2017华二高一下数学期末试卷(含答案)
0217-华二附中高一月考(2017.5)
问是否存在正整数 m, r
使
lim
n
c1
c2
cn
S
且
4 61
S
1 13
成立？若存在，求正
整数 m, r 的值；不存在，说明理由．
18. 现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3 第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4 第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 ……
（1）用 tk 表示数表第 k 行的数的个数，求数列tk 的前 k 项和Tk ；
（2）第 8 行中的数是否超过 73 个？若是，用 an0 表示第 8 行中的第 73 个数，试求 n0 和 an0 的值；若不是，请说明理由； （3）令 Sn a1 a2 a3 an ，求 S2017 的值．
10 题解析：由已知 QnRn 越来越小，而 OQn 2 ORn 2 0 ，当 n 无限增大时，Qn 与
Rn
无限接近，即 lim n
OQn
lim
n
ORn
2
，所以
lim
n
OPn
2
，从而 lim n
Q0 Pn
3．
二. 选择题 11. B
12. B
13. D
要条件是（ ）
A. 存在整数 m 1使 a1 md
B. an 0
C. a1 为整数， d 1
D. a1 a2 1， an2 an1 an
三. 简答题
15.
计算 lim an3 bn1 n an2 bn
2016-2017年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第象限．2．（3分）=．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=．5．（3分）在△ABC中，，，则=．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第二象限．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2．（3分）=﹣．【解答】解：=cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=±4．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=8．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．（3分）在△ABC中，，，则=．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得：=，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或sinx=，∴x∈，故答案为：．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．﹣b n=1．∴b n+1∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x ﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，]，[+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，﹣]，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时，=arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x +≥2或4﹣x +≤﹣2，∴0＜tana ≤或≤tana＜0，综上，≤tana ≤，∴a ∈．（3）由（2）知=tana在[5，15]上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在[5，15]有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得＜tana ＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜1，方程在[5，15]上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana ＜﹣，又，解得tana ≤﹣，综上，＜tana ≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．第11页（共11页）。
上海市2017年华二附中高一下学期数学期末试卷及答案
华二附中高一期末数学试卷2017.6一. 填空题1. 方程组2132x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是2. 已知数列{}n a 是以15-为首项，2为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则数列{}n S 的最小项为第 项3.函数1arcsin (2y x x =≤≤的值域为 4. 数列{}n a 通项公式1()(1)n a n n n *=∈+N ，{}n a 前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=5. 在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 所对应的边，1tan 3A =，1tan 2B =，如果1a =，则b =6. 无穷等比数列{}n a 的首项是某个正整数，公比为单位分数（即形如：1m的分数，m 为 正整数），若该数列的各项和为3，则12a a +=7. 不等式21200210321x x +≥-的解集为 8. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是9. 数列{}n a 满足：1a a =（a ∈R 且为常数），13(3)()4(3)n n n n n a a a n a a *+->⎧=∈⎨-≤⎩N ，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为 10. 如果12()n S n n *=+++∈N ，3223(2,)111nn n S S S T n n S S S *=⨯⨯⨯≥∈---N ， 则2017T 的值为 （用分数形式表示）二. 选择题11. 方程tan 2x =的解集为（ ）A. {|2arctan 2,}x x k k π=+∈ZB. {|2arctan 2,}x x k k π=±∈ZC. {|arctan 2,}x x k k π=+∈ZD. {|(1)arctan 2,}kx x k k π=+-∈Z12. 以n S 、n T 分别表示等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，若73n n S n T n =+，则55a b =（ ） A. 7 B.214 C. 378 D. 2313. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（ ） A. 若30a >，则20160a > B. 若40a >，则20170a > C. 若30a >，则20170S > D. 若40a >，则 20160S >14. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S =→∞，下列条件中，使得2()n S S n *<∈N 恒成立的是（ ）A. 10a >，0.60.7q <<B. 10a <，0.70.6q -<<-C. 10a >，0.70.8q <<D. 10a <，0.80.7q -<<-三. 简答题 15. 关于x 的不等式201x m x+<的解集为(1,2)-.（1）求实数m 的值；（2）若cos 2sin 0m αα+=，求tan(2)4πα-的值.16.已知函数2()cos ())cos()(0)f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π. （1）求ω的值和函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 的单调递增区间及其图像的对称轴方程.17. 设数列{}n a ，{}n b 满足：1254,2a a ==，12n n n a b a ++=，12n n n n n a b b a b +=+，n *∈N .（1）写出数列{}n b 的前三项；（2）证明：数列{}n n a b ⋅为常数列，并用n a 表示1n a +； （3）证明：数列2{ln }2n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式.18. 定义：对于任意n *∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列.（1）若28()n a n n n *=-+∈N ，证明：数列{}n a 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为350()2n n b n =-，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围； （3）设数列|1|(,12)n pc n p n*=-∈<<N ，若数列{}n c 是T 数列，求p 的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 211132-⎛⎫⎪⎝⎭2. 83.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 15.6.837. (,0]-∞ 8. (2,)+∞ 9. 1849 10. (1)(1)12(1)1(2)(1)2112n n n n S n n n n n n S n n n n +++===⋅+-+-+-- 201724T =35⨯4⨯62015⨯⨯20172016⨯20172018⨯32019⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭41⨯52⨯32016⨯⨯201420172015⨯20182016⨯23201720182017=2018201912673⎛⎫⎪⎝⎭⨯⨯=⨯⨯⨯二. 选择题11. C 12. B 13. C 14. B三. 解答题15. （1）1m =-；（2）17. 16. （1）1ω=，113()sin 2,6222f x x π⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）单调递增区间为,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称轴方程为()26k x k ππ=+∈Z . 17. （1）11b =，285b =，38041b =； （2）证明：11111222n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a bb a b a b a b a a +++++===⇒=+，∴{}n n a b ⋅为常数列4，即4n n a b ⋅=，∴2144222n n nnn n na ab a a a a ++++===； （3）222212221422244(2)24244(2)222n n n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a a a ++++⎛⎫+++++==== ⎪+-+---⎝⎭-21111222ln ln 2ln222n n n n n n a a a a a a ++++⎛⎫+++⇒== ⎪---⎝⎭， ∴2ln2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以ln 3为首项，2为公比的等比数列， ∴111212222232ln =2ln 3=32231n n n n n n n n n a a a a a ----++⋅+⇒⇒=---. 18.（1）略；（2）1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；（3）615p <≤.。
上海市华二附中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
华二附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 函数arcsin y x =（1[]2x ∈-）的值域是 2. 数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为n a =3. ()cos f x x x =+的值域是4. “1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的 条件 （填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则30S =6. △ABC 三条边的长度是a 、b 、c ，面积是2224a b c +-，则C = 7. 已知数列{}n a ，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 8. 等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，1720n n m a a a +++⋅⋅⋅+=（,n m *∈N ，n m <）， 则n m +=9. 在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+=++ 10. 已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n=++，1,2,3n =⋅⋅⋅，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=二. 选择题11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A. B. C. D.12. 已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为413. 将函数sin(2)5y x π=+向右平移10π个单位长度，那么新函数（ ） A. 在53[,]42ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4ππ上单调递减 C. 在35[,]44ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 14. 已知函数215cos()36k y x ππ+=-（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[,3]a a + 上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A. 2或3 B. 4或3 C. 5或6 D. 8或7三. 解答题15. 在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-. （1）求A ；（2）求AC 边上的高.16. 已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++⋅⋅⋅++（n *∈N ，,0a b >）.（1）当a b =时，求数列{}n u 的前n 项和n S （用a 和n 表示）；（2）求1lim n n n u u →∞-.17. 已知方程arctanarctan(2)2x x a +-=. （1）若4a π=，求arccos 2x 的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：3cos(3)4cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得cos()(cos )n nx f x =对所有实数 x 均成立，其中1111()2n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时， 0n a =，当n 为偶数时，2(1)n n a =-；（3）利用（2）的结论判断cos7m π（16m ≤≤，m *∈N ）是否为有理数？参考答案一. 填空题 1. [,]36ππ-- 2. 3122n n n =⎧⎨≥⎩ 3. [2,2]- 4. 必要非充分 5. 60 6. 4π 7. 1 8. 9 9. 2201710. lg3二. 选择题11. D 12. B 13. C 14. A三. 解答题15.（1）3A π=；（2）2.16.（1）12(1)12(1)01(1)1n n n n n a S a a naa a a a++⎧=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且；（2）1lim n n n aa b u ba b u →∞-≥⎧=⎨<⎩. 17.（1）0或23π；（2）33[arctan ]22+；（3）19.18.（1）证明略；（2）证明略；（3）不是有理数.。
吉林省长春2016-2017学年高一下期末数学试题(文)含答案
B
．1
C
．2
D
．3
7. 已知直线 l1 、 l2 , 平面 , l1 // l 2,l1 // ，那么 l 2 与平面 的关系是（
）.
A. l1 //
B.
l2
C. l2 // 或l2
D.
l2 与 相交
8．原点和点 (1,1) 在直线 x y a 两侧，则 a 的取值范围是 ( )
A． a 0或a 2 B ． 0 a 2 C ． a 0或 a 2 D ． 0 a 2
题目要求的。
1. 已知 | a | | b | 2 , 向量 a 与 b 的夹角为 60 ，则 a b 等于（
）
1
A．
B
．3
C
．2
D
．4
2
2
2. 有一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体应是一个
()
A. 棱台 B. 棱锥 C. 棱柱 D. 都不对
3. 如图， ABCD－ A1B1C1D1 为正方体，下面结论错AC1⊥BD
,
x≤３
（1）求此不等式组表示的平面区域的面积；
（2）求 z1 2 x 3 y 的最大值；
y3
（3）求 z2
的取值范围 .
x1
22.( 本小题满分 12 分 ) 已知直线 l 过定点 （1.4 ）, 求当直线 l 在第一象限与坐标轴围成的三
角形面积最小时 , 此直线的方程 .
长春外国语学校 2016-2017 学年第二学期期末考试高一年级 数学试卷（文科）参考答案
长春 2016-2017 学年第二学期期末考试高一年级
数学试卷（文科）
出题人：马双
审题人：王先师
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二(下)期末数学试卷(a卷)(解析版)
2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期末数学试卷（A卷）一、填空题1．（3分）直径为2的球的表面积与此球的体积之比是．2．（3分）直线P A与平面ABC所成角为，则直线P A与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范国是3．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是4．（3分）若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则a，n 的可能值是（a，n）＝5．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间単位向量满足：＝0，则＝6．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是．7．（3分）掷三个般子，出现的三个点数的乘积为偶数的概率是．8．（3分）高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排，身高由矮到高，再由高到矮（最高的女生站在正中间）．这七位女生的排队姿态有种．9．（3分）在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．10．（3分）从集合{1！，2！，3！，…24！}中，删掉一个元素后，集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数．二.选择题11．（3分）给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要12．（3分）下列说法中，正确的是（）A．数据3，3，4，5，4，6的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半13．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）＝（0≤k≤n）（2）＝（0≤k≤n）（3）＝（1≤k≤n）（4）＝+（1≤k≤n）其中正确公式的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个14．（3分）圆锥SO的底面圆O的半径为1，高为h．已知圆锥SO的内接圆柱O1O（圆柱O1O的下底面圆的圆心是O，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π，则该圆锥的内接圆柱O1O且其体积为的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个三、简答题15．解不等式（1）解关于实数x的不等式：（a2﹣1）x＞a3﹣1，其中a是实参数；（2）解关于正整数k≤2n的不等式：＞，其中n是给定的正整数．16．SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0．（1）证明：棱锥的底面四边形ABCD是矩形；（2）求此棱锥的全面积S和棱锥的体积V．17．非空有限集合S是由若干个正实数组成，集合S的元素个数|S|≥2．对于任意a，b∈Sa≠b，数a b或b a中至少有一个属于S，称集合S是“好集”：否则，称集合S是“坏集”．（1）判断A＝{1，3，9}和B＝{1，，，}是“好集”，还是“坏集”；（2）题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”．18．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1＝p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2＝p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）直径为2的球的表面积与此球的体积之比是．【解答】解：∵直径为2，∴半径为1，∴＝3，故答案为：3：1．2．（3分）直线P A与平面ABC所成角为，则直线P A与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范国是[]【解答】解：∵一条直线P A与平面ABC成角为，∴根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，得到这条直线与平面内的直线所成角中最大值为，这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是[]．故答案为：[]．3．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是4【解答】解：二项式（x3+）n的展开式的通项为＝．令3n﹣5r＝7，可得n＝，当r＝1时，n有最小值为4．故答案为：4．4．（3分）若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则a，n 的可能值是（a，n）＝（2，5）或（﹣2，5）【解答】解：若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则（1+|a|）n＝243，∴a＝±2，n＝5，故a，n的可能值是（a，n）＝（2，5），或（﹣2，5），故答案为：（2，5）或（﹣2，5）．5．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间単位向量满足：＝0，则＝±【解答】解：设＝＝（x，y，z），∵＝0，则＝•＝0，∴x+y+z＝0，x+y＝0，令x＝1，则y＝﹣，z＝0．∴＝（1，，0）．∴＝±＝±．故答案为：．±．6．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是a＜b＜c．【解答】解：计算这组数据的平均数为a＝×（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）＝14.7，求出中位数为b＝15，众数为c＝17，则有a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．7．（3分）掷三个般子，出现的三个点数的乘积为偶数的概率是．【解答】解：掷三个般子，基本事件总数n＝63＝216，出现的三个点数的乘积为偶数，包含的基本事件个数＝m＝63﹣33＝189，∴出现的三个点数的乘积为偶数的概率是p＝＝＝．故答案为：．8．（3分）高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排，身高由矮到高，再由高到矮（最高的女生站在正中间）．这七位女生的排队姿态有20种．【解答】解：根据题意，最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有C63＝20种排法，第二步：将另外三人按从高到低的顺序排列，有1种情况，则不同的排法有20×1＝20种，故答案为：209．（3分）在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．【解答】解：由于4条体对角线都经过正方体的中心，所选的两条对角线必定包含一条画对角线①两条对角线都是面对角线：任取1条面对角线，剩余的11条面对角线中，有5条与之异面，考虑重复选取，∴＝30（种）；②一条面对角线一条体对角线：任取1条面对角线，有2条体对角线与之异面，∴12x2＝24 （种）∴这两条对角线所在的直线为异面直线的概率p＝＝．故答案为：．10．（3分）从集合{1！，2！，3！，…24！}中，删掉一个元素12！后，集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数．【解答】解：1！×2！×3！…×23!×24!＝（1×1×2）（3×3×4）×…×（23×23×24）＝（1×2×...×23）2×（2×4×6 (24)＝（1×2×…×23）2×212×12＝（1×2×…×23×26）2×12，所以删除元素为12！．故答案为：12！．二.选择题11．（3分）给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”，则A＝B，反之A＝B，则A∩B⊇A∪B成立，即“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的充要条件，故选：C．12．（3分）下列说法中，正确的是（）A．数据3，3，4，5，4，6的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半【解答】解：在A中，数据3，3，4，5，4，6的众数是3和4，故A错误；在B中，一组数据的标准差是这组数据的方差的开方，故B错误；在C中，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故C错误；在D中，数据1，2，3，4的平均数为：＝，方差为：[（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2+（4﹣）2]＝，标准差为，是数据2，4，6，8的平均数为：＝5，方差为：[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]＝5，标准差为：，∴数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半，故D正确．故选：D．13．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）＝（0≤k≤n）（2）＝（0≤k≤n）（3）＝（1≤k≤n）（4）＝+（1≤k≤n）其中正确公式的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【解答】解：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）由排列与组合数的计算公式可知：＝（0≤k≤n），正确．（2）由组合数的性质可得：＝（0≤k≤n），正确．（3）左边＝＝＝（1≤k≤n）正确．（4）由组合数的性质可得：＝+（1≤k≤n），正确．因此正确公式的个数是4．故选：A．14．（3分）圆锥SO的底面圆O的半径为1，高为h．已知圆锥SO的内接圆柱O1O（圆柱O1O的下底面圆的圆心是O，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π，则该圆锥的内接圆柱O1O且其体积为的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：设SO1＝h1，内接圆柱O1O的半径为r，（0＜r＜1），由题意得h1＝rh，OO1＝h﹣rh，∴＝πr2（h﹣rh）＝πhr2（1﹣r），∵≤•[]3＝，∴＝πhr2（1﹣r）≤，解得h＝1．＝πr2（1﹣r）＝，∴8r3﹣8r2﹣1＝0，∵0＜r＜1，∴方程有两个解符合题意．故选：B．三、简答题15．解不等式（1）解关于实数x的不等式：（a2﹣1）x＞a3﹣1，其中a是实参数；（2）解关于正整数k≤2n的不等式：＞，其中n是给定的正整数．【解答】解：（1）①当a＝1时，不等式不成立当a＝﹣1时，解当﹣1＜a＜1时集为空集；②当a＝﹣1时，不等式恒成立，解集为R；③当﹣1＜a＜1时，x＜，不等式解集为（﹣∞，）；④当a＜﹣1或a＞1时，x＞，不等式的解集为（，+∞）（2）根据组合数公式得：＞，化简得：1≤k＜n+≤n，故不等式的解集为{k|1≤k≤n，n∈N*，k∈N*}16．SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0．（1）证明：棱锥的底面四边形ABCD是矩形；（2）求此棱锥的全面积S和棱锥的体积V．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结SO，∵SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0，四边形是平面四边形，∴四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，且O是BD的中点，∴SO⊥AC，SO⊥BD，∴SO⊥平面ABCD，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴AC＝BD，∴棱锥的底面四边形ABCD是矩形．解：（2）此棱锥的全面积：S＝2S △SAB+2S△SBC+S＝+2×+2a×a＝a2，此棱锥的体积V＝＝×2a2＝a3．17．非空有限集合S是由若干个正实数组成，集合S的元素个数|S|≥2．对于任意a，b∈Sa ≠b，数a b或b a中至少有一个属于S，称集合S是“好集”：否则，称集合S是“坏集”．（1）判断A＝{1，3，9}和B＝{1，，，}是“好集”，还是“坏集”；（2）题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”．【解答】解：（1）∵A＝{1，3，9}，39∉A，且93∉A，∴A是“坏集”，∵B＝{1，，，}，∈B，（）∈B，∴B是“好集”．证明：（2）∵a是S中小于1的元素中的最小元素，b是S中大于1的元素中的最小元素，则由指数函数的单调性得：a b＜a1＝a，1＜b a＜b1＝b，∴a b∉S，且b a∉S，∴集合S是“坏集”．18．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1＝p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2＝p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？【解答】解：（1）由题意得：，．（2）①p1＞p3且p1＞p4，∴0＜p ＜；②p3＞p1且p3＞p4，；③p4＞p1且p4＞p3，无解．综上，0＜p ＜时，恰做一道及格概率最大；p ＝时，p1＝p3；时，恰做三道及格概率最大．第11页（共11页）。
2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)学期期末数学试卷(a卷) (解析版)
2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高一第二学期期末数学试卷（A 卷）一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知集合A ＝{﹣1，3，2m ﹣1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝ ． 2．“sin α=√32”是“α=2π3”的 条件．3．设指数函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ． 4．设函数f （x ）=1x 2+2x ，g （x ）=√x +2+1x 2，则f （x ）﹣g （x ）＝ ． 5．函数y ＝4x +9x−5（x ＞5）的最小值是 ．6．若2cos （π﹣x ）＝sin （3π+x ），则sin(2π−x)−5cos(5π+x)sin(π+x)+7cos(−x−3π)= ．7．已知下列三组函数：①y ＝ln （x 2）与y ＝2lnx ；②y =x 2|x|与y ={t ，t ＞0−t ，t ＜0；③f （x ）＝x ，D ＝{0，1}与g （x ）＝x 2，D ＝{0，1}表示同一函数的是 （写出所有符合要求的函数组的序号）8．函数f （x ）＝x −√2x −5的值域为 ．9．已知函数y ＝f （x ），x ∈R ，对函数y ＝g （x ），x ∈I ，定义g （x ）关于f （x ）的“对称函数”为函数y ＝h （x ），x ∈I ，y ＝h （x ）满足：对任意x ∈I ，两个点（x ，h （x ）），（x ，g （x ）关于点（x ，f （x ））对称，若y ＝h （x ）是g （x ）=√9−x 2关于f （x ）＝2x +b 的“对称函数”，且h （x ）＞g （x ）恒成立，则实数b 的取值范围10．已知函数f(x)=|x +1x|−|x −1x|，关于x 的方程f 2（x ）+a |f （x ）|+b ＝0（a ，b ∈R ）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 二、选择题11．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪（∁R B ）＝R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤1B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞212．如果α是第二象限的角，那么α3必然不是下列哪个象限的角（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．若log m 2＜log n 2＜0，则实数m 、n 的关系是（ ）A ．1＜n ＜mB ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜nD ．0＜m ＜n ＜114．下列四个图象，只有一个符合y ＝|k 1x +b 1|+|k 2x +b 2|﹣|k 3x +b 3|（k 1，k 2k 3∈R +，b 1b 2b 3≠0）的图象，则根据你所判断的图象，k 1、k 2、k 3之间一定满足的关系是（ ）A ．k 1+k 2＝k 3B ．k 1＝k 2＝k 3C ．k 1+k 2＞k 3D ．k 1+k 2＜k 3三、解答题15．判断并证明函数f （x ）=1x 2−1在区间（﹣1，0）上的单调性． 16．解关于x 的不等式：x 2﹣（a +a 2）x +a 3＞0．17．如图是国际田联的标准400米跑道，它的最内侧跑道的边线是由两根84.39米的平行直线和两段半径36.80米的半园组成，每根跑道宽1.22米（道与道间的划线宽度忽略不计）．比赛时运动员从下方标有数字处出发，为了比赛公平．外道的运动员的起跑点较内道的会有一定的提前量，使得所有运动员跑过的路程完全一致．假设每位运动员都会沿着自己道次的最内侧跑．（1）试给出400米比赛各道次提前量y 关于道次n 之间的函数关系，并完成下表（精确到0.01米）（2）800米比赛的规则是从出发处按道次跑完第一个弯道后可以开始并道赛跑，请你设计第8道选手的最优跑步路线并给出他起跑的提前量应该是多少． 道次 2 3 4 5 6 7 8 提前量（米）7.6715.3323.0030.6638.3346.0053.6618．已知函数f （x ）的定义域是{x|x ∈R ，x ≠k 2，k ∈Z }且f （x ）+f （2﹣x ）＝0，f （x +1）=−1f(x)，当0＜x ＜12时，f （x ）＝2019x ．（1）求证：f （x ）是奇函数；（2）求f （x ）在区间 （12，1）上的解析式；（3）是否存在正整数k ，使得当x ∈（2k +12，2k +1）时，不等式log 2019f(x)＞x 2−kx −2k有解？证明你的结论．2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高一第二学期期末数学试卷（A 卷）参考答案一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知集合A ＝{﹣1，3，2m ﹣1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝ 1 ． 【分析】根据题意，若B ⊆A ，必有m 2＝2m ﹣1，而m 2＝﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证． 解：由B ⊆A ，m 2≠﹣1， ∴m 2＝2m ﹣1．解得m ＝1． 验证可得符合集合元素的互异性，此时B ＝{3，1}，A ＝{﹣1，3，1}，B ⊆A 满足题意． 故答案为：12．“sin α=√32”是“α=2π3”的 必要非充分 条件．【分析】根据充分必要条件的定义，从而得到结论．解：“sin α=√32”则α=2π3+2k π或α=π3+2k π，∴“sin α=√32”是“α=2π3”的必要非充分条件，故答案为：必要非充分3．设指数函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是 1＜a ＜2 ． 【分析】欲使得指数函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的减函数，只须其底数小于1即可，从而求得a 的取值范围． 解：根据指数函数的性质得： 0＜a ﹣1＜1， ∴1＜a ＜2． 故答案为1＜a ＜2． 4．设函数f （x ）=1x 2+2x ，g （x ）=√x +2+1x2，则f （x ）﹣g （x ）＝ 2x −√x +2，x ∈[﹣2.0）∪（0，+∞） ．【分析】作差后，求x 的范围时，要注意x ≠0．解：f （x ）﹣g （x ）=1x 2+2x −√x +2−1x 2=2x −√x +2，x ∈[﹣2，0）∪（0，+∞） 故答案为：2x −√x +2，x ∈[﹣2，0）∪（0，+∞） 5．函数y ＝4x +9x−5（x ＞5）的最小值是 32 ． 【分析】先进行换元t ＝x ﹣5，则t ＞0，可得y ＝4x +9x−5=4t +9t+20，然后利用基本不等式即可求解．解：由x ＞5可得x ﹣5＞0， 令t ＝x ﹣5，则t ＞0， 则y ＝4x +9x−5=4t +9t +20≥20+2√4t ⋅9t=32， 当且仅当4t =9t即t =32时取得最小值32，此时x =132． 故答案为：326．若2cos （π﹣x ）＝sin （3π+x ），则sin(2π−x)−5cos(5π+x)sin(π+x)+7cos(−x−3π)= −13 ．【分析】由条件利用诱导公式求得tan x ＝2，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的式子，可得结果．解：∵2cos （π﹣x ）＝sin （3π+x ），∴﹣2cos x ＝﹣sin x ，∴tan x ＝2， 则sin(2π−x)−5cos(5π+x)sin(π+x)+7cos(−x−3π)=−sinx+5cosx −sinx−7cosx=sinx−5cosx sinx+7cosx=tanx−5tanx+7=−13，7．已知下列三组函数：①y ＝ln （x 2）与y ＝2lnx ；②y =x 2|x|与y ={t ，t ＞0−t ，t ＜0；③f （x ）＝x ，D ＝{0，1}与g （x ）＝x 2，D ＝{0，1}表示同一函数的是 ②③ （写出所有符合要求的函数组的序号）【分析】通过看定义域可判断①的两函数不是同一函数，对于②可得出y =x 2|x|=|x|={xx ＞0−xx ＜0，显然与y ={tt ＞0−tt ＜0是同一函数，对于③的两函数都表示两个点（0，0），（1，1），从而是同一函数，从而得出是同一函数的为②③．解：①y ＝ln （x 2）的定义域为{x |x ≠0}，y ＝2lnx 的定义域为{x |x ＞0}，定义域不同，不是同一函数； ②y =x 2|x|=|x|={x x ＞0−x x ＜0，与y ={tt ＞0−t t ＜0是同一函数；③f（x）＝x，D＝{0，1}表示两个点（0，0），（1，1），g（x）＝x2，D＝{0，1}表示两个点（0，0），（1，1），是同一函数；∴表示同一函数的是②③．故答案为：②③．8．函数f（x）＝x−√2x−5的值域为[2，+∞）．【分析】设√2x−5=t，则t≥0，利用换元法，结合二次函数的性质即可求出．解：设√2x−5=t，则t≥0，则2x﹣5＝t2，即x=12（t2+5），∴y=12（t2+5）﹣t=12t2﹣t+52=12（t﹣1）2+2≥2，故函数f（x）的值域为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）9．已知函数y＝f（x），x∈R，对函数y＝g（x），x∈I，定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y＝h（x），x∈I，y＝h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x）关于点（x，f（x））对称，若y＝h（x）是g（x）=√9−x2关于f（x）＝2x+b 的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围（3√5，+∞）【分析】根据两个函数关于y＝f（x）的对称定义，写出函数y＝h（x）的解析式，再利用h（x）＞g（x）恒成立列出不等式，在同一坐标系内画出两个函数的图象，由数形结合求出b的取值范围．解：根据两个函数h（x）与g（x）关于y＝f（x）的对称定义知，函数g（x）=√9−x2，f（x）＝2x+b，∴函数y＝h（x）＝4x+2b−√9−x2；h（x）＞g（x）恒成立，即4x+2b−√9−x2＞√9−x2恒成立，化简为2x+b＞√9−x2恒成立；在同一坐标系内画出y＝2x+b和y=√9−x2的图象，如图所示；由图形知，圆心O（0，0）到直线2x﹣y+b＝0的距离d＞r，3，即22解得b＞3√5或b＜﹣3√5（不合题意，舍去）；综上所述，实数b的取值范围是b＞3√5．故答案为：（3√5，+∞）．|−|x−1x|，关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b＝0（a，b∈R）恰10．已知函数f(x)=|x+1x有6个不同实数解，则a的取值范围是（﹣4，﹣2）．【分析】题中原方程f2（x）+a|f（x）|+b＝0恰有6个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）＝2时，它有二个根，且当f（x）＝k（0＜k＜2），关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b＝0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，据此即可求得实数a的取值范围．解：先根据题意作出f（x）的简图：得f（x）＞0．∵题中原方程f2（x）+a|f（x）|+b＝0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，即方程f2（x）+af （x）+b＝0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，∴故由图可知，只有当f（x）＝2时，它有二个根．故关于x的方程f2（x）+af（x）+b＝0中，有：4+2a+b＝0，b＝﹣4﹣2a，且当f（x）＝k，0＜k＜2时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b＝0有4个不同实数解，∴k2+ak﹣4﹣2a＝0，a＝﹣2﹣k，∵0＜k＜2，∴a∈（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．二、选择题11．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪（∁R B ）＝R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤1B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞2【分析】先求出∁R B ，从而根据集合A 及A ∪（∁R B ）＝R 即可求出a 的取值范围． 解：∵∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}， ∴若A ∪（∁R B ）＝R ； ∴a ≥2． 故选：C ．12．如果α是第二象限的角，那么α3必然不是下列哪个象限的角（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由α的范围判断α的13的范围，先写出角的范围，再除以3，求出角的13的范围，看出角的范围． 解：∵α是第二象限角， ∴α∈（2k π+π2，2k π+π），k ∈Z ， ∴α3∈（23k π+π6，23k π+π3），k ∈Z ．∴是第一或二，四象限角． 故选：C ．13．若log m 2＜log n 2＜0，则实数m 、n 的关系是（ ） A ．1＜n ＜mB ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜nD ．0＜m ＜n ＜1【分析】利用对数换底公式、对数函数的单调性即可得出． 解：∵log m 2＜log n 2＜0，∴lg2lgm ＜lg2lgn＜0，∴lgn＜lgm＜0，可得0＜n＜m＜1．故选：B．14．下列四个图象，只有一个符合y＝|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（k1，k2k3∈R+，b1b2b3≠0）的图象，则根据你所判断的图象，k1、k2、k3之间一定满足的关系是（）A．k1+k2＝k3B．k1＝k2＝k3C．k1+k2＞k3D．k1+k2＜k3【分析】由于k1，k2，k3为正实数，考虑当x足够小时和当x足够大时的情形去掉绝对值符号，转化为关于x的一次函数，通过观察直线的斜率特征即可进行判断．解：y＝|k1x+b1|﹣|k2x+b2|+|k3x+b3|（其中k1＞0，k2＞0，k3＜0，b1，b2，b3为非零实数），当x足够小时，y＝﹣（k1+k2﹣k3）x﹣（b1+b2﹣b3），当x足够大时，y＝（k1+k2﹣k3）x+（b1+b2﹣b3），可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有第2个图象符合条件．此时k1+k2﹣k3＝0，即k1+k2＝k3，故选：A．三、解答题15．判断并证明函数f（x）=1x2−1在区间（﹣1，0）上的单调性．【分析】根据题意，设﹣1＜x1＜x2＜0，作差分析可得f（x1）﹣f（x2）=(x2−x1)(x2+x1) (x12−1)(x22−1)，结合﹣1＜x1＜x2＜0，分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，由函数单调性的定义，分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）=1x2−1在区间（﹣1，0）上单调递增，证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=1x12−1−1x22−1=(x2−x1)(x2+x1)(x12−1)(x22−1)，又由﹣1＜x1＜x2＜0，则x2﹣x1＞0，x2+x1＜0，x12﹣1＜0，x22﹣1＜0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）=1x2−1在区间（﹣1，0）上单调递增．16．解关于x的不等式：x2﹣（a+a2）x+a3＞0．【分析】把不等式坐标利用十字相乘法分解因式，然后分a大于a2、a小于a2及a等于a2三种情况即a小于0，a等于0，a大于0小于1，a等于1，a大于1五种情况，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可．解：（x﹣a）（x﹣a2）＞0①当a＜0时，x＞a2或x＜a；②当a＝0时，x≠0；③当0＜a＜1时，x＞a或x＜a2；④当a＝1时，x≠1；⑤当a＞1时，x＞a2或x＜a；综上，当a＜0或a＞1时，不等式解集为{x|x＞a2或x＜a}；当a＝0时，不等式解集为{x|x≠0}；当0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＞a或x＜a2}；当a＝1时，不等式解集为{x|x≠1}．17．如图是国际田联的标准400米跑道，它的最内侧跑道的边线是由两根84.39米的平行直线和两段半径36.80米的半园组成，每根跑道宽1.22米（道与道间的划线宽度忽略不计）．比赛时运动员从下方标有数字处出发，为了比赛公平．外道的运动员的起跑点较内道的会有一定的提前量，使得所有运动员跑过的路程完全一致．假设每位运动员都会沿着自己道次的最内侧跑．（1）试给出400米比赛各道次提前量y关于道次n之间的函数关系，并完成下表（精确到0.01米）（2）800米比赛的规则是从出发处按道次跑完第一个弯道后可以开始并道赛跑，请你设计第8道选手的最优跑步路线并给出他起跑的提前量应该是多少．道次2345678提前量（米）7.6715.3323.0030.6638.3346.0053.66【分析】（1）7.67π≈2.44．根据一次函数的关系即可得出．（2）经过第一个弯道后并道，恰好在第二个弯道入口处到达最里内道，再沿着最内道完成比赛，提前量为27.26米．解：（1）7.67π≈2.44．y ＝2.44π（n ﹣1），n ∈[1，8]，n ∈N *．（2）经过第一个弯道后并道，恰好在第二个弯道入口处到达最里内道，再沿着最内道完成比赛，提前量为27.26米．18．已知函数f （x ）的定义域是{x|x ∈R ，x ≠k 2，k ∈Z }且f （x ）+f （2﹣x ）＝0，f （x +1）=−1f(x)，当0＜x ＜12时，f （x ）＝2019x ． （1）求证：f （x ）是奇函数；（2）求f （x ）在区间 （12，1）上的解析式； （3）是否存在正整数k ，使得当x ∈（2k +12，2k +1）时，不等式log 2019f(x)＞x 2−kx −2k 有解？证明你的结论．【分析】（1）由已知f （x +1）=−1f(x)，得f （x +2）=−1f(x+1)=f （x ），进而结合f （x ）+f （2﹣x ）＝0，可得f （x ）+f （﹣x ）＝0，结合奇函数的定义，即可得证；（2）由x ∈（12，1）时，1﹣x ∈（0，12），结合已知f （x ）＝2019x ．结合（1）中结论可得所求解析式；（3）由（2）的结论及指数的运算性质，可将不等式log 2019f （x ）＞x 2﹣kx ﹣2k 转化为二次不等式的形式，进而分析出对应函数在区间（2k +12，2k +1）上的单调性，即可得到结论． 解：（1）证明：由f （x +1）=−1f(x)，得f （x +2）=−1f(x+1)=f （x ），由f （x ）+f （2﹣x ）＝0得f （x ）+f （﹣x ）＝0，故f （x ）是奇函数；（2）当x ∈（12，1）时，1﹣x ∈（0，12）， ∴f （1﹣x ）＝20191﹣x ，而f （1﹣x ）=−1f(−x)，∴f （x ）＝2019x ﹣1； （3）当x ∈（2k +12，2k +1），k ∈Z 时，x ﹣2k ∈（12，1）， ∴f （x ﹣2k ）＝2019x ﹣2k ﹣1， 因此f （x ）＝f （x ﹣2k ）＝2019x ﹣2k ﹣1，不等式log 2019f （x ）＞x 2﹣kx ﹣2k 即为x ﹣2k ﹣1＞x 2﹣kx ﹣2k ， 即x 2﹣（k +1）x +1＜0．令g （x ）＝x 2﹣（k +1）x +1，对称轴为x =k+12， 因此函数g （x ）在（2k +12，2k +1）上单调递增，因为g （2k +12）＝（2k +12）2﹣（k +1）（2k +12）+1＝（2k +12）（k −12）+1，又k 为正整数，所以g （2k +12）＞0，因此x 2﹣（k +1）x +1＞0在（2k +12，2k +1）上恒成立， 因此不存在正整数k 使不等式x 2﹣（k +1）x +1＜0有解．。
吉林省长春2016-2017学年高一下期末数学试题(理)含答案
长春2016-2017学年第二学期期末考试高一年级数学试卷（理科）出题人 ：马双 审题人：王先师本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知2||||==b a ,向量a 与b 的夹角为60，则b a ⋅等于（ ）A ．12 B C ．2 D ．42.有一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体应是一个( )A. 棱台B. 棱锥C. 棱柱D. 都不对3.如图， ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°俯视图4．如果一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（）A. 3cmB. 3cmC.833cm D. 3343cm5．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么C cos 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-46．各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为，则27211log log a a +的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7. 已知直线1l 、2l , 平面α,α//,//121l l l ，那么2l 与平面α的关系是（ ）.A. α//1lB.α⊂2lC.αα⊂22//l l 或D. 2l 与α相交8．原点和点(1,1)在直线a y x =+两侧，则a 的取值范围是( )A ．20><a a 或B ．20<<aC ．20==a a 或D ．20≤≤a 9．已知A ，B ，C 三点在球O 的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的，则球O 的表面积为 （）A.π36B. π4C.π427 D. π22710． 以下列函数中，最小值为2的是（ ）A ．33x xy -=+ B ．1y x x=+C ．()1lg 01lg y x x x=+<< D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ 11.设1a 0=+<<b a b 且，则下列选项中最大的是（ ） A ．12B ．bC ．ab 2D ．22b a + 12.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝12(a 2＋a 4＋…＋a 2n )，a 1a 3a 5＝8，则a 8＝ ( )A ．－116B ．－132C ．－64D ．－128第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
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3 5
4 6
2015 2017
2016 2018
2017 2019
3 1
4 2
5 3
2016 2014
2017 2015
2018 2016
2017 673
11. C
12. B
13. C
14. B
15. （1） m 1；（2） 1 . 7
16.
（1） 1，
f
(x)
sin
2x
6
1 2
1 2
（2）设数列bn 的通项为 bn
50n
( 3)n ，且数列bn 是T
2
数列，求常数
M
的取值范围；
（3）设数列 cn
|
p n
1|
(n N,1 p 2) ，若数列cn 是T 数列，求 p 的取值范围.
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参考答案
(an 3) (n N) ，当 a 100 (an 3)
时，则数列an 的前 100 项的和 S100 为
10. 如果 Sn 1 2
n(n N)
， Tn
S2 2, n N) ， Sn 1
则 T2017 的值为
（用分数形式表示）
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选择菁英高中，成就名校梦想
2017 华二高一下数学期末试卷
一. 填空题
1.
方程组
2x y x 3y
1 2
的增广矩阵是
2. 已知数列an 是以 15 为首项，2 为公差的等差数列， Sn 是其前 n 项和，则数列Sn 的最
小项为第
项
3. 函数 y arcsin x (1 x 3 ) 的值域为
的分数，
m
为
正整数），若该数列的各项和为 3，则 a1 a2
2x 1 2 7. 不等式 0 2x
32
0 1 0 的解集为 1
8.
设
a
0,
b
0
，若关于
x,
y
的方程组
ax y x by
1 1
无解，则
a
b
的取值范围是
9.
数列an 满足： a1 a （ a R 且为常数）， an1 4ana3n
,
3 2
；
（2）单调递增区间为
k
3
, k
6
(k
Z)
，对称轴方程为
x
k 2
6
(k
Z)
.
17.
（1） b1 1， b2
8 5
， b3
80 ； 41
（2）证明： bn1
2anbn an bn
2anbn 2an1
anbn an1
an1bn1
anbn ，
∴an bn 为常数列
4，即 an bn
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18.
定义：对于任意 n N ，满足条件 an an2 2
an1 且 an
M
（M
是与 n 无关的常数）
的无穷数列an 称为T 数列.
（1）若 an n2 8n (n N) ，证明：数列an 是T 数列；
ln
an an
2 2
是以
ln
3
为首项，2
为公比的等比数列，
∴ ln
an an
2 2
=2n1 ln 3
an an
2 2
=32n1
an
2 32n1 2 32n1 1
.
18.（2）
M
600
3 2
12
；（3）1
p
6 5
.
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17.
设数列an ，bn 满足： a1 4, a2
5 2
， an1
an
bn 2
， bn1
2anbn an bn
， n N .
（1）写出数列bn 的前三项；
（2）证明：数列an bn 为常数列，并用 an 表示 an1 ；
（3）证明：数列{ln
an an
2} 2
是等比数列，并求数列
an
的通项公式.
D. {x | x k (1)k arctan 2, k Z}
12.
以
Sn
、
Tn
分别表示等差数列
an
、
bn
的前
n
项和，若
Sn Tn
7n ，则 a5
n3
b5
（
）
A. 7
B. 21 4
C. 37 8
D. 2 3
13. 已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，则下列一定成立的是（ ）
A. 若 a3 0 ，则 a2016 0
4 ，∴ an1
an
bn 2
an2 4 ； 2an
（3）
an1 2 an1 2
an2 4
2an an2 4
2 2
an2 an2
4 4an 4 4an
(an (an
2)2 2)2
an an
2
2
2
ln
an1 2 an1 2
2ln
an1 2 an1 2
，
2an
∴
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积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心 二. 选择题
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11. 方程 tan x 2 的解集为（ ）
A. {x | x 2k arctan 2, k Z}
B. {x | x 2k arctan 2, k Z}
C. {x | x k arctan 2, k Z}
4
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16. 已知函数 f (x) cos2(x) 3 sin(x) cos(x) ( 0) 的最小正周期为 .
（1）求 的值和函数 f (x) 的值域；
（2）求函数 f (x) 的单调递增区间及其图像的对称轴方程.
B. a1 0 ， 0.7 q 0.6
C. a1 0 ， 0.7 q 0.8
D. a1 0 ， 0.8 q 0.7
三. 简答题 15. 关于 x 的不等式 x m 2 0 的解集为 (1, 2) .
1x （1）求实数 m 的值；（2）若 mcos 2sin 0，求 tan(2 ) 的值.
B. 若 a4 0 ，则 a2017 0
C. 若 a3 0 ，则 S2017 0
D. 若 a4 0 ，则 S2016 0
14.
已知无穷等比数列
an
的公比为
q
，前
n
项和为
S
n
，且
lim
n→∞
Sn
S ，下列条件中，使
得 2Sn S (n N) 恒成立的是（ ）
A. a1 0 ， 0.6 q 0.7
2
2
4.
数列an 通项公式 an
1 n(n
1)
(n
N
)
，
an
前
n
项和为
S
n
，则
lim
n
Sn
5. 在 ABC 中， a,b, c 是角 A, B,C 所对应的边， tan A 1 ， tan B 1 ，如果 a 1，则
3
2
b
6.
无穷等比数列
an
的首项是某个正整数，公比为单位分数（即形如：
1 m
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1.
2
1
1 3
1
2
2. 8
3.
6
,
3
6. 8 3
7. (,0]
8. (2, )
n(n 1) 10. Sn 2 n(n 1) n n 1
Sn 1 n(n 1) 1 (n 2)(n 1) n 2 n 1 2
4. 1 9. 1849
5. 2
T2017
2 4