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
Va
V
a
0
E
dl
微分关系： E grad V
注
r
r
已知r E 可以求V , 已知V 可以求 E。
求 E 的方法又增加一个！
场强的大小取决于
E dV n dn
电势在该点的空间 变化率，与该点电
直角坐标系中，电势函数V=V(x,y,z) 势数值的大小无关！
② 电场线与等势面处处正交; ③ 电场线方向指向电势降低方向; ④ 若相邻等势面电势差相等,则
等势面密处场强大；
等势面疏处场强小。
Va
Vb
b
a
E
dl
19
二、电势梯度矢量（ grad V ）
Va
Vb
b
a
E
dl
表示 E 与V的积分关系 E 与V的微分关系?
r P1 E
P2 n
点电荷q的电场强度为 E
dA
F
dl qq0
qq0
4 0 r 2 cos dl
er
dl qq0
q
40r 2
dr
er
4 0 r 2
4 0 r 2
积分
A
b a
qq0
4 0 r 2
dr
qq0
4 0
1 ra
1 rb
F dl dr
b
c
8
注意
4º电势零点的选取
电荷分布在有限空间，
理论上
取无穷远为 V = 0 点。
电荷分布在无限空间， 取有限远点为V = 0 点。
一般工程上 选大地或设备外壳为V =0点
9
二、电势的计算
1. 用定义法求V
VP
V
P
0
E
dl
例. 求点电荷q电场中任意一点P 的电势V =？
qP
解: 设 r V 0
q0Vo 28.81011 J
14
例 计算电偶极子电场中任意一点P的电势。已知电偶极子中 两点电荷+q、-q的距离为l。
解：用迭加法
VP
Vi
iq
4 0
((Pr)r4) q0r r r
q
4 0r
P
r
r
r+
当 r >> l 可做如下近似
r
r
解:根据迭加法，在带电圆环上取电荷元dq
VP
q
dq
40r
其在P点产生的电势为
dq
dVP
dq
4 0r
所有电荷在P产生的电势
. R
r
qo x P x
VP
0q
dq
40r
q
0q 40
dq R2
x2
讨论
1o 2o
|x4x|00, RRV,2PVPx424q0qR0|
E
x
V x
E
y
V y
Ez
V z
E
(
V x
i
V y
j
V z
k ) V
23
例. 求均匀带电Q，半径为R的圆环轴线上任意一点的场强。
解: 已求得圆环轴线上 任意一点P的电势为
VP 40
Q R2 x2
则该点的电场
r
R
.
o
xP
x
E
P
(
V x
即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零
4
注
1º若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该矢量场为无旋场。
静电场两个基本性质：
高斯定理
S
E
dS
1
0
qi
S
有源场
环路定理 LE dl 0
无旋场
2º 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场部分 讨论。
5
第5节 电势差和电势
El
dV dl
电势V沿 dl 的空间变化率
20
1.电势梯度定义：
电场中某点的电势沿过该点等势面的 法线方向的空间变化率叫该点的电势 梯度。
r E
（实际上是电势在该点的最大空间变
化率）
P1
dl
P2 n
P2
梯度定义：
grad V
dV dn
n
V V dV 大小：ddVn
方向:与n 同向
21
b电场力作功：
b L2
L1
q0
a
A Lq0E dl
b
a
q0
E
dl
a
b
q0
E
dl
L1
L2
b
L1a
q0
E
dl
b
L2a
q0
E
dl
ab q0E dl ab q0E dl
L1
L2
A Lq0E dl 0
LE dl 0 静电场的环路定理
求:延长线上任意一点 P 的电势。
r
o
x
x dx
P
L
l
x
解：用迭加法，取电荷元
dq dx
dV
dq
40r
dx 40(L l
x)
P 的电势
VP dV
L
0
dx 40(L l x)
40
ln
L
l
l
VP
q
dq
40r
16
例.求一均匀带电圆环轴线上任意点P 的电势. 设圆环半径为R，总带电量为q。
l 2
cos
r
r
l 2
cos
r q l +q
VP
q
4 0
(
r r r r
)
q
4 0
(r2
l
cos l2 cos2
)
4
由 pe er ql er ql cos
得
VP
pe er
4 0r 2
15
例.长为L 的均匀带电导线, 电荷线密度为+.
V1q1
V2
q2
Vk
40r1 40r2
qn
4 0rn
VP
Vi
i
i
qi
4 0ri
电势叠加原理
任意带电体场中的电势
VP
q
dq
40r
13
例 点电荷q1= q2= q3= q4=4×10-9C，放置在一正方形的顶角上 ，各顶角距离中心5cm 。 求: 1)中心o点的电势；
R
E2
dr
0 Rr
P
R
q
40r2
dr
q
4 0 R
注意 E =0的区域, “V ”不一定为零
关 场 区 是 等 势 区
与 点 的 位 置 无
11
例. 求半径为R, 电荷线密度为的无限长均匀带电细线的
电势分布？
解：无限长均匀带电细线电场分布
E
20r
er
若令V= 0 则任意点P的电势为
电场力作功
A
F dl
b
a
q0E
dl
q0ab(E1E2 En) dl
结论
A q0ab E1 dl q0ab E2 dl q0ab En dl