规律探究题的解题方法

初中数学规律探究题的解法指导
一、数式规律探究
1.一般地，常用字母n 表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3… 偶数…2n-2,2n,2n+2… 3.熟记常见的规律
① 1、4、9、16...... n 2
② 1、3、6、10……
(1)2
n n +
③ 1、3、7、15……2n
-1 ④ 1+2+3+4+…n=(1)2
n n +
⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n 2
⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)
⑦ 12
+22
+32
….+n 2
=
16n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n 3=14
n 2
(n+1） 裂项：113⨯+135⨯+1
57
⨯…+1(21)(21)n n -+= 。

解决此类问题常用的方法：
观察法
1、一组按规律排列的数字：1，3，5，7，9，11，13，15，…其中第13个数字是_______，第n 个数字是______ （n 为正整数）
2、一组按规律排列的数字：2，5，8，11，14，17，20，23，…其中第12个数字是_______，第n 个数字是_______（n 为正整数）
3、给定一列按规律排列的数：1111
1,,,,3579
L 它的第10个数是______，第n 个数字是_______（n 为正整数）
4、一组按规律排列的单项式：a 、2
2a -、3
3a 、4
4a -，… 其中第5个式子是_______，第n 个式子是_______（n 为正整数），)第2007个式子是_______
5、一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11
4b a
，…(0ab ≠)，其中第7个式子是_______，第n 个式子是_______
6
车票问题
7、观察下列等式：①1×
12=1-12 ②2×23=2-23 ③3×34=3-34
④4×4
5=4-45
……猜想第几个等式为 （用含n 的式子表示） 8、探索规律：31
=3，32
=9，33
=27，34
=81，35
=243，36
=729……，那么32009
的个位数字是 。

练习
1.观察下列等式：1×3=12
+2×1；2×4=22
+2×2；3×5=32
+2×3……请将你猜想到的规律用含自然数n(n ≥1)的代数式表示出来： 。

2.观察下列各式：21×2=21+2；32×3=32+3；43×4=43+4；54×5=54
+5……设n 为正整数，用关于n 的等式表示这个规律为 。

3.已知：2+23
=22
×23；3+38
=324
×38；4+415=42×415；5+524=52×524…，若10+b a =102
×b a
符合前面式子的规律，则a+b= 。

4.已知下列等式：①13
=12
；②13
+23
=32
；③13
+23
+33
=62
；④13
+23
+33
+43
=102
…由此规律可推 出第n 等式： 。

5．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：
第n 个数是
图像法
二、图形规律探究
解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。

1、如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用 根火柴棒，摆第n 个图时，要用 根火柴棒。

2、按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为 ；第（n ）堆三角形的个数为 。

△ △ △
（1）
（2）
（3）
△ △ △ △△△ △ △
△△△△△ △△△△△△△△
3、所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题
.
（1）将下表填写完整；
图形编号 （1） （2） （3） （4） （5） 三角形个数
1
5
9
在第n 个图形中有 个三角形.(用含n 的式子表示尝试练习：
4、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．
5．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中
白色三角形有 个 ．
练习
1．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝ ． （用n 的代数式表示s ）
2．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．
3．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．
4.探索规律：31
=3，32
=9，33
=27，34
=81，35
=243，36
=729……那么32008
的个
位数字是 。

第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
…
第1个
第2个
第3个
…
n =
n =
n =
（（（
5.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是。

裂项
1.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是。

2.已知a1=
1
123
⨯⨯
+
1
2
=
2
3
，a2=
1
234
⨯⨯
+
1
3
=
3
8
，a3=
1
345
⨯⨯
+
1
4
=
4
15
……按此规律，则a99= 。

3.从计算结果中找规律，利用规律计算+
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯5
4
1
4
3
1
3
2
1
2
1
1
…=
⨯
+
2010
2009
1
__________．
4.观察算式：
222
2
2
11;132;1353;
1357164;
13579255
=+=++=
+++==
++++==
用代数式表示这个规律（n为正整数）()
1357921
n
++++++-
L=____________
5.观察下列顺次排列的等式：2222
13321,351541,573561,796381
⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-L，猜想：第n个等式（n为正整数）应为
6.观察下列等式：
第一行 3＝4-1
第二行 5＝9-4
第三行 7＝16-9
第四行 9＝25-16
第五行 11＝36-25 按照上述规律，第n行的等式为 .。