第四章 非稳态导热分析计算
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传热学第四章非稳态导热1125
2 sin( n ) ( x, ) x a 2 cos( n ) exp( 2 n ) 0 n 1 n sin n cos n
Fo a 2
傅里叶准则
2 2 单位时间通过 面积厚为的导热量 2 Fo a 3 c 单位时间体积为 3的内能变化
(b) (c)
边界条件（3）代入(b) 得
将 右端整理成：
y h
tg ( )
h
h 1
Bi
注意，这里Bi数的尺度为 平板厚度的一半。 显然，β是两曲线交点 对应的所有值。式(c) 称为特征方程。 β称 为特征值。分别为β1、 β2…… βn。
至此，我们获得了无穷个特解：
( x, ) 2 sin 1 x cos( 1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
(0, ) m ( ) 2 sin 1 e 0 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
( x, ) 2 sin 1 x F cos( 1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
以上两式的通解为：
C1e
于是
a 2
X C2 cos( x) C3 sin( x)
( x, ) e
a 2
[ A cos( x) B sin( x)]
( x, ) e
a 2
[ A cos( x) B sin( x)]
（ a）
此处Bn为离散面(特征值)
2 n a
n n 若令 则上式可改写为：
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n
(20、21)第四章 4.3 非稳态导热
1主要内容本节介绍非稳态导热的分析解法，最后简要介绍导热问题的数值解法。
4.3 非稳态导热 4.3非稳态导热：温度场随时间变化的导热过程。
2非稳态导热非稳态导热的类型：（1）周期性非稳态导热：（2）非周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。
在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工件的加热或冷却等。
讨论一维非周期性非稳态导热的分析解法及求解特殊非稳态导热问题的集总参数法。
了解和掌握非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的计算方法。
本节主要内容：主要目的： 1.一维非稳态导热问题的分析解3第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。
（1）无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介假设：厚度为δ、热导率λ、热扩散率a 为常数，无内热源，初始温度与两侧的流体相同并为t 0。
两侧流体温度突然降低为t ∞，并保持不变，平壁表面与流体间对流换热表面传热系数h 为常数。
考虑温度场的对称性，选取坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。
这是一维的非稳态导热问题。
41)数学模型：（对称性）引进无量纲过余温度、无量纲坐标，Fo 是无量纲特征数，称为傅里叶数称为毕渥数令过余温度5傅里叶数的物理意义：Fo 为两个时间之比，是非稳态导热过程的无量纲时间。
毕渥数的物理意义：Bi 为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。
由无量纲数学模型可知，Θ是Fo 、Bi 、X 三个无量纲参数的函数确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。
2）求解结果：6解的函数形式为无穷级数，式中β1,β2,···，βn 是下面超越方程的根根有无穷多个，是Bi 的函数。
无论Bi 取任何值，β1,β2,···，βn 都是正的递增数列，Θ的解是一个快速收敛的无穷级数。
2y 由解的函数形式可以看出，Θ确实是Fo 、Bi 、X 三个无量纲特征数的函数7（2）分析解的讨论1）傅里叶数Fo 对温度分布的影响分析解的计算结果表明，当Fo ≥0.2时，可近似取级数的第一项，对工程计算已足够精确，即因为，所以将上式左、右两边取对数，可得，m 为一与时间、地点无关的常数，只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。
课件：非稳态导热问题的数值解法
允许的最大迭代次数
第四章 导热问题的数值解法
24
开始
输入M，N，EPS，K，TTB，TLB，TRB，TBB
ti 1 TBB ti,M 1 TTB ti,j TLB tN 1,j TRB
迭代次数IT＝0
TTi,j Tij
Ti ,j
1 4
(Ti
1,j
Ti 1,j
Ti,j 1 Ti,j 1 )
也可以写出其隐式差分格式即
1
t k 1 1 2
t2k 1 x 3
h4(tfk 1
t1k 1)
ec
x
2
tk 1 1
t1k
xt
x
h(t tf)
X
O
x
第四章 导热问题的数值解法
18
整理上式，得
t2k 1
t1k 1
hx
(
t
k f
1
t1k 1
)
ecx2 2
( t1k 1
t1k
)
令 Bi
h x
i-1
(m,i-1)
0 x
m-1, m, m+1 Mx
时间步长：从一个时层到下一个时层的间隔 称为时间步长
i 表示形式
第四章 导热问题的数值解法
3
一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题离散方程 的建立过程——热平衡法建立内部节点的离散方程
考察(m,i)点，则扩散项可直接写出：
z
tm(i)1 tm(i) x
tk 1
tk 2
x
h(tfk
tk 1
)
c
x
2
t k 1 1
tk 1
边界的热容项
第四章 导热问题的数值解法
第四章 非稳态导热的分析计算
由式(4-1)可得
dt d ' d ( )(e cV
'
A cV
)
所以导热体在单位时间内传递给流体的热量为
dt Q cV 'Ae d
A cV
W
(4-2)
因导热体被冷却，故dt／dτ＜0，加负号以使Q 为正值。
利用上式，可得导热体在τ＝0到τ＝τ时 间内传入流体的总热量：
Q Qd cV (1 e
' 0
A cV
)J
(4-3)
二、计算判断
毕渥数的定义：
L Bi 1
L
毕渥数的物理意义：固体的导热热阻与对 流换热热阻之间的对比关系。
V A 0.1 M Biv
* 负号是由于dt为负值 令过余温度θ＝t－tf ，则dt＝dθ，代入上式得：
d
A d cV
当V、A、α、ρ、c等为已知定值时，对上式积 分得： d A d ' 0 d A cV d cV A ln cV '
第四章 非稳态导热的分析计算
§4-1 概述
1.定义：温度场随时间变化
2.分类：* 周期性非稳态导热
* 非周期性非稳态导热(瞬态导热)
3.目的：* 在加热或冷却时，确定物体内部某一 位置达到预定温度所需要的时间，以及在该时间 内物体吸收或放出的热量；
* 对物体加热或冷却一定时间后，确定 物体内部的温度分布和温度场随时间的变化率
'
t tf 上式是采用集总参数法求解非稳态导热问题的 基本公式，可用于已知温度求时间，或反之。
第4章 非稳态导热
2
材料
铸铁 砂型 金属型 46.5 0.314 61.64 753.6 963.0 544.3 7000 1350 7100
例题4-1 一大型平壁状铸铁件在砂型中凝固冷却。设砂 型内侧表面温度维持1200℃不变，砂型初始温度为 20℃，热扩散率������ = 2.41 × 10−7 m2 s，试求浇注后 1.5h砂型中离内侧表面50mm处的温度
4.3 伴有相变边界的一维非稳态导热
ⅆ������ ′ ������������ = −������������ ⅆ������ ������ ⟵ ������ + ������ ������������ − ������������
′ ������������
������ 砂 型 ������0 ⅆ������ ⅆ������
������
∞
1.温度场求解 常物性一维非稳态无内热源导热微分方程： ������������ ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ = + 2+ 2 + 2 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
������������ =0 边界条件： ������ = 0, ������������ ������������ ������ = ������, −������ = ℎ������ ������������
采用分离变量法求解：
������������ ������������
2 n
2sin n ( x, ) e 0 sin cos n 1 n n n
传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析
10
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热
❖ 对几何形状简单、边界条件不太复杂的情形，仍然可 以通过数学分析的方法获得分析解
❖ 这里以（无限大）平壁被流体对称加热的非稳态导热 过程为例，说明非稳态导热的基本特征、分析方法和 过程
❖ 定性地、定量两个方面
11
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
问题描述： ❖ 厚为2δ、无内热源的常物性平壁 ❖ 初始时刻温度分布均匀，为t0 ❖ 某时刻突然投入到温度为t∞的高
conduction）：物体内任意位置的温度随时间持续升高 （加热过程）或连续下降（冷却过程） 边界条件或内热源不变时，过程将最终逐渐趋于某个 新的稳定温度场
6
4.1 概述
研究目的：
❖ ——确定非稳态过程中的温度场：在此基础上确定物体中
某个部位到达某个预定温度所需经历的时间，或者在预定时间 内可以达到的温度，或者物体的温度对时间的变化速率。
8
4.1 概述
研究方法与过程：与稳态导热的完全相同 （1）简化假设给出物理模型 （2）给出数学模型（方程＋定解条件） （3）采用适当的数学方法求解 （4）分析讨论
9
4.1 概述
❖ 非稳态导热的控制方程：
τ
ρct
x
λ
t x
y
λ
t y
z
λ
t z
Φ
❖ t=f（x,y,z,t）
❖ 控制方程：偏微分方程，数学求解难度很大
❖ 随着时间的延续，壁面加热的波及区域将继续向平壁中
心推进
16
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
17
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
❖ 当温度扰动刚刚传到平壁对称 面的那个时刻，称为穿透时间， 记作τc
第四章 非稳态导热(5)14
④ 某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。
5
2）求解方法：主要有分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法等。 本章仅介绍分析解法，而且只针对第三类B、C下一维非稳态导热的求解。
二、一维非稳态导热的分析解及诺谟图
工程上常见的非稳态导热问题分以下三种：
一维非稳态导热问题：
无限大平壁 无限长圆柱体
一、概 述
1.1 定义：非稳态导热是指发生在非稳态温度场内的导热过程。
其数学表达式为：t f (x, y, z, )
按照其过程进行的特点，可分为以下二种：
（1）周期性非稳态导热：导热物体内的温度随时间周期性地 变化。
（2）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体内的温度随时 间不断的 升高或降低。
2
1.2 非稳态导热过程的特点
大平壁非稳态导热分析
由左侧表面导入的热量到达右侧表面之前的一段时间。
② 正常情况阶段。
当左侧表面导入的热量到达右侧表面之后，使右侧壁温不断升高，直到它达
到新的平衡状态的这段时间。
4
B）大平壁两侧被加热过程
一初始温度均匀为t0的无限大平壁，突 然投入到温度为tf的热流体中对称加热。平 壁内发生了非稳态导热过程。平壁中的温
1.3 求解的目的和方法
1） 求解非稳态导热问题主要目的有四个：
① 物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间，或经某 一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值；
② 物体在非稳态导热过程中温度分布，为求材料热应力和热变形提供必要资料； ③ 物体在非稳态导热过程中的温升速率；
二维非稳态导热问题：短圆柱体、长的方柱体
三维非稳态导热问题：短方柱体、长方体
第四章 非稳态导热
−l
l
l
∫l sin kπ x s= in nπ x 0 (k ≠ n)
−l
l
l
利用三角函数族是正交的，可求得f(x)展开为傅里叶级 数表达式中的展开系数为：
任意时刻平壁温度分布在壁面处的变
化率为：
- ∂t
= t x=δ − t∞
∂x x=δ
λh
- ∂t
= t x=δ − t∞
∂x x=δ
λh
∴ x' =λ =δ
h Bi
点O’距离壁面的距离为λ/h或δ/Bi
任何时刻，壁表面温度分布的切线都通过坐标
为(δ +λ/h，t∞)或(δ +δ/Bi，t∞)的O’点——第三类边
物体处于恒温介质中非稳态导热过程与物 体外表面的对流换热热阻和内部导热热阻有关。 表征这两个热阻比值的无量纲数称为毕渥数 （Biot number）。
δ
= Bi
物体内部导热热阻 =
物体表面对题 1分
初始温度为t0的平壁(厚度为2δ)浸没在温度为t∞的流体 中进行冷却，当Bi→0时，平壁中的温度分布为：
得： X ( x) ⋅ Γ' (τ ) = aΓ (τ ) ⋅ X '' ( x)
令：
1 Γ' = X '' = ±β 2
aΓ X
其中，β为待定常数，称为特征值。 偏微分方程转化为两个常微分方程为：
dΓ
dτ
β
2aΓ
=0
d2X dx2
β2X
=
0
（3） （4）
( ) 方程（3）的解为：Γ (τ=) C exp ±aβ 2τ
界条件的定向点。
4.2 有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法
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一温度均匀的物体，两侧被具有 恒定温度tf的高温介质所包围
§4-2 集总参数分析法
当所需求解的温度仅为时间 τ的函数而与坐标无关， 即 t＝f(τ) 条件： 导热热阻<<对流换热热阻 集 总 参 数 分 析 法 (Lumped Parameter Analysis)：壁内各 处温度相差不大，温度梯度 极小，可以把整个导热系数 看作一个处于平均温度下的 物体。
* 负号是由于dt为负值 令过余温度θ＝t－tf ，则dt＝dθ，代入上式得：
d
A d cV
当V、A、α、ρ、c等为已知定值时，对上式积 分得： d A d ' 0 d A cV d cV A ln cV '
第四章 非稳态导热的分析计算
§4-1 概述
1.定义：温度场随时间变化
2.分类：* 周期性非稳态导热
* 非周期性非稳态导热(瞬态导热)
3.目的：* 在加热或冷却时，确定物体内部某一 位置达到预定温度所需要的时间，以及在该时间 内物体吸收或放出的热量；
* 对物体加热或冷却一定时间后，确定 物体内部的温度分布和温度场随时间的变化率
与流体接触 的面积
大平壁: M=1 长圆柱(正方形长柱体）: M= １／２ 球（正立方体）: M=１／３
作业：4-1；4-2；4-3
ρcV／（αA)称为时间常数τc 如果导热体的热容量(ρcV)小，换热条件好(αA ) 大，则单位时间所传递的热量大，导热体的温 度变化快，将使导热体的温度迅速接近流体温 度。
当τ＝4τc= 4ρcV／（αA)时，则：
'
e
A cV
e
4
0.0183 1.83%
工程上习惯认为，τ＝4τc时导热体已达到热平 衡状态。 时间常数关系到测温仪表的响应时间。
由式(4-1)可得
dt d ' d (e d d d
A Biblioteka VA ) ( )(e cV
'
A cV
)
所以导热体在单位时间内传递给流体的热量为
dt Q cV 'Ae d
A cV
W
(4-2)
因导热体被冷却，故dt／dτ＜0，加负号以使Q 为正值。
一、基本计算公式
初始温度为t' 被周围温度为tf的流体冷却 换热系数α为定值 导热体的平均温度t
经dτ时间后，由于散热，温度下降dt。 由能量平衡，散热量＝△导热体本身能量，即：
dt A(t t f ) cV (散热) d
dt A(t f t ) cV (吸热) d
利用上式，可得导热体在τ＝0到τ＝τ时 间内传入流体的总热量：
Q Qd cV (1 e
' 0
A cV
)J
(4-3)
二、计算判断
毕渥数的定义：
L Bi 1
L
毕渥数的物理意义：固体的导热热阻与对 流换热热阻之间的对比关系。
V A 0.1 M Biv
'
t tf 上式是采用集总参数法求解非稳态导热问题的 基本公式，可用于已知温度求时间，或反之。
ttf
'
e
A cV
(4-1)
当时间τ＝ρcV／(αA)
t tf ' e ' t tf
A cV
e 0.368 36.8%
1
即导热在此时的过余温度θ已下降到初始过余 温度θ′的36.8%