4静电场的环路定理和电势

任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
E
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
E
r0
dr
r 2 π0r
P0
ln r0
2π0 r
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
r < r0 的点，电势为正。
但不影响两点间的电势差。 电势差更为根本，因为它反映电场力做的功。
电场强度是从电场力的角度来描述电场的物理量。 电势是从电场力作功的角度来描述电场的物理量。
电势零点的选择： 习惯
理论上： 对有限电荷分布，选∞=0。
对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】 利用电势定义（积分法） 取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
q
r
P
∞
r dl
1
Edl
p1
q> 0
r 0
q< 0
q --------点电荷的电势公式 4 π0r
例 2.求电量为 q(设 q >0)的均匀带电球面的电势分布。
E
A12
p2
E
d
l
p1
1 2 12
P1
P2
两点之间的电势差， 并不仅由这两点处的电场决定， 它取决于电场的分布。
1 2
p2
E
d
l
p1
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
则静电场中任一点P1处电势为：
(0)
1 p1 E d l
电势零点的选择可任意。电势零点的 选择改变了，各点的电势也都改变了。
解: 以无穷远处为电势零点
B
q
4 0R
q
4 0R
0
D
4
q 0 (3R)
q
4 0R
q
6 0R
将一单位正电荷从B点沿半圆弧轨道BCD移到D点，则
电场力所作的功：
ABD
(B
D )
q
6 0R
例7 一半径为R的均匀带电球面、带电量为Q，若规定
该球面上的电势为零，则无限远处的电势为多少？
解:
R E dl
4 静电场的环路定理 和电势
1 静电场的功
点电荷的静电场中，移动电荷 qo，从P1 P2
电场力作功：
A12
p2
F
d
l
p1
q0 E d l
P1
E
F
r1
dr
q0
dl
r
r
q0 E d r
q
r2
P2
r2
q0
r1
q
4 π0r2
dr
q0q
4π0
1 r1
1 r2
A12
q0q
4π0
r
可以看到，若选无限远为 电势零点，
会使积分发散。
4 电势叠加原理
由
po
E
d
l
及
E
p
Ei
得 ( po p
Ei ) d l
po p
Ei
i
d
l
i
i
i
i
（注意：用电势叠加原理时，
各电势的零点应是同一点）
用“点电荷电势叠加的方法”：
对点电荷系：
对有限的
qi
4 π ori
【解】 取无限远为电势零点,
（1）外: r >R 任选一点P
P
q
r
R
0
Edl P q r 4 π0r2 d r
外
q
4 π0r
均匀带电球面在外部空间的电势分布与全部
电荷集中在球心的点电荷的电势分布一样。
（2）内: r <R 任选一点P
有人说: 因 E内= 0 所以内 = 0 （对不对？）
例3. 平行板电容器必有
边缘效应。
E
2 电势能
由于静电场是保守性，在静电场中引入电势能 的概念。
(b)
Aab
F dl
(a)
Ep(a) Ep(b)
若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
(选
0)
连续电荷分布： d q
q 4πor
(选 0)
例4. 求半径为 R、带电量为 q 的细圆环 轴线上任意点的电势。
【解】
用“点电荷电势叠加法”
dq
R 0
r R2 x2 取轴线上任一点 P，电势:
x
x
P
d q
(q)4 π0r
所以
4π 0
q R2 x2
1/ 2
1
dq
4 π0r (q)
1 r1
1 r2
此功与起点、终点的位置有关，与移动路径无关，
说明点电荷的静电场是保守力场。
由场强叠加原理 E Ei 可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场 的保守性：
Edl 0 ……称为静电场的环路定理
Edl 0
说明1：上式 左端的积分称为静电场的环流， 它是场强沿闭合路径的线积分。
RQ
4 0r 2 dr
Q
4 0R
例8 如图，点电荷电量为q=1.0×10-9库，A、B、C三
思考： 环上电荷均匀或不均匀结果一样吗？
例5.两个半径分别为R1和R2的同心球面上均匀带 电为q1 和q2，求：①空间各区域场强和电势 分布；②两个球面的电势差
解：（1）利用高斯定理
E dS
q内
s
0
r < R1 E1 0
R1 < r < R2
E2
q1
4 0r 2
r > R2
E3
q1 q2
K
Edl Edl Edl
P
P
K
q
PK
R r
0
q
0 R 4 π 0r 2 d r
内
4
q
π0R
均匀带电球面的内部空间是等电势空间。
例 3. 求线电荷密度为 的无限长均匀带电直线的
电势分布。
【解】 这是无限大电荷分布，
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电R2
r < R1
1
1
4
0
q1 R1
q2 R2
R1 < r < R2
2
1
4
0
q1 r
q2 R2
r > R2
3
q1 q2
4 0r
（2）两个球面的电势差为：
R1R2
R2 R1
E2
dl
R2 R1
q1
4 0r 2
dr
q1
4
0
1 R1
1 R2
q2
o R1
q1
R2
例6 图示BCD是以O点为圆心、以R为半径的半圆弧，在A 点有一电量为q的点电荷，O点另有一电量为-q的点电荷, 直线段 AB=R。现将一单位正电荷从B点沿半圆弧轨道 BCD移到D点，则电场力所作的功为多少？
说明2： 高斯定律是静电场的第一个重要规律， 它说明静电场是有源场。 环路定理是静电场的第二个重要规律， 它说明静电场是无旋场。
说明3：利用环路定理可以分析一些问题：
例1. 电力线闭合的电场 肯定不是静电场。
因为 E d l 0
L dl E
E
例2. 电力线为一系列
不均匀平行直线
的静电场
L
是不存在的。