随机过程第二章期末练习题
随机过程-习题-第2章
2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<< 121。
试证明：)/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。
证明：首先，由条件概率的定义式得),,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++=根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得)()()/()()/()/()()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++==n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n于是，)/()(),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++==n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。
随机过程第二章作业及参考答案
第二章 平稳过程2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。
试证 （1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。
（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。
随机过程期末试题及答案(2)
{N(t),t ≥ 0} 独立，令 X(t)=∑X(t)] = λ tE {Y1} 。
k=1
N(t)
2
证明：由条件期望的性质 E [X(t) ] = E E ⎡ ⎣ X(t) N(t) ⎤ ⎦ ，而 E ⎡ ⎣ X(t) N(t) = n ⎤ ⎦ = E⎢
P(X(t) ≤ x X(t1 )=x1 , X(t 2 )=x 2 , X(t n )=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n X(t1 )-X(0)=x1 , X(t 2 )-X(0)=x 2 , X(t n )-X(0)=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n ) ，又因为 P(X(t) ≤ x X(t n )=x n )= P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n X(t n )=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n ) ，故 P(X(t) ≤ x X(t1 )=x1 , X(t 2 )=x 2 , X(t n )=x n ) = P(X(t) ≤ x X(t n )=x n )
2 2
0 0 1 4 0
4 0
0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥ 1 ⎥ 4⎥ 1⎥ ⎦
（2） p33 = 1, 而p30，p31，p32 均为零，所以状态 3 构成一个闭集，它是吸收态，记 C1 = {3} ；0， 1 两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记 C2 = {0， 1}，且它们都是正常返 非周期状态；由于状态 2 可达 C1，C 2 中的状态，而 C1，C 2 中的状态不可能达到它，故状态 2 为非 常返态，记 D= {2} 。 （3）状态空间 I 可分解为： E=D ∪ C1 ∪ C2 四.简答题（6 分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。 答： （略）
概率统计随机过程-期末试卷-参考答案
7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15
D S 2 2 15
2
得 D S
2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二 参考答案 一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}
南京大学随机过程练习题附中文解释及答案
8、(3.8)An unbiased die is successively rolled. Let X and Y denote, respectively, the number of rolls necessary to obtain a six and a five. Find (a) E[X], (b) E[X|Y=1] 相继地掷一颗不均匀的骰子。令 X 和 Y 分别记得到一个 6 和一个 5 所必须的抛 掷次数。求（a）E[X]，（b）E[X|Y=1]。 重要：E[E[X|Y]]=E[X]
3、(4.32) Each of two switches is either on or off during a day. On day n, each switch will independently be on with probability [1+#of on switches during day n-1]/4. For instance, if both switches are on during day n-1, then each will independently be on during day n with probability3/4. What fraction of days are both switches on? What fractions are both off? 在一天中两个开关或者开或者关。在第 n 天，每个开关独立地处于开的概率是[1+ 第 n-1 天是开的开关数]/4。例如，如果在第 n-1 天两个开关都是开的，那么在第 n 天，每个开关独立地处于开的概率是 3/4。问两个开关都是开的天数的比例是 多少？两个开关都是关的天数的比例是多少？
[应用随机过程][习题][01]
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第三章习题
(2)在宽平稳的基础上讨论各态历经性 时间均值:
1 T 1 X (t ) = lim ∫T X (t )dt = Tlim 2T T →∞ 2T →∞ 1 T 1 +T = ∫ s (t + )dt = ∫ s (θ )dθ T 0 T = E[ X (t )]
∫
T
T
s (t + )dt
X(t)的均值具有各态历经性
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第三章习题
时间相关性:
1 T X (t ) X (t + τ ) = lim X (t ) X (t + τ )dt T → ∞ 2T ∫T 1 T = lim s (t + ) s (t + τ + )dt T →∞ 2T ∫T 1 T = ∫ s (t + ) s (t + τ + )dt T 0 1 +T = ∫ s (θ ) s (θ + τ )dθ = RX (t ) T
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第二章习题
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]
《随机过程》第二章补充习题
1、 设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其初始分布为),,,,()0(43210p p p p p =π一步转移矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000000000000000001p q p q p qP 试回答以下问题： （1） 求出该马氏链进入各常返类的概率；（2） 求出该马氏链平均多长时间进入常返类集；（3） 计算：nn P ∞→lim 。
2、 （网球比赛）：网球一局比赛在两个选手（发球者和接发球者）之间进行，网球的记分制是：15、30、40、和60分。
平分是指第五球后双方分数相同。
平分后，从第六球开始，如果发球者得分/失分，则此时发球者占先/接发球者占先。
如果发球者在发球占先后再得分，则发球者赢得该局。
如果接发球者在接发球后占先后再得分，则接发球者赢得该局。
若发球者发一球获胜的概率为p ，输的概率为q ，1=+q p ，试回答以下问题：（1） 试用马氏链建模网球一局比赛过程，确定其状态，画出状态转移图；（2） 分析各状态的性质；（3） 试确定一局网球比赛发球者获胜的概率；（4） 试确定一局比赛平均需要发几个球才能结束。
3、 设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其一步转移概率为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/10004/14/104/14/1002/12/10004/34/1000001P 试回答以下问题：（1） 研究此马氏链的状态性质，并对各状态进行分类；（2） 针对状态1和2，确定其平稳分布；（3） 若i 和j 是非常返状态，试求ii f 、ij f 、ji f 和jj f ；（4） 假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，试求该链进入常返状态集的期望步数；（5） 假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，求出该马氏链进入各常返类的概率；（6） 计算：}12{35==X X P ；（7） 计算：nn P ∞→lim 。
随机过程第二章期末练习题
湖南大学信息科学与工程学院
第二章练习题 判断题
确定信号为特殊的随机信号， 如果称某个确定信号为平稳的， 意味着该信号为常量。 （V） 则该随机过程一定隐含周 若平稳随机过程的功率谱密度函数在 0 处含有冲激， 期性。 （X） 平稳随机过程一定是各态历经的。 （X） 平稳随机过程经过线性变换后一定是平稳的。 （V） 如果平稳随机过程的任意样本函数是连续的， 则该过程依均方意义连续， 反之亦然。 若平稳随机过程的协方差函数 K X ( ) 不满足 K X () 0 ，则该过程必定隐含周期 性。 （V） 对随机过程作重复多次的观测时， 各次所得到的时间 t 的函数具有相同的形式。 （X） 可用研究多维随机变量的方法来研究随机过程。 （V） 数学期望和方差不仅描述了随机过程在各个时刻上取值的特性， 还能反映随机过程 不同时刻取值之间的内存联系。 （X） 具有相同的数学期望和方差的两个随机过程统计特性相同。 （X） 自相关函数的绝对值越大，表示相关性越强。 （V） 一般而言，自相关函数的两个时刻相隔越远，自相关函数的绝对值就越小。 （V） 自相关函数可以反映随机过程两个时刻之间的相关性，协方差函数则不能。 （X） 二阶矩过程的自相关函数必定存在。 （V） 平稳随机过程的统计特性在相当长的时间内是不变的。 （V） 如果随机过程 X(t)的任意 n 维概率密度在时间上平移任意△t 后，此函数不变，则 称 X(t)为广义平稳随机过程。 （X） 狭义平稳随机过程的任意维概率密度与时间起点无关， 即 X(t)与 X(t+△t) 有相同的 统计特性。 （V） 广义平稳随机过程必定是狭义平稳的，而狭义平稳的随机过程则未必是广义平稳 的。 （X） 相关时间小， 意味着相关系数随τ的增大而迅速减小， 这说明随机过程随时间而激 烈变化；反之，相关时间大，则说明随机过程随时间变化缓慢。 （V） 自相关函数是实偶函数。 （X） 设随机过程 X(t)=u sin(ω t+Φ)，其中 u 和ω 皆为常数，Φ为 [0,2π]上均匀分 m m 0 0 布的随机变量，则 X(t)为一平稳随机过程。 （V） 设随机过程 X(t)=At，A 为在[0,1]上均匀分布的随机变量，则 X(t)是平稳过程。 （X） 设随机过程 Z(t)=Xcost+Ysint，－∞<t< ∞，其中 X，Y 为相互独立的随机变量，并 分别以概率 2/3、1/3 取值-1 和 2。则 Z(t)既是广义平稳随机过程，又是狭义平稳随 机过程。 （X） 设随机过程 X(t)=X (k) ，k=…-2, -1,0,1,2…， X (k)为相互独立且具有相同分布的随
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应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
<答案> X(t)的均值和相关函数都具有各态历经性 7、平稳过程 X(t)=u sin(ω t+ Φ)是否具有各态历经性？ m 0 <答案>具有各态历经性
计算题
1、已知随机过程 X(t)和 Y(t)的功率谱密度为
分别求 X ( t ) 和 Y ( t ) 的自相关函数和均方值。 2、随机过程 X ( t ) 定义为 X ( t ) = f ( t + ε ) ，其中 f ( t ) 是具有周期 T 的周期信号，ε是在 区间[0，T]内均匀分布的随机变量。证明 X ( t ) 是平稳随机过程。 （提示：利用周期函数的性 质 ）
3
1
应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
2 2 机变量序列，已知 E[X (k)]=0， E[X (k)] = σ 。则 X(t)既是广义平稳随机过程， X 又是狭义平稳随机过程。 （V）
填空题
1、自然界的信号通常可以分两大类：＿＿＿＿信号和＿＿＿＿信号。 2、随机过程 X(t)的一维分布函数取决于＿＿＿＿和＿＿＿＿。 3、随机过程的数学期望表示＿＿＿＿。 4、随机过程的方差描述了＿＿＿＿。 5、自相关函数反映了＿＿＿＿。 6、＿＿＿＿、＿＿＿＿与＿＿＿＿是刻画随机过程在某个孤立时刻状态的数字特征， 而＿＿＿＿和＿＿＿＿则是刻画随机过程自身在两个不同时刻状态之间的线性依从关系的 数字特征。 7、对于均值为 mX 、相关函数为 RX ( ) 的各态经历随机过程的任意样本函数 x(t ) ，必 有： lim
1 T 2T
T
T
x(t )dt
， lim
1 T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
பைடு நூலகம்
。
8、若平稳随机过程 X (t ) 的相关函数为 RX ( ) 为 。
1 2| | 1 e ，则该过程的直流功率 4 4
2 | |
9、若各态经历随机过程 X (t ) 的均值为正，相关函数为 R X ( ) X e 则对于任意样本函数 x(t ) ，必有 lim
应用统计与随机过程课程习题集
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第二章练习题 判断题
确定信号为特殊的随机信号， 如果称某个确定信号为平稳的， 意味着该信号为常量。 （V） 则该随机过程一定隐含周 若平稳随机过程的功率谱密度函数在 0 处含有冲激， 期性。 （X） 平稳随机过程一定是各态历经的。 （X） 平稳随机过程经过线性变换后一定是平稳的。 （V） 如果平稳随机过程的任意样本函数是连续的， 则该过程依均方意义连续， 反之亦然。 若平稳随机过程的协方差函数 K X ( ) 不满足 K X () 0 ，则该过程必定隐含周期 性。 （V） 对随机过程作重复多次的观测时， 各次所得到的时间 t 的函数具有相同的形式。 （X） 可用研究多维随机变量的方法来研究随机过程。 （V） 数学期望和方差不仅描述了随机过程在各个时刻上取值的特性， 还能反映随机过程 不同时刻取值之间的内存联系。 （X） 具有相同的数学期望和方差的两个随机过程统计特性相同。 （X） 自相关函数的绝对值越大，表示相关性越强。 （V） 一般而言，自相关函数的两个时刻相隔越远，自相关函数的绝对值就越小。 （V） 自相关函数可以反映随机过程两个时刻之间的相关性，协方差函数则不能。 （X） 二阶矩过程的自相关函数必定存在。 （V） 平稳随机过程的统计特性在相当长的时间内是不变的。 （V） 如果随机过程 X(t)的任意 n 维概率密度在时间上平移任意△t 后，此函数不变，则 称 X(t)为广义平稳随机过程。 （X） 狭义平稳随机过程的任意维概率密度与时间起点无关， 即 X(t)与 X(t+△t) 有相同的 统计特性。 （V） 广义平稳随机过程必定是狭义平稳的，而狭义平稳的随机过程则未必是广义平稳 的。 （X） 相关时间小， 意味着相关系数随τ的增大而迅速减小， 这说明随机过程随时间而激 烈变化；反之，相关时间大，则说明随机过程随时间变化缓慢。 （V） 自相关函数是实偶函数。 （X） 设随机过程 X(t)=u sin(ω t+Φ)，其中 u 和ω 皆为常数，Φ为 [0,2π]上均匀分 m m 0 0 布的随机变量，则 X(t)为一平稳随机过程。 （V） 设随机过程 X(t)=At，A 为在[0,1]上均匀分布的随机变量，则 X(t)是平稳过程。 （X） 设随机过程 Z(t)=Xcost+Ysint，－∞<t< ∞，其中 X，Y 为相互独立的随机变量，并 分别以概率 2/3、1/3 取值-1 和 2。则 Z(t)既是广义平稳随机过程，又是狭义平稳随 机过程。 （X） 设随机过程 X(t)=X (k) ，k=…-2, -1,0,1,2…， X (k)为相互独立且具有相同分布的随
b 2 ( >0) ，
1 T 2T
T
T
x(t )dt
。
简答题
1、随机过程按状态和时间的连续性可以分成几类？ <答案>连续型随机过程；连续的随机序列；离散型随机过程；离散的随机序列 2、随机相位信号包含了多少个样本函数？ <答案>无穷多 3、平稳随机过程的主要特点是什么？ <答案>其统计特性不随时间的平移而变化，它的初始时间可以任意选择，其统计特性与 时间起点的选择无关。 4、什么是相关理论？ <答案>只限于研究随机过程一、二阶矩的理论 5、平稳随机过程的两个条件是什么？ <答案>数学期望为一常数；相关函数仅与时间间隔相关 6、随机过程 X(t)为各态历经过程的条件是什么？