随机过程期末试题答案A卷(10年12月)
《应用随机过程》A卷及其参考答案
，求
E
X
X
c；
2、（15 分，选做一题）（1）设 Xi E i ， i 1, 2 ，且 X1, X 2 独立，试
由条件数学期望的一般定义以及初等条件概率定义的极限分别求
E IX1X2 X1 X 2 t P X1 X 2 X1 X 2 t ，t 0 ；（2）设 X1, X 2 , , X n 独
T 2 t dt 0
，令
Z
t
exp
t
0
u
dW
u
1 2
t 0
2
u
du
，则
dZ
t
t
Z
t
dW
t
，
从而Z t ,0 t T 是一个连续鞅。
1
三、计算证明题（共 60 分）
得分
1、（13 分）假设 X～E ，给定 c 0 ，试分别由指数分布的无记忆性、
条件密度和 E X
A
E
P
XI A
A
x
0
，且
q
x
dx
1
；（b）存在
a
0
，使得
p q
x x
a（当
p
x
0
时），令 r x a qpxx（当 p x 0 时，规定 r x 0 ）；又记 M U r X ，
3
试证明：
P
X
z
M
z
q
x dx
，即
X
在
M
发生的条件下的条件密度
函数恰是 q x ；（2）设有 SDE：dXt (aXt b
（2） ___________________________________________________；
(完整word版)随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
2010-2011学年北京交通大学第一学期随机过程期末考试试卷
北 京 交 通 大 学2010-2011学年第一学期随机过程期末考试试卷（A 卷）学院___________ 专业___________________ 班级____________学号___________ 姓名__________一．（本题满分8分） 一．（本题满分20分）请写出下列概念的定义（每道小题4分）： ⑴ 计数过程(){}t N 的平稳增量性；⑵ T 是随机序列{}n X 的停时；⑶ 更新函数；⑷ 马氏链的正常返状态；⑸ 马氏链的遍历状态二．（本题满分12分）如果计数过程(){}t N 满足：⑴ ()00=N ；⑵ (){}t N 具有独立增量性和平稳增量性；⑶ (){}t N 具有普通性：即对于任何0≥t ，当0+→h 时，有()()()h o h t N P +==λ1，()()()h o t N P =≥2，其中0>λ为常数．证明：(){}t N 是强度为λ的Poisson 过程．探险家不幸落入漆黑的溶洞，有两条路供随机选择：沿第一条路摸索2小时可以走出溶洞，沿第二条路摸索1小时返回原地．回到原地后只能再次进行随机选择．用T表示他走出溶洞所用的时间，使用更新间隔和停时描述T，并计算他走出溶洞平均需要的时间．设(){}t N 是更新过程，{}n X 是其更新间隔，若以()1+t N S 是t 以后的第一个更新时刻．证明：⑴ 对于任何t ，()1+=t N T 是随机序列{}n X 的停时；⑵ 当()+∞<=1X E μ时，有()()()()11+=+t m S E t N μ，其中()t m 是更新函数．设{}n X 是马氏链，证明：⑴ i 是常返状态的充要条件是()+∞=∑∞=0n n ii p ；⑵ 如果i 是常返状态，j i →，则j i ↔，且j 也是常返状态．对于马氏链{}n X ，如果j 不是正常返状态，则对任何状态i ，有()0l i m =∞→n ij n p ．。
概率统计随机过程-期末试卷-参考答案
7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15
D S 2 2 15
2
得 D S
2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二 参考答案 一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}
随机过程第一、二章测验题答案(2010)
随机过程测试题一答案每题10分1. 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。
其一是紧固三只螺栓，其二是焊接两处焊点。
以X 表示由机器人紧固的螺栓不良的数目，以Y 表示由机器人焊接的焊点不良的数目。
据积累资料知),(Y X 具有分布律： Y X 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 20.0100.0050.0040.001(1)求EX ;(2)求]|[j Y X E =，2,1,0=j ;(3)验证 ∑====2}{]|[j j Y P j Y X E EX .解: (1) X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.9100.0450.0320.013148.0=EX .(2) Y 的分布律为 Y 0 1 2 P0.9000.0800.0200=Y 时，X 的条件分布律为X|0=Y 0 123P0.840/0.90.030/0.90.020/0.90.010/0.991]0|[==Y X E ;1=Y 时，X 的条件分布律为X|1=Y 0 123P0.060/0.080.010/0.080.008/0.080.002/0.084.0]1|[==Y X E ;2=Y 时，X 的条件分布律为X|2=Y0 1 2 3P 0.010/0.02 0.005/0.02 0.004/0.02 0.001/0.028.0]2|[==Y X E .(3) EX j Y P j Y X E j ==⨯+⨯+⨯===∑=148.002.08.008.04.09.091}{]|[2.2．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,00,),(其他，y x e y x f y(1)求EX;(2)对任意0>y ,求]|[y Y X E =;(3)验证⎰+∞==0)(]|[dy y f y Y X E EX Y .解: (1)当0>x 时, X 的概率密度为x xy xX e dy e dy y x f x f -+∞-+∞===⎰⎰),()(.1)(0===⎰⎰+∞-+∞dx xe dx x xf EX x X .(2) 对任意0>y , Y 的概率密度为y yy yY ye dx e dx y x f y f --===⎰⎰0),()(.⎪⎩⎪⎨⎧<<==.,0,0,1)(),()|(|其他y x y y f y x f y x f Y Y X21)|(]|[0|ydx y xdx y x f x y Y X E yY X ====⎰⎰+∞ (3)EX dy ye y dy y f y Y X E y Y ==Γ=⋅==⎰⎰+∞-+∞1)3(212)(]|[03．写出六种常见分布（退化、二项、泊松、均匀、指数、正态）的特征函数．分布 记号 概率密度或分布律)x (f特征函数)t (ψ退化 {c} 1}{==c X Pict e0-1 b(1,p) .1,0,}{1===-x q p x X P x x q pe it +二项b(n,p) 独立同分布于b(1,p)的n 个r.v.的和..,,1,0,}{1n x q p C x X P x x x n ===-n it q pe )(+泊松 )(P λ.,2,1,0,!}{ ===-x e x x X P xλλ)1(-it e eλ均匀U(a,b))(1)(),(x I ab x f b a -=t a b i e e iatibt )(--标准正态 N(0,1)2221)(x e x f -=π22t e-正态),(N 2σμ222)(21)(σμσπ--=x e x f2)(2t t i eσμ-指数 )(E λ)()(),0(x I e x f x +∞-=λλit-λλ4．关于独立随机变量序列}{n X ，下列哪些命题是正确的． (1)若 ,2,1,||=+∞<k X E k ，则∏∏===nk k nk k EX X E 11；(2) 若 ,2,1,2=+∞<k EX k ，则∑∑===nk k n k n VarX X Var 11)(；(3) 设)(t f k 为k X 的特征函数，)(t f n S 为∑==nk k n X S 1的特征函数，则∏==nk k S t f t f n 1)()(．(4) 设)(t k φ为k X 的矩母函数，)(t n S φ为∑==nk k n X S 1的矩母函数，则∑==nk k S t t n1)()(φφ．解：（4）错，应为 ∏==nk k S t t 1)()(φφ．5．设ηξ,是相互独立，且都为均值0，方差1的随机变量，令t t X ηξ+=)(，求随机过程}0),({≥t t X 的均值函数和相关函数. 解：;0)()()]([)(=+==ηξμtE E t X E t X;1)()()()]([)(222t D t D t D t X D t x +=+=+==ηξηξσ.1)()()()()()]()([),(22ts E E s t tsE E s X t X E s t R x +=+++==ηξηξ6．X (t )=Y cos(t )+Z sin(t ), t >0，Y , Z 相互独立，且 EY =EZ =0，DY =DZ =σ2. 讨论随机过程{X (t ), t >0}的平稳性.解： 0sin cos )]([)(=+==tEZ tEY t X E t X μ；)]()([),(s X t X E s t R X =).cos(sin sin cos cos )()cos sin sin (cos sin sin cos cos 22222s t EZ s t EY s t YZ E s t s t EZ s t EY s t -=⋅+⋅=++⋅+⋅=σ因)(t X μ为常数，),(s t R X 仅与s t -=τ有关，故)}({t X 是宽平稳过程.7．在电报信号)(t X 的传输过程中，信号由不同的电流符号A A -,给出，而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流符号的转换是随机的. 设)(t X 在],0(t 时间内的变号次数)(t N 是参数为λ的泊松过程，且可以表示为)()1)(0()(t N X t X -=，又设)0(X 与}0),({≥t t N 独立，且5.0})0({})0({=-===A X P A X P ，求}0),({≥t t X 的均值函数.解：=)]([t X E 0.8．考虑电子管中的电子发射问题，设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的泊松分布. 每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 ,,21X X 已知}{k X 与N 独立，}{k X 之间互不相关并且具有相同的均值和方差2,σμ==k k DX EX . 单位时间内阳极接收到的能量为∑==Nk kXS 1. 求S 的均值.解：∑∑+∞=====1}{]|[n Nk kn N P n N XE ES∑∑+∞====01}{][n nk k n N P X E ∑+∞===01}{n n N P nEX∑+∞===01}{n n N nP EX λμ=⋅=1EX EN .9．随机过程}0),({≥t t W 称为参数为2σ的维纳过程, 如果 (1) 0)0(=W ；(2),0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ；(3) ,0v u t s <<<≤∀ 增量)()(s W t W -与)()(u W v W -相互独立．(1)求}0),({≥t t W 的均值函数)]([t W E 和相关函数)]()([s W t W E . (2)}0),({≥t t W 是否为宽平稳过程？证明：(1),0≥∀t ),0(~)(2t N t W σ, 故0)]([)(==t W E t W μ；又,0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ, 且增量)()(s W t W -与)(s W 相互独立，故)]()([)]())()([()]()([),(s W s W E s W s W t W E s W t W E s t R W +-==s s W D s W E s W t W E 2)]([)]([)]()([σ=+-=从而),min(),(2s t s t R W σ=.(2)由于),(s t R W 与出发时刻),min(s t 有关，因而}0),({≥t t W 不是宽平稳过程.10． 下面四个随机过程中哪些不是宽平稳过程(A) 随机相位正弦波过程：}0),cos()({≥Φ+=t t t X λ，其中),(~ππ-ΦU ，λ是常数. (B) 白噪声序列: },1,0,{ =n X n 是一列两两互不相关（即m n X EX m n ≠=,0）的随机变量序列，且满足2,0σ==n n DX EX . (C) 移动平均序列：},2,1,0,{11 ±±==∑=-+n a X ki in i n ε，其中},2,1,0,{ ±±=n n ε为白噪声序列，k a a a ,,,21 为任意实数.(D) 强度为λ的泊松过程}0),({≥t t N ，其中)(t N 表示到时刻t 为止事件A 发生的次数. 解: D .。
09-10下学期随机过程A卷及答案
初
始
分
布
为
P ( X 0) 0.3
.
,
P( X 1) 0.4
,
P ( X 2) 0.3
,
则
P ( X 0 0, X 1 1, X 2 2)
8.
设 { X n , n 0,1, 2,} 是 一 状 态 空 间 为 的 时 齐 Markov 链 , 以
fij 表 示 从 状 态 i 出 发 经 有 限 步 达 到 状 态 j 的 概 率 , 则 i j 的 充
(
)
5. 对于时齐离散时间 Markov 链 { X n , n 0,1, 2,} 来说, 若状态 i j , 且 i 为常返
状态, 则 j 也为常返状态.
( ( (
) ) )
6. 平稳过程必有功率谱密度函数. 7. Poisson 过程是时齐连续时间 Markov 链.
8. 设 Ti 是时齐连续时间 Markov 链 { X (t ), t 0} 从 X (0) i 起始在状态 i 逗留的时间,
是一强度为的poisson过程则发生第评卷人云南财经大学20092010学年第二学期随机过程课程期末考试试卷步转移概率矩阵p之间的关系是是一状态空间为01其转移概率矩阵为0102070901010801要条件是ij是一强度为的poisson过程下列随机变量互相独立的是的平均常返时有限时齐markov链状态间的可达性不具有则在时刻m之后返回常返状态i对于gauss过程来说其严平稳性与宽平稳性是为一brown运动则对任意正整数n及任意服从n元正态分布
云南财经大学 2009 至 《随机过程》
一 得分 院（系） ： 二 三
2010
学年
专升本《随机过程》_试卷_答案
专升本《随机过程》一、（共52题，共151分)1。
描述随机过程的数字特征包括自相关函数。
方差函数.均值函数以及(）（2分) A.协方差函数 B。
样本函数； C.特征函数标准答案：A2. 对于维纳过程以下说法正确的是（) （2分）A.是平稳过程 B。
是正交增量过程;C。
是马尔科夫过程。
标准答案:B3。
对于非齐次泊松过程，以下说法正确的是（） (2分）A.单位时间内事件发生的平均次数是随时间变化的函数；B。
单位时间内事件发生的时刻是随时间变化的函数;C。
单位时间内事件发生的平均时间间隔是随时间变化的函数;。
标准答案：A4. 高斯过程如果是宽平稳的,那么它必是(）（2分）A.独立增量过程; B。
遍历；C。
各态历经； D。
严平稳标准答案：D5. 随机过程是正交增量过程的充要条件是(） (2分）A.，都有；B。
，都有；C.，都有.D.，都有；标准答案：D6. 高斯过程通过线性系统后输出为，那么它必是（) （2分）A。
严平稳； B。
高斯过程； C。
各态历经 D。
以上均不对标准答案：B7。
假设是参数为的泊松过程,那么复合泊松过程的方差函数可以表示为() (2分) A。
B.；C.D.标准答案：A8. 若是相互独立的随机变量,那么的特征函数描述，正确的是（）（2分）A.；B。
；C。
;D.以上均不对。
标准答案：B9. 讨论某随机过程的各态历经性，前提条件是该随机过程必须() (2分)A.严平稳；B.宽平稳；C。
非平稳 D.正交增量过程。
标准答案:B10。
以下条件可以作为判断马尔科夫链遍历的充分条件() （2分）A.，存在整数，使得；B。
，存在整数,使得；C。
，存在整数，使得D。
以上均不对标准答案：B11。
随机过程一般可以理解为二元函数,变量分别为(）（3分）A。
随机变量；B.随机模型;C。
时间；D.某常数标准答案：A，C12。
以下哪些自相关函数能够作为平稳过程的自相关函数（) （3分)A。
；B.；C.;D.。
标准答案：B，D13。
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一．填空题（每空2分，共20分）
1．设随机变量X~U(a,b)，则X 的特征函数为
itb
ita
e
e
i(b-a)t
-。
2．设随机过程X(t)=Asint,-<t<∞∞ 其中A 是随机变量，具有概率分布列:
则X (t)的数学期望为2sint 。
3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量
n T (n =1,2,) 是独立同分布均值为_λ___的指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥
是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，
则n W 服从参数为n 与λ的
___Γ___分布。
5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a>0，且
12P ()=
3
ω，21P ()=
3
ω，则这个随机过程的状态空间I=[]a,a -。
6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步
转移概率(n)
ij p ，则j p (n )=
(n)i
ij
i I
p p
∈∑
7．设{}
n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，则{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == 00112n-1n i i i i i i i p p p p
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥
(n)
ij ij
n=1
f f
∞
=
∑，若ii f 1=，称状态i 为_常返____________。
9．遍历状态的定义为不可约非周期的正常返状态。
10．如果状态j 非常返或零常返，则(n)
ij n lim p →∞
=__0_____，i I ∀∈。
二．证明题（每题6分，共24分）
1.概率空间(,,P)ΩF ，事件序列{}n E ,n 1≥单调，证明：n n n n lim P(E )=P(lim E )→∞
→∞。
证明：不妨设{}n E ,n 1≥单调增加，则n n n n=1
lim E E ∞
→∞
=⋃，令11F =E ，n n n-1F =E E -（n 2≥）,
有
n n
n=1
n=1F E ∞∞
⋃=⋃，
且
n
F 互不相
容，
则
n
n P
(
l i
m E )=
→∞
n n n=1
n=1
P{E }P{F }∞
∞
⋃=⋃=
n
n
k
n n=1
k=1
P(F
)=lim
P(F
)
∞
→∞
∑∑n
n
k k n n n n k=1
k=1
lim P(F )=lim P(E )lim P(E )→∞
→∞
→∞
==
2.设A,B,C 为三个随机事件，证明：P(AC B )=P(A B )P(C AB )。
证明：左边=
P(A BC)P(A BC)P(A B)P(A B )P(C A B )P(B)
P(A B)
P(B)
=
==右边
3.设{}X (t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，对任意的[)t,s 0,,∈∞且s<t,证明：X R (s,t)s(t+1)λλ=。
证明：[][]X R (s,t)E X (s)X (t)E X (s)[X (t)-X (s)+X (s)]s(t+1)λλ===
4.设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，证明：(n)
()
(n-)
ij ik
kj
k I
p p
p l l ∈=
∑。
证明：{}(n)
ij k I
P P X (n)=j X (0)=i P X (n)=j,X (l)=k X (0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩
⎭
={}k I
P X (n)=j,X (l)=k X (0)=i ∈∑
={}{}k I
P X (l)=k X (0)=i P X (n)=j X (l)=k,X (0)=i ∈∑ =(l)(n-l)
ik kj P P ∑
三．计算题（每题10分，共50分）
1.设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，α为常数。
（1）画出其中二条样本函数的图形；（2）求当t=
4π
α
时，X(t)的概率密度函数。
解：（1）取V=11,23
；（2
）X ()=V 4π
α4X ()p 0 πα∴=⎪⎩
其它
2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求：（1）在5分钟内顾客数的平均数；（2）在5分钟内至少有一个顾客到来的概率。
解：设N (t)表示[)0,t 内顾客到达的数目，{}k
-10
(25)P N (5)=k e
k!
⨯=
，k=0,1,2,
故知（1）{}E N(5)10;=（2）{}{}-10
P N(5)1P N(5)=01e
≥==-
3.设质点只能停留在1、2、3、4个点上作随机游动。
移动的规则是：移动前若在2或3上，则均以
13
的概率向右或向左移动一个单位，或者停留原处；移动前若在1点上，则以概率1移到2点；
移动前若在4点上则以概率1移到3点上。
设n X 表示时刻n 质点所处的位置。
（1）写出其状态空间，说明此系统是一齐次马氏链；（2）求出一步转移概率矩阵；（3）求出二步转移概率矩阵。
解：（1）{}I=1,2,3,4；
（2）1113
33111
3
3
3
1
00
P=00
01
0⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦ （3）1
1
13
3351219999
(2)2512199991113
330P P 0
⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
4.设有状态空间{}I=0,1,2的马氏链，一步转移概率矩阵0.50.40.1P=0.3
0.40.30.2
0.3
0.5⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，试求它的极限分布。
解：由一步转移概率矩阵知，此马氏链是不可约的遍历链，它的平稳分布就是极限分布，设极限分布为012X =(x ,x ,x )，由X=XP ，得
00121
012201201
2x =0.5x +0.3x +0.2x x =0.4x +0.4x +0.3x
x =0.1x +0.3x +0.5x x +x + x 1
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪=⎩
解上述线性方程组，得012212318x =
,x =
,x 62
6262
=
5.设有状态空间{}I=0123,4,5,6，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵1
1
22112
21122
1122112
2
11111117
7
7
7
7
7
70
00000000000
0000000P=0000000
1
0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（１）画出状态转移图；（２）对状态进行分类，并将状态空间进行分解。
解：（1）（图略）；
（2）123I=D C C C ，其中D={6}为非常返状态集，{}{}{}123C =0,1,2,C =3,4,C 5=均为正常返闭集。
四.简答题（6分）随机过程与函数、随机变量有何不同？ 答：（略）。