2020届四川省绵阳市高三第三次诊断性测试文科数学试题(word版含答案)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）设集合{1M =-，0，1}，2{|}N x x x =„，则(M N =I )A ．{0}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1} 2．（5分）已知复数(32a i z a R i -=∈+，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于( ) A ．23 B ．32 C ．23- D ．32-3．（5分）已知(0,)2πθ∈，sin θcos2(tan θθ= ) A ．310- B ．310 C ．65- D ．654．（5分）下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c R ∈，则“20ax bx c ++…”的充分条件是“240b ac -„”B ．若a ，b ，c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“对任意x R ∈，有20x …”的否定是“存在x R ∈，有20x …”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l α⊥，l β⊥，则//αβ5．（5分）已知3log 0.5a =，0.5log 0.6b =，0.23c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．（5分）若向量a r 、b r 、c r 两两所成的角相等，且||1a =r ，||1b =r ，||3c =r ，则||a b c ++r r r 等于( )A ．2B ．5C ．2或5 D7．（5分）德国数学家莱布尼兹(1646年1716-年）于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图(1692年1765-年）为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值（其中P 表示π的近似值），若输入10n =，则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋯+B ．11114(1)35719P =-+-+⋯-C ．11114(1)35721P =-+-+⋯+D ．11114(1)35721P =-+-+⋯- 8．（5分）设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x ='的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）在区间[0，2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为( ) A ．89 B ．79 C ．49D ．19 10．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为( )A 3B ．25C ．45D 15 11．（5分）已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为PA 、PB ，若三角形PAB 33，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)12．（5分）函数2()3f x x x a =-+-，2()2x g x x =-，若[()]0f g x …对[0x ∈，1]恒成立，则实数a 的范围是( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，]eC ．(-∞，2]lnD ．[0，1)2 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50/km h 的汽车辆数为 ．14．（5分）函数3sin 2cos 2y x x =-的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的值为 ． 15．（5分）已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则||||AC BD +的最小值为 ．16．（5分）已知正三棱锥P 一ABC 的侧面是直角三角形，P ABC -的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P 一ABC 的体积为36，则球O 的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（10分）如图（a ），在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，//CD AB ，4AB =，2AD CD ==，将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图（b ）所示．。
四川省绵阳南山中学2020届高三三诊模拟数学(文)试题(含答案)
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为
(t 为参数),
y 3 2 sin t
在以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 cos( ) 2. 4
(I)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;
A.{0}
B.{0,1}
C.{-1,1}
D.{-1,0,1}
2.已知复数 z a i (a R ，i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值等于() 3 2i
A. 2 3
B. 3 2
C. 2 3
D. 3 2
3.已知 (0, ),sin 2
5 5
,
则
cos 2 tan
(
A. 3 10
(II)当 b=1 时,问在 x 轴上是否存在定点 T,使得 TA TB 为定值?如果存在,求出定点和定值;如果不存在，请说
明理由.
21.已知函数 f (x) ax2 (1 2a)x ln x (a∈R).
(I)当 a<0 时,求函数 f(x)在区间[ 1 ,1] 上的最小值; 2
(II)记函数 y=f(x)图象为曲线 C,设点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 是曲线 C 上不同的两点,点 M 为线段 AB 的中点,过
A. 3 5
B. 2 5
C. 4 5
D. 15 5
11.已知不等式 3x2 y2 0 所表示的平面区域内一点 P(x,y)到直线 y 3x 和直线 y 3x 的垂线段分
3
别为 PA,PB,若△PAB 的面积为
3 , 则点 P 轨迹的一个焦点坐标可以是()
16
A.(2,0)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科)(附答案详解)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={−1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=()A. {0}B. {0,1}C. {−1,1}D. {−1,0,1}2.已知复数z=a−i3+2i(a∈R,i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值等于()A. 23B. 32C. −23D. −323.已知θ∈(0,π2)，sinθ=√55，则cos2θtanθ=()A. −310B. 310C. −65D. 654.下列叙述中正确的是()A. 若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2−4ac≤0”B. 若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C. 命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D. l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α//β5.已知a=log30.5，b=log0.50.6，c=30.2，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b6.若向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=1，|b⃗ |=1，|c⃗|=3，则|a⃗+b⃗ +c⃗|等于()A. 2B. 5C. 2或5D. √2或√57.德国数学家莱布尼兹(1646年−1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图(1692年−1765年)为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年)开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值)，若输入n=10，则输出的结果是()A. P=4(1−13+15−17+⋯+117)B. P=4(1−13+15−17+⋯−119)C. P=4(1−13+15−17+⋯+121)D. P=4(1−13+15−17+⋯−121)8.设函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是()A. B.C. D.9.在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为()A. 89B. 79C. 49D. 1910.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为()A. √35B. 25C. 45D. √15511.已知不等式3x2−y2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)到直线y=√3x和直线y=−√3x的垂线段分别为PA、PB，若三角形PAB的面积为3√316，则点P轨迹的一个焦点坐标可以是()A. (2,0)B. (3,0)C. (0,2)D. (0,3)12.函数f(x)=−x2+3x−a，g(x)=2x−x2，若f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的范围是()A. (−∞,2]B. (−∞,e]C. (−∞,ln2]D. [0,12)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/ℎ的汽车辆数为)个单位长度后，得到函数14.函数y=√3sin2x−cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π2g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为______．15.已知抛物线y2=4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为______．16.已知正三棱锥P−ABC的侧面都是直角三角形，P−ABC的顶点都在球O的球面上，正三棱锥P−ABC的体积为36，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，如图(b)所示．(Ⅰ)求证：BC⊥平面ACD；(Ⅱ)求点A到平面BCD的距离ℎ．18.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示(x(吨)为该商品进货量，y(天)为销售天数x 2 3 4 5 6 8 9 11 y12334568(Ⅰ)根据上表数据在下列网格中绘制散点图；(Ⅱ)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅲ)在该商品进货量x(吨)不超过6(吨)的前提下任取两个值，求该商品进货量x(吨)恰有一个值不超过3(吨)的概率．参考公式和数据：b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i−x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．∑x i 28i=1=356,∑x i 8i=1y i =24119. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n =a n 2+2a n −3．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =1a n a n+1(n ∈N ∗)，T n 是{b n }的前n 项和，求使T n <215成立的最大正整数n ．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2√23，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(Ⅰ)若以线段AF 1为直径的动圆内切于圆x 2+y 2=9，求椭圆的长轴长； (Ⅱ)当b =1时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？如果存在，求出定点和定值；如果不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=ax 2+(1−2a)x −lnx(a ∈R)．(1)当a >0时，求函数f(x)的单调增区间；(2)当a <0时，求函数f(x)在区间[12,1]上的最小值；(3)记函数y =f(x)图象为曲线C ，设点A(x 1,x 2)，B(x 2,y 2)是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N.试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2．(Ⅰ)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的23.设函数f(x)=|x−1|，x∈R．(1)求不等式f(x)≤3−f(x−1)的解集；)⊆M，求实(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x+1)−|x−a|的解集为M，若(1,32数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={−1,0,1}，所以M∩N={0,1}．故选B．求出集合N，然后直接求解M∩N即可．本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2.【答案】A【解析】解：∵z=a−i3+2i =(a−i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=3a−213−2a+313i是纯虚数，∴{3a−2=02a+3≠0，解得a=23．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵θ∈(0,π2)，sinθ=√55，∴cosθ=√1−sin2=2√55，tanθ=sinθcosθ=12，则cos2θtanθ=cos2θ−sin2θtanθ=2025−52512=65，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】体难度不大，属于基础题．本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A.若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2−4ac=0，符合b2−4ac≤0；②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a>0且b2−4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2−4ac≤0”充分不必要条件，“b2−4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B.当ab2>cb2时，b2≠0，且a>c，∴“ab2>cb2”是“a>c”的充分条件．反之，当a>c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2>cb2不成立．∴“a>c”是“ab2>cb2”的必要不充分条件．故B错误；C.结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2<0”.故C错误；D.命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α//β.”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选D．5.【答案】A【解析】解：∵log30.5<log31=0，0=log0.51<log0.50.6<log0.50.5=1，30.2>30= 1，∴a<b<c．故选：A．容易得出log30.5<0,0<log0.50.6<1,30.2>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．6.【答案】C【解析】解：由向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则(|a⃗+b⃗ +c⃗|) 2=|a⃗|2+|b⃗ |2+|c⃗|2+2(a⃗⋅b⃗ +a⃗⋅c⃗+b⃗ ⋅c⃗ )=11+2(|a⃗|⋅|b⃗ |cosα+|a⃗|⋅|c⃗|cosα+|b⃗ |⋅|c⃗|cosα)=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C设向量所成的角为α，则先求出(|a⃗+b⃗ +c⃗|) 2的值即可求出，考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cosα的公式．7.【答案】B【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]的值，∵输入n=10，∴跳出循环的i值为11，∴输出P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]=4(1−13+15−⋯−119).故选：B．模拟程序的运行可得算法的功能是求P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]的值，根据条件确定跳出循环的i值，即可计算得解．本题考查程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，∴当x>−2时，f′(x)>0；当x=−2时，f′(x)=0；当x<−2时，f′(x)<0．∴当x>−2时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；故选：A ．由题设条件知：当x >−2时，xf′(x)<0；当x =−2时，xf′(x)=0；当x <−2时，xf′(x)>0.由此观察四个选项能够得到正确结果．本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．9.【答案】A【解析】解：在区间[0,2]中随机地取一个数，这个数小于23的概率为232=13，∴在区间[0,2]中随机地取两个数，则这两个数都小于23的概率为13×13=19， ∴这两个数中较大的数大于23的概率为P =1−19=89， 故选：A ．先根据几何概型的概率公式求出在区间[0,2]中随机地取一个数，这个数小于23的概率，从而得到这两个数都小于23的概率，最后根据对立事件的概率公式可求出所求 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型10.【答案】B【解析】解：分别以直线BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)， ∴cos <AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5×√5=25，∴AE 与CF 夹角的余弦值为25． 故选：B ．根据题意，可以点B 为原点，直线BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后可求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)，然后可求出cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=25，从而可得出AE 与CF 夹角的余弦值．本题考查了直三棱柱的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题的方法，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图所示，不等式3x 2−y 2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)，可得点P 的轨迹为直线y =±√3x 之间并且包括x 轴在内的区域． |PA|=|√3x−y|2，|PB|=|√3x+y|2，∵三角形PAB 的面积为3√316，∴12|PA||PB|sin60°=3√316， 化为：x 2−y 23=1．则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是(2,0)． 故选：A ．如图所示，不等式3x 2−y 2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)，可得点P 的轨迹为直线y =±√3x 之间并且包括x 轴在内的区域．利用12|PA||PB|sin60°=3√316，即可得出． 本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性及最值，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属中档题．利用导数可得g(x)在x∈[0,1]上的取值范围为[1,g(x0)]，其中g(x0)<2，令t=g(x)换元，把f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立转化为−t2+3t−a≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，分离参数a后利用函数单调性求出函数−t2+3t的最小值得答案．【解答】解：g(x)=2x−x2，g′(x)=2x ln2−2x，∵g′(0)=ln2>0，g′(1)=2ln2−2<0，∴g′(x)在(0,1)上有零点，又[g′(x)]′=ln22⋅2x−2<0在[0,1]上成立，∴g′(x)在(0,1)上有唯一零点，设为x0，则当x∈(0,x0)时，g′(x)>0，当x∈(x0,1)时，g′(x)<0，∴g(x)在x∈[0,1]上有最大值g(x0)<2，又g(0)=g(1)=1，∴g(x)∈[1,g(x0)]，令t=g(x)∈[1,g(x0)]，要使f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立，则f(t)≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，即−t2+3t−a≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，分离a，得a≤−t2+3t，，又g(x0)<2，函数−t2+3t的对称轴为t=32∴(−t2+3t)min=2，则a≤2．则实数a的范围是(−∞,2]．故选：A．13.【答案】77【解析】解：根据频率分布直方图，得；时速超过50km/ℎ的汽车的频率为(0.039+0.028+0.010)×10=0.77；∴时速超过50km/ℎ的汽车辆数为100×0.77=77．故答案为：77．根据频率分布直方图，求出时速超过50km/ℎ的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．14.【答案】π6【解析】解：由已知得y=√3sin2x−cos2x=2(sin2x⋅√32−cos2x⋅12)=2sin(2x−π6)．所以g(x)=2sin[2(x−φ)−π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(−2φ−π6)=±2，∴−2φ−π6=π2+kπ,k∈Z，∴φ=−π3−kπ2，k∈Z，当k=−1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．先将y=√3sin2x−cos2x化为y=2sin(2x−π6)，然后再利用图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三角函数图象变换的方法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：由题意知，F(1,0)，由抛物线的定义知，|AC|+|BD|=|AF|+|BF|−2=|AB|−2，若|AC|+|BD|取得最小值，则|AB|取得最小值，而当|AB|为通径，即|AB|=2p=4时，取得最小值，所以|AC|+|BD|的最小值为2．故答案为：2．先有抛物线的定义，可得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|−2=|AB|−2，再找|AB|的最小值，而当|AB|为抛物线的通径时，|AB|最小，故而得解．本题考查抛物线的定义、通径等，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】108π【解析】【分析】本题考查多面体外接球的体积的求法，关键是“补形思想”的应用，是中档题．由已知可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且PA=PB=PC，设PA=PB=PC=a，由棱锥体积公式求得a，然后利用补形法求三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三棱锥P−ABC是正三棱锥，且侧面是直角三角形，如图，可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，即PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，且PA=PB=PC，设PA=PB=PC=a，则13×12a3=36，即a=6，把三棱锥补形为正方体，则其对角线长为√62+62+62=6√3，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径R=3√3．∴球O的表面积为4π×(3√3)2=108π．故答案为：108π．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，∴AC=BC=2√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC =AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD ．(Ⅱ)解：由(1)知，BC 为三棱锥B −ACD 的高，BC =2√2， S △ACD =2，∴V B−ACD =13S △ACD ⋅BC =13×2×2√2=4√23，∵S △BCD =2√2，设点A 到平面BCD 的距离ℎ.由V B−ACD =V A−BCD ，得： 点A 到平面BCD 的距离ℎ=4√2313×2√2=2．【解析】(Ⅰ)推导出AC ⊥BC ，由平面ADC ⊥平面ABC ，能证明BC ⊥平面ACD ． (Ⅱ)设点A 到平面BCD 的距离ℎ.由V B−ACD =V A−BCD ，能求出点A 到平面BCD 的距离． 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解析：(Ⅰ)散点图如图所示：(Ⅱ)依题意，x −=18(2+3+4+5+6+8+9+11)=6y −=18(1+2+3+4+5+6+6+8)=4∑x i 28i=1=356,∑x i 8i=1y i =241：b̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=241−8×6×7356−8×6×6=4968∴a ̂=y −−b ̂x −=4−4968×6=−1134故得回归直线方程为y =4968x −1134．(Ⅲ) 由题意知，在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，任取两个有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)共10种，该商品进货量不超过3吨的有编号1，2号，超过3吨的是编号3，4，5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨有(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)共6种，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率为P =610=35．【解析】(Ⅰ)根据上表数据绘制散点图；(Ⅱ)由题意求出x −，y −，∑x i 28i=1，∑x i 8i=1y i ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；(2)在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，抽取2个，写出所有事件，即可求解恰有一个值不超过3(吨)的概率． 本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中档题19.【答案】解：(Ⅰ)由4S n =a n 2+2a n −3，可得4S n−1=a n−12+2a n−1−3，n ≥2， 两式相减可得4a n =4S n −4S n−1=a n 2+2a n −a n−12−2a n−1，可化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0， 由a n >0，可得a n −a n−1=2，由4a 1=4S 1=a 12+2a 1−3，解得a 1=3(−1舍去)，于是{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 则a n =2n +1，n ∈N ∗； (Ⅱ)b n =1an a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，则T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)， 由n3(2n+3)<215，解得n <6， 则所求的最大正整数n 为5．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n =1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，由数列的裂项相消求和，计算可得T n ，再解不等式可得n 的最大值．本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式的求法，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设AF 1的中点M ，连接OM ，AF 2，在三角形AF 1F 2中，O 为F 1F 2的中点，所以OM 为中位线， 所以|OM|=12|AF 2|=12(2a −|AF 1|)=a −12|AF 1|， 又因为圆M 与圆O 内切，所以圆心距|OM|为两个半径之差，即|OM|=3−12|AF 1|，所以a −12|AF 1|=3−12|AF 1|，可得a =3， 所以椭圆的长轴长为2a =6； (Ⅱ)由e =c a=2√23，b =1，a 2=b 2+c 2可得a 2=9，所以椭圆的方程为：x 29+y 2=1；可得左焦点F 1(−2√2,0)，当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为：x =my −2√2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立直线AB 与椭圆的方程{x =my −2√2x 2+9y 2−9=0，整理可得(9+m 2)y 2−4√2m −1=0，可得y 1+y 2=4√2m 9+m 2，y 1y 2=−19+m 2，假设存在T(t,0)满足条件，则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−t,y 1)(x 2−t,y 2)=(x 1−t)(x 2−t)+y 1y 2=(my 1−2√2−t)(my 2−2√2−t)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2−m(2√2+t)(y 1+y 2)+(2√2+t)2=−(1+m 2)9+m 2−4√2m 2(2√2+t)9+m 2+(2√2+t)2m 2+9(2√2+t)29+m 2=m 2[(2√2+t)2−1−4√2(2√2+t)]+9(2√2+t)2−19+m 2，要使TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，则9(2√2+t)2−19=(2√2+t)2−1−4√2(2√2+t)，解得t =−19√29，即T(−19√29,0)，这时9(2√2−19√29)2−19=−781；当直线的斜率为0时，即直线AB 为x 轴，与椭圆的交点A ，B 分别为：(−3,0)，(3,0)， 这时TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3+19√29,0)⋅(3+19√29,0)=(19√29)2−9=−781， 综上所述：在x 轴上存在定点T(−19√29,0)使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值−781．【解析】(Ⅰ)设AF 1的中点为M ，连接OM 可得OM 为三角形AF 1F 2的中位线，可得|OM|=12|AF 2|=12(2a −|AF 1|)=a −12|AF 1|，再由圆M 与圆O 内切，所以圆心距|OM|为两个半径之差可得|OM|的表达式，两个式子可得a 的值，进而求出长轴长；(Ⅱ)由离心率和b 的值及a ，b ，c 之间的关系，求出a 的值，进而求出椭圆的方程；假设存在定点T(t,0)，分直线AB 的斜率为0和不为0两种情况讨论：当直线AB 的斜率不为0时设直线AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，由其为定值可得分子分母对应项的系数成比例，可得t 的值，进而求出TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，当直线AB 的斜率为0时，求出A ，B 的坐标，也可得TA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查数量积为定值的性质，即分子分母对应项的系数成比例，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=ax 2+(1−2a)x −lnx ，∴f ′(x)=2ax +(1−2a)−1x=2ax 2+(1−2a)x−1x=(2ax+1)(x−1)x，∵a >0，x >0，∴2ax +1>0，解f′(x)>0，得x >1， ∴f(x)的单调增区间为(1,+∞)；(2)当a <0时，由f′(x)=0，得x 1=−12a ，x 2=1， ①当−12a >1，即−12<a <0时，f(x)在(0,1)上是减函数， ∴f(x)在[12,1]上的最小值为f(1)=1−a ． ②当12≤−12a ≤1，即−1≤a ≤−12时，f(x)在[12,−12a ]上是减函数，在[−12a ,1]上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(−12a )=1−14a +ln(−2a)． ③当−12a <12，即a <−1时，f(x)在[12,1]上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(12)=12−34a +ln2． 综上，函数f(x)在区间[12,1]上的最小值为：f(x)min={12−34a +ln2 a <−11−14a +ln(−2a) −1≤a ≤−121−a −12<a <0 (3)设M(x 0,y 0)，则点N 的横坐标为x 0=x 1+x 22，直线AB 的斜率k 1=y 1−y2x 1−x 2=1x1−x 2[a(x 12−x 22)+(1−2a)(x 1−x 2)+lnx 2−lnx 1]=a(x 1+x 2)+(1−2a)+lnx 2−lnx 1x 1−x 2，曲线C 在点N 处的切线斜率k 2=f ′(x 0)=2ax 0+(1−2a)−1x 0=a(x 1+x 2)+(1−2a)−2x1+x 2，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则k 1=k 2， 即lnx 2−lnx 1x 1−x 2=−2x1+x 2，∴ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，不妨设x 1<x 2，x2x 1=t >1，则lnt =2(t−1)1+t ，令g(t)=lnt −2(t−1)1+t (t >1)，则g ′(t)=1t −4(1+t)2=(t−1)2t(1+t)2>0，∴g(t)在(1,+∞)上是增函数，又g(1)=0， ∴g(t)>0，即lnt =2(t−1)1+t不成立，∴曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ．【解析】(1)求出函数f(x)的导函数，由a >0，定义域为(0,+∞)，再由f′(x)>0求得函数f(x)的单调增区间；(2)当a <0时，求出导函数的零点−12a ,1，分−12a >1，12≤−12a ≤1，−12a <12讨论函数f(x)在区间[12,1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a 的分段函数； (3)设出线段AB 的中点M 的坐标，得到N 的坐标，由两点式求出AB 的斜率，再由导数得到曲线C 过N 点的切线的斜率，由斜率相等得到ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，令x2x 1=t 后构造函数g(t)=lnt −2(t−1)1+t (t >1) 由导数证明ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1不成立．本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于(3)的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．22.【答案】解：(1)圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint(t 为参数)，消去参数t ，转换为直角坐标方程为(x +5)2+(y −3)2=2．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2.整理得√22ρcosθ−√22ρsinθ=−√2，根据：{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2，转换为直角坐标方程为x −y +2=0．(2)直线l 与x 轴和y 轴的交点坐标为A(−2,0)，B(0,2)． 所以|AB|=√22+(−2)2=2√2点P(−5+√2cosα,3+√2sinα)到直线l 的距离d =√2cosα−3−√2sinα+2|√2=|−6+2cos(α+π4)|√2，当cos(α+π4)=−1时，d max =√2=2√2，所以S△PAB=12×d max×|AB|=12×2√2×2√2=4．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)因为f(x)≤3−f(x−1)，所以|x−1|≤3−|x−2|，⇔|x−1|+|x−2|≤3，⇔{x<13−2x≤3或{1≤x≤21≤3或{x>22x−3≤3解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f(x)≤3−f(x−1)的解集为[0,3]．(2)因为(1,32)⊆M，所以当x∈(1,32)时，f(x)≤f(x+1)−|x−a|恒成立，而f(x)≤f(x+1)−|x−a|⇔|x−1|−|x|+|x−a|≤0⇔|x−a|≤|x|−|x−1|，因为x∈(1,32)，所以|x−a|≤1，即x−1≤a≤x+1，由题意，知x−1≤a≤x+1对于x∈(1,32)恒成立，所以12≤a≤2，故实数a的取值范围[12,2]．【解析】(1)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)由f(x)≤f(x+1)−|x−a|⇔|x−a|≤|x|−|x−1|，得到x−1≤a≤x+1对于x∈(1,32)恒成立，求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
绵阳三诊文科数学理答案
绵阳市高中2020级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBDAC AADCB BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．2 15．116．21三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）抽取的3个销售终端中至少有2个销售终端的年销售额超过40万元的概率2134164320557C C C P C ． ········································································· 5分 （2）由样本估计总体，从全国随机抽取1个销售终端，春季新款的年销售额超过40万元的概率是15，随机变量 ～B 1(3)5，． ··············································· 6分00331464(0)()()55125P C ， ······························································· 7分1231448(1)55125（）P C ，······························································ 8分2231412(2)(55125P C ， ································································ 9分3303141(3)()(55125P C ． ······························································ 10分的分布列为：·································································································· 11分∴的期望为：3()5E np ． ···························································· 12分18．解：（1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．∵PA =PC ，∴PO AC ． ···································································· 1分∵4PA PC AC ，∴90APC ， ················································································ 2分 ∴122PO AC，同理2BO ． ························································· 3分又PB 222PO OB PB ，即PO OB ． ·································· 4分∵AC OB O ，AC ，OB 平面ABC ， ∴PO 平面ABC ． ··········································································· 5分又PO 平面PAC ，∴平面PAC平面ABC ． ··································································· 6分（2）∵PO 平面ABC ，OB AC ，则PO OB ． 又PO OC ，建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ，则(200)，，A ，(020)B ，，，(200)，，C ，(002)，，P ，24(0)33，，M ，············· 7分∴(202)，，AP uu u r， 220，，AB uu u r ．设平面PAB 的法向量为n ()，，x y z ，由0=0，，n AP n AB得220220，，x z x y 令1x ，得n (111)，，， ························· 9分 同理，平面APM 的法向量为m (121)，，， ············································· 10分∵cos cos 3，m n m n m n， ··················································· 11分∴二面角余弦值为3． ···································································12分 19．解：（1）由)n n S T ，令n =1，得11111))23=a S T b ，即12=a ， ·························· 2分又∵4134a a d ，∴等差数列{n a }的公差2 d ，42 n a n ， ··········································· 4分∴21()32n n n a a S n n， ································································ 5分 ∴nn n T 32)3( ． ············································································· 6分（2）当2≥n时，22(1)3(1)54-1n n nn n T ， ······································ 7分∴当2≥n时，24213n n nn n T b T，················································· 8分 当1n 时，311b 也满足上式，所以23n n b (n N )． ····························· 9分 ∴2243=n n n n a n c b， 要使11n n n c c c 成立，即321262422333n n n n n n ， ······························· 10分 解得n =4， ······················································································· 11分∴323c，449c ，529c ，满足：4c 为3c ，5c 的等差中项， ∴存在n =4符合题意． ······································································· 12分20．解：（1）221()x ax f x x， ······························································· 1分∵()f x 在1(2)2上即有极大值又有极小值，所以方程2210x ax 在1(2)2上有两不等实根， ·································· 2分令2()21g x x ax ，则280122413(0222(2)920a a a g g a， ············································ 3分解得：3a ，所以实数a的取值范围为：3a ． ················································ 5分（2）设切点为00()，x y ，其中22x ，则由题意可得： 200020000211ln ，，x ax x x a x x ax····································································· 6分 整理得：00121a x x， ··································································· 7分 ∴200001ln 220x x x x，（ ） 令21()ln 22h x x x x x)2（x ， 则22211(1)(21)()22x x h x x x x x ， ············································ 8分由2210x ， 易知：()h x在12（上单调递增，在1)（， 上单调递减． ························ 9分 ∴()(1)0≤h x h ，所以方程（ ）只有唯一解：01x ， ··························· 10分所以：2a ． ·················································································· 12分 21．解：（1）设M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，直线l ：y =x −2， ······························· 1分联立方程222x y y px，整理得：2240y py p ，···································· 2分由韦达定理：121224y y py y p ， ······························································· 3分12MN y························································· 4分解得：12p，故抛物线的方程为：y 2=x ．··············································· 5分 （2）方法一：设y 1=a ，则2()，M a a ，联立直线MN 与抛物线C 方程可得：22x ty y x，整理得：220y ty ；由韦达定理：y 1 y 2=−2，则y 2=2a； ······················································ 7分 联立直线MP 与抛物线C 方程可得：23x ny y x，整理得：230y ny ，由韦达定理：y 1 y 3=−3，则y 3=3a． ······················································ 8分 ∴121=+=PMN PAN PAM PAMy y S S S S y121313111()()156()22y y y y y y y y3165=()2a aa ······························································· 10分 令365()h a a a a，∴224244(51822()a a a a h a a a由()0h a解得：a，由()0h a解得：0a ， ∴()h a在区间单调递减，在) 单调递增， ··········· 11分 ∴当252a时，h (a )取得最小值. 故M的横坐标为52． ············· 12分 （2）方法二：延长PN 交x 轴于点Q ， 设 P (x 3，y 3)，Q (x 4，0)，y 1=a ，则2()，M a a ， 联立直线MN 与抛物线C 方程可得：22x ty y x，整理得：220y ty ， 由韦达定理：y 1 y 2=−2，则y 2=2a ，故N (242a a)， ·································· 7分联立直线MP 与抛物线C 方程可得：23x ny y x，整理得: 230y ny ，由韦达定理：y 1 y 3=−3，则y 3=3a ，故P (293，a a)， ·································· 9分 ∵Q ，N ，P 三点共线，故QNNP k k ，代入得：4222145aa x a a，解得：426x a ，∴2102(QN a a，2153()，QP a a，即23QN QP ，故13NP QP ， 则1323111163165==(3)()=()33262MNP MQP S S QB y y a a a a a a ，········ 10分令365()h a a a a ，则424518()a a h a a ，当252a时，h (a )取得最小值， ···················································· 11分 故M的横坐标为52． ································································· 12分 22．解：（1）可得圆C 的标准方程为：22(2)4x y ，∴ 圆C 是以C （2，0）为圆心，2为半径的圆， ······································ 2分 ∴ 圆C 的参数方程为：22cos 2sin x y（ 为参数）． ····························· 5分（2）∵||AB ，可得2ACB， ·················································· 6分不妨设点A 所对应的参数为 ，则点B 所对应的参数为2，∴(22cos 2sin )，A ，则(22cos(2sin())22，B，即B 22sin 2cos ， ， ··································································· 7分∴ 1122cos 2sin x y，2222sin 2cos -x y，∴ 1212x x y y =22cos )(22sin )2sin 2cos （ ······························ 8分=44(cos sin ) =4+)4， ······························ 9分∵[02]， ，则9[]444，，∴ 当cos(4=1，即 =74时，1122x y x y 的最大值为4 ． ·········· 10分 23．解：（1）由a =1，则2b +3c =3，由柯西不等式，得222(]23)≥b c ，····························· 2分∴21153()232≤ ， ····························································· 3分∴2，当且仅当92105b c 时等号成立． ···························· 5分 （2）∵a +2b +3c =4，即2b +3c =4−a ，2 2 ， ············································· 6分又由（1）可知：222(23)≥b c ，···························· 7分∴25(4)(26≥a ，即1140≤a ， ········································· 8分t ，所以2112440≤t t ， 解得：2211≤≤t ，即44121≤≤a ， ························································· 9分 又2b +3c =4−a ，且b >0，c >0，∴4−a>0，即a<4，综上可得，44121≤a ． ···································································· 10分。
2020年四川省绵阳市高考(文科)数学三诊模拟测试试卷 含解析
2020年高考（文科）数学三诊试卷一、选择题（共12小题）.1．复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1﹣2i2．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．33．已知单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝（）A．0B．C．1D．24．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险5．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．96．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．28．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），若f（﹣1）＜1，f（2019）＝ln（a﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（﹣∞，e+1）C．（e+1，+∞）D．（1，e+1）9．某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）11．如图，教室里悬挂着日光灯管AB，AB＝90cm，灯线AC＝BD，将灯管AB绕着过AB 中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为（）A．30cm B．40cm C．60cm D．75cm12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知，则sinα＝．14．曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为．15．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．三、解答题17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率[60，75）三等品100.1[75，90）二等品30b[90，105）一等品a0.4[105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．18．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．（1）求S n；（2）设b n＝log3S n，求使得＞0.99成立的最小自然数n．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝2．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣PCD的体积．20．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．（1）若直线OG的斜率为，求直线l的方程；（2）设点P（x0，0），若∠FMP恒为锐角，求x0的取值范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解：＝．故选：A．2．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2．故选：C．3．已知单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝（）A．0B．C．1D．2【分析】直接把已知代入数量积求解即可．解：因为单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝﹣•＝12﹣0＝1．故选：C．4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．解：根据A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知：A型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．5．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．9【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，∴4x＝＝＝9，故选：D．6．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】由三角形的内角和定理得到B＝π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到A＝C，利用等角对等边即可得到三角形为等腰三角形．解：∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，∴cos A sin C﹣sin A cos C＝sin（C﹣A）＝0，即C﹣A＝0，C＝A，∴a＝c，即△ABC为等腰三角形．故选：B．7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．2【分析】利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．解：双曲线＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝3．故选：B．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），若f（﹣1）＜1，f（2019）＝ln（a﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（﹣∞，e+1）C．（e+1，+∞）D．（1，e+1）【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝f（﹣1），进而可得ln（a﹣1）＜1，变形可得0＜a﹣1＜e，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f （x），函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+4×505）＝f（﹣1），又由f（2019）＝ln（a﹣1）且f（﹣1）＜1，则有ln（a﹣1）＜1，变形可得0＜a﹣1＜e，解可得：1＜a＜e+1；故a的取值范围为（1，e+1）；故选：D．9．某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝32＝9，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数m＝＝6，由此能求出这两位居民参加不同服务队的概率．解：某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，基本事件总数n＝32＝9，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数m＝＝6，则这两位居民参加不同服务队的概率p＝＝．故选：A．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．解：∵函数的最小周期是π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）关于中心对称，∴2×（﹣）+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+，k∈Z，∵，∴当k＝0时，φ＝，即f（x）＝sin（2x+），则函数在[﹣，]上递增，在[，]上递减，f（0）＝f（），∵＜1＜2，∴f（）＞f（1）＞f（2），即f（2）＜f（1）＜f（0），故选：D．11．如图，教室里悬挂着日光灯管AB，AB＝90cm，灯线AC＝BD，将灯管AB绕着过AB 中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为（）A．30cm B．40cm C．60cm D．75cm【分析】设A′B′与OO′交于点N，过点A′作A′M⊥AC于M，连接MN，由等边三角形求出A′M，由勾股定理求得AC的值．解：设A′B′与OO′交于点N，过点A′作A′M⊥AC于M，连接MN，如图所示；则CM＝AC﹣15，△A′MN中，A′N＝AB＝45，MN＝45，∠A′MN＝60°，所以A′M＝45；在Rt△A′MC中，由勾股定理得，（AC﹣15）2+452＝AC2，解得AC＝75（cm）．故选：D．12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的交点个数．由y＝﹣，得y′＝．可知当x＜1时，y′＜0，函数单调递减，当x＞1时，y′＞0，函数单调递增．作出两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则sinα＝．【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵，∴两边平方可得：cos2+sin2﹣2cos sin＝，可得1﹣sinα＝，∴sinα＝．故答案为：．14．曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为x+y+2＝0．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x＝﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解：y'＝2﹣3x2y'|x＝﹣1＝﹣1而切点的坐标为（﹣1，﹣1）∴曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为x+y+2＝0故答案为：x+y+2＝015．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝2．【分析】根据正余弦定理可得PF1•PF2＝16且4c2＝（2a）2﹣16，解出b即可．解：△F1PF2的面积＝PF1•PF2sin120°＝PF1•PF2＝4，则PF1•PF2＝16，又根据余弦定理可得cos120°＝，即4c2＝PF12+PF22+16＝（2a）2﹣32+16，所以4b2＝16，解得b＝2，故答案为：2．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．【分析】设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则h2+2a2＝（2×2）2，所以a2＝8﹣h2，所以正四棱柱容器的容积为V＝a2h＝（8﹣h2）h＝﹣h3+8h，h∈（0，4）；求导数得V′＝﹣h2+8，令V′＝0，解得h＝，所以h∈（0，）时，V′＞0，V（h）单调递增；h∈（，4）时，V′＜0，V（h）单调递减；所以h＝时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率[60，75）三等品100.1[75，90）二等品30b[90，105）一等品a0.4[105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．【分析】（1）由10÷0.1＝100，得n＝100，由此能求出a，b．（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x＝2，y＝4，在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，由此利用列举法能求出至少有1件特等品被抽到的概率．解：（1）由10÷0.1＝100，即n＝100，∴a＝100×0.4＝40，b＝30÷100＝0.3．（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x＝2，y＝4，∴在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况有15种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，∴至少有1件特等品被抽到的概率为：p＝．18．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．（1）求S n；（2）设b n＝log3S n，求使得＞0.99成立的最小自然数n．【分析】（1）利用数列的递推关系式，推出数列{S n}是等比数列，然后求解即可．（2）化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．所以S n+1＝3S n，所以{S n}是等比数列，首项为1，公比为3等比数列．S n＝3n﹣1．（2）b n＝log3S n＝n﹣1，＝＝＝1，＞0.99成立，即1＞0.99，解得n＞99，所以最小自然数n为100．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝2．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣PCD的体积．【分析】（1）取PC的中点G，连接DG，FG．利用正方形的性质、三角形中位线定理可得：DE∥BC，且DE＝BC．于是四边形DEFG为平行四边形，可得EF∥DG，即可证明EF∥平面PCD．（2）根据EF∥平面PCD，可得F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，可得V F﹣PCD＝V E﹣PCD＝V A﹣PCD＝V P﹣ACD．由PA⊥平面ABCD，可得V P﹣ACD＝PA ×S△ACD，即可得出．【解答】（1）证明：取PC的中点G，连接DG，FG．∵四边形ABCD为正方形，且DE＝BC，FG∥BC，且FG＝BC．∴DE∥BC，且DE＝BC．∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG，∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，∴EF ∥平面PCD．（2）解：∵EF∥平面PCD，∴F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，∴V F﹣PCD＝V E﹣PCD＝V A﹣PCD＝V P﹣ACD．∵PA⊥平面ABCD，∴V P﹣ACD＝PA×S△ACD＝××2＝．∴V F﹣PCD＝．20．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．（1）若直线OG的斜率为，求直线l的方程；（2）设点P（x0，0），若∠FMP恒为锐角，求x0的取值范围．【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而可得中点G的坐标，求出直线OG的斜率，再由题意可得直线中参数的值，进而求出直线方程；（2）∠FMP恒为锐角，等价于＞0，设M的坐标，求出向量的代数式，使其大于0恒成立，令函数h（t），分两种情况讨论函数大于0时的x0的范围．解：（1）由题意得F（1，0），设直线l的方程为：x＝ty+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0），联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣4ty﹣4＝0，可得y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以y0＝2t，x0＝ty0+1＝2t2+1，即G（2t2+1，2t），所以k OG＝，由题意可得＝，解得t＝或t＝1，所以直线l的方程为：x﹣y﹣1＝0，或2x﹣y﹣2＝0；（2）∠FMP恒为锐角，等价于＞0，设M（，y1），F（1，0），P（x0，0），＝（x0﹣，﹣y1），＝（1﹣，﹣y1），则＝（x0﹣）（1﹣）+y12＝+y12+（1﹣）x0＞0恒成立，令t＝，则t＞0，原式等价于t2+3t+（1﹣t）x0＞0，对任意的t＞0恒成立，令h（t）＝t2+（3﹣x0）t+x0，①△＝（3﹣x0）2﹣4x0＝x02﹣10x0+9＜0，解得1＜x0＜9，②，解得：0≤x0≤1，又x0≠1，故0≤x0＜1，综上所述：x0的取值范围[0，1）∪（1，9）．21．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．【分析】（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．解：（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx﹣+2，＝，x＞0，易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，故当x＝时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4，（2）＝，当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，解可得，0，当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1）﹣＝，令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）ln﹣a+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，令h（a）＝，则＜0，所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2﹣，即f（）＞0，所以f（x）在（1，e）上没有零点，综上，当0＜a＜时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．（2）由（1）得：|MN|＝|．显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，设PC2与直线MN垂直于点H，如图所示：在Rt△OHC2中，|，所以点P到直线MN的最大距离d＝，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值m，然后由a+4b+9c＝m，根据++＝++（a+4b+9c），利用基本不等式求出的最小值．解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝．∵f（x）≤5，∴或﹣1≤x≤2或，∴﹣2≤x≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}．（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x+1|⩾|（x﹣2）﹣（x+1）|＝1∴f（x）的最小值为1，即m＝3，∴a+4b+9c＝3．＝＝3，当且仅当时等号成立，∴最小值为3．。
四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性考试数学文卷word版含答案
绵阳市高中2019级第三次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷l 至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},则)(N M C U 等于 A. {1, 2} B. {2, 3} C.{2, 4} D. {1, 4}2.抛物线x 2=-4y 的准线方程是A. x=-1B. x=2C.y=1D. y=-2 3. 若复数z 满足z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数z= A. 1+i B. -1-i C. 1-i D. -1+i4. 设数列{a n }是等比数列，则“a 1<a 2广是“数列{a n }是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 平面向量a 与b 的夹角为600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),则|a+2b|=A.C. 4 D . 126. 函数f(x)=7. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为26,则M 处的条件为A. 31≥kB. 15≥kC. k>3lD. k>l58. 己知函数. )|)(|2sin(2)(πθθ<+=x x f ，若函数f(x)在区间)85,6(ππ上单调递增，则0的取值范围是9. )0(122>>=+b a by 与离心率为2的双曲线)0,0(12222>>=+n m ny m x 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若cos 21=∠PF FA.22 C.1010D. 510 10. 已知函数f(x)=ln(e x +a)(e 是自然对数的底数，a 为常数）是实数集R 上的奇函数，若函数f(x)=lnx-f(x)(x 2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点，则实数m 的取值范围是A. )1,1(2ee e + B. )1,0(2ee +C. ),1(2+∞+e eD. )1,(2ee +-∞第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a 的值是____ 12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧 面积是____13.设变量x 、y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则目标函数z=2x+y 的最大值是_______15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x),)(x f '是函数f(x)的导数，如果],[b a ∈∃ξ，使得f(b)-f(a)= ))((a b f -'ξ,则称ξ为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分）从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.(I) 求n 的值;(II)试估计这n 名学生的平均成绩；(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.已知{a n }是等差数列，a 1=3, Sn 是其前n 项和，在各项均为正数的等比数列{b n }中， b 1=1 且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3+3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式；18. (本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED 丄平面ABCD,ED=1,EF//BD 且EF=BD.(I)求证：BF//平面ACE(II)求证：平面EAC 丄平面BDEF; (III)求几何体ABCDEF 的体积.19. (本小题满分12分）函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y=f(x)的 图象.g已知椭圆C: 0(12222>>=+b a b y a x 原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=e x-ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[+∞∈x ，都有不等式f(x)> x + x 2成立，求实数a 的取值范围； (III)设*N n ∈,证明：nn)1(+nn)2(+nn)3(+…+nnn )(<1-e e绵阳市高中2019级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCCBB AABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π13．31415．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间[)8090，的频率是： 1-(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)⨯10=0.24，利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是： 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分（Ⅲ）成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04=2人，成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06=3人，设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况．∴ 至少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分 17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍)，d =2． ∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1，数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(321)22n n n S n n ++==+，于是2112n n c S n n ==-+， ∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++ 311212n n =--++<32． …………12分 18．解：（Ⅰ）如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，于是DO=OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴ EF ， ∴ 四边形EFBO 是平行四边形， ∴ BF ∥EO ．D EF而BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分 （Ⅱ）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC，故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 （Ⅲ）连结FO ，∵ EF DO ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高，且高h =EF FO OE ⋅＝． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+221323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2． 再由()sin(2)11212f ππϕ=⋅+=，得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<，得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=-， 即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(2)x π-．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：sin sin sin A B A B +=．∵32sin sin sin sin 3a b c R A B C π====(R 为△ABC 的外接圆半径)， ∴2R =，∴ sin A =2a R ，sin B =2bR ．∴2222a b a b R R R R+=⋅，即 a b +=． ① 由余弦定理，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ， 即 9=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2-3ab -9=0，解得：ab =3或ab =23-(舍去)，故△ABC 的面积S △ABC=1sin 2ab C =…………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，∴b ，解得b =1．再由 a =b +c ，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ，∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ， ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++，由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵a e x f x -=')(，当a ≤0时0)(>'x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数． 当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)(>'x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数； 若x ∈(-∞，ln a )，0)(<'x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )．…5分 （Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立，即不等式2x e x x a x--<对任意[2)x ∈+∞，成立．设2()x e x x g x x --=(x ≥2)，于是22(1)()x x e x g x x --'=．再设2()(1)x h x x e x =--，得()(2)x h x x e '=-．由x ≥2，得()0h x '>，即()h x 在[2)+∞，上单调递增， ∴ h (x )≥h (2)=e 2-4>0，进而2()()0h x g x x'=>， ∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增， ∴ 2min[()](2)32e g x g ==-，∴ 232e a <-，即实数a 的取值范围是2(3)2e -∞-，．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，函数f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0)=1，即e x -x ≥1，整理得1+x ≤e x ．令i x n =-(n ∈N*，i =1，2，…，n -1)，则01i n<-≤i ne -，即(1)n i n -≤i e -，∴1()n n n -≤1e -，2()n n n -≤2e -，3()n n n -≤3e -，…，1()n n ≤(1)n e --，显然()n nn ≤0e ，∴ 1231()()()()()n n n n n n n n n n n n n n ---++++⋅⋅⋅+≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+ 11(1)111n n e e e ee e e -----==<---， 故不等式123()()()+1n n n n n en n n n e +++<-…（）（n ∈N *）成立．……………4分。
2020届四川省绵阳市高三第三次诊断性测试文科数学试题(word版含答案)
2020年四川省绵阳市高三第三次诊断性测试(文科)数学试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数21i =- A.1+i B.1-iC.2-2iD.2+2i 2.设集合22{(,)|1},{(,)|,A x y x y B x y =+==x+y=1},则A∩B 中元素的个数是A.0B.1C.2D.33. 已知单位向量a, b 满足a ⊥b,则a·（a-b)=A.0 B . 12 C.1 D.24.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示: A 、B 、O 、AB 血型与COVID-19易感性存在关联，具体调查数据统计如下:根据以上调查数据，则下列说法错误的是A.与非O 型血相比，O 型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低B.与非A 型血相比，A 型血人群对COVID-19相对易感，风险较高C. 与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID-19的易感性要高D. 与A 型血相比，非A 型血人群对COVID-19都不易感，没有风险5. 已知3log 21,x ⋅=则4x =A.4B.6 3log 2.4C D.96.已知在△ABC 中，sinB=2sinAcosC, 则△ABC 一定是A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图.若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线22221(0,y x a b a b-=>>0)上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为2,到渐近线距离为22,则此双曲线的离心率为A.2B.3C.22 .23D8.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),若f(-1)<1, f(2019)=ln(a-1),则实数a 的取值范围为 A. (1, 2) B. (-∞, e+1) C. (e+1, +∞)D. (1, e+1) 9.某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为2.3A 1.2B 1.3C 1.6D 10.己知函数f(x)= sin(ωx + φ)( ω>0,02πϕ<<)的最小正周期为π,且关于(,0)8π-中心对称，则下列结论正确的是A. f(1)< f(0)<f(2)B. f(0)< f(2)< f(1)C. f(2)< f(0)<f(1)D. f(2)<f(1)< f(0)11.如图，教室里悬挂着日光灯管AB, AB=90cm, 灯线AC=BD,将灯管AB 绕着过AB 中点O 的铅垂线'OO 顺时针旋转60° 至,A B ''且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm, 则AC 的长为A.30cmB.40cmC.60cmD.75cm12.已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f(x)=x-[x], 则函数()()xx g x f x e =+的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知5cos sin22αα-=则sinα=____ 14. 曲线32y x x =-在x=-1处的切线方程为____15.已知12,F F 是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆C.上的一点,12120,F PF ︒∠=且12F PF V 的面积为43,则b=____.16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为____.三、解答题:共70分。
四川省绵阳市重点中学2020级高三三诊数学模拟试题(二)及参考答案
绵阳重点中学2020级高三三诊数学模拟试题（二）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}24x A x =≤∣，{}2log 2B x x =≤∣，则A B ⋂=（ ） A ．{}2x x ≤∣ B ．{02}xx <≤∣ C ．{}4x x ≤∣D ．{04}xx <≤∣ 2．若复数z 满足()1317i z i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命貪()0:0,p x π∃∈，0sin 0x <命题:1q x ∀>，2log 0x >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．()p q ⌝∨D ．p q ⌝∧4．世界人口变化情况的三帞统计图如图所示．下列结论中错误的是（ ）A ．从折线图能看出世界人口的总量还羞年份的增加而增加B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C ．1957年到2050年各洲中北桊洲人口睇长速度最僈D ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 5．函数()21sin 2f x x x x =-的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．247-B ．43-C ．724D ．2477．已知直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，现将该三角形沿斜边AB 旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ） A ．12π B ．16π C ．485πD ．243π8．某校迎新晩会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晩会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．120种9．已知函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则（ ）A ．()cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在8,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x θ+为偶函数，则()6k k πθπ=+∈Z10．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底葅与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，且相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为1O ，2O ，3O ，4O ，5O ，若双曲线C 以1O ，3O 为焦点、以直线24O O 为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A ．29011 B ．29013 C ．1311 D ．12511．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ．G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中正确的个数是（ ）①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形：②11B D ∥平面EFG ：③异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为2；④四面体11ACB D 的体积等于等33a ．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知实数0a >， 2.718e =，对任意()1,x ∞∈-+，不等式()e e 2ln x a ax a ⎡⎤≥++⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,e⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置） 13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若a b ∥，则32a b +=______．14．在ABC △中，已知120B =︒，AC =2AB =则BC =______．15．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线l 与C 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆被y 轴所截得的弦长为______．16．已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD是等腰梯形，AD BC ∥，3AB AD CD ===，3ABC π∠=，PA =M 是线段AB上一点，且AM AB λ=．过点M 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．已知数列{}n a 是首项114a =，公比14q =的等比数列，设()*1423log N n n b a n +=∈，数列{}n c 满足n n n c a b =．（1）证明：数列{}n b 成等差数列．（2）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的収值范围． 18．为调查A ，B 两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B 的患者的康复时间，经整理得到如下数据：假设用频率估计概率，且只服用药物A 和只服用药物B 的患者是否康复相互独立． （1）若一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率；（2）从样本中只服用药物A 和只服用药物B 的患者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中能在7天内康复的人数，求X 的分布列和数学期望：19．如图在棱锥P ABC -中，侧面PAC 是等边三角形，AB BC ⊥，PB PC =．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若24AC AB ==，则在棱PA 上是否存在动点M ，使得平面MBC 与平面ABC 的夹角为60︒？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>离心率为1e ，短轴长为2，双曲线22:13y E x -=的离心率为2e ，且122e e = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线:2l x =-于点M ，交直线AB 于点N ，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---．（1）求()f x 的单调区间； （2）若函数21()(2)(1)ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个零点，求正数a 的取值范圈． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。
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四川省绵阳市2020年高三第三次诊断性测试
(文科)数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数21i
=- A.1+i
B.1-i
C.2-2i
D.2+2i
2.设集合2
2
{(,)|1},{(,)|,A x y x y B x y =+==x+y=1},则A ∩B 中元素的个数是 A.0
B.1
C.2
D.3
3. 已知单位向量a, b 满足a ⊥b,则a ·（a-b)= A.0
B .
12
C.1
D.2
4.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示: A 、B 、O 、AB 血型与COVID-19易感性存在关联，具体调查数据统计如下:
根据以上调查数据，则下列说法错误的是
A.与非O 型血相比，O 型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低
B.与非A 型血相比，A 型血人群对COVID-19相对易感，风险较高
C. 与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID-19的易感性要高
D. 与A 型血相比，非A 型血人群对COVID-19都不易感，没有风险 5. 已知3log 21,x ⋅=则4x
=
A.4
B.6
3log 2.4C
D.9
6.已知在△ABC 中，sinB=2sinAcosC, 则△ABC 一定是 A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
7.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图.若将此大教堂外形
弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线22
221(0,y x a b a b
-=>>0)上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为
2,到渐近线距离为22,则此双曲线的离心率为
A.2
B.3
C.22
.23D
8.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),若f(-1)<1, f(2019)=ln(a-1),则实数a 的取值范围为 A. (1, 2)
B. (-∞, e+1)
C. (e+1, +∞)
D. (1, e+1)
9.某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为
2
.
3
A
1.
2
B
1.3
C
1.
6
D 10.己知函数f(x)= sin(ωx + φ)( ω>0,02
π
ϕ<<
)的最小正周期为π,且关于(,0)8
π
-
中心对称，则下
列结论正确的是
A. f(1)< f(0)<f(2)
B. f(0)< f(2)< f(1)
C. f(2)< f(0)<f(1)
D. f(2)<f(1)< f(0)
11.如图，教室里悬挂着日光灯管AB, AB=90cm, 灯线AC=BD,
将灯管AB 绕着过AB 中点O 的铅垂线'OO 顺时针旋转60° 至,A B '
'
且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm, 则AC 的长为
A.30cm
B.40cm
C.60cm
D.75cm
12.已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f(x)=x-[x], 则函数()()x x
g x f x e
=+
的零点个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知
5 cos sin,
225
αα
-=则sinα=____
14. 曲线3
2
y x x
=-在x=-1处的切线方程为____
15.已知
12
,F F是椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的两个焦点，P是椭圆C.上的一点,
12
120,
F PF︒
∠=且12
F PF
V的面积为43,则b=____.
16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为____.
三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17. (12 分)
质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如下：
(1)求a, b, n;
(2)从质量指标值在[90, 120) 的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率.
18. (12分)
若数列{}n a的前n项和为,n S已知*
11
1,2().
n n
a a S n
+
==∈N
(1)求;n S
(2)设
3
log,
n n
b S
=求使得
23344512
1111
0.99
n n
b b b b b b b b
++
++++>
L成立的最小自然数n.
19. （12分）
如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，点E 、点F 分别是线段AD 、PB 的中点，PA=AB=2. （1）证明：EF//平面PCD ； （2）求三棱锥F-PCD 的体积。
20. （12分）
已知动直线l 过抛物线C:2
4y x =的焦点F,且与抛物线C 交于M, N 两点,且点M 在x 轴上方，O 为坐标原点,线段MN 的中点为G.
(1)若直线OG 的斜率为
2
,3
求直线l 的方程; (2)设点P(x 0, 0), 若∠FMP 恒为锐角，求0x 的取值范围.
21. (12 分) 已知函数
2
()(2)ln 2f x ax a x x
=-+-+，其中a ∈R.
(1)当a=4时,求函数f(x)的极值;
(2)试讨论函数f(x)在(1, e) 上的零点个数.。