离散数学一、二章检测题及答案

天津理工大学中环信息学院《离散数学》第一、二章检测题请将填空题答案填入下面相应位置1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；11. ；12. ；13. ；14. ；15. 。

一、填空题（每空2分，共30分）1．设P 表示“我将去书店”， Q 表示“我有时间”，则命题“我将去书店，仅当我有时间”符号化为 。

P Q →2．设P 表示“天下雨”， Q 表示“我骑自行车上班”，则命题“除非下雨，否则我骑自行车上班”符号化为 。

P Q ⌝→34．设命题公式A则命题公式A 的主析取范式为 ， 主合取范式为 。

()()()P Q R P Q R P Q R ⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧()()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝∨⌝5．设个体域{,,}A a b c =，消去公式中的量词，则()()x P x ∀∧()()x Q x ∃⇔。

()()()(()()())P a P b P c Q a Q b Q c ∧∧∧∨∨6．命题公式P Q →的逆反式是 。

Q P ⌝→⌝7．设命题公式⌝（P Q ↔）的主析取范式为()()P Q Q P ∧⌝∨∧⌝ 。

8．谓词公式 )()()(x x P x ∃⇔∀⌝ , )()()(x x P x ∀⇔∃⌝ 。

(),()P x P x ⌝⌝9．设()G x 表示“x 是金子”， ()F x 表示“x 是闪光的”，则命题“金子是闪光的，但闪光的不一定是金子”符号化为 。

()(()())()(()())x G x F x x F x G x ∀→∧⌝∀→或()(()())()(()())x G x F x y F y G y ∀→∧∃∧⌝10．N 个命题变元可以构成互不等价的命题公式 个。

(22N )二、单项选择题（每小题2分，共20分）1．设)(x S 表示x 是演员。

)(x T 表示x 是老师，),(y x A 表示x 钦佩y 。

则命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为（ 2 ）。

(1)．(()(,))x S x A x y ∀→； (2)．))),()(()((y x A y T y x S x ∧∃→∀；(3)．()()(()()(,))x y S x T y A x y ∀∃∧∧； (4)．()()(()()(,))x y S x T y A x y ∀∃∧→． ２．下列蕴含式不成立的是（ 1 ）.(1)．(()())()()x F x G x xF x xG x ∀∨⇒∀∨∀； (2)．(())()x F x G xF x ∀∧⇒∀；(3)． (()())()()x F x G x xF x xG x ∃∧⇒∃∧∃； (4)．(())()x F x G xF x ∃∧⇒∃. ３．下列等价式不成立的是（ 2 ）.(1)．(()())()()x F x G x xF x xG x ∀∧⇔∀∧∀;(2)．(()())()()x F x G x xF x xG x ∃∧⇔∃∧∃(3)．(())()x F x G xF x G ∀∧⇔∀∧(4)．(())()x F x G xF x G ∃∧⇔∃∧４．谓词公式(()(,))()x P x yR x y Q x ∀∨∃→中量词（x ∀）辖域是（ ）．(4)(1)．(()(,))x P x yR x y ∀∨∃； (2)．()P x ；(3)．()Q x ； (4)．(()(,))P x yR x y ∨∃．５．下列哪个命题是真命题（ 2 ）．(1)．如果２+3=5，则太阳从西方升起； (2)．如果２+3=6，则太阳从西方升起；(3)．严禁吸烟； (4)．我正在说谎．６．谓词演算中，()P a 是)()(x P x ∀的有效结论，其理论依据是（ 1 ）．(1)．全称指定规则（US ）； (2)．全称推广规则（UG ）；(3)．存在指定规则（ES ）； (4)．存在推广规则（EG ）．7．下列哪个命题是假命题（ 1 ）．(1)．如果２是偶数，那么一个命题公式的析取范式唯一；(2)．如果２是偶数，那么一个命题公式的析取范式不唯一；(3)．如果２是奇数，那么一个命题公式的析取范式唯一；(4)．如果２是奇数，那么一个命题公式的析取范式不唯一．8．下列公式中不是前束范式的是（ 3 ）。

(1)．()()(()())x y Q x R y ∀∃∧； (2)．()()()((,)(,,))x y z Q x z R x y z ∀∀∃→；(3)．(,)()()(,,)Q x z x y R x y z →∃∀； (4)．()()(,)x y Q x y ∀∃．9．下列等价公式正确的是（ ）。

（2）（1）．P Q Q P →⇔→； （2）．P Q P Q →⇔⌝∨；（3）．P Q Q P →⇔⌝∨； （4）．P Q Q P →⇔⌝∨⌝．10．以下推理错误的是（ ）。

（2）(1)．,P P Q Q ⌝∨⇒； (2)．P Q P ∨⇒；(3)．,Q P Q P ⌝→⇒⌝； (4)．,P P Q Q →⇒．三、简答题（每小题6分，共12分）１． 求谓词公式)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀的前束析取范式．)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀))],()(()),()()[()()(()),()()()(()),()(()),()()()(()),()(()),()()()(()),()()((z y Q u P y x Q x P z u x z y Q z u P u y x Q x P x z y Q z y P y y x Q x P x z y Q z y P y y x Q x P x ∧∨⌝∧∃∃∃⇔∃∧∃∨⌝∧∃⇔∃∧∃∨⌝∧∃⇔∃∧∃∨∨⌝∀⌝⇔2．求命题公式 (())P Q R P ∨→→的主析取范式和主合取范式。

()()()()(())(())1(())1()()()(()())(()())1()()()()()()1()()()()P Q R PP Q R P P Q R P P R Q R PP Q R P Q Q R R P P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ∨→→⇔⌝⌝∨∨∨⇔∨∧⌝∨⇔∧⌝∨∧⌝∨⇔∨∧⌝⇔∧∨⌝∧∨⌝∨∨⌝∧∧⌝⇔∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝⇔∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝分分分分()()24567013()((1(()()()1P Q R m m m m m M M M P Q R P Q R P Q R ∨⌝∧∧⌝⇔∨∨∨∨⇔∧∧⇔∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨⌝这是主析取范式))分这是主合取范式)分四．证明题（共38分）１．（10分）符号化下列命题并推证其结论．任何人如果他喜欢音乐,他就不喜欢体育．每个人或者喜欢体育，或者喜欢美术．有的人不喜欢美术．因而有的人不喜欢音乐．（设M(x)：x 喜欢音乐，S(x)：x 喜欢体育，Ａ(x)：ｘ喜欢美术．）该命题符号化为：（（∀ｘ）（M （x ）→⌝S （x ））∧（∀ｘ）（S （x ）∨A （x ））∧（∃x ）⌝ A （x ））→（（∃x ）⌝ M （x ））前提：（∀ｘ）（M （x ）→⌝S （x ）），（∀ｘ）（S （x ）∨A （x ）），（∃x ）⌝ A （x ） 结论：（∃x ）⌝ M （x ）证：（1）（∃x ）⌝ A （x ） P（2）⌝ A （a ） ES （1）（3）（∀ｘ）（S （x ）∨A （x ）） P（4）S （a ）∨A （a ） US （3）（5）S （a ） T （2）（4）I（6）（∀ｘ）（M （x ）→⌝S （x ）） P（7）M （a ）→⌝S （a ） US （6）（8）S （a ）→⌝ M （a ） T （7）E（9）⌝ M （a ） T （5）（8）I（10）（∃x ）⌝ M （x ） EG （9）２．（12分）(1)．用CP 规则证明S Q P S R Q R Q P →⇒→→∨⌝∨⌝),(),(；1. P P 6. )(S R → T(4,5) I （1分）2. ()P Q R ⌝∨⌝∨ P 7. R T(3,4) I （1分）3. Q R ⌝∨ T(1, 2) I （2分） 8. S T(6,7) I （1分）4. Q P(附加前提) 9. )(S Q → CP （1分）5. )(S R Q →→ P(2)．用归谬法证明 ,(),A B C B C S A →⌝⌝∨∧⌝⇒⌝．证: 1 (A P 附加前提) （1分） 2 A B P →⌝3 1,2B T I ⌝ （1分）4 C B P ⌝∨5 3,4C T I ⌝ （1分）6 C S P ∧⌝7 6C T I （1分） 8 5,7C C T I ∧⌝ （1分） 由8得出了矛盾，根据归谬法说明原推理正确（1分）3．(6分) 指出下面推理证明过程中的错误, 并给出正确的证明．用谓词演算的推理规则证明:))()(())()(())()((x Z x R x x Z x Q x x R x Q x ∧∃⇒∧∃∧→∀证: (1) ))()((x R x Q x →∀P (6))(a Z T(4) I (2) )()(a R a Q → US(1) (7) )(a R T(2),(5) I (3) ))()((x Z x Q x ∧∃ P (8) )()(a Z a R ∧ T(6),(7) I(4) )()(a Z a Q ∧ ES(3) (9) ))()((x Z x R x ∧∃ EG(8)(5) )(a Q T(4) I该证明的错误在于: (1)、 (2) 与 (3)、 (4) 的顺序颠倒了，应该先指定存在后指定全称。

（2分）正确的证明是：（4分）(1) ))()((x Z x Q x ∧∃ P (6) )(a Z T(2) I(2) )()(a Z a Q ∧ ES (1) (7) )(a R T(4),(5) I(3) ))()((x R x Q x →∀ P (8) )()(a Z a R ∧ T(6),(7) I(4) )()(a R a Q → US (3) (9) ))()((x Z x R x ∧∃ EG(8)(5) )(a Q T(2) I4．（10分）公安人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案，已知侦察结果如下：（1）营业员A 或B 盗窃了钻石项链（2）若B 作案，则作案时间不在营业时间（3）若A 提供的证词正确，则货柜未上锁（4）若A 提供的证词不正确，则作案发生在营业时间（5）货柜上了锁试问：作案者是谁要求写出推理过程。