《自动控制原理》第四章自学要点
自动控制原理第4章
= cos(ωt ) + jsin (ωt )
j ( ±180° + q ⋅360° )
| G(s) H (s) | e
j∠G ( s ) H ( s )
= 1⋅ e
(q=0, 1, 2, …)
从而得出绘制根轨迹所依据的条件是 ① 幅值条件 幅值条件 |G(s)H(s)|=1 (4.7) ② 相角条件 ∠G(s)H(s)=arg［G(s)H(s)］=±180°+q·360° (q=0, 1, 2, …) (4.8) ± 实际上满足相角条件的任一点, 一定可以找到相应的可变参 数值, 使幅值条件成立。所以, 相角条件式(4.8)也是根轨迹的充 要条件。只要利用相角条件就可确定根轨迹的形状, 但利用幅 值条件才可以求得给定闭环极点所对应的增益 增益K。进行相角计 增益 算时, 规定正实轴方向为0°, 逆时针 逆时针方向为相角的正方向。 正
G( s) =
K (τs + 1) s(Ts + 1)
其中, τ＞T。 试大致绘出其根轨迹。 解 首先将开环传递函数化为如下标准形式:
零极点 形式
k (s + 1/τ ) G( s) = s( s + 1 / T )
第四章根 轨 迹 分析 式中, k=τK/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T和一个开环零 点z1=-1/τ, 所以系统的根轨迹有两条分支。当k=0时, 两条根轨迹 从开环极点开始; 当k→∞时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另 (2-1)=1条趋于无穷远处。并且根据开环零极点的位置, 可知实 轴上的(z1,p1)和(-∞, p2)区间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图 如图4-3所示, 其中“×”表示开环极点, “○”表示开环零点。
自动控制原理基本知识点和重点难点-第4章
《自动控制原理》课程基本知识点及重点难点分析2011年11月第4章 根轨迹法1、内容提要闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。
因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。
根轨迹法就是这样的一种图解方法。
它根据基本法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。
利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。
只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在s 平面的分布，才能在此基础上运用第3章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。
从不同的角度，根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、180根轨迹、0根轨迹等。
而这些不同类型的根轨迹，则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。
所以，在绘制根轨迹时，首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。
依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分子和分母多项式的s 最高次项系数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能：()()*111mii njj K s z s p ==+±=±+∏∏ （4-1）这4种可能又归结为()()()*1*11,0mii njj s z KK s p ==+=±>+∏∏ （4-2）根据式（4-2）等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；式（4-2）中的*K 为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，i z -和j p -分别为等效的系统开环零点和极点。
2、基本内容闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
自动控制原理 第四章
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4-3 广义根轨迹
主要内容
1．根轨迹基本概念和根轨迹方程
2．绘制常规根轨迹的九大法则
3．参量根轨迹与零度根轨迹
第 4章
根轨迹
重点与难点
重 点
1、绘制常规根轨迹的九大法则 2、参量根轨迹与零度根轨迹 3、控制系统根轨迹法分析
3）又 K g
1 lim i s m
s pi s zj
j 1
n
lim s
s
n m
n m
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则(续)
所以有(n-m)条终止于无穷远处。
1 lim 4）又 K g s s zj
i 1 m j 1 n
'
N s ' 则：N s M s 0 N ' s M s N s M ' s 0 M s n m 1 1 可解得 s d .
i 1
sd pi
j 1
sd z j
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
2、分离角的计算
绘制根轨迹的基本法则(续)
五、根轨迹的分离点(汇合点)及分离角：
几条根轨迹在s平面上相遇又分开-----汇合点或
分离点。
▲ 若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一
个分离点（包括无穷远的极点）； ▲若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个 汇合点（包括无穷远的点）； ▲由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能 是一些共轭点（此情况少）。
3 2
3 2 0 1 0, 2.3 2 2 3 K g 0 K g 6, Kc 3
自动控制原理 第四章
_
G(s)
C(s)
K * (s 1) G (s)＝ s(s＋4)(s 2＋2s ＋2)
K*→∞ 60
0
a＝
p z
i i＝1 j＝1
n
m
j
n -m
(0-4-1+j-1-j)-(-1) ＝ 1.67 4-1
-3
渐近线
-2
交角
（2k+1）π ja＝ ＝600 n-m （2k+1）π ja＝ ＝1800 n-m （2k+1）π ja＝ ＝3000 n-m
=
n=q+h m=f+l
k * k
* * k G H
(s ) =
(s p j ) k* G (s z i )
f
h
(s p i ) k * (s z j )
i 1
j 1
n
i 1
j 1
m
4. 根轨迹方程
m
特征方程 1+GH = 0
1 K *
(s z
2 根轨迹与系统性能 1)稳定性 当开环增益从零变到无穷大时， 图上的根轨迹不会穿越虚轴进入 右半S平面，因此该系统对所有的 K值都是稳定的。这与采用劳斯 判据的结论完全吻合。 如果采用根轨迹分析高阶系统， 那么根轨迹有可能进入S的右半平 面，此时根轨迹与虚轴交点处的 K值就是临界开环增益。
j
s
| s z1 || s z2 | | s p2 |
| s zm || s p1 | | s pn || s a |
G ( s) H ( s)
K (s a) K (s a)n ( s a ) n -m G ( s) H ( s) 多项式展开得：
《自动控制原理 》课件第4章
轴正方向夹角为ja，交点为σa的渐近线趋于无穷远处，其中：
渐近线与实轴正方向的夹角为
ja
(2k 1) π nm
(4-8)
k 0,1,2,,
渐近线与实轴正方向的交点为
n
m
pi z j
a
i1
j1
nm
(4-9)
设系统的开环传递函数如式(4-1)，可将其展开为如下形式：
式(4-3)也可写为以下形式：
n
s pi
Kg
i 1 m
(4-5)
szj
j 1
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj，pi所组成的向量必
定满足上述两方程，而且幅值条件方程与Kg有关，而相角
条件方程与Kg无关。所以满足相角条件方程的s值代入幅值
条件方程中，可以求得一个对应的Kg值，即s若满足相角条
图4-3 反馈控制系统
显然，满足Gk(s)＝－1的点，即满足
m
Kg(s z j )
j1 n
1
(s pi )
(4-2)
i1
的点，都是系统的闭环特征根，必定在根轨迹上。所以称
式(4-2)为系统的根轨迹方程。
由式(4-2)可以看出，根轨迹法实质上是一种利用控制
系统开环传递函数求取系统闭环极点，从而分析闭环系统
m
lim s
(s z j )
j1
n
(s pi )
lim
s
s
1
mn
lim Kg
1 Kg
0
i1
上式说明，当Kg→∞时，s→∞为闭环特征根。所以(n－m) 条根轨迹将终止于无穷远处。
通常，称无穷远处的根轨迹终点为无限开环零点。从 这个意义上可以说，根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点。
自动控制原理第四章
K
*
s p sz
j 1 i 1 m
n
i
j
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。 当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件， 仍实际上还是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找 出根轨迹的一些基本规律。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
渐近线包括两个内容：
渐近线与实轴的夹角和渐近线与实轴的交点。
规则4：渐近线与实轴的交点为
sa
pi z j
i 1 j1
n
m
nm
渐近线与实轴的夹角为
180 0 90 (2k 1)180 a nm 180 ,60 45 ,135 n m 1 nm 2 nm 3 nm 4
第四章 系统的根轨迹法
系统的性能
稳定性
动态性能
闭 环即 特闭 征环 方极 程点 的 根
开环放大倍数 开环积分环节个数
稳态误差
困
难!
困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！
困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生
变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!
参数改变，系统性能如何改变！
开环传递函数(开环零极点+开环增益)
根轨迹法的任务就是由已知的开环零极点的分布及 根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
闭环极点与开环零、极点之间的关系
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
开环零极点和根轨迹增益
根轨迹图
闭环极点
分析系统
4、根轨迹方程
自动控制原理第4章专业知识讲座
14 3.74, k 60
所以,与虚轴交点旳坐标为±j 3.74 13
(2) 利用劳斯判据
将系统特征方程展开为:
s3 5s2 14s (10 K ) 0
劳斯阵列表为:
s3 1 14
s2 5 10+K
s1 70 (10 K) =0 5
5s 2 70 0
s1,2 j3.74
j
渐近线与实轴旳交点
-3
-1 0
渐解得近d求1a为ad线11分,复2与(离d122数9实3k720点012，d轴1.151)舍旳kdj去夹112303。角,1
19
②求仅有一种分离点时旳值，即求方程
2d 2 (a 3)d 2a 0 有重根时旳a 值
(a 3) (a 3) 2 16a
d 4
s 0 10+K
K = 60 14
补充规则
❖ 规则八：闭环极点之和
系统满足n-m≥2时,系统闭环极点之和等于 开环极点之和
❖ 规则九：闭环极点之积
系统旳n-m≥２且有开环零点位于原点时,系 统闭环极点之积就等于开环极点之积
15
返回
§4-3 控制系统根轨迹旳绘制
例⑥4根-2解轨：：迹闭系与环统虚系旳轴统开旳旳环交特传点征递方函程数如为下，试绘制
j
若方程有重根，则有
(a 3) 2 16a 0
即a 1或a 9。 -10
-5
a 1时，零极点对消，
故a 9为所求。
0
20
例设4-s5 点设在系根统轨旳迹开上环，传则递应函满数足如相下角，条试件绘制系
统旳根(s轨迹1) ， 并(s证明0.复1) 平面(s上旳0.5根) 轨 1迹80是 圆。
p④3K⑤d用d*(ssssss极-511-16350124系5分36KsK试6885.095(点00*3G115334*6.s1统4.离63探3976K50(-K34..-s576*旳0.*点d01[法)(556d01021H+)d5.0.6根0120((j求.2.(6.05ss4216旳1s51K2轨-)d得2K235KK0K3*起KK66*.1.)迹12***分56)*13s*a5始(0302s)(5图s② 渐离..SsKa300110渐2K角s(-662*0j1近四点*3d39近aa51K为K1023()514条线3为*(2s*线2(2sKK0Ks62k5161渐与s141***..与2353342(6856310014054s近实024)K11d,实0(0)1①*,s极零线轴1jj4031a22)轴1K.)2a17根13.点点③ 轨 及,旳4641*s旳k921(轨0)K实迹-夹s(0，jj交s154*43迹)位轴15角j0，52， 336点5003054-,K(K1)有d0， ,)5)3于上为6无,**3.12之80)5K0旳6,穷110支3，间*3(j根s-5远23..j656)]
自动控制原理基本知识点和重点难点第4章
《自动控制原理》课程基本知识点及重点难点分析20XX年11月第4章 根轨迹法1、内容提要闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。
因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。
根轨迹法就是这样的一种图解方法。
它根据基本法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。
利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。
只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在s 平面的分布，才能在此基础上运用第3章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。
从不同的角度，根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、180根轨迹、0根轨迹等。
而这些不同类型的根轨迹，则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。
所以，在绘制根轨迹时，首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。
依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分子和分母多项式的s 最高次项系数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能：()()*111mii njj K s z s p ==+±=±+∏∏ （4-1）这4种可能又归结为()()()*1*11,0mii njj s z KK s p ==+=±>+∏∏ （4-2）根据式（4-2）等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；式（4-2）中的*K 为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，i z -和j p -分别为等效的系统开环零点和极点。
2、基本内容闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
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一、自学提纲
1、根轨迹是如何提出来的？在分析自动控制系统方面，它什么优点？
2、根轨迹的概念、含义，什么是根轨迹方程？什么是常规根轨迹（180°根轨
迹）？
3、复习复向量的加、减、乘、除、求模值、求相角运算，理解根轨迹方程的模值条
件和相角条件。
4、根轨迹的绘制法则1，根轨迹的分支数、对称性和连续性。
5、根轨迹的绘制法则2，根轨迹的起点和终点。
6、根轨迹的绘制法则3，根轨迹在实轴上的分布。
7、根轨迹的绘制法则4，根轨迹的渐近线。
8、根轨迹的绘制法则5，根轨迹的分离点和分离角。
9、根轨迹的绘制法则6，根轨迹与虚轴的交点。
10、根轨迹的绘制法则7，根轨迹的出射角。
11、根轨迹的绘制法则8，闭环特征方程的极点之和=开环极点之和。
12、参数根轨迹（广义根轨迹）的绘制，与常规根轨迹的绘制有何不同？
13、正反馈根轨迹的绘制（0°根轨迹），与负反馈根轨迹的绘制有何不同？
14、利用闭环主导极点估算系统的性能。
15、闭环偶极子对根轨迹的影响。
16、闭环偶极子对根轨迹的影响。
17、附加开环零点对根轨迹的影响。
18、附加开环极点对根轨迹的影响。
19、掌握利用Matlab绘制控制系统的根轨迹，并与手绘图形进行比较。
二、讨论分10个小组（同第一章讨论），习题共11道，第一题所有小组都做，后面10题，指定各小组做1题（可抽签选择）。
三、每组讨论共同的题目，所有成员独自完成一份手写报告，准备在课堂上讲解。
报告需要指出每道题目涉及到的知识点（见自习提纲），将计算步骤详细完整地写出，并将手工绘图结果与Matlab绘图结果对比。
字体工整，能以此报告为讲稿通俗易懂地在课堂上讲解给其他同学听。
四、课堂讨论时，教师随机选定每组的一名或多名同学讲解，如果讲解的不好，同组的其他同学可补充。
给每组一个评定成绩，作为该组所有成员的讨论成绩。
习 题
1. 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为()r
(1)(10)
K G s s s s =
++，画出该系统的根轨迹图，确
定产生闭环纯虚根的开环增益，并计算出此时所有的闭环极点。
详细描述绘制根轨迹的步骤。
(各小组必做题)
2． 已知单位负反馈控制系统开环传递函数如下，画出相应的闭环根轨迹。
（需计算出射角） （1）()()
r 2225
K s G s s s +=++
（2）()()
r 220(20200)
K s G s s s s +=++
3 . 设单位负反馈控制系统的开环传递函数
()()()
102.0101.0++=
s s s K
s G
（1）画出系统的根轨迹图； （2）确定系统临界稳定的开环增益；
（3）确定与系统临界阻尼比相应的开环增益。
4. 设系统开环传递函数如下，试画出以参量b 为变量（b 从零变到无穷时）的系统根轨迹图。
（1）()()()b s s s G ++=
420
（2）()()()
1030++=
s s b s s G 5. 设控制系统开环传递函数
()s
s G 1=
试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同。
6. 设单位负反馈控制系统的开环传递函数()()()
21r +-=s s s K s G ，试绘制系统根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的r K 值。
7.设控制系统结构图如下：
试画出参数K 变化的根轨迹图，并求出闭环主导极点（或其主要作用的极点）的阻尼比ζ=.04时K 的取值（提示：注意根之和的应用）。
（4人） 8. 某单位负反馈系统的开环传递函数为
()()()
42r
++=
s s s K s G
（1）绘制r K 由零到无穷变化的根轨迹图； （2）根据根轨迹，分析系统的稳定性；
（3）确定系统为欠阻尼状态的r K 取值范围； （4）系统产生持续等幅振荡时的r K 值和振荡频率； （5）求主导极点5.0=ζ时的r K 值。
9. 某单位负反馈系统的开环传递函数为
()()()
r
225K G s s s s =
++
(1) 概略绘出闭环系统的根轨迹图，并判断闭环系统的稳定性；
(2) 如果改变反馈通道的传递函数，使()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究
由于()H s 改变所产生的效应。
10. 设控制系统如下图所示，其中()c G s 可从t K s ⋅，2
a K s ⋅和2
20
a K s s ⋅+三种传递函数中任选一种，你
选择哪一种？为什么？
11. 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
2(1)
(),0,0()
K s G s a K s s a +=
>>+
试分别画出a=10，9, 5，1 时系统的根轨迹图。
研究a 的大小对根轨迹图的影响。
12.已知控制系统的开环传递函数为
)
1()(-=
s s K
s G o
（1）试用根轨迹分析系统稳定性 ；
（2）若在系统前向通道中串联接入环节)
20()
2()(++=
s s s G c ，绘制根轨迹，并分析系统稳定性。
（3）比较（2）、（1）结果，简要说明结果不同的原因。
13.已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 )
2()
3()(++=
s s s K s G r
（1）绘出闭环系统的根轨迹；
（2）分析Kr 取值范围对系统动态性能的影响；
（3）求系统最小阻尼比时的闭环极点（提示：极点对应最小阻尼比时，就是极点对应最大阻 尼角时）。