导数、微分、不定积分公式
高等数学常用微积分公式
高等数学常用微积分公式一、极限1.无穷大与无穷小：当x→∞时，若极限值L=0，则称函数f(x)是无穷小。
常见无穷小有：x→0时的无穷小o(x)、无穷次可导的无穷小O(x^n)；当x→∞时，若极限值L≠0或不存在，则称函数f(x)是无穷大；2.函数极限：若函数f(x)当x→a时的极限存在稳定的常数L，则称L为f(x)当x→a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L；3.等价无穷小：若 f(x) 和 g(x) 都是x→a 时的无穷小，并且lim(x→a)(f(x)/g(x))=1，则称 f(x) 和 g(x) 是x→a 时的等价无穷小。
二、导数1.导数的定义：若函数f(x)在点x处的函数值可近似表示为f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx，其中f'(x)为f(x)在点x处的导数，则称f'(x)是函数f(x)在点x处的导数。
2.常见函数的导数：(1)和差法则：(u±v)'=u'±v'；(2)乘法法则：(u*v)'=u'*v+u*v'；(3)除法法则：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2，其中v≠0；(4) 链式法则：若 y=f(u)，u=g(x) ，则 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx = f'(u)*g'(x)。
3.高阶导数：函数f(x)的导数f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f''(x)。
可以依此类推，得到函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)。
三、微分1.微分的定义：函数 f(x) 在点 x 处的微分记为 dx，根据导数的定义，有 df(x) = f'(x)dx。
2.微分的性质：(1)常数微分：d(c)=0，其中c为常数；(2) 取单项微分：d(x^n) = nx^(n-1)dx，其中 n 为实数，x 为变量；(3) 和差微分：d(u ± v) = du ± dv；(4) 乘法微分：d(uv) = u*dv + v*du；(5) 除法微分：d(u/v) = (v*du - u*dv)/v^2，其中v ≠ 0；(6) 复合函数微分：若 y=f(u)，u=g(x)，则 dy = f'(u)du =f'(g(x))g'(x)dx。
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
微积分公式大全
微积分公式大全1.极限与连续1.1 极限的定义：对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$a$时，如果对于任意给定的$\epsilon > 0$，总存在与$a$不相等的$x$使得当$0 < ，x-a，< \delta$时，$，f(x) - L， < \epsilon$，我们就说函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x)=L$。
1.2基本极限公式：a) $\lim_{x \to a}c = c$，其中$c$为常数；b) $\lim_{x \to a}x = a$；c) $\lim_{x \to a}x^n = a^n$，其中$n$为正整数；d) $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$；e) $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$；f) $\lim_{x \to a} \tan x = \tan a$，其中$a \neq\frac{\pi}{2} + \pi k$，$k$为整数；g) $\lim_{x \to a} \ln x = \ln a$，其中$a > 0$。
1.3极限的运算法则：a) $\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$；b) $\lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a}f(x)$，其中$k$为常数；c) $\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot\lim_{x \to a}g(x)$；d) $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$，其中$\lim_{x \to a}g(x) \neq 0$；e) $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a}f(x)]^n$，其中$n$为正整数。
微积分ab公式
微积分ab公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：微积分是数学中非常重要的一个分支，它主要研究函数的极限、连续性、微分和积分等概念。
在微积分的学习过程中，经常会遇到各种各样的公式，其中最为经典的莫过于微积分AB公式。
AB公式是微积分中常用的一组基本公式，它包括导数和积分的基本公式，掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解微积分知识，提高解题效率。
接下来，本文将为大家介绍微积分AB公式。
一、微积分AB公式之导数基本公式1.1 常数导数法则若f(x)=C，则f'(x)=0，其中C为常数。
1.2 变量幂函数导数法则若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数。
1.3 和差法则若f(x)=u(x)+v(x)，则f'(x)=u'(x)+v'(x)。
1.4 积法则若f(x)=u(x)v(x)，则f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
1.5 商法则若f(x)=u(x)/v(x)，则f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^2。
1.6 复合函数法则若f(x)=g(u(x))，则f'(x)=g'(u(x))u'(x)。
以上便是部分导数基本公式，它们在微积分的学习中起着至关重要的作用。
掌握这些基本公式可以帮助我们求解各种函数的导数，进一步推导出更加复杂的微积分问题。
二、微积分AB公式之积分基本公式2.1 不定积分基本公式∫kdx=kx+C∫x^n dx=1/(n+1)x^(n+1)+C，其中n不等于-1∫1/x dx=ln|x|+C∫e^x dx=e^x+C∫a^x dx=(1/ln(a))a^x+C其中k、a为常数，C为常数。
2.2 定积分基本公式∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)为f(x)的原函数。
积分基本公式是微积分中另一个重要的内容，它主要用于求函数在某一区间上的面积、弧长等问题。
微积分中的导函数与积分公式
微积分中的导函数与积分公式微积分是数学中的一个重要分支，研究了函数的导数与积分，而其中的导函数和积分公式是微积分中的两个核心概念。
导函数描述了函数的变化率，积分公式则可以用来求解曲线下的面积和计算曲线长度等问题。
本文将介绍导函数的概念、性质以及一些常见的导函数公式，同时也会详细介绍积分公式及其应用。
一、导函数的概念与性质导函数是用来描述函数变化率的概念，通常用符号f'(x)表示。
在微积分中，导函数的定义是函数f(x)在某一点x处的极限值，即：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限运算，h表示自变量的一个无限小的增量。
导数的本质是函数在某一点的瞬时变化率，可以用来描述函数的斜率和速度。
导函数具有一些重要的性质，比如导函数的和差规则、常数规则、积法则和商法则等。
这些性质可以用来简化求导过程，并且在实际应用中起到很大的作用。
导函数还具有很多的几何意义，比如导函数的正负可以判断函数在某一点上升或下降，导函数的零点可以确定函数的极值点等。
二、常见的导函数公式在微积分中，有一些常见的函数的导函数公式，下面将列举一些常见的导函数公式及其证明过程。
1. 常数函数对于常数函数f(x)=c，其导数f'(x)=0。
证明过程比较简单，直接应用导数的定义即可。
2. 幂函数对于幂函数f(x)=x^n，其中n为任意实数，其导数f'(x)=n*x^(n-1)。
证明过程需要使用导数的定义和幂函数的性质。
3. 指数函数对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且不等于1，其导数f'(x)=a^x * ln(a)。
这个公式可以通过对指数函数求导数的定义进行推导。
4. 对数函数对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数f'(x)=1 / (x * ln(a))。
这个公式可以通过对对数函数求导数的定义进行推导。
导数微分不定积分公式
导数微分不定积分公式一、导数1.定义导数是函数在其中一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
对于函数$f(x)$，在点$x=a$处的导数表示为$f'(a)$或$\frac{{df}}{{dx}}\bigg，_{x=a}$。
导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。
2.基本导数公式常见函数的导数公式如下：常值函数的导数为零：$\frac{{d}}{{dx}}(C) = 0$，其中$C$为常数。
幂函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$，其中$n$是实数。
指数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(a^x) = a^x \ln{a}$，其中$a>0$。
对数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\log_a{x}) = \frac{{1}}{{x \ln{a}}}$，其中$a>0$且$a\neq 1$。
三角函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\sin{x}) = \cos{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cos{x}) = -\sin{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\tan{x}) = \sec^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cot{x}) = -\csc^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\sec{x}) = \sec{x}\tan{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\csc{x}) = -\csc{x}\cot{x}$二、微分1.定义微分表示函数在其中一点附近的变化情况，主要有全微分和偏微分两种。
全微分：对于函数$z=f(x,y)$，在点$(x_0,y_0)$处全微分表示为$dz=\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$，其中$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$分别表示对于$x$和$y$的偏微分。
不定积分计算公式
不定积分计算公式不定积分是微积分中一个重要的概念，它表示函数的原函数。
计算不定积分可以使用一系列的公式和技巧。
下面将介绍一些常用的不定积分计算公式。
1.幂函数不定积分的基本公式之一是幂函数的不定积分公式。
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)其中C为常数。
例如，∫x^2 dx = x^3/3 + C只有当指数n不等于-1时，幂函数才有原函数。
2.指数函数和对数函数指数函数和对数函数是常用的函数，它们的不定积分可以通过以下公式计算。
∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x) - x + C其中e为自然对数的底数。
3.三角函数三角函数也有常用的不定积分公式。
∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C其中C为常数。
4.反三角函数其不定积分公式如下所示。
∫sec^2(x) dx = tan(x) + C∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C其中C为常数。
5.一些特殊函数除了上述常见的函数，还有一些特殊的函数和它们的不定积分公式。
∫1 dx = x + C∫1/x dx = ln，x，+ C (x≠0)∫e^ax sin(bx) dx = (a e^ax sin(bx) - b e^ax cos(bx))/(a^2 + b^2) + C∫e^ax cos(bx) dx = (a e^ax cos(bx) + b e^ax sin(bx))/(a^2 + b^2) + C其中a和b为常数。
6.分部积分法分部积分法是一个常用的计算不定积分的技巧，它基于导数运算和不定积分之间的关系。
积分常用公式(最新整理)
积分常用公式一．基本不定积分公式：1． C x dx +=⎰2． ) 3．111++=⎰αααx dx x 1(-≠αC x dx x+=⎰ln 14．5．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a C e dx e xx+=⎰6． 7．C x xdx +-=⎰cos sin C x xdx +=⎰sin cos 8．9．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22Cx dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210． 11．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec Cx xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．（或）C x dx x+=-⎰arcsin 11212arccos 11C x dx x+-=-⎰13．（或）C x dx x +=+⎰arctan 11212cot 11C x arc dx x +-=+⎰14．15．C x xdx +=⎰cosh sinh Cx xdx +=⎰sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法：1．2．C x xdx +-=⎰cos ln tan Cx xdx +=⎰sin ln cot 3．4．C axa x a dx +=+⎰arctan 122C a x ax a ax dx ++-=-⎰ln 21225． 6．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．8．C axx a dx +=-⎰arcsin22Ca x x a x dx +±+=±⎰2222ln 9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．Ca x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：Cx F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ为为为为为为为为为为为为12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：Cx F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ为注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”)(t ϕ13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vduuv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
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一、导数的概念及其计算1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数） （２）1)(-⋅='n nxn x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -=' 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
二、定积分的概念及其计算（牛顿—莱布尼茨公式）1．定积分（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式定理 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，则)(x f 在],[b a 上可积，且⎰-=baa Fb F dx x f )()()(这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为⎰-==baba a Fb F x F dx x f )()()()(。
基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x＝x e ＋C ；⎰dx a x＝aa xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）（2）定积分的性质 ①⎰⎰=ba badx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±ba b abadx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bac abcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=b adx x f S )(。
如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b（a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC＝⎰⎰-babadx x f dx x f )()(21。
一、基本导数公式：()()()()()()()()()()()()()()()''1'''''''2'2'''''21.2.3.ln 4.15.log ln 16.ln7.sin cos8.cos sin9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 113.arcsin 114.arccos 115.arctan 11n n x xx xa kx kxnx a a a e ex x a x xx x x x x xxx x x x x x x x x x -========-==-==-==-=+()'216.a cot 1rc x =-+二、基本微分公式：()()()()()()()()()()()()()()1221.2.3.ln 4.15.ln 16.log ln7.sin cos8.cos sin9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 113.arcsin 14.arccos n n x x x x a d kx kd x nx dx d a a adx de e dx d x dxx d x dxx ad x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dxd x -========-==-==-=()()221115.arctan 1116.cot 1dxd x dx xd arc x dx x=-=+=-+三、不定积分基本公式：11.2.13.14.ln 15.ln ||6.sin cos7.cos sin8.tan ln |cos |9.cot ln |sin |10.csc ln |csc cot |11.sec ln |sec tan |n n x x xxkdx kx cxx dx cn e dx e c a dx a cadx x c xxdx x c xdx x c xdx x cxdx x cxdx x x cxdx x x c+=+=++=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2232121311xdx x cx dx x cdx cx x =+=+=-+⎰⎰⎰222222222112.c cot sin 113.sec tan cos114.arctan 1115.arcsin16.sec tansec 17.csc cot csc 118.arctan 119.ln ||220.dx cs xdx x cx dx xdx x c xdx x c x dx x cx xdx x c x xdx x cdx x c x a a a dx x a c x a a x a dx ==-+==+=++=+=+=-+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin 21.ln ||22.ln ||x ca dxx cx c =+=++=++⎰⎰⎰()221ln 112x dx x c x =+++⎰ 21arctan 1dx x c x =++⎰。