解直角三角形的几种模型
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(六) 解直角三角形应用之三大模型
∴∠PBD＝60°， ∴∠CBD＝60°－45°＝15°，90°－15°＝75°. 即海监船由 B 处开始沿南偏东至多 75°的方向航行能安全通过这一海域．
3．(2020·泰州)泰州市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮 在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 15 m 的 A 处测 得在 C 处的龙舟俯角为 23°；他登高 6 m 到正上方的 B 处测得驶至 D 处 的龙舟俯角为 50°，两次观测期间龙舟前进了多少？ (结 果精确到 1 m，参考数据： tan 23°≈0.42，tan 40° ≈0.84，tan 50°≈1.19，tan 67°≈2.36)
1．如图，某校数学兴趣小组的小明同学为了测量位于玉溪大河畔的云铜 矿业大厦 AB 的高度，小明在他家所在的公寓楼顶 C 处测得大厦顶部 A 处 的仰角为 45°，底部 B 处的俯角为 30°.已知公寓 高为 40 m，请你帮助小明计算公寓楼与矿业大厦间 的水平距离 BD 的长度及矿业大厦 AB 的高度．(结果 保留根号)
解：楼房底端设为 E 点，由题意得 CE＝AE·tan 67°＝15×2.36＝35.4(m)， BE＝BA＋AE＝6＋15＝21(m)，
DE＝BE·tan 40°＝21×0.84≈17.6(m)． ∴CD＝CE－DE＝35.4－17.6≈18(m)． 答：两1·荆门)某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为 10(3＋ 3) 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60°的方向上，当海监船行驶 20 海里后到达 B 处，此时观测 小岛 P 位于 B 处北偏东 45°方向上． (1)求 A，P 之间的距离 AP； (2)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危 险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安 全通过这一海域？
(完整版)解直角三角形总结
解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
(3）三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)22 解直角三角形模型之实际应用模型(教师版)
专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。
将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。
在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。
为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
【答案】该建筑物BC【分析】由题意可知，【点睛】本题考查的是解直角三角形函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼学楼底部243米的C30 ，CD长为49.6米．已知目高(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线【答案】(1)教学楼AB的高度为【分析】（1）过点B作BG DC通过证明四边形GCAB为矩形，之间的和差关系可得CG【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度3:i，求斜坡AB的长．18C【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE BC于点E，在Rt△在Rt DEC △中，2018CD C ，，sin 20sin18200.31 6.2DE CD C ∵34AF BF ，∴在Rt ABF 中，2AB AF 【答案】大楼的高度BC 为303m 【分析】如图，过P 作PH AB 于QH BC ，BH CQ ，求解PH 704030CQ BH ，PQ CQ 【详解】解：如图，过P 作PH则四边形CQHB 是矩形，∴由题意可得：80AP ，PAH ∴3sin 60802PH AP ∴704030CQ BH ，∴∴403103BC QH模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
初中数学重点模型09 背靠背模型解直角三角形(基础)
专题09 背靠背模型解直角三角形【模型展示】【中考真题】1、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB ）是1.7m ，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M 在同一条直线上，测得旗杆顶端M 仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD ）是1.5m ，用同样的方法测得旗杆顶端M 的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B 、N 、D 在同一条直线上）．求出旗杆MN 的高度．（参考数据：4.12≈，7.13≈，结果保留整数．）解： 过点A 作AE⊥MN 于E ，过点C 作CF⊥MN 于F ……………………1分 则EF=5.17.1CD AB -=-=0.2 ……………2分 在Rt⊥AEM 中，⊥⊥MAE=45°，⊥AE=ME …………………………………3分 设AE=ME=x（不设参数也可）⊥MF=x ＋0.2，CF=28x - …………………………………………………………………4分 在Rt⊥MFC 中，⊥MFC=90°，⊥MCF=30°⊥MF=CF·tan⊥MCF ……………………………………………………………………5分 ⊥)28(332.0x x -=+ …………………………………………………………………… 6分 ⊥≈x 10.0 …………………………………………………………………………………7分 ⊥MN ≈12 ……………………………………………………………………………………8分 答：旗杆高约为12米． 【精典例题】1、由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，由题意得∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AB ＝80. 在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AB·sin60°＝40 3. 在Rt △BCD 中，∠BCD ＝45°， ∴BC ＝BDsin45°＝40 6.答：BC 的长为406海里．2、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是__33＋9__m(结果保留根号)．3、放置在水平桌面上的台灯的平面示意图如图所示，灯臂AO 长为40 cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°.由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA ，∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC .(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm.温馨提示：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，3≈1.73)解：在Rt △ACO 中，sin 75°＝OC OA ＝OC40≈0.97， 解得OC ≈38.8 cm.在Rt △BCO 中，tan 30°＝OC BC ≈38.8BC ≈1.733，解得BC ≈67.3 cm.答：该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是67.3 cm.4、如图，A ，B 两市相距150km ，国家级风景区中心C 位于A 市北偏东60°方向上，位于B 市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C 为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A ，B 两市的高速公路，高速公路AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）解：高速公路AB 不穿过风景区．过点C 作CH ⊥A B 于点H ，如图所示． 根据题意，得：⊥CAB ＝30°，⊥CBA ＝45°，在Rt⊥CHB 中，⊥tan⊥CBH ＝＝1，⊥CH ＝BH ．设BH ＝tkm ，则CH ＝tkm ，在Rt⊥CAH 中，⊥tan⊥CAH ＝＝，⊥AH ＝tkm ．⊥AB ＝150km ，⊥t +t ＝150，⊥t ＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．⊥54.75＞50，⊥高速公路AB 不穿过风景区．5、在一次海上救援中，两艘专业救助船A ，B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B 在A 的正北方向，事故渔船P 在救助船A 的北偏西30°方向上，在救助船B 的西南方向上，且事故渔船P 与救助船A 相距120海里．(1)求收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离；(2)若救助船A ，B 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．解：(1)过点P 作PC ⊥AB 于点C ，则∠PCA ＝∠PCB ＝90°. 由题意，得PA ＝120海里，∠A ＝30°，∠B ＝45°， ∴PC ＝12PA ＝60海里，PB ＝PC sinB＝602海里．答：收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离为602海里． (2)救助船A 所用的时间为12040＝3(小时)，救助船B 所用的时间为60230＝22(小时)，⊥3＞22，⊥救助船B 先到达．6、如图，要在江苏省某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B的北偏西60°方向上．（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：≈1.732）（2）若修路工程工程需尽快完成．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．解：（1）NM不穿过原始森林保护区．理由如下：作CD⊥AB于D，设CD＝x米，⊥⊥CAD＝45°，⊥AD＝CD＝x米，⊥⊥DCB＝60°，⊥BD＝CD•tan⊥DCB＝x，⊥AD+BD＝AB，⊥x+x＝600，解得，x＝300（﹣1）≈219.6＞200．⊥MN不会穿过森林保护区．（2）设甲工程队单独完成此项工程需要y天，则乙工程队单独完成此项工程需要（y+10）天．根据题意得：+＝，解得：y＝20．经检验知：y＝20是原方程的根．则y+10＝30．答：甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数分别是20天、30天．7、如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）．参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.732．解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据题意，得⊥ABD＝67°，AB＝520，⊥CBD＝30°，在Rt⊥ABD中，AD＝AB•sin67°，BD＝AB•cos67°，在Rt⊥CBD中，CD＝BD•tan30°，⊥AC＝AD+CD＝AB•sin67°+AB•cos67°•tan30°≈520×0.92+520×0.38×≈592（km）．答：A地到C地之间高铁线路AC的长592km．8、如图，一架无人机在距离地面高度为21.4米的点B处，测得地面点A的俯角为47°，接着，这架无人机从点B沿仰角为37°的方向继续飞行20米到达点C，此时测得点C恰好在地面点D的正上方，且A，D两点在同一水平线上，求A，D两点之间的距离．（结果精确到1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07，≈2.45）解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点A作AF⊥BE于点F，由题意可知：CD⊥AD，⊥四边形AFED是矩形，⊥AD＝EF，在Rt⊥BCE中，BC＝20，⊥CBE＝37°，⊥BE＝BC•cos37°＝20×0.80≈39.2，在Rt⊥ABF中，AF＝21.4，⊥ABF＝47°，⊥BF＝＝≈20，⊥EF＝BE﹣BF≈39.2﹣20≈19，⊥AD＝EF≈19（米）．答：A，D两点之间的距离约为19米．9、如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时，望见渔船D在南偏东45°方向，又航行半小时到达C处望见渔船D在南偏东62°方向，若海监船的速度为40海里/小时，求A、B之间的距离．（精确到0.1海里，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）解：过点D作DE⊥AB于点E，⊥⊥ADE＝⊥BDE＝45°，⊥AE＝BE＝DE，设BE＝x，则DE＝x，⊥BC＝，⊥CE＝x+20，在Rt⊥CDE中，⊥CDE＝62°，，⊥，⊥，⊥AB＝2x＝2×22.72≈45.4，答：A、B之间的距离为45.4海里．10、科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt⊥ABD中，BD＝AB•sin⊥BAD＝8×＝4（千米），⊥⊥BCD中，⊥CBD＝45°，⊥⊥BCD是等腰直角三角形，⊥CD＝BD＝4（千米），⊥BC＝BD＝4（千米）．答：B，C两地的距离是4千米．。
初中数学培优专题四 三角函数应用解题模型
专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）26．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）27．（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）28．（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【小结】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米）.∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米）.∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米）.∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．【小结】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【小结】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键.11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【解析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD求出BC的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m.在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m.∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m.则BC的距离为20m.（2）根据题意，得20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度．13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【解析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．【小结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【解析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s.又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）【解析】如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．解直角三角形，分别求出BC、CD即可解决问题．解：如图，作BH⊥AD于点H，CE⊥AB于点E．∴BH=DH=30.∴DC=DH+CH=30+10.答：小明、小丽与舞台C的距离分别为20m和（30+10）m．【小结】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．【小结】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？【小结】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）解得x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【小结】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．∴AB=3BD=5×3=15.在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15.在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．【小结】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？【解析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°.【小结】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【解析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．答：此时风筝线AD的长度为12米.。
2025年广西九年级中考数学一轮复习小专题过关课件：专题11+解直角三角形实际应用之四大模型
测量
方案
AC=BD=0.8 m,点A,B与F在同一条水平直线上,A,B之间的距
离可以直接测得,且点G,F,A,B,C,D都在同一竖直平面内,点
C,D,E在同一条直线上,点E在GF上(其中:CE⊥GF,
GF⊥AF,AC⊥AF,BD⊥AF),测量示意图如图所示;
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量
∠GCE的度数
式结构,造型独特别致,远可眺太子山露骨风月,近可收临夏市城建全貌,巍巍峨峨,
傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后,开展了测量乾元塔
高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端,AB⊥BC,点C,D在点B的正东方向,在C点
用高度为1.6米的测角仪(即CE=1.6米)测得A点仰角为37°,向西平移14.5米至点D,
电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在AH两侧,CD=EF=1.6 直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得
筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据:sin
tan
4
53°≈ )
3
4
53°≈ ,cos
5
3
53°≈ ,
分别解两个直角三角形,其中公共边BC是解题的关键
原型
【等量关系】BC为公共边
【等量关系】如图①,BF+FC+CE=BE;
如图②,BC+CE=BE;
变式
如图③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
【针对训练】
9.(2024·湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动,记录如下:
在Rt△CEG中,∠GCE=39°,∴EG=CE·tan 39°≈0.81(x+0.9)m,∴x=0.81(x+0.9),
解直角三角形的应用模型初中数学模型
地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°,在点F处测得灯管支架顶
部C的仰角为30°,测得AE=3 m,EF=8 m(点A,E,F在同一条直线上).根据
以上数据,解答下列问题:
(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长;(结果保留根号)
∵AB⊥BF,EF⊥BF,∴∠ABF=∠EFB=90°,
∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°,
∴四边形BFEH为矩形,
∴EH=BF=3m,在Rt△AHE中,tanα= ,∴AH=
,
当∠α=65°时,AH=
≈ ≈1.40(m).
° .
当∠α=45°时,AH=
=3,
°
答:遮阳宽度CD约为3.6m.
模型4
6
7
微专题8 解直角三角形的应用模型
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(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果
精确到0.1 m).
(参考数据:sin65°≈0.90,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14, ≈1.41)
解：如图,过点E作EH⊥AB于点H, ∴∠BHE=90°.
返回类型清单
对应练习
5.(2022·铜仁一模)如图,某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌,广告牌高AB=2 m.根据商
场规定广告牌最高点不得高于地面20 m.经测量,测角仪支架高GH=CE=DF=1 m,在F处测得
广告牌底部点B的仰角为30°,在E处测得广告牌顶部点A的仰角为45°,EF=12 m.请计算说
如下结论:①AB≈18.8m;②CD≈8.4m;③若直
【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型
专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)． 在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米． 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°， 因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米， 所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4， 解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE， 则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。
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坡度、坡角在实际中的应用
1、如图,一段河坝的断面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坡角α和坝底宽AD(结果果保留根号).
2、学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC=30∘,斜坡AB长为12米。
为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD的坡比是1:3(即为CD与BC的长度之比).A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
3、如图,小山岗的斜坡AC的坡度是34,在与山脚C 距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6∘,求小山岗的高AB(结果取整数)
参考数据：sin26.6∘=0.45,cos26.6∘=0.89,tan26.6∘=0.50).
4、如图,广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米,高8米,背水坡的坡角为45∘的防洪大堤(横截面为梯形ABCD)急需加固。
经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1:2.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长；
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?
专题：解直角三角形的几种模型
类型一：“背靠背”型
5、如图,A、B两座城市相距100千米,现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路(即线段AB).经测量,森林保护区中心P点在A城市的北偏东30∘方向,B 城市的北偏西45∘方向上。
已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内。
请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区?为什么?
类型二：“叠合”型
6、如图,在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC,李明同学为了测量信号塔的高度,在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30∘,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处,又测得信号塔顶端C的仰角为60∘,CD⊥AB与点E,E、B. A在一条直线上。
请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度(结果保留
整数,3≈1.7,2≈1.4 ) 类型三：“母抱子”型
7、如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值。
测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为37∘,塔底B的仰角为26.6∘.已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,图中的点O、B. C. A. P在同一平面内,求山坡的坡度.(参考数据sin26.6∘≈0.45,tan26.6∘≈0.50;sin37∘≈0.60,tan37∘≈0.75)
类型四：“斜截”型
8、某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60∘,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长.(精确到1m,3√≈1.732)。