环路定理电势
63静电场环路定理电势
E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能 比 重力做功 保守力 重力势能
较 静电场力做功 保守力 电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl
静电场的环路定理 电势
· · a O
2
均匀带电球体内、外的场强： E内 r 3 0 均匀带电球体内某点的电势
2 腔内电势: U ( r ) U 1 U 2 [( 3 R12 r 2 ) ( 3 R2 r 2 )] 6 0
对O2点，r a, r 0
U r
(2) 点电荷系的电势
qi UA i 4 π ε0 ri
推广：
E Ei
A
U Ui
i
r1
q1
r2 ri
qi
rN
qN
电势叠加原理 （标量叠加）
q2
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
(3) 有限连续带电体
【方法一】微元分割＋积分法
Q
dq
e
带电体
r
A
UA ? dU 4 0 r
但在工程技术中，取大地、仪器外壳等为电势零点； （2）电场的电势分布确定后，电场力做功
W AB q0 (U A U B )
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
2、电势的计算 (1) 点电荷的电势
q
+
A
积分至无穷远
r
E
q U (r ) 4πε0 r
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
3 解：取如图所示C点(0,3R/2) 0, R r 2 根据对称性 U B U C O A x C 补上下半球面成为完整球面后 y B Q R U A 4 0 R 0 R U U UC AC A 3 0 Q 2R UC 4 0 ( 3 R / 2) 3 0 1 R 再由根据对称性 U AB U AC U AC 2 6 0
6-3 静电场的环路定理和电势
V(r>R)
1
4 0
q r
练习 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处 为电势零点，则 M点的电势为
2q P M
a
a
（A） q
2π 0a
（C）
q
8π
0
a
q
（B）
4π 0a
（D） q
4π 0a
练习 在点电荷q的电场中，选取以q为中心，R为半 径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离 为r的P’点电势为
A
（D）电场力作的功 W 0
电势的求解方法
（1）利用电势叠加原理
VP
dq
4π0r
使用条件：有限大带电体且选无限远处为电势零点.
（2）利用电势的定义
V 0点
VA E dl
A
使用条件：场强分布已知或很容易确定.
均匀带电球面：
V( r R )
1
4 0
q R
四 电势
1、电势
VA
EpA q0
E dl
AB
(VB 0)
q0
A
B E
物理意义：描述电场能的性质，某点的电势在数值上等于将单 位正电荷从该点沿着任意路径移到零势能点时电场力所做的功.
B
电势差（电压）：U AB VA VB
E dl
A
WAB q0 (VA VB ) (EPB EPA)
位置有关，与路径无关.
B
dr
dl
q0
E
二 静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
09-4静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
静电场的环路定理
静电场的环路定理是指在静电场中，电动势的环路积分为零。
电动势是指电荷在静电场中的势能，环路积分是指将一条路径折成若干线段后，对每一段求出它的电动势差，并将这些差的和加起来。
环路定理的数学公式表示为：
∮Edl=0
其中，E是静电场的电场强度，dl是在静电场中的路径的元素，∮表示环路积分。
静电场的环路定理有很多应用，例如在解决电荷分布问题时，可以使用环路定理来求解电荷分布情况。
此外，环路定理还可以用于验证电荷守恒定律，即电荷在任何情况下都是守恒的。
总的来说，静电场的环路定理是一个重要的物理定理，在电学领域有着广泛的应用。
电场环路定理
电场环路定理
一、电场环路定理：
电场环路定理是物理学中有关电场的一种重要定理。
它指明在任一给定的电场中，环绕任一闭合环路的电势差总和为零。
电场环路定理的准确表达形式是：
若在环路上沿着任意方向行走，那么绕该环路的电场E和磁场B 的积分结果都等于零。
二、电场环路定理的证明：
根据电势场的定义:
电势V=∫ E·dr
其中E和dr分别表示点P处电场和从点A到点B的空间线段之间的路径积分。
因此，沿着环路行走，电势不变，电势差为0，即：
∫ E·dr=0
综上，电场环路定理的证明就完成了。
- 1 -。
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
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环路定理 电势
－ 选择题
题号：30411001 分值：3分
难度系数等级：1 1． 下列关于场强和电势的关系的说法中，正确的是：
()A 已知某点的场强E ，就可以确定该点电势U ；()B 已知某点的电势U ，就可以确定该点场强E ；
()C 在某空间内的场强不变，则U 也一定不变； ()D 在等势面上，场强E 不一定处处相等。
答案：()D
题号：30411002 分值：3分
难度系数等级：1
下列关于静电场的说法中，正确的是：
()A 电势高的地方场强就大； ()B 带正电的物体电势一定是正的；
()C 场强为零的地方电势一定为零； ()D 电场线与等势面一定处处正交。
答案：()D
题号：30413003 分值：3分
难度系数等级：3
在均匀电场中各点，下列诸物理量中：(1)电场强度、(2)电势、(3)电势梯度，哪些是大小相等的?
()A (1)、(2)、(3)都相等； ()B (1)、(2)相等；
()C (1)、(3)相等； ()D (2)、(3)相等。
答案：()C
题号：30412004 分值：3分
难度系数等级：2
图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，由图可看出：
()A ,A B C A B C E E E U U U >>>>； ()B ,A B C A B C E E E U U U <<<<；
()C ,A B C A B C E E E U U U >><<； ()D ,A B C A B C E E E U U U <<>>。
答案：()D
题号：30413005 分值：3分
难度系数等级：3
关于静电场的保守性的叙述可以表述为：
()A 静电场场强沿任一曲线积分时，只要积分路径是某环路的一部分，积分结果就一定为零； ()B 静电场场强沿任意路径的积分与起点和终点的位置有关，也要考虑所经历的路径；
()C 当点电荷q 在任意静电场中运动时，电场力所做的功只取决于运动的始末位置而与路径无关。
()D 静电场场强沿某一长度不为零的路径做积分，若积分结果为零，则路径一定闭合。
答案：()C
静电场中，电场线为平行直线的区域内
()A 场强E 处处相同，电势U 可以存在不同； ()B 场强E 可以处处不同，电势U 可以处处相同；
()C 场强E 可以处处不同，电势U 可以处处不同； ()D 场强E 处处相同，电势U 也处处相同。
答案：()A
题号：30413007 分值：3分
难度系数等级：3
关于等势面正确的说法是
()A 电荷在等势面上移动时不受电场力作用，所以不做功； ()B 等势面上各点的场强大小相等； ()C 等势面的方向指示电场强度的减小； ()D 两等势面不能相交
答案：()D
题号：30413008 分值：3分
难度系数等级：3
关于等势面，下列的说法中错误的有
()A 等势面上各点的场强的方向一定与等势面垂直；
()B 在同一等势面上移动电荷，电场力一定不做功； ()C 等量异号点电荷连线的中垂线一定是等势线；
()D 在复杂的电场中，不同电势的等势面可以在空间相交 。
答案：()D
题号：30413009 分值：3分 难度系数等级：3
一个电场等势面与纸面的交线称等势线。
若某电场的等势线如图，已知123U >U >U ，在2U 上有点M 、N ，则关于M 、N 两点的电势M ϕ、N ϕ及电场强度M E 、N E 的关系，下列的说法中正确的有
()A M N ϕϕ=，M E 一定小于N E ； ()B M N ϕϕ=，M E 一定大于N E ；
()C M N ϕϕ=， M E 等于N E ； ()D M N ϕϕ=，M E 和N E 哪个大不能确定。
答案：()B
题号：30412010 分值：3分
难度系数等级：2
在以下公式中，E v
是电场强度，可以说明静电场保守性的是
()A ⎰=⋅L q l d E 0int εϖϖ； ()B 0=⋅⎰l d E L ϖϖ； ()C ⎰=⋅L S d E 0ϖϖ； ()D ⎰=⋅L q S d E 0
int εϖϖ。
答案：()B
二 判断题
N
U 1
M U 2
U 3
静电场的环路定理和高斯定理都是说明静电场特性的。
其中环路定理说明静电场的电场线不闭合。
答案：对
题号：30422002 分值：2分
难度系数等级：2
静电场中，若在电场区域内电场线是平行的，则该区域内电场强度和电势都相等。
答案：错
题号：30421003 分值：2分
难度系数等级：1
静电场的保守性体现在电场强度的环流等于零。
答案：对
题号：30423004 分值：2分
难度系数等级：3 静电场的环路积分
0=⋅⎰
l d E L
ϖ
ϖ，表明静电场是非保守场，可以引入电势的概念。
答案：错
题号：30422005 分值：2分
难度系数等级：2
在电势不变的空间，场强处处为零。
答案：对
题号：30423006 分值：2分
难度系数等级：3
当知道空间某区域的电势分布时，对该电势求梯度就是该区域的电场强度。
答案：错
题号：30422007 分值：2分
难度系数等级：2
均匀带电球面的外部，等势面是同心球面。
答案：对
题号：30421008 分值：2分
难度系数等级：1
当静电场的分布很复杂时，电场线可能闭合。
答案：错
题号：30424009
难度系数等级：4
有人说：只要知道电场中的一个等势面，就可以确定它周围的电场。
答案：错
题号：30421010 分值：2分
难度系数等级：1
场强弱的地方电势一定低、电势高的地方场强一定强。
答案：错
三 填空题
题号：30432001 分值：2分
难度系数等级：2 静电场的环路积分
0=⋅⎰
l d E L
ϖ
ϖ，表明静电场是 场，可以引入电势来描述静电场。
答案：保守
题号：30433002 分值：2分
难度系数等级：3
如图所示，在静电场中，一电荷0q 沿正三角形的一边从a 点移动到b 点再移动到c 点后回到a 点，电场力作功等于零。
这个结论可以由静电场的 定理直接说明。
答案：环路
题号：30434003 分值：2分
难度系数等级：4
一静电场的电势分布是2
4(V)U xy
=-，其中x 和y 的单位均以米记。
则电场强度的分布是
E v
= 。
答案：
2148(V m )E y i xyj -=+⋅v v v
题号：30433004 分值：2分
难度系数等级：3
求电场强度的方法有两种，一种是采用电场叠加原理直接求解，另一种就是用电势叠加原理求出空间电势的分布(,)U x y ，然后对(,)U x y 求 运算即可。
答案：梯度
题号：30432005 分值：2分
a
b
c
均匀带电球面内部的电场强度等于零，则说明球面内部的电势是 的。
答案：相等的
题号：30331006 分值：2分
难度系数等级：1
描述静电场性质的两个基本定律是高斯定理和 定理。
答案：环路定理
题号：30432007 分值：2分
难度系数等级：2
静电场的环路定理的数学表示式为：______________________。
答案：
0=⋅⎰
l d E L
ϖϖ
题号：30432008 分值：2分
难度系数等级：2
电场强度是矢量，用电场线的疏密表示其大小。
在等势面已经确定的情况下，画出电场线时，必须注意电场线 _等势面。
答案：垂直于
题号：30433009 分值：2分
难度系数等级：3
电荷在等势面上移动时，电场力作功为零，电荷是否受到电场力的作用？___________ 答案： 受到
题号：30432010 分值：2分
难度系数等级：2
电场强度的大小与电势的高低没有必然的联系，但由电场强度的方向可以判断电势的高低。
沿着电场强度的方向，电势总是不断 的。
答案：降低。