陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》1同角三角函数的基本关系(2)导学案 北师大版必修4
2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系课件北师大版必修4
当α在第二、三象限时，cos α＜0， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－m2. m 1－m2 sin α m ∴tan α＝cos α＝ . 2 2＝ m －1 － 1－m
题型二 【例2】
已知正切求值 已知tan α＝2.求：
2sin α－2cos α (1) ； 4sin α－9cos α (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
§1 同角三角函数的基本关系
内容要求
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 x＋cos2 x＝1，
sin x cos x＝tan x(重点).2.会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、 证明(难点)．
知识点
同角三角函数的基本关系
【预习评价】 5 1．已知α是第二象限角，sin α＝13，则cos α＝( 12 A．－13 5 C.13 5 B．－13 12 D.13 )
tan α的表达式后求值．
【训练2】 已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1. 求：(1)tan α； 2sin α－3cos α (2) . 4sin α－9cos α
解 (1)由条件得 2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α ＝1 2 2 sin α＋cos α 2＋3tan α－3tan2α ⇒ ＝1 tan2α＋1 ⇒4tan2α－3tan α－1＝0 1 ⇒tan α＝－4或 tan α＝1.
答案 A
3 2．已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－4，则 sin α＝( 3 A．－5 4 C.5 3 B.5 4 D．－5
)
答案 A
题型一
利用同角基本关系式求值
8 【例1】 已知cos α＝－17，求sin α，tan α的值．
三角恒等变形同角三角函数的基本关系(含解析)
三角恒等变形同角三角函数的基本关系(含解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角恒等变形第一节 同角三角函数的基本关系例题：已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cosB )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan 2A 的值；(2)求2cos 2A 2－3sin A －12sin?A ＋π4的值．解：(1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan 2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2 A 2－3sin A －12sin?A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×－341＋－34＝13.A 组1．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________．解析：∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010.∵sin α＝55，∴cos α＝ 1－(55)2＝255.∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22.∵0<β<π2，∴β＝π4.答案：π42．已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为________．解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π.∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－45)×35＋(－35)×45＝－2425.答案：－24253．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)＝________. 解析：tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，则sin(α＋β)cos(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－3＝－32.答案：－32 4．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是___． 解析：由已知得32cos α＋12sin α＋sin α＝453，即12cos α＋32sin α＝45，得sin(α＋π6)＝45，sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：－455．(原创题)定义运算a *b ＝a 2－ab －b 2，则sin π12*cos π12＝________.解析：sin π12*cos π12＝sin 2π12－sin π12cos π12－cos 2π12＝－(cos 2π12－sin 2π12)－12×2sin π12cos π12＝－cos π6－12sin π6＝－1＋234.答案：－1＋2346．已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方得sin α＝12.又π2<α<π.所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×(－35)＝－43＋310.B 组·1＋tan α1－tan α的值为________． 解析：cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋tan α1－tan α＝cos α－sin αsin α＋cos α·1＋tan α1－tan α＝1－tan α1＋tan α·1＋tan α1－tan α＝1. 2．已知cos(π4＋x )＝35，则sin2x －2sin 2x 1－tan x的值为________． 解析：∵cos(π4＋x )＝35，∴cos x －sin x ＝352，∴1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725，∴sin2x －2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x －sin xcos x＝sin2x ＝725. 3．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin(α－π3)＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，由已知得：(12＋32)sin α＝(12＋32)cos α，tan α＝1.4．设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝513，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈(π4，3π4)，α－π4∈(0，π2)，又cos(α－π4)＝35，∴sin(α－π4)＝45.∵β∈(0，π4)，∴3π4＋β∈(3π4，π)．∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π4)＋(3π4＋β)]＝－cos(α－π4)·cos(3π4＋β)＋sin(α－π4)·sin(3π4＋β)＝－35×(－1213)＋45×513＝5665，即sin(α＋β)＝5665.5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于________．解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327.6．已知角α在第一象限，且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝________. 解析：∵α在第一象限，且cos α＝35，∴sin α＝45，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝1＋2(22cos2α＋22sin2α)cos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(sin α＋cos α)＝2(45＋35)＝145.7．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)的值为________．解析：a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，又α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，tan α＝－34，∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17. 的值为______．解析：由tan(70°－10°)＝tan70°－tan10°1＋tan70°·tan10°＝3， 故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°＝tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)－3＝tan70°tan10°3tan70°tan10°＝33. 9．已知角α的终边经过点A (－1，15)，则sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1的值等于________． 解析：∵sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，∴sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1＝24cos α＝－ 2. 10．求值：cos20°sin20°·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.解：原式＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40° ＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40° ＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°－2cos40° ＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°－2cos40° ＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°＝2. 11．已知向量m ＝(2cos x 2，1)，n ＝(sin x 2，1)(x ∈R )，设函数f (x )＝m ·n －1. (1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝35，求f (C )的值．解：(1)f (x )＝m ·n －1＝(2cos x 2，1)·(sin x 2，1)－1＝2cos x 2sin x 2＋1－1＝sin x .∵x ∈R ，∴函数f (x )的值域为[－1,1]．(2)∵f (A )＝513，f (B )＝35，∴sin A ＝513，sin B ＝35.∵A ，B 都为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45.∴f (C )＝sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝513×45＋1213×35＝5665.∴f (C )的值为5665.12．(2010年南京调研)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．解：(1)法一：∵cos(β－π4)＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79.法二：sin2β＝cos(π2－2β)＝2cos 2(β－π4)－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0.∵cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝－35×13＋45×223＝82－315.。
高中数学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系第2课时同角三角函数的基本关系二课件北师大版必修
高中数学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系第2课时同角三角 函数的基本关系二课件北师大版学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系第2 课时同角三角函数的基本关系二课件北师大版必修4
第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系 第一课时 同角三角函数的基本关
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
系(二)
基础知识点对点 课后拔高提能练
基础知识点对点
知识点一 三角函数式的化简
1.sin11－0°－2sin110－°csoins12100°°＝( A．1 C．2
)
B．－1 D．－2
解析：选 B 原式＝csions1100°°－－csoins1100°°＝－1.
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1 的值为( )
∴sinαcosα＝18.
4．已知 sinα＝ 55，则 sin4α－cos4α 的值为(
)
A．－15
B．－35
C．15
D．35
解析：选 B ∵sinα＝ 55，∴cos2α＝1－sin2α＝1－15＝45.
∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝ 552－45＝15－45＝－35.
A．1
B．2sin2α
C．0
D．2
解析：选 D 原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
知识点二 三角函数式的求值
3．若 α∈0，π2，且 sinα－cosα＝ 23，则 sinαcosα 的值为(
)
A．18
B．－18
C．14
D．－14
解析：选 A 由 sinα－cosα＝ 23，得 1－2sinαcosα＝34，
高中数学第3章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系课件北师大版必修4
A.13
B.-13
C.
5 3
D.-
5 3
解析:∵α 是第二象限角,∴cos α<0.
∴cos α=- 1-sin2������=- 1- 49=- 35.
答案:D
【做一做2】 若tan α=3,则sin αcos α=
.
解析:原式=sin
αcos
α=sinsi2n���������+���ccooss������2������
探究一
探究二
探究三
探究四
关于sin α和cos α的齐次式的求值
【例2】 已知tan α=3,求下列各式的值:
(1)34csoins������������+-54csoisn������������;(2)3ccooss22������������--s2isni2n���2���������.
又 θ∈(0,π),且 2sin θcos θ=-2245,
所以 sin θ>0,cos θ<0.从而 sin θ-cos θ=75.
又 sin θ+cos θ=15,
解得 sin θ=45,cos θ=-35,
故 tan θ=csoins������������=-43.
比如:asin2α+bsin αcos α+ccos2α
������sin2������+������sin������cos������+������cos2������
=
sin2������+cos2������
=
������tan2������+������tan������+������
tan2������+1 .
2024年新高一数学初升高衔接《同角三角函数的基本关系》含答案解析
第24讲同角三角函数的基本关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明.知识点1同角三角函数的基本关系1、同角三角函数的基本关系基本关系基本关系式语言描述平方关系22sin cos 1αα+=同一个角的正弦、余弦的平方和等于1商数关系sin tan cos ααα=同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切2、基本关系式的要点剖析（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如22sin 3cos 31αα+=成立，但是22sin cos 1αβ+=就不一定成立．（2）2sin α是2(sin )α的简写，读作“sin α的平方”，不能将2sin α写成2sin α，前者是α的正弦的平方，后者是2α的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，22sin cos 1αα+=对一切R α∈恒成立，而sin tan cos ααα=仅对()2k k Z παπ≠+∈成立．知识点2关系式的常用等价变形1、2222222sin 1cos cos 1sin sin cos 1sin cos (sin cos )12sin cos αααααααααααα⎧=-⎪=-⎪⎪+=⇒=⎨⎪=⎪⎪+=±⎩2、sin tan cos sin tan sin cos cos tan ααααααααα=⎧⎪=⇒⎨=⎪⎩【注意】使用变形公式sin α=，cos α=时，“±”由α的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．知识点3基本关系式常用解题方法1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。
高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系互余对偶_“灵动”的运算技巧素材
互余对偶——“灵动”的构造技巧数学中的对偶法就是指在数学解题过程中，合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，达到解决数学问题的目的．在数学解题的过程中，恰当地使用对偶法，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．三角中的正弦与余弦是两个对称元素，它们具有如下恒等关系式：①22sin cos 1αα+=；②22cos sin cos2ααα-=；③sin cos 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭； ④()sin cos cos sin sin αβαβαβ±=±；⑤()cos cos sin sin cos αβαβαβ±=． 如此，利用互余函数构造对偶式、借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答．下面我们通过实例来介绍构造对偶关系式以及如何对所构造的对偶关系式进行合理的运算处理．1．构造对偶式——求积例1．求32coscos cos 777πππ⋅⋅的值． 解：令32cos cos cos 777M πππ=⋅⋅， 构造对偶式32sin sin sin 777N πππ=⋅⋅ 16421321sin sin sin sin sin sin 877787778M N N ππππππ∴⋅=⋅⋅=⋅⋅= 又0N ≠ 18M ∴=． 点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消雪融了．解法自然、朴素，过程简洁，运算轻松！例2．求sin10sin 30sin 50sin 70︒⋅︒⋅︒⋅︒的值．解：令sin10sin 30sin 50sin 70M =︒⋅︒⋅︒⋅︒构造对偶式cos10cos30cos50cos70N =︒⋅︒⋅︒⋅︒则sin10cos10sin 30cos30sin 50cos50sin 70cos70M N ⋅=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒1111sin 20sin60sin100sin1402222=︒⋅︒⋅︒⋅︒ 11cos70cos30cos10cos501616N =︒⋅︒⋅︒⋅︒= 0N ≠ 116M ∴=． 点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题之目的．2．构造对偶式——求和例3．求35cos coscos 777πππ++的值． 解：35cos cos cos 777M πππ=++ 构造对偶式35sin sin sin 777N πππ=++ 则 1216110468sin sin sin sin sin sin 272727777M N ππππππ⋅=+++++ 1351sin sin sin 27772N πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ 0N ≠ 12M ∴= 点评：灵活地选取解题方法，对其构造了“意想不到”的对偶式，最后借助简单的三角公式完成了解答，充分体现了解题机智．3．构造对偶式——化简求值例4．求22sin 10cos 40sin10cos40︒+︒+︒⋅︒的值．解：令22sin 10cos 40sin10cos40M =︒+︒+︒⋅︒构造对偶式22cos 10sin 40cos10sin 40N =︒+︒+︒⋅︒，则2sin10cos 40cos10sin 402sin 50M N +=+︒︒+︒︒=+︒cos 20cos80sin10cos 40cos10sin 40M N -=-︒+︒+︒︒-︒︒12sin50sin30sin30sin502=-︒︒-︒=--︒ 2sin 501sin 502M N M N +=+︒⎧⎪∴⎨-=--︒⎪⎩ 34M ∴=． 点评：这是一道比较典型的三角求值题．通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜．这类试题在各类考试中深受命题者青睐：变题1．求22cos 73cos 47cos73cos47︒+︒+︒⋅︒的值．变题2．求22cos 10cos 50sin 40sin80︒+︒-︒⋅︒的值．变题3．求22sin 20cos 80cos80︒+︒︒⋅︒的值．变题4．求22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒⋅︒的值．4．构造对偶式——求范围例5．若1sin cos 2αβ=，求cos sin αβ的取值范围． 解：1sin cos 2αβ= ① 令cos sin x αβ= ② 则 ①×② 得11sin 2sin 242x αβ=． 由sin 2α-1≤≤1，sin 2β-1≤≤1，1122x ∴-≤≤ 点评：利用现成的对偶式、假借三角公式，使问题本身变得简单、便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例6．若cos cos 1αβ+=，求sin sin αβ+的范围．解：cos cos 1αβ+= ① 令sin sin x αβ+= ②则两式平方和则()212cos 11x αβ+-+=+，()22cos 1x αβ∴-=-，由()22cos 2αβ--≤≤可知：213x -≤≤，于是x5．构造对偶式——求同角的三角函数值例7．若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值．解法一：构造对偶式3cos 4sin x θθ+=，则3sin 4cos 53cos 4sin x θθθθ+=⎧⎨+=⎩ ()()415sin 17203cos 27x xθθ⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sin cos 1θθ+=，得245x =代入()()12，后两式相除可得 3tan 4θ=． 解法二：构造对偶式3sin 4cos y θθ-=，则3sin 4cos 53sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩， 5sin 65cos 8y yθθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩， 再由22sin cos 1θθ+=，得75y =- 3tan 4θ∴=． 点评：这种构造法灵巧、富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力．6．构造对偶式——解方程例8．已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解方程222cos cos 2cos 31x x x ++=． 解：若令222cos cos 2cos 3M x x x =++构造对偶式222sin sin 2sin 3N x x x =++，则3M N += ①2cos2cos4cos62cos cos32cos 31M N x x x x x x -=++=+-()2cos3cos cos314cos cos2cos31x x x x x x =+-=-∴ 4cos cos 2cos31M N x x x -=- ②①+②，得()1cos cos2cos3224x x x A =-，又 1A = cos cos 2cos30x x x ∴= cos 0x ∴=或cos 20x =或cos30x = 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，6x π∴=或4x π=或2x π=． 点评：通过构造对偶式，创设了cos cos 2cos30x x x =这一美妙而又能打开局面的有利条件，可谓“高招”！“明月松间照，清泉石上流”，好一幅绝妙的对偶，让人感到美不胜收．在数学解题过程中，如果我们能恰当地运用对偶关系，不仅能提高解题速度，同样也会给人带来美的享受．它别开生面、独具“风味”，能在纷繁的困惑中求得简捷的解法，给人一种赏心悦目的感觉． 希望同学们在解题的过程中多注意归纳和总结拓展自己的解题路径，提高发散思维能力，最终达到提高解题能力的目的．。
第3章 §1 同角三角函数的基本关系
”，试对该式进行化
养 课
探 究
简．
时 分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
29
·
自 主 预
[解]
原式＝
cos 36°－ sin236° sin236°＋cos236°－2sin36°cos 36°
课 堂 小
习
结
·
探 新 知
＝
cos 36°－sin 36° （cos 36°－sin 36°）2
提 素 养
合 作 探 究
32
·
自
课
主
堂
预 习
2．证明三角恒等式常用的方法有：
小 结
·
探 新
(1)从一边开始，证得它等于另一边；
提 素
知
养
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
合
作
课
探 究
(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其
时 分
层
释 等价的等式．
作
疑
业
难
返 首 页
·
33
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新 知
第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系
2
·
自
课
主 预
学习目标
堂 小
习
结
探 新 知
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，
sinα cos α
＝tan
·
提 素 养
合 α.(重点)
作
课
探 究
同角三角函数的基本关系 课件
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
陕西省榆林育才中学高中数学第3章《三角恒等变形》1同角三角函数的基本关系（2）导学案北师大版必修4
【学习目标】
1.进一步理解同角三角函数基本关系，熟练运用三角函数基本关系进行化简、证明.
2.树立化归与转化的数学思想.
【重点难点】
重点：利用同角三角函数基本关系进行化简、证明.
难点：灵活运用同角三角函数基本关系，特别是“1”的灵活运用.
【使用说明】
阅读课本P113~114，体会角的终边所在象限对角的三角函数值符号的影响以及“象限定号”的重要性，用红色笔勾勒出疑惑点并与同学进行交流、讨论，结合课本基础知识和例题，独立完成导学案，并总结解题规律．
【自主学习】
1．化简三角函数式的一般要求：
（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；
（2）尽量使分母不含三角函数式；
（3）根式内的三角函数式尽量开出来；
（4）能求得数值的应计算出值，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形．
【合作探究】
1．求证：sin 1cos .1cos sin α
α
αα-=+
2．化简：2
22cos 1cos .sin 1sin θθ
θθ-+-
3．求证：422(1tan )cos tan 1.θθθ-+=
【课堂检测】
1．化简：
（1）22(1tan )cos ;αα+ （
2）222cos 1;12sin θθ--
2．求证：
（1）2222tan sin tan sin ;θθθθ-=⋅
（2）2212sin cos 1tan .cos sin 1tan x x x x x x ++=--
【课后训练】
1．化简：
（1）422sin sin cos .x x x -+
（2）1cos 1cos 3().1cos 1cos 2θθππθθθ+-+<<-+。