人教版 八年级下册数学第十六章 二次根式 二次根式的概念和性质教案

二次根式的概念与性质 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：0(0)a a ≥≥，()2(0)a a a =≥，

2(0)a a a =≥，并利用它们进行计算和化简．

重点难点：

● 重点：0(0)a a ≥≥；

()2(0)a a a =≥，2(0)a a a =≥及其运用． ● 难点：利用

0(0)a a ≥≥，()2(0)a a a =≥，2

(0)a a a =≥解决具体问题． 学习策略： 对于本节的学习，要着重从理解二次根式的概念入手，逐步深入，处理好以下三个方面：

● 把握二次根式有意义的条件及其性质．

● 理解二次根式与算术平方根的联系与区别．

● 逐步感受数系的变化，注重知识体系的纵横联系，养成严密的数学思想．

二、学习与应用

（一）平方根的概念：如果2x a =，那么 平方根．

（二）算术平方根的概念：一个正数的 叫做这个数的算术平方根．

（三）平方根的性质：一个正数有 个平方根，且它们是互为 ；0的平方根是 ；在实数范围内，负数 平方根．

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

知识点一：二次根式的概念

一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“

”称

为 ．

要点诠释：

二次根式的两个要素：①根指数为 ；②被开方数为 数． 知识点二：二次根式的性质

（一）............................(0)a a ≥≥；

（二）()2............................(0)a a =≥；

（三）............................2............................(0)||(0)a a a a ≥⎧==⎨

<⎩； （四）积的算术平方根的性质：............................(00)ab a b =≥≥，；

（五）商的算术平方根的性质：

............................(00)a a b b =≥>，． 要点诠释：

二次根式a (a≥0)的值是非负数，其性质()2(0)a a a =≥可以正用亦可逆用，

正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有

利于在实数范围内进行因式分解．

知识点三：代数式

形如5，a ，a+b ，ab ，s

t

，x 3，(0)a a ≥这些式子，用基本的 （基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把 连接起来

的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression)．

类型一：二次根式的概念

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听

课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。

经典例题-自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反

三。若有其它补充可填在右栏空白处。

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x

、x (x>0)、0、42、2-、1

x y +、x y +(x≥0，y≥0)．

思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正

数或0．

解：

例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？

解：

总结升华：

．

举一反三：

【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？

（1）2(1)x +； （2）1

1x -；

解：

【变式2】当x 是多少时，23x ++1

1x +在实数范围内有意义？

思路点拨：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的

2x+3≥0和1

1x +中的x+1≠0．

解：

类型二：二次根式的性质

例3．计算：

（1）()27 （2）232⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭ （3）()235 （4）2

72⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

（5）2()a b (b≥0) （6）22(35)(53)-

思路点拨：我们可以直接利用()2a a =(a≥0)的结论解题．

解：

举一反三：

【变式1】计算：

（1）()21(0)x x +≥； （2）()2

2a ；

（3）()2

221a a ++； （4）()2

24129x x -+．

思路点拨：

（1）因为x≥0，所以x+1>0；

（2）a 2≥0；

（3）a 2+2a+1=(a+1)2≥0；

（4）4x 2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．

所以上面的4题都可以运用()2(0)a a a =≥的重要结论解题．

解：

例4．化简： （1）9； （2）2(4)-； （3）25； （4）2(3)- ．

思路点拨：因为（1）9=32，（2）(-4)2=42，（3）25=52，（4）(-3)2=32，所以都可运用

2(0)a a a =≥去化简．

解：

☆例5．填空：当a≥0时，2a = ；当a<0时，2a = ，•并根据这一性

质回答下列问题．

（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？

（2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？

（3）2a >a ，则a 可以是什么数？

思路点拨：∵2a =a(a≥0)，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，

应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当a≤0时，2a =，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；

（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；

（3）根据(1)、(2)可知2||a a =，而||a 要大于a ，只有什么时候才能保证呢？

解：

类型三：二次根式性质的应用

例6．当x=-4时，求二次根式12x -的值．

思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同．

解：