小学奥数进位制
四年级奥数进位制
一、数的进制1．十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”．在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制．比如二进制，八进制，十六进制等． 2．二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20．二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一．注意：对于任意自然数n,我们有n 0=1． 3．k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．4．k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数 如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5．k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的．二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示:知识框架进位制【例 1】 把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的．【巩固】 852567(((=== ） ） ）；【例 2】 将二进制数2(11010.11)化为十进制数为多少？【巩固】 同学们请将258(11010101),(4203),(7236)化为十进制数，看谁算的又快又准．例题精讲【例 3】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？【巩固】 将二进制数11101001．1011转换为十六进制数．【例 4】 ①222(101)(1011)(11011)⨯-=________；②2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；③88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；【巩固】 ①在八进制中，1234456322--=________；②在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．【例 5】 若(1030)140n =，则n =________．【巩固】 在几进制中有413100⨯=？【例 6】有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工．这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付．可是不付又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有7环．对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付．”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话，从不食言，可以请大老爷作证．”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分文不取，并会以命相拼也要兑现的．这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的一环三个月的工钱也不止．老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！”当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？【巩固】现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？【例 7】如果只许在天平的一边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？【巩固】如果允许在天平的两边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？【例 8】 有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个．如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次?【巩固】 一些零件箱，每个零件10g ，每箱600个，共有10箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件的箱子都找出来吗？【例 9】 已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N ，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？【巩固】 在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？【例 10】在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的．如果十进制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数____________．【巩固】一个自然数，在3进制中的数字和是2007，它在9进制中的数字和最小是，最大是．课堂检测【随练1】某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是几? 【随练2】算式153********⨯=是几进制数的乘法？【随练3】茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快满足顾客的需要则为优秀．结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待．原来他把茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶．别的伙计看在眼里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包．奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多．于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是：1，2，4，8，16，32，64，128，256．你能解释一下其中的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？【随练4】 古代英国的一位商人有一个15磅的砝码，由于跌落在地碎成4块，后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至15磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）．那么这4块砝码碎片各重 ， ， ，【作业1】 计算4710(3021)(605)()+= ；【作业2】 在几进制中有12512516324⨯=？【作业3】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该页面，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次．家庭作业【作业4】 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有80万吨重，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推．愚公和它的子孙每人一生能搬运100吨石头．如果愚公是第1代，那么到了第 代，这座大山可以搬完．（已知10个2连乘之积等于1024）【作业5】 10个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为_________克．【作业6】 计算机存储容量的基本单位是字节，用B 表示，一般用KB 、MB 、GB 作为存储容量的单位，它们之间的关系是1012KB B =，1012MB KB =，1012GB MB =．小明新买了一个MP3播放器，存储容量为256MB ，它相当于_____B ．。
10小学奥数——数阵+进位制 试题及解析
小学奥数——数阵、进位制一.选择题（共16小题）1.在右图的66⨯方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的23⨯长方形的六个字母均不能重复.那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是()A.E，C，D，FB.E，D，C，FC.D，F，C，ED.D，C，F，E2.如图，请将0、1、2、⋯、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个.表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是()A.784B.560C.1232D.5283.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33⨯的幻方中，使横向、纵向和对角线方向数字和相等，则(+=)A EA.32B.28C.26D.244.将1，2，3，4，5，6分别填入66⨯的方格网（如图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是()（左图是一个33⨯的例子）A.5B.4C.3D.25.9、“九宫阵”是一个99⨯的方阵，它是由九个33⨯的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入空格内，使得每行、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现一次.当填写完后，那么，位于第4行第4列的数字是()A.2B.4C.6D.86.在如图方格表中的每个方格中填人一个字母，使得方格表中每行、每列及两条对角线上的四个方格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在方格应填的字母是()A.AB.BC.CD.D7.我国古代的“河图”是由33⨯的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择其中，正确的是()A.①B.②C.③D.④8.如图的九个方格中，分别填入九个整数，使得每一横行，每一竖列及每一条对角线上的三个整数之积都相等（称之为乘法幻方），现在已填入三个整数：1，3，4及一个☆号，那么含有“☆”号的小方格中应填入的数是()A.9B.8C.7D.69.如图有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中左上角的数是()A.9B.16C.21D.2310.九宫图的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么x等于()A.47B.48C.50D.5111.古时候的原始人捕猎，捕到一只野兽对应一根手指.等到10根手指用完，就在绳子上打一个结，这就是运用现在的数学中的()A.出入相补原理B.等差数列求和C.十进制计数法12.用a，b，c，d，x分别表示五进制中5个互不相同的数字.如果adx，adc，aab是由小到大排列好的连续自然数，那么cdx 所表示的整数写成十进制的表示是( ) A.48B.71C.82D.10813.二进制数2(101)可用十进制表示为2120215⨯+⨯+=，二进制2(1011)可用十进制表示为32120212111⨯+⨯+⨯+=，那么二进制数2(11011)用十进制表示为( )A.25B.27C.29D.3114.以下各数中有可能是五进制数的是( ) A.55B.106C.732D.213415.把389化为四进制数的末位为( ) A.1B.2C.3D.016.下列数不是八进制数的是( ) A.125B.126C.127D.128二.填空题（共30小题）17.N 是一个十进制中的自然数，它在四进制中的各位数字之和为4，五进制中的数字之和是5，则十进制中N 最小值是 .18.在r 进制中有这样一个算式：10(120)(44)(2016)r r ⨯=，其中结果已转换为十进制，那么r = .（填数字）19.一个超过20的自然数N ，在14进制与20进制中都可以表示为回文数（回文数就是指正读与倒读都一样的数，比如12321、3443都是回文数，而12331不是回文数），N 的最小值为 （答案用10进制表示）.20.十进制10(23)在六进制中表示为6(35)，66(230)(255)(+= 10). 21.十进制10(23)在六进制中表示为6(35)，66(135)(12)(+= 10).22.如果一个数的二进制表示与负二进制表示的形式相同，这样的数称为“中环数”，比如：2220(10100)(10100)-==，其中432102(10100)1(2)0(2)1(2)0(2)0(2)-=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-，所以20就是“中环数”，而227(111)(11011)-==，所以7不是“中环数”，在小于1000的正整数中，“中环数”有 个.23.将六进制中的数2015改写成十进制是 .24.请将十进制数120转化成二进制： .25.两个七进制整数454与5的商的七进制表示为 . 26.计算：(2)(2)1101101⨯=(2).27.十进制中数57改写成四进制为4(321)，计算：44(1003)(1012)+= 7（结果用七进制表示）28.巴依老爷请阿凡提为其整修花园，要求一个月完成，3月1日开始，31日结束，每天的工钱为一钱黄金.巴依老爷是出了名的守财奴，阿凡提要求每天结束时结算工钱，巴依老爷只有一块31钱的金条，他让阿凡提切割尽量少的次数，聪明绝顶的阿凡提只做了 次切割，就解决了问题.29.十进制中697改写成七进制为7(2014)，今天是2014年2月23日，计算：77(2014)(223)+=7.（结果用七进制表示）.30.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯ 二进制110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯.那么二进制中的“1111”用十进制表示是 .31.仔细观察下面表示数的方式，第六行表示 .32.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于+=，十进制的3在二进制中变成了101111024，即1021024=，在二进制中就是10000000000.那么二进制中的“10110”用十进制表示是.33.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于+=，十进制的3在二进制中变成了101111024，即1021024=，在二进制中就是10000000000.那么，十进制中的2014用二进制表示是.34.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于+=，十进制的3在二进制中变成了101111024，即1022014=，在二进制中就是10000000000.那么，十进制中的1039用二进制表示是.35.日常生活中经常使用十进制来表示数，要用10 个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.在电子计算机中用二进制，只要用两个数码0和1.正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到以下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯那么，二进制中的“111100”用十进制表示是 .36.十进制中259改写成五进制为5(2014)，今天是2014年2月23日，计算：55(2014)(223)+=5.37.在n 进制的数中，若(1030)140n =，则n = .38.十进制计数法，是逢10进1，如102421041=⨯+⨯，21036531061051=⨯+⨯+⨯；计算机使用的是二进制计数法，是逢2进1，如21027121211111=⨯+⨯+⨯=，3210212121202011100=⨯+⨯+⨯+⨯=，如果一个自然数可以写成m 进制数45m ，也可以写成n 进制数54n ，那么最小的m = ，n = .（注:)n n aa a a a a =⨯⨯⨯⋯⨯{个39.在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的，如果十进制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens ”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens ”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens ”的数指的是十进制中的数 .40.有一天，唐僧师徒四人来到一个被称为“长寿岛”的地方，迎面走来一位青年，他自称有101岁了，孙悟空灵机一动，出了几道算术题给他算：11+=？；111++=？；1111+++=？；23⨯=？.这位青年的计算结果是：112+=，1113++=，11114+++=，2310⨯=.孙悟空仰天一笑，大声说，我知道你是 岁.41.欢欢，迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个正整数.两人各出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和.那么，两人卡片上所写数中最大数最小是 .42.二进制数进行加、减、乘、除运算时是满 进一，退一作 . 43.把十进制数分别化成二进制数.44.一个自然数在四进制表示当中的各位数字之和是5，在五进制表示当中的各位数字之和是4，那么这个自然数除以3的余数是2，满足要求的最小自然数是（十进制表示） .45.把二进制数2(10111)化为十进制数是10；把十进制数10(37)化成二进制数是2.46.把5盏电灯并排安在台子上，用〇表示点亮的电灯，用●表示关掉的电灯.〇和●按一定的顺序排列，可以表示一定的数值，如图：（1）按图中的规律，●〇●●〇表示 ；（2）如果用1表示〇，用0表示●，则“00001” 1=，“00010” 2=，“00011” 3=.“00100” 4=，“00101” 5=，省略最前面的零可简写成“1” 1=，“10” 2=，“11” 3=，“100” 4=，那么“11011” = ，“11110” = . 三.计算题（共4小题）47.二进制是计算技术中广泛采用的一种计数方法，二进制数是用0和1两个数字来表示的.其加、减法的意义我我们平时学习的十进制类似. （1）二进制加法.在二进制加法中，同一数位上的数相加只有四种情况：000+=，011+=，101+=，1110+=. 二进制加法算式和十进制写法一样，算法也一样，也要求数位对齐，从低位到遍位依次运算，但“满二进一”.例：（2）二进制减法.二进制减法算式和十进制写法一样，算法也一样，也要数位对齐，从低位到高位依次运算，相同数位上的数不够减时，向高一位借，但“借一当二”.例：阅读以上关于二进制的介绍，请你完成以下二进制计算.（要求列竖式计算） （1）10111- （2）101101101+.48.（1）把二进制数101011100写成十进制数是什么？ （2）把十进制数234写成二进制数是什么？ 49.把下列十进制数分别改写成二进制数.（1）(10)17 （2）(10)23 50.计算下列各题. （1）(2)(2)10011100+ （2）(2)(2)10111001- （3）(2)(2)100111⨯ （4）(2)(2)1110111÷参考答案与试题解析一.选择题（共16小题）1.在右图的66⨯方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的23⨯长方形的六个字母均不能重复.那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是()A.E，C，D，FB.E，D，C，FC.D，F，C，ED.D，C，F，E 【解析】依题意可知：首先根据排除法看第一宫格，第一列不能有A，第二行不能有A.那么A只能在第一行第二列.幻方规律排除法确定第三行第四列也是A；第四行第四列的数字是C；接着第五行第四列就是F；那么第二行的第四列是B；继续推理得：故选：C.2.如图，请将0、1、2、⋯、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个.表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是()A.784B.560C.1232D.528【解析】依题意可知：可将数独拆分成余数数独和商的数独.商的数独注意某两个格子如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，利用这个条件可以填完这两个数独，再合并成原表格.所以7814784⨯⨯=.故选：A.3.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33⨯的幻方中，使横向、纵向和对角线方向数字和相等，则(+=)A EA.32B.28C.26D.24【解析】所以，151732+=+=A E故选：A.4.将1，2，3，4，5，6分别填入66⨯的方格网（如图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是()（左图是一个33⨯的例子）A.5B.4C.3D.2【解析】通过排除试填，得到如下答案，如图：故选：D.5.9、“九宫阵”是一个99⨯的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）⨯的方阵，它是由九个33组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入空格内，使得每行、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现一次.当填写完后，那么，位于第4行第4列的数字是()A.2B.4C.6D.8【解析】由分析可知位于第4行第4列的数字是2；故选：A.6.在如图方格表中的每个方格中填人一个字母，使得方格表中每行、每列及两条对角线上的四个方格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在方格应填的字母是()A.AB.BC.CD.D【解析】如上图：①D≠、C、A，只能是B；同理，★部分的字母A≠、B、D，只能是C，所以，★部分的方格中填入的字母是C.故选：C.7.我国古代的“河图”是由33⨯的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择其中，正确的是()A.①B.②C.③D.④【解析】每个点表示1，中间数就是5，幻和是5315⨯=.左下角的数是：15528--=，P点的数是：15816--=.P点有6个点组成，与③相同.故选：C.8.如图的九个方格中，分别填入九个整数，使得每一横行，每一竖列及每一条对角线上的三个整数之积都相等（称之为乘法幻方），现在已填入三个整数：1，3，4及一个☆号，那么含有“☆”号的小方格中应填入的数是()A.9B.8C.7D.6【解析】如图341B=，⨯⨯=⨯⨯，即12A B A=⨯，☆31249=⨯÷=.⨯⨯，因此4☆312C3C B⨯⨯=☆4故选：A.9.如图有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中左上角的数是()A.9B.16C.21D.23【解析】如图，设相应方格中的数为1x ，2x ，3x ，4x ；由已知条件：行、列及对角线的三个数的和都相等，可以列出下面的等式（方程）: ？十1x 十2x =？3413213x x x x x ++=++=十419x +， 这样，前面两个式子的和就等于后面两个式子的和， 即有2⨯？1x +十23411319x x x x ++=++十234x x x ++， 所以1319?162+==. 答：图中左上角的数是16. 故选：B .10.九宫图的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么x 等于( )A.47B.48C.50D.51【解析】幻和是：23739x x ++=+， (39)1623c x x =+--=， (39)372321a x x =+--=-，(39)(21)1639211644b x x x x =+---=+-+-=； (39)443742e x x =+--=-；所以：(21)(42)39x x x x +-+-=+214239x x x x ++--=+ 2102x = 51x =. 故选：D .11.古时候的原始人捕猎，捕到一只野兽对应一根手指.等到10根手指用完，就在绳子上打一个结，这就是运用现在的数学中的( ) A.出入相补原理B.等差数列求和C.十进制计数法【解析】古时候的原始人捕猎，捕到一只野兽对应一根手指.等到10根手指用完，就在绳子上打一个结，这就是运用现在的数学中的十进制计数法； 故选：C .12.用a ，b ，c ，d ，x 分别表示五进制中5个互不相同的数字.如果adx ，adc ，aab 是由小到大排列好的连续自然数，那么cdx 所表示的整数写成十进制的表示是( ) A.48B.71C.82D.108【解析】由于是连续的正整数，且adc ，aab ，个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，因为1adc adx -=，所以1c x -=. 又因1aab adc -=，即：(5)(5)1a b d c +-+=，所以5()()1a d b c -+-=；由于a ，b ，c ，d ，e 都是0至4之间的不同整数， 从而可以推知：1a d -=，4c b -=.经检验，得4c =，0b =，3e =，2a =，1d =，于是有： 5(413)cdx =，210451535+=⨯+⨯⨯， 42553=⨯++， 10053=++， 108=.答：cdx 所表示的整数写成十进制的表示108. 故选：D .13.二进制数2(101)可用十进制表示为2120215⨯+⨯+=，二进制2(1011)可用十进制表示为32120212111⨯+⨯+⨯+=，那么二进制数2(11011)用十进制表示为( )A.25B.27C.29D.31【解析】2(11011)，432101212021212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 168021=++++，2421=++，27=；二进制数2(11011)用十进制表示为27. 故选：B .14.以下各数中有可能是五进制数的是( ) A.55B.106C.732D.2134【解析】因为五进制数不可能出现5，6，7，8，9，所以55、106、732不可能是五进制数，2134有可能是五进制数， 所以有可能是五进制数的是2134. 故选：D .15.把389化为四进制数的末位为( ) A.1B.2C.3D.0【解析】3894971÷=⋯，（末位） 974241÷=⋯， 24460÷=⋯， 6412÷=⋯， 1401÷=⋯，把所有余数倒序排列，即：12011. 所以，10(389)(=412011)，所以，把389化为四进制数的末位为1. 故选：A .16.下列数不是八进制数的是( )A.125B.126C.127D.128【解析】八进制的数是由除以8的余数得来的数计数的，不可能出现8，所以128不合题意； 故选：D .二.填空题（共30小题）17.N 是一个十进制中的自然数，它在四进制中的各位数字之和为4，五进制中的数字之和是5，则十进制中N 最小值是 13 . 【解析】从上表可以看出符合条件的数最小是13. 故答案为：13.18.在r 进制中有这样一个算式：10(120)(44)(2016)r r ⨯=，其中结果已转换为十进制，那么r = 7 .（填数字） 【解析】10(120)(44)(2016)r r ⨯=2(12)(44)2016r r r ⨯+⨯⨯+= (1)(2)789r r r ⨯+⨯+=⨯⨯ 7r =故答案为：7.19.一个超过20的自然数N ，在14进制与20进制中都可以表示为回文数（回文数就是指正读与倒读都一样的数，比如12321、3443都是回文数，而12331不是回文数），N 的最小值为 105 （答案用10进制表示）.【解析】因为20N >，所以N 在14进制与20进制中都不是一位数， 我们希望N 尽可能小，故设1420()()N aa bb ==，即1420N a a b b =+=+，所以1521N a b ==，即N 是15的倍数，又是21的倍数，即是357105⨯⨯=的倍数， 而101420(105)(77)(55)==，符合题意， 故N 的最小值为105. 故答案为105.20.十进制10(23)在六进制中表示为6(35)，66(230)(255)(+= 197 10). 【解析】26(230)2636017218090=⨯+⨯+⨯=++=26(255)26565172305107=⨯+⨯+⨯=++= 90107197+=故答案为：197.21.十进制10(23)在六进制中表示为6(35)，66(135)(12)(+= 67 10). 【解析】解法一：666(135)(12)(151)+=2106(151)1656163618567=⨯+⨯+⨯=++=解法二：2106(135)1636563618559=⨯+⨯+⨯=++=106(12)16268=⨯+⨯= 59867+=故答案为：67.22.如果一个数的二进制表示与负二进制表示的形式相同，这样的数称为“中环数”，比如：2220(10100)(10100)-==，其中432102(10100)1(2)0(2)1(2)0(2)0(2)-=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-，所以20就是“中环数”，而227(111)(11011)-==，所以7不是“中环数”，在小于1000的正整数中，“中环数”有 31 个.【解析】由题意，910210002<<， 所以1000化为二进制为10位数，由于如果一个数的二进制表示与负二进制表示的形式相同，这样的数称为“中环数”，所以2的偶次方可与0或1相乘（不能全部是0)，2的奇次方只能与0相乘， 所以在小于1000的正整数中，“中环数”有52131==个. 故答案为31.23.将六进制中的数2015改写成十进制是 442 . 【解析】32106(2015)26061666=⨯+⨯+⨯+⨯ 43266=++442=故答案为：442.24.请将十进制数120转化成二进制： (10)(2)1201111000= . 【解析】1202600÷=⋯， 602300÷=⋯， 302150÷=⋯， 15271÷=⋯， 7231÷=⋯， 3211÷=⋯，故(10)(2)1201111000=. 故答案为：(10)(2)1201111000=.25.两个七进制整数454与5的商的七进制表示为 65 . 【解析】位值原理展开：2107(454)475747449574235=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+= （5）75=235547÷= 十进制转换成七进制方法是短除倒取余数法十进制转换七进制用短除倒取余法 107(47)(65)=故此题答案是6526.计算：(2)(2)1101101⨯= 1000001 (2).【解析】所以，(2)(2)(2)11011011000001⨯=. 故答案为：1000001.27.十进制中数57改写成四进制为4(321)，计算：44(1003)(1012)+= (254) 7（结果用七进制表示） 【解析】303104410(1003)(1012)1434141424(137)+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为2749= 13749239÷=⋯⋯ 39754÷=⋯⋯ 107(137)(254)=.所以447(1003)(1012)(254)+= 故答案为：(254)28.巴依老爷请阿凡提为其整修花园，要求一个月完成，3月1日开始，31日结束，每天的工钱为一钱黄金.巴依老爷是出了名的守财奴，阿凡提要求每天结束时结算工钱，巴依老爷只有一块31钱的金条，他让阿凡提切割尽量少的次数，聪明绝顶的阿凡提只做了 4 次切割，就解决了问题.【解析】阿凡提切成的金条分别是021=，122=，224=，328=，4216=， 514-=（次)故答案为：4.29.十进制中697改写成七进制为7(2014)，今天是2014年2月23日，计算：77(2014)(223)+= (2240)7.（结果用七进制表示）.【解析】777(2014)(223)(2240)+= 故答案为：(2240).30.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯ 二进制110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯.那么二进制中的“1111”用十进制表示是 15 . 【解析】二进制的1111书写为32102(1111)121212121814121115=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=. 故此题答案是15.31.仔细观察下面表示数的方式，第六行表示 7 .【解析】由题意可知，第一列的黑点表示，“4”，第二列的黑点表示“2”，第三列的黑点表示“1”，所以第六行是4217++=. 故答案为7.32.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯二进制110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于1024，即1021024=，在二进制中就是10000000000.那么二进制中的“10110”用十进制表示是 22 .【解析】二进制下的10110转换成十进制就是按照位置原来展开式：就是432102(10110)12021212021160814120122=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为22.33.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯二进制110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于1024，即1021024=，在二进制中就是10000000000.那么，十进制中的2014用二进制表示是 11111011110 .【解析】短除法，倒取余数为11111011110综上所述：1111101111034.日常生活中经常使用十进制来表示数.要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到一下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制012345678⋯二进制0110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，十进制的3在二进制中变成了10111+=，⋯熟知十进制10个2相乘等于1024，即1022014=，在二进制中就是10000000000.那么，十进制中的1039用二进制表示是10000001111.【解析】短除倒取余，10000001111.故本题答案为10000001111.35.日常生活中经常使用十进制来表示数，要用10 个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.在电子计算机中用二进制，只要用两个数码0和1.正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到以下自然数的十进制与二进制表示对照表：十进制012345678⋯二进制0110111001011101111000⋯十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1110+=，⋯那么，二进制中的“111100”+=，十进制的3在二进制中变成了10111用十进制表示是60.【解析】二进制中的“111100”用十进制表示是：54321⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+12121212020=+++++32168400=60故答案为：60.36.十进制中259改写成五进制为5(2014)，今天是2014年2月23日，计算：55(2014)(223)+= (2242)5.【解析】故答案为：(2242).37.在n 进制的数中，若(1030)140n =，则n = 5 . 【解析】32(1030)1030n n n n =⨯+⨯+⨯+ 33140n n =+=，从9开始分析逐次少1，能够得出140，只有3535140+⨯=. 所以5n =. 故答案为：5.38.十进制计数法，是逢10进1，如102421041=⨯+⨯，21036531061051=⨯+⨯+⨯；计算机使用的是二进制计数法，是逢2进1，如21027121211111=⨯+⨯+⨯=，3210212121202011100=⨯+⨯+⨯+⨯=，如果一个自然数可以写成m 进制数45m ，也可以写成n 进制数54n ，那么最小的m = 11 ，n = .（注:)n n aa a a a a =⨯⨯⨯⋯⨯{个【解析】4545m m =+； 5454n n =+；那么： 4554m n +=+即：4(1)5(1)m n -=-，如果15m -=，14n -=，则6m =，5n =，但此时n 进制中不能出现数字5； 如果110m -=，18n -=，则11m =，9n =，符合题意. 即m 最小是11，n 最小是9. 故答案为：11，9.39.在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的，如果十进制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens ”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens ”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens ”的数指的是十进制中的数 182 .【解析】147在20进制中是77读音是“syeth ha seyth ugens “，49在20进制中是29读音是“naw ha dew ugens “，所以syeth 代表的是7而ha 和ugens 则分别代表了第二位和末位，所以naw 和dew 分别代表了2和9.那么20进制中读音是“dew ha naw ugens “的数是20进制中的92(2和9对换位置即可），所以十进制中的数是9202182⨯+=. 故答案为182.40.有一天，唐僧师徒四人来到一个被称为“长寿岛”的地方，迎面走来一位青年，他自称有101岁了，孙悟空灵机一动，出了几道算术题给他算：11+=？；111++=？；1111+++=？；23⨯=？.这位青年的计算结果是：112+=，1113++=，11114+++=，2310⨯=.孙悟空仰天一笑，大声说，我知道你是 37 岁.【解析】根据112+=，1113++=，11114+++=，2310⨯=，可得：“长寿岛”的地方采用的是“六进制”， 那么：101转化为十进制是： 312111160616---⨯+⨯+⨯ 3601=++ 37=（岁)答：这个青年37岁. 故答案为：37.41.欢欢，迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个正整数.两人各出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和.那么，两人卡片上所写数中最大数最小是 10 .【解析】一个人控制最高位和最低位：0000，0001，1000，1001； 另一个人控制中间两位：0000，0010，0100，0110.最大数最小是1001也就是9，容易发现8不行.原题要求正整数， 所以每个数再加1. 故答案是：10.42.二进制数进行加、减、乘、除运算时是满 二 进一，退一作 .【解析】二进制数进行加、减、乘、除运算时是满二进一，退一作二； 故答案为：二，二.43.把十进制数分别化成二进制数.【解析】解（1）252121÷=⋯， 12260÷=⋯， 6230÷=⋯， 3211÷=⋯， 1201÷=⋯，故102(25)(11001)=.（2）2(111010)，543210121212021202=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 32168020=+++++， 58=；210(111010)(58)=；故答案为：(11001)，(58).44.一个自然数在四进制表示当中的各位数字之和是5，在五进制表示当中的各位数字之和是4，那么这个自然数除以3的余数是2，满足要求的最小自然数是（十进制表示） 56 . 【解析】4105(23)(11)(21)==，数字之和不是4； 4105(32)(14)(24)==，数字之和不是4； 4105(113)(23)(43)==，数字之和不是4； 4105(122)(26)(101)==，数字之和不是4； 4105(131)(29)(104)==，数字之和不是4； 4105(203)(35)(120)==，数字之和不是4； 4105(212)(38)(123)==，数字之和不是4；4105(221)(41)(131)==，数字之和不是4； 4105(230)(44)(134)==，数字之和不是4；4105(302)(50)(200)==，数字之和不是4； 4105(311)(53)(203)==，数字之和不是4； 4105(320)(56)(211)==，数字之和是4，563182÷=⋯⋯.故答案为：56.45.把二进制数2(10111)化为十进制数是 (23)10；把十进制数10(37)化成二进制数是2.【解析】（1）2(10111)，432101202121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 160421=++++， 23=；210(10111)(23)=；（2）372181÷=⋯， 18290÷=⋯， 9241÷=⋯， 4220÷=⋯， 2210÷=⋯， 1201÷=⋯，故102(37)(100101)=. 故答案为：(23)，(100101).46.把5盏电灯并排安在台子上，用〇表示点亮的电灯，用●表示关掉的电灯.〇和●按一定的顺序排列，可以表示一定的数值，如图：。
小学奥数精讲第四讲 进位制与位值原理
第4讲 进位制与位值原理（二）同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)()=【答案】见解析【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)=位值原理法：210(101110)(46)=2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11.3. 在几进制中有12512516324⨯=? 【答案】7【解析】注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10<n ．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．4. 已知100(1)3=+-÷bab b a ，则b =_____. 【答案】7【解析】10110=+bab b a ;100(1)1001003+=+-÷b b a .得313300+=a b .（a ,b ）= (9,7)，b =7.5. 将6个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的数是______．【答案】26【解析】从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯亮表示32．因此问题当中的表示168226++=54321●○○○●○○●○○●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●6. 在宇宙中有一个使用三进制的星球．小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示．小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个“0”，就是三进制下的年龄．请问小招多少岁? 【答案】21岁【解析】①设小招为a 岁，得(10)(3)0=a a ，又10(3)(10)03033=⨯+⨯=a a a ，解得0=a ，不合题意，所以小招的年龄不可能是一位数．②设小招是ab 岁，由题意得：(10)(3)0=ab ab ．因为(10)10=+ab a b ，(3)0930193=⨯+⨯+⨯=+ab a b a b ，所以1093+=+a b a b ，即2=a b ． 又因为0ab 是三进制数，a ，b 都小于3，所以2=a ，1=b ．所以，小招为21岁． ③设小招为abc 岁，由题意有，(10)(3)0=abc abc ，因为(10)10010=++abc a b c ， 32(3)03332793=⨯+⨯+⨯=++abc a b c a b c ，所以100102793++=++a b c a b c ．即732+=a b c ．又a 、b 、c 都小于3，所以上述等式不成立． 综上可知小招的年龄是21岁．7. abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd -abc -ab -a = 1787，则这四位数=______或______. 【答案】2009或2010【解析】原式可表示成：8898991787+++=a b c d ，则知a 只能取：1或2，当1=a 时，b 无法取，故此值舍去.当2=a 时，0=b ，0=c 或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.8. 十进制计算中,逢10必须进位,有保密员之间采用r 进位制方式计算,在他们的运算中: 10(166)(133)(24)-=r r ，则r =______.【答案】7【解析】(166)(133)(33)33247-==⨯+=⇒=r r r r r .9. 一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A ，这个三位数A 是_____. 【答案】495【解析】设这个最大三位数为abc ，那么最小三位数为cba ，于是99()=-=-A abc cba a c ，三位数A 是99的倍数，所有可能值如下：198、297、396、495、594、693、792、891.代入题中检验，得A =495.10. 记号(75)k 表示k 进制的数，如果(70)k 在m 进制中表示为(56)m ,又m 、k 均小于等于10，求k 和m 的值.【答案】8,10==k m【解析】由于()()107077=⨯=k k k ,()()10565656=⨯+=+m m m ;所以567+=m k ,求得8,10==k m .深化练习11. 正整数3、5、6、15可以分别表示为121⨯+，2121⨯+，21212⨯+⨯，321212121⨯+⨯+⨯+，他们的上述表示(又称之为二进制)中1的个数分别是2，2，2，4，都是偶数，像3、5、6、15…这样的数，称为魔数，前10个魔数(从小到大)的和是______. 【答案】115【解析】魔数从小到大排列：11，101，110，1001，1010，1100，1111，10001，10010，10100，……，前10个有5个1在末位，5个1在倒数第二位，5个1在倒数第三位，4个1在倒数第4位，3个1在倒数第5位，和为2345152524232115⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝.12. 四位数1234可通过下面的变换变成1541：现在有一个四位数，通过以上方法变换成3779，那么原来的这个四位数是______. 【答案】3271【解析】设原来这个四位数是，则有37++=a b ，79++=c d ，即11237+=a b ，11279+=c d ，解得3,2,7,1====a b c d ，所以原来这个四位数是3271.13. 一个人今年的年龄恰好等于他出生年的数字和，那么这个人今年的年龄是______. 【答案】5或23【解析】(1)设这个人的出生年为19ab ，根据题意19201719+++=-a b ab102017190010++=---a b a b化简得：112107+=a b .所以111072=-a b 因为9≤b ，所以111071889≥-=a .从而9≥a 推出9=a ，4=b .这个人的年龄为2017199423-=（岁）.(2)设这个人的出生年月为20ab ，根据题意 20201720+++=-a b ab ， 11215+=a b12==，a b .这个人的年龄为201720125-=（岁）.14. 四位数及其逆序数的和是35的倍数，求满足条件的四位数一共有多少个？ 【答案】238【解析】()()1001110+=+++abcd dcba a d b c ，可以知道+a d 是5的倍数，+b c 是7的倍数，其中a ，d 不为0，有5/10/15+=a d ，0/7/14+=b c ，(),a d 一共有17组，(),b c 一共有14组，那么一共有1714238⨯=.12+1+21541123415.a、b、c是0~9中不同的数字，用a、b、c共可组成六个数，如果其中五个数之和不小于2009，也不大于2012，那么另一个数是______.【答案】208【解析】这六个数的总和为222（a＋b＋c）.若a＋b＋c=10，那么六个数总和为2220，所求的数不小于208，不大于211，只有208满足条件；若a＋b＋c=11，那么六个数总和为2442，所求的数不小于430，不大于433，都不符合条件；若a＋b＋c=12，那么六个数总和为2664，所求的数不小于652，不大于655，都不符合条件；若a＋b＋c=13，那么六个数总和为2886，所求的数不小于874，不大于877，都不符合条件；若a＋b＋c≥14，那么六个数总和不小于3108，那么另一个数超过1000，不符合题意.综上可得，另一个数必是208.。
小升初奥数数论进位制知识点
小升初奥数数论进位制知识点经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。
数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。
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【篇一】一、什么是进位制？例：(1)平时的计算，是满十进一的，我们称十进制(2)计算机里面，是满二进一的，我们称二进制(3)一年有十二个月，每过十二个月就叫一年，是满十二进一的。
我们称是十二进制(4)一天有二十四个小时，每过二十四个小时就叫一天。
即满二十四进一。
称二十四进制我们在不同的计数或运算过程中，可以使用不同的进位制。
定义：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
即“满几进一”就是几进制。
几进制的基数就是几。
二、进位制的基数进位制的基数表示这个进位制所使用的数字的个数。
例：十进制：基数为10;表示十进制是使用0.1.2.…9。
十个数字。
二进制：基数为2;表示二进制是使用0和1。
两个数字七进制：基数为7;表示七进制是使用0.1.2.…6。
七个数字。
基数都是大于1的整数。
不同的进位制的基数是不同的。
注意：在计数时的数字必须小于基数。
【篇二】二进制及其应用十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
五年级奥数第五讲-进位制
1.了解二进制、八进制、十进制； 2.掌握十进制、二进制和八进制互化； 3.练习进制位数的加减乘除。
一、什么是进位制？
进位制是用有限的数字，通过放在不同位置的方式来表示不同的数值 的一种记数方式。 比如01，10，100，1000…这些都是不同数值，但是可以用0和1两个 数字表示出来，用的就是十进制的方法，满十进一。（即：位数上积 累满10个这个单位的数就可以向上一位进“1”） 除了十进制，我们根据实际需要还有采用二进制、八进制、十二进制 和十八进制等等进制方法来记数。 60进制：60秒等于1分钟 360进制：360度等于一周
练习：把下列十进制数化成二进制数 1、27 2、121 3、2002 4、0.25 5、0.78125
2.二进制数化成十进制数 按照位权展开：
练习：把下. （2002）2
四、二进制数的加减乘除
1.加法 列竖式计算，每个数位对齐相加，从个位数开始，满2就向 高位进1位。
三、十进制和二进制的互化
1.十进制数化成二进制数
（1）整数：除以2取余数
具体：把十进制数13化成二进制数，用2连续去除，然后将每次所得的余 数，按自下而上的顺序写出来。
（13）10=（1101）2
（2）小数：乘以2取整数 具体：把小数十进制数0.3125化成二进制数，要连续乘以2，直到最终结 果为整数，取其整数放在小数部分，自上而下写下来。
二、进制数的表示方法
用不同进位制的数的写法是不同的。 可以用“括号+下标”来表示。比如10可以写成：
那10的十二进制怎么写？
1.二进制使用的数字只有0和1，进位规则是“逢二进一”，也就是 说每个数位上积累了2个单位的数就向上进一个单位。 十进制数对应的二进制数： 1，2，3，4，5，6…， 1，10，11，100，101，110，111…。
六年级奥数训练第12讲进位制与取整符号
六年级奥数训练第12讲进位制与取整符号内容概述掌握进位制的概念及相关计算，掌握自然数在不同进位制之间的转化方法，并学会恰当利用进位制解决一些数论问题．掌握取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，学会求解包含这两种符号的算式与方程．典型问题兴趣篇1．将下面的数转化为十进制的数：(1111)，(1010010)，(4301)，225 (B08)．162．请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数．3．请将七进制数(403)化成五进制的数，将五进制数(403)化成七75进制的数．4．(1)在二进制下进行加法：(101010)＋(1010010)；22(2)在七进制下进行加法：(1203)＋(64251)；77(3)在九进制下进行加法：(178)＋(8803).995．用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果(ade)，59．计算：[16 ⨯1] + [16 ⨯ 2 ] + + [(adc ) ， (aab ) ，是由小到大排列的连续正整数，那么 (ade ) 所表示的5 55整数写成十进制的表示是多少？6．记号(25) 表示七进制的数，如果(52) 是(25) 的 2 倍，那么，(123)k kkk在十进制表示的数是多少？7．一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也 是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．请问：这个 自然数的十进制表示是多少？8．计算： [27 ⨯ 25 ] - {27 ⨯ 25} + [3.14] ⨯{3.14}.262616 ⨯15 16 ⨯16 ] + [ ] ⋅1717 17 1710．求方程 2[x] – 9{x}=0 的解的个数．拓展篇1．(1)请将下面的数转化为十进制的数：(2011) 、(7C1) ；3 16(2)请将十进制数 101 转化为二进制的数，641 转化为三进制的数，1949 转化为十六进制的数．2．请将三进制数(12021) 化成九进制的数，将八进制数 (742) 化成3 8二进制的数．3．(1)在七进制下计算：(326)＋(402)、(326)×(402)；7777(2)在十六进制下计算：(35E6)＋(78910).16164．算式(4567)＋(768)=(5446)是几进制数的加法？(534)×(25) m m m n n =(16214)是几进制数的乘法？n5．自然数x=(abc)化为二进制后是一个7位数(1abcabc)．请问：x102等于多少？6．一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。
小学六年级奥数 第十三章 进位制
第十三章进位制知识要点在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。
类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。
进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。
例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。
一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。
2.K进位制有K个不同的记数符号。
如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。
一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。
3.十进制和二进制的转化。
十进制和二进制的对应关系：十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…二进制1，10， 11 ，100 ，101， 110， 111 ，1000 ，1001，1010，…把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。
例如，把(13)10化成二进制：把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。
例如：(1101)2＝(1×23＋1×22＋0×21＋1×20)10＝(8＋4＋1)10＝(13)10学习进位制知识，就要善于把进位制知识灵活地运用，把问题转化到最合适的进位制中解决问题。
例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。
例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
点拨一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位是1，10，100，1000，10000，…，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(100)，101，102，103，104…。
小学奥数进位制
进位制把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”，即将这个十进制数写成若干个2的次幂形式，再根据系数写出这个二进制数；也可以用2连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，这种办法通常叫“二除取余法”，即用2除十进制数自下而上依次取余数。
这两种方法同样适用于其他的进制换算。
将二进制数变成十进制数，可以采用方幂法来求解。
例把(37)10改写成二进制数。
解法一 (37)10＝32＋4＋1＝1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(100101)2解法二(37)10＝(100101)21.把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
2 把二进制的数(101011)2写成数码与计数单位乘积的和的形式。
3 把二进制数(11001010011)2改写成八进位制数。
6. 把三进制数201012化为八进制的数。
7. 在什么进位制里，十进位制数71记为47？8. 一架天平，两边都能放砝码。
要称出1~80克的所有整数克重，最少需要几个砝码？分别是什么？9 一个自然数的七进位制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进位制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。
求这个自然数。
10 计算：(1)(110101)2＋(11101)2； (2)(1101101)2－(1011110)2。
(3)(101110)2×(101)2； (4)(110011)2÷(1001)2。
11 有229人参加学校乒乓球赛，比赛实行淘汰制。
为了尽量减少比赛场次，规定只有在某一轮参赛选手为奇数时，才安排一人轮空。
此次安排比赛有几人轮空？12. 若5×6＝26，则6×6＝?13. 250个鸡蛋至少分装在几个盒子里，每个盒子里各几个，才能保证250以内所需鸡蛋数都可以用几只盒子凑齐，而不必再打开盒子？14. 把(354)6改写成十进制数。
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进位制
例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
解(3568)10＝3×103＋5×102＋6×101＋8×100
例2 把二进制的数(101011)2写成数码与计数单位乘积的和的形式。
解(101011)2＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝25＋23＋2＋1
例3 把(37)10改写成二进制数。
点拨把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”，即将这个十进制数写成若干个2的次幂形式，再根据例2写出这个二进制数；也可以用2连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，这种办法通常叫“二除取余法”，即用2除十进制数自下而上依次取余数。
解法一 (37)10＝32＋4＋1＝1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(100101)2解法二(37)10＝(100101)2
例4 把二进制数(110011)2改写成十进位制数。
(110011)2＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20
＝25＋24＋21＋1 ＝32＋16＋2＋1＝(51)10
例5 把(394)10写成八进制数。
点拨把十进制数改写成八进制数和十进制数改写成二进制数的方法类似，可以采用“方幂法”和“八除取余法”。
解法一 (394)10＝6×82＋1×81＋2×80＝(612)8
解法二
(394)10＝(612)8
例6 把(354)6改写成十进制数。
(354)6＝3×62＋5×61＋4×60＝108＋30＋4＝(142)10
例7 把三进制数201012化为八进制的数。
点拨要想把三进制数化为八进制的数，首先将三进制的数化为十进制的数，再将此十进制的数化为八进制的数。
(201012)3＝2×35＋0×34＋1×33＋0×32＋1×31＋2×30＝486＋27＋3＋2＝(518)10
(518)10＝1×83＋0×82＋0×81＋6×80＝(1006)8
例8 在什么进位制里，十进位制数71记为47？
设这种进位制的基数为x，则有
(47)x＝4×x1＋7×x0＝4x＋7 于是有 4x＋7＝71 解得x＝16
例9 计算：(1)(110101)2＋(11101)2； (2)(1101101)2－(1011110)2。
点拨：二进制是“满二进一”，“借一当二”（0+0=0，0+1=1，1+1=10，0 进位为1）。
解(1)(110101)2＋(11101)2＝(1010010)2 (2)(1101101)2－(1011110)2＝(1111)2
例10 计算：(1)(101110)2×(101)2； (2)(110011)2÷(1001)2。
点拨：试商时不够商1要商O，不够减时注意“借一当二”。
(1)(101110)2×(101)2＝(11100110)2 (2)(1100111)2÷(1001)2＝(1011)2余(100)2
例11 一个自然数的七进位制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进位制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。
求这个自然数。
解设这个自然数n＝(abc)7＝(bca)9。
则有a×72＋7b＋c＝c×92＋9b＋a
整理得b＝8×(3a－5c)。
因为a，b，c出现在七进制中，故它们只能取O，1，2，3，4，5，6。
由于0≤b＜7，因此b＝0，即3a－5c＝0，此时a＝5，c＝3
所以(503)7＝(305)9＝(248)10。
答：这个自然数为248。
例12 有229人参加学校乒乓球赛，比赛实行淘汰制。
为了尽量减少比赛场次，规定只有在某一轮参赛选手为奇数时，才安排一人轮空。
此次安排比赛有几人轮空？
第一轮229=114×2+1 轮空一人，淘汰114人；第二轮114+1=57×2+1 轮空一人，淘汰57人；第三轮57+1=29×2 不轮空淘汰29人；第四轮29=14×2+1 轮空一人淘汰14人；
第五轮14+1=7×2+1 轮空一人淘汰7人；第六轮7+1=4×2 不轮空淘汰4人；第七轮4=2×2 不轮空淘汰2人；第八轮2=1×2 不轮空淘汰1人决出冠军；既有4人轮空。
1.若5×6＝26，则6×6＝?
设（26）x这种进位制的基数为x，则（2x+6）10=(30)10， 2x+6=30, x=12。
6×6=（36）10=（30）12
2.250个鸡蛋至少分装在几个盒子里，每个盒子里各几个，才能保证250以内所需鸡蛋数都
可以用几只盒子凑齐，而不必再打开盒子？
1+2+4+8+16+32+64+128=255＞250，所以至少需要8个盒子，即n的最小值是8．盒子里分别装1，2，4，8，16，32，64，123个鸡蛋。
3.一个十进位制三位数(abc)10，其中a，b，c代表数码，它的二进制表达式是(1abcabc)2，求(abc)10。
因为a，b，c出现在二进制的表达式内，所以这三个字母只能是是0或1，
又因为a出现在十进制表达式最高位上，所以a≠0，则a=1，因为（abc)10=(1abcabc)2，则1×100+10×b+c=1×26+1×25+b×24+c×23+1×22+b×2+c，
得8b+8c=0，所以b=c=0．则三位数abc=100。
答：这个数是100。
4.某一个从“长寿”村来的少年自称现年101岁，小聪明断定“长寿村”的101岁不是十进制的。
小聪明出了几道算术题给这个少年做：1＋1＝？1＋1＋1＝？1＋1＋1＋1＝？少年解答如下：1＋1＝2，1＋1＋1＝3，1＋1＋1＋1＝10。
小聪明立即算出了少年的十进制数的年龄，你能算出吗？
根据1＋1＋1＋1＝10，可知是4进制，（101）4=（17）10，该少年17岁。
5.用a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果ade，adc，aab是由小到大排列好的连续自然数，那么(cde)5所表示的整数化成十进制应是多少？
因为（adc)5-（ade)5=1，所以c-e=1，又因为（aab)5-(adc)5=1，即25a+5a+b-(25a+5d+c)=1，所以（5a+b）-（5d+c）=1，所以5（a-d）+（b-c）=1；由于a，b，c，d，e都是0至4之间的不同整数，从而可以推知：a-d=1，c-b=4。
经检验，得 c=4，b=0，e=3，a=2，d=1，于是有 (cde)5=（413）5=4×52+1×51+3×50=4×25+5+3=100+5+3=108。
6.设1，3，9，27，81，243是六个给定的数，从这六个数中每次取若干个数求和(每个数只能取一次)，可以得到一个新数，这样共得到63个新数。
如果把它们从小到大依次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，那么第39个数是多少？
1=30，3=31,9=32,27=33,81=34,243=35，，且每个数都大于前面所有数的和，因为这六个数每个数都有取和不取两种可能，于是取若干个数求和所得新的一列数中最小的是
000001，最大的是111111.这样我们就把取数和二进制数建立起一个联系。
因为（39）10=（100111）2，所以第39个数应是35+32+3+1=256。
7.(3051)
8－(2127)
8
＝( )
8。
8.(2102)3×(1202)3＝( )3。