静电场高斯定理、环路定理

de E ds
∵球面上：
q E 40R2
方向：沿半径向外。
1 q
de E ds 40 R2 ds
1q
通过球面的电场强度通量
e
E ds
S
S 4 0
R2 ds
6
通过球面的电场强度通量
e
E ds
S
1
S 4 0
q R2
ds
1
4
0
q R2
4R 2
q
0
即
E ds
ds
E n
S
e de E cosds
E
S
S
若曲面S为闭合曲面, 则
e
E cosds
S
法线方向的规定：闭合曲面上各点的法线方向
垂直向外为正方向。
ds
B A
C
分析：
A点处，场线穿进， / 2, cos 0, de 0为负值。
B点处，场线穿出， / 2, cos 0, de 0为正值。 C点处，场线与表面向切， / 2, cos 0, de 0.
在同一高度上移动物体。
20
2、电子伏：能量单位，电子经过1伏的电势差所获得的能量。
1eV=1.602×10-19（J）
3、电势的计算 电势叠加原理
E
p
（1） 点电荷的电势
r
上底面 / 2 侧面 0 下底面 / 2
S
h
0 E 2r h 0 E 2r h
E q
2 rh
（1）当r < R时，
q r2h
r 2h
E
r
2rh 2
均匀带电直圆柱体内的场强与半径 r 成正比。
12
E r
高斯面S
2
R
（2）当r > R时，
S
q R2h 0
E SdS
E4r 2
1
q
E
R
R
3 0
3
E 1 4
q
r2
均匀带电球体 内场强与半径 r 成正
比
O
R
r
当0< r < R时，
q 4 r3
3
E r 3
当R< r < ∞时，∑q=q
E 1 q R3 40 r 2 30r 2
0
讨论： r→0时，E→0 r R时，E R .
r R时，E R . 3 0
无限大均匀带电平面的电场是均匀场
求：两无限大均匀带电平面，带等量异号的电荷，平行放置时的电场。
两板之外： E = 0
记
-σ
+σ
两板之间： E 0
方向：正板指向负板
作业：8-2 8-3 8- 6 8-7
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§8-4 静电场的环路定理 电势
8.4.1 静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作功，说明静电 场具有能量。环路定理就是从能量的角度来讨论静电场的性质。
力所作的功。
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若取b点为无穷远 ，则 Wb=W∞=0 , 则
Wa a q0 E dl
物理意义：电场中,q0 在a点的电势能，等于将q0由a点移到无穷远点静电
场力所作的功。
电势能的单位： 焦尔 J
当a点确定后,为恒量，恒量的大
8.4.3 电势
小反映了静电场做功的本领。从
由上式 Wa q0
5
３、电场强度通量的常用表示
大小：ds
引入面元矢量
ds dsn
方向： n 为面元法线方向
则
de
E cosds
E ds
e
E ds S
e
E ds
S
ds
n
E
q
＋
8.3.3 真空中的高斯定
RS
理 １、求几种情况下的电场强度通量
球（面１上）取包面围元点d电s荷, 球通面过的d电s场的强电度场通强量度通量为
∴ 垂直穿过带电平面底面为△S高为2r的闭合 柱面S为高斯面。
+σ
++
E dS E dS E dS E dS
S
左底
侧
右底
E
++
+ +
++
+ +
+ + ++
S
ES 0 ES 2ES
0
E
2 0
+ ++ + +
E
++
++Δ+S+
+ + +
+ ++
+
+ +
（3）高斯定理是电磁场的基本定理之一。说明静电场是有源场，发散场。
8.3.4 高斯定理的应用（求场强） 分析：
1、巧取高斯面（充分利用对称性）。 2、能方便的求出s内的电荷。
E
ds
S
1
0
qi
i( s内）
9
例8-5 求：均匀带电球面的电场。 解： ∵ 电场分布具有球对称性。
∴ 取以r为半径的球面S为高斯面
a
∵静电场力是保守力，保守力的功等于势能增量的负值。
若 Wa ―――q0 在a点的电势能;
Wb ―――q0 在b点的电势能。
则 A (Wb Wa ) 若取b点 Wb=0 , 则
b
a q0 E dl
b
Wa a q0 E dl
比较 EP=mgh
物理意义：q0 在电场中a点的电势能，等于将q0由a点移到零势能点静电场
E
结论：真空中穿过任意闭合曲面Ｓ的电场强度通量等于该闭合曲面内电
荷代数和的1/ε0倍。
8
即
E
ds
S
1
0
qi
i( s内）
记 真空中高斯定理的
若电荷连续分布，
数学表达式
则
E
ds
1
dV
S
0 V (S所围的带电体)
注意： （1）式中 E ，是所有电荷所产生。S内、S外。
（2）式中电荷求和（积分），只对s内的电荷求和（积分）。
根据高斯定理
S
E
dS
1
0
q
高斯面
+++ S
q+
+
+ + +
R
o
r S
+ + +
+
+
++ +
E
ds
E
dS E4r 2 1
q
S
S
0
E
E 1 q
4 0 r 2
均匀带电球面内 场强处处为零
0
R
r
与点电荷的电
当0< r < R时，∑q=0∴ E = 0
场分布相同
当R< r < ∞时，∑q=q
E
1 40
q r2
讨论：点电荷的电场 r →∞ E→0;
r →0 E→ ∞。 10
例题 半径为R 的介质球，均匀带电q (q > 0 ),电容率为ε，
求：此带电球的电场。 解： ∵ 电场分布具有球对称性。
q
4 R3
o
3
∴ 取以r为半径的球面S为高斯面
根据高斯定理
S
E dS
1
q
r
S R
SE ds
或者说将单位正电荷绕任意闭合路径一周静电场力所作的功等于零。
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8.4.2 电势能
静电场力作功与路径无关，仅与始末位置有关，位置确定
做功本领确定，因此可以引入势能的概念，称为电势能。
1、电势能
电场中，将q0由a→b,电场力的功
为
b b
A
F dl
a
a q0 E dl
bE
dl
q0
F q0E
+ +
+
+
+
+ +
+ +
++
+++++++++
2
3、电场线（E）线的特点:
（1）曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向相一致； （2）电场线起始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲线； （3）任何两条电场线不会相交。
按照电场线的规定所作出的电场线只能定性描述电场的分布，而无法 反映场强的大小。
为了反映场强大小分布，可利用电场线的疏密程度来反映 。密、强； 疏、弱。
§8-3 静电场中的高斯定理
8.3.1、电场线（E线、电力线）
1、电场的分布（1）点电荷；（2）电偶极子；（3）无限大带电平面 2、电场线：为了形象地描述电场的分布而引入的一系列 （曲1线），点曲电线荷上电各场点中的的切电线场方线向与该点的场E强a 方向相同。Eb
b a
+
1
（2）电偶极子电场中的电场线 （3）无限大带电平面电场中的电场线
n
E
S
说明: 通过s的电场强度通量等于s在垂直于场强方向上的投影面s’与场强的乘积。
或者说，通过s的电场强度通量等于场强在s法线方向上的分量与s的乘积4 。
2、在非均匀电场中，通过任意曲面S的电场强度通量。
(1) 取面元ds，通过ds的电场强度通量为
E
de E cosds
(2) 通过任意曲面S的电场强度通量为
4、电场线数密度：垂直穿过单位面积的电场线数