北京市中考数学试卷及答案
2022年北京市中考数学试卷-含答案详解
2022年北京市中考数学真题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下面几何体中，是圆锥的为( )A. B.C. D.2. 截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为( )A. 26.2883×1010B. 2.62883×1011C. 2.62883×1012D. 0.262883×10123. 如图，利用工具测量角，则∠1的大小为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4. 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )A. a<−2B. b<1C. a>bD. −a>b5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )A. 14B. 13C. 12D. 346. 若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )A. −4B. −14C. 14D. 47. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 58. 下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 若√x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10. 分解因式：xy2−x=．11. 方程2x+5=1x的解为．12. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1),B(5,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1y2(填“>”“=”或“<”)．13. 某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．14. 如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则SΔACD =．15. 如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC =14，则AE的长为．16. 甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．(1)如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号)；(2)如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号)．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17. 计算：(π−1)0+4sin45∘−√8+|−3|.18. 解不等式组：{2+x>7−4x, x<4+x2.四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。
2024届北京市育才校中考联考数学试卷含解析
2024学年北京市育才校中考联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．某自行车厂准备生产共享单车4000辆，在生产完1600辆后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%，结果共用了18天完成任务，若设原来每天生产自行车x辆，则根据题意可列方程为( )A．1600x+4000(120%)x+＝18 B．1600x40001600(120%)x-++＝18C．1600x+4000160020%x-＝18 D．4000x40001600(120%)x-++＝182．下列计算正确的是( )A．(a－3)2＝a2－6a－9 B．(a＋3)(a－3)＝a2－9C．(a－b)2＝a2－b2D．(a＋b)2＝a2＋a23．如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段CD的长度4．若抛物线y＝x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C．当x＝1时，y有最大值为0D．抛物线的对称轴是直线x＝3 25．2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（）A．B．C ．D ．6．《九章算术》是中国古代数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。
2024年北京中考试卷数学
2024年北京中考试卷数学一、选择题（每题4分）2的相反数是（）A. 2B. -2C. -D. 2（答案：B）据报道，某小区居民李先生改良用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨。
将300000用科学记数法表示应为（）A. 0.3×105 C. 3×104（答案：B）有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）（具体选项未给出，但可以通过计算得出概率为1/3或类似值，需根据原试卷确定选项）如图是几何体的三视图，该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 正三棱柱D. 正三棱锥（答案需根据具体图形确定）某篮球队12名队员的年龄分布如下：年龄（岁）18 19 20 21人数 5 4 1 2那么这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）A. 18,19B. 19,19C. 18,19.5D. 19,19.5（答案：D）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间。
绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象……那么休息后园林队每小时绿化面积为（）A. 40平方米B. 50平方米C. 80平方米D. 100平方米（答案需根据具体函数图象确定）圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A. 2B. 4√2-4C. 4D. 8（答案需通过几何计算得出）点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周。
设点P运动的时间为x，线段AP的长为y。
表示y 与x的函数关系的图象大致为……，则该封闭图形可能是（）（答案需根据具体函数图象确定）二、填空题（每题4分）分解因式：ax2=_________（答案：a(x2-3y)）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为_________m（答案：15）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2。
北京市2021年中考数学试卷(含答案)
与分配到 t 生产线的吨数的比为
．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5 吨原材料后，
又给 生产线分配了 h 吨原材料，给 t 生产线分配了 自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 h 的值为
吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各 ．
2
三、解答题 17．计算： sin困u 香 l 香
应为（ ）
A．u善l困地 lul
B．l善困地 lul
C．l善困地 lull
D．l困善地 lulu
3．如图，点 在直线 t 上，
．若
ܥl u ，则 t 的大小为（ ）
A． u
B．iu
C． u
D．困u
4．下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A． 5．实数
B．
C．
在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（
证明：在 t 中， t ▲ ܥ， 是 的中点， t ▲ （填推理的依据）．
∵直线 t 表示的方向为东西方向， ∴直线 表示的方向为南北方向．
3
21．已知关于 的一元二次方程
ih 香 h ܥu ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 h t u ，且该方程的两个实数根的差为 2，求 h 的值．
D． ）
A． t
B． t
C． 香 t u
D．
u
6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A．li 7．已知 i
B．l ܥl虀i地 ii ܥl地 困 i
ܥu
C．l i困 ܥll困 ．若
为整数且
D． ul
香 l ，则 的值
为（ ）
2024北京中考试卷数学
1. 一个数的五分之一加上9等于24，这个数是多少？- A. 75- B. 80- C. 85- D. 902. 如果一个正方形的边长是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？- A. 20- B. 25- C. 30- D. 353. 已知6x + 7 = 49，求x 的值。
- A. 6- B. 7- C. 8- D. 94. 一个等腰三角形的两个底角都是60°，那么顶角的度数为多少？- A. 40°- B. 50°- C. 60°- D. 70°5. 某商品打八折后的价格是160元，那么原价是多少元？- A. 180- B. 200- C. 220- D. 2406. 等差数列1, 4, 7, 10, ... 的第6项是多少？- A. 15- B. 16- C. 17- D. 187. 一个圆的周长是25.12厘米，那么它的半径是多少厘米？（取π=3.14）- A. 4- B. 5- C. 6- D. 78. 如果x + 9 = 20，那么x 的值为多少？- A. 10- B. 11- C. 12- D. 139. 一辆车以每小时80公里的速度行驶，2.5小时后它行驶了多少公里？- A. 180- B. 200- C. 220- D. 24010. 一个长方形的周长是48厘米，如果长是14厘米，那么宽是多少厘米？- A. 10- B. 11- C. 12- D. 13。
2022年北京市中考数学真题(解析版)
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
6.若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x 8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 是解题的关键．
10.分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为 ，
则矩形的面积为： ，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
北京市中考数学试卷及答案(完整版)
北京市中考数学试卷及答案（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 解析满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2021-2021）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。
将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案：B解析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3 960＝3.96×103 2. 43-的倒数是 A. 34 B. 43 C. 43- D. 34-答案：D解析：(0)a a ≠的倒数为1a ，所以，43-的倒数是34- 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A.51 B. 52 C. 53 D. 54答案：C解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为534. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80° 答案：C解析：∠1＝∠2＝12（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 ∠4＝70°。
5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。
若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：CE CDBE AB=，即102020AB=，解得：AB＝406. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。
2024年北京市中考数学试卷真题及其答案
2024年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29°B．32°C．45°D．58°3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1B．|b|＞2C．a+b＞0D．ab＞04．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16B．﹣4C．4D．165．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016B．2×1017C．5×1017D．2×10187．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C ′O ′D ′≌△COD 得到∠A ′O ′B ′＝∠AOB ，其中判定△C ′O ′D ′≌△COD 的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．（2分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，O 为对角线的交点．将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90°得到菱形A ′B ′C ′D ′，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H ．对八边形BFB ′GDHD ′E 给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是．10．（2分）分解因式：x 3﹣25x ＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），则y 1+y 2的值是．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x （单位：g ）满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是．14．（2分）如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）．若∠D ＝35°，则∠C ＝°．15．（2分）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 上，AF ⊥DE 于点F ，CG ⊥DE 于点G ．若AD ＝5，CG ＝4，则△AEF 的面积为．第14题第15题16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为，n的值位于学生评委打分数据分组的第组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中k（k为整数）的值为．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL 水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h 1（单位：cm ）和2号杯的水面高度h 2单位：cm ），部分数据如下：V /mL 040100200300400500h 1/cm 0 2.5 5.07.510.012.5h 2/cm2.8 4.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h 1与V ，h 2与V 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL 水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm （结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为cm （结果保留小数点后一位）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2a 2x （a ≠0）．（1）当a ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）是抛物线上的两点．若对于x 1＝3a ，3≤x 2≤4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围．27．（7分）已知∠MAN ＝α（0°＜α＜45°），点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E ．（1）如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；（2）如图2，当点D 在∠MAN 内部时，作DF ∥AN ，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C ′在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．（1）如图，点A （0，1），B （1，0）．①在点C 1（2，0），C 2（1，2），中，点是弦AB 的“α可及点”，其中α＝°；②若点D 是弦AB 的“90°可及点”，则点D 的横坐标的最大值为；（2）已知P 是直线上一点，且存在⊙O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60°可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．2024年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故选：B．2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（）A．29°B．32°C．45°D．58°【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠COE＝∠DOE＝90°，∵∠BOD＝∠AOC＝58°，∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°．故选：B．3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b＞﹣1B．|b|＞2C．a+b＞0D．ab＞0【解答】解：由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，故选：C．4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16B．﹣4C．4D．16【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4．故选：C．5．（2分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：列表如下：红黄红（红，红）（红，黄）黄（黄，红）（黄，黄）共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，∴两次摸出的都是红球的概率为．故选：A．6．（2分）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（）A．8×1016B．2×1017C．5×1017D．2×1018【解答】解：由题意可得：4×1017×5＝2×1018．故选：D．7．（2分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【解答】解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，∴△C′O′D′≌△COD（SSS），∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．故选：A．8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：延长BD和DB，连接OH，∵菱形ABCD，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'，∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°，∵∠D′HA＝∠DHC′，∴△AD'H≌△C'DH（AAS），∴D′H＝DH，C′H＝AH，同理可证D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG，∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°，∴△A'BE≌△C'DH（ASA），∴DH＝BE，∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；根据题意，得∠ED'H＝120°，∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°，∴∠D'HD＝150°，∴该八边形各内角不相等，故②错误；∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，∴△D'OH≌△DOH（SSS），∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°，∴OD≠OH，∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥9．【解答】解：根据题意得x﹣9≥0，解得：x≥9．故答案为：x≥9．10．（2分）分解因式：x3﹣25x＝x（x+5）（x﹣5）．【解答】解：x3﹣25x，＝x（x2﹣25），＝x（x+5）（x﹣5）．11．（2分）方程的解为x＝﹣1．【解答】解：x +（2x +3）＝03x +3＝0x ＝﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．12．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），则y 1+y 2的值是．【解答】解：∵函数的图象经过点（3，y 1）和（﹣3，y 2），∴y 1＝，y 2＝﹣，∴y 1+y 2＝0．故答案为：0．13．（2分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x （单位：g ）满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是160．【解答】解：∵满足49.98≤x ≤50.02时，评定该工件为一等品，∴抽取10个工件的一等品有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02，共计8个，∴估计这200个工件中一等品的个数是200×＝160，故答案为：160．14．（2分）如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）．若∠D ＝35°，则∠C ＝55°．【解答】解：设AB 与CD 相交于点E ，∵⊙O 的直径AB 平分弦CD （不是直径），∴AB ⊥CD ，∴∠DEB ＝90°，∵∠D＝35°，∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°，故选：55．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝DAE＝90°，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD＝∠CGD＝90°，∵∠ADF+∠CDG＝∠ADF+∠DAF，∴∠CDG＝∠DAF，∴△CDG≌△DAF（AAS），∴AF＝DG＝＝3，DF＝CG＝4，同理可得∠EAF＝∠ADF，又∠AFE＝∠AFD，∴△AFE∽△DFA，∴，即，∴EF＝，＝AE•EF＝．∴S△AEF故答案为：．16．（2分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为60min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按B﹣D﹣C﹣A的先后顺序彩排．【解答】解：根据题意，节目D的演员的候场时间为：30+10+20＝60（min）；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：B﹣D﹣C﹣A顺序排序，即1×10+10×10+10×20＝310（min），故答案为：60；B﹣D﹣C﹣A．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．【解答】解：＝1+﹣2×+＝．18．（5分）解不等式组：．【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜4+2x得，x＜7，解不等式得，x＞﹣1，所以不等式组的解集为：﹣1＜x＜7．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，＝＝＝＝＝＝3．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．【解答】（1）证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∵DF＝BF，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴CF∥AD，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形；（2）解：由（1）知，EF是△ABD的中位线，∴AD＝2EF＝2，∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，∴BF＝3EF＝3，∵DF＝FB，∴DF＝BF＝3，∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°，∴AF＝＝，∵四边形AFCD为平行四边形，∴CD＝AF＝，∵DF＝BF，CE⊥BD，∴BC＝CD＝．21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．【解答】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下：设该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为（92﹣x）mg/km，根据题意得（1﹣50%）x+（1﹣75%）（92﹣x）＝40，解得x＝68，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量（1﹣50%）x＝34，∵“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．（1）求k，b的值；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（2，1），∴﹣2k+3＝1，解得k＝1，将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1，解得b＝﹣1．（2）∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝x﹣1的值，也大于函数y＝﹣x+3的值，∴m≥1．∴m的取值范围是m≥1．23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为91，n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＜91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是甲，表中k（k为整数）的值为92．【解答】解：（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m＝91．45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；故答案为：91；4；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则＝×（88+90+91+91+91+91+92+92）＝90.75，∴＜91．故答案为：＜；（2）甲选手的平均数为×（93+90+92+93+92）＝92，乙选手的平均数为×（91+92+92+92+92）＝91.8，∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，∵5名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92，＝×[4×（92﹣91.8）2+（91﹣91.8）2]＝0.16，乙选手的方差S2乙5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k，∴乙选手的方差小于丙选手的方差，∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k＞91+92+92+92+92，∴92≥k＞91，∵k为整数，∴k（k为整数）的值为92，故答案为：92．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求证：OD∥BC；（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．【解答】（1）证明：连接AC交OD于H，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥AC，∴OD∥BC；（2）解：∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝，∴设OE＝5x，BC＝6x，∵AO＝OB，OH∥BC，∴AH＝CH，∴OH＝BC＝3x，∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90，∴∠PBO＝∠AHO，∵∠BOP＝∠AOH，∴△AOH∽△POB，∴，∴，∴x ＝或x ＝0（不合题意舍去），∴OE ＝，∴⊙O 半径的长为．25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．当1号杯和2号杯中都有VmL 水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h 1（单位：cm ）和2号杯的水面高度h 2单位：cm ），部分数据如下：V /mL 040100200300400500h 1/cm 0 2.5 5.07.510.012.5h 2/cm2.8 4.87.28.910.511.8（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h 1与V ，h 2与V 之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL 水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 1.2cm （结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为8.5cm （结果保留小数点后一位）．【解答】解：（1）设h 1＝kV ，将（100，2.5）代入得：2.5＝100k ，解得k ＝，∴h 1＝V ，∵V ＝40，∴h 1＝1.0，故答案为：1.0．（2）如图所示，（3）①当V ＝320ml 时，h 1＝8.0cm ，由图象可知相差约为1.2cm ．故答案为：1.2．②在①的条件下两杯相差1.2cm ，此时h 1大约是7.9，加上0.6约为8.5cm ．故答案为：8.5．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2a 2x （a ≠0）．（1）当a ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）是抛物线上的两点．若对于x 1＝3a ，3≤x 2≤4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围．【解答】解：（1）将a ＝1代入得y ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1，∴顶点坐标为（1，﹣1）；（2）由题得，y 1＝a •（3a ）2﹣2a 2•3a ＝3a 3，y 2＝﹣2a 2x 2，∵y 1＜y 2，∴y 2﹣y 1＝a （﹣2ax 2﹣3a 2）＝a （x 2﹣3a ）（x 2+a ）＞0，①当a ＞0时，（x 2﹣3a ）（x 2+a ）＞0，∴或，解得x 2＞3a 或x 2＜﹣a ，∵3≤x 2≤4，∴3a ＜3或﹣a ＞4，∴a ＜1或a ＜﹣4，∵a ＞0，∴0＜a ＜1；②当a ＜0时，（x 2﹣3a ）（x 2+a ）＜0，∴或，解得3a ＜x 2＜﹣a ，∵3≤x 2≤4，∴，解得a ＜﹣4，综上，0＜a ＜1或a ＜﹣4．27．（7分）已知∠MAN ＝α（0°＜α＜45°），点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E ．（1）如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；（2）如图2，当点D 在∠MAN 内部时，作DF ∥AN ，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：连接CD，由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∴，∴∠BDC＝∠A，∴CA＝CD，∵DN⊥AN，∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°，∴∠1＝∠2，∴CD＝CE，∴CA＝CE，∴点C是AE的中点；（2）解：EF＝2AC，在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG，∵BH＝BA，∴∠BAH＝∠BHA＝α，∴∠ABH＝180°﹣2α＝∠CBD，∴∠ABC＝∠HBD，∵BC＝BD，∴△ABC≌△HBD（SAS），∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α，∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α，∵DF∥AN，∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°，∵G 是AE 的中点，∴GF ＝GD ，EF ＝2GD ，∴∠GFD ＝∠GDF ＝α，∴∠HGD ＝2α，∴∠HGD ＝∠FHD ，∴DG ＝DH ，∵AC ＝DH ，∴DG ＝AC ，∴EF ＝2AC ．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C ′在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．（1）如图，点A （0，1），B （1，0）．①在点C 1（2，0），C 2（1，2），中，点C 2是弦AB 的“α可及点”，其中α＝45°；②若点D 是弦AB 的“90°可及点”，则点D 的横坐标的最大值为；（2）已知P 是直线上一点，且存在⊙O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60°可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）①反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O 关于AB 的对称圆⊙O ，∵若点C 关于直线AB 的对称点C '在⊙O 上或其内部，且∠ACB ＝α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”，∴点C 应在⊙O '的圆内或圆上，∵点A （0，1），B （1，0），∴OA ＝OB ＝1，∵∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，由对称得：∠O 'BA ＝O 'AB ＝45°，∴△O ′BA 为等腰直角三角形，∴O '（1，1），设⊙O 半径为R ，则，故C 1在⊙O '外，不符合题意；C 2O '＝2﹣1＝1＝R ，故C 2在⊙O '上，符合题意；，故C 3在⊙O '外，不符合题意，∴点C 2是弦AB 的“α可及点”，可知B ，O ′，C 2三点共线，∵，∴，故答案为：C 2，45；②取AB 中点为H ，连接DH ，∵∠ADB＝90°，∴HD＝HA＝HB，∴点D在以H为圆心，HA为半径的AB上方半圆上运动（不包括端点A、B），∴当DH∥x轴时，点D横坐标最大，∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，∴，∴，∵点A（0，1），B（1，0），∴，∴，∴点D的横坐标的最大值为，故答案为：；（2）反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O'，∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，∴点C应在⊙O'的圆内或圆上，∴点P需要在⊙O'的圆内或圆上，作出△MPN的外接圆⊙O″，连接O″M，O″N，∴点P在以O″为圆心，MO″为半径的上运动（不包括端点M、N），∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°，∴∠O″MN＝30°，由对称得点O，O'在MN的垂直平分线上，∵△MPN的外接圆为⊙O″，∴点O″也在MN的垂直平分线上，记OO'与NM交于点Q，∴，∴，随着MN的增大，⊙O'会越来越靠近⊙O，当点O'与点O″重合时，点P在⊙O'上，即为临界状态，此时MN最大，，连接O″P，OP，∵OP≤OO″+O″P，∴当MN最大，时，此时△MNP为等边三角形，由上述过程知，∴，∴当r＝1，OP的最大值为2，设，则，解得：，记直线与⊙O交于T，S，与y轴交于点K，过点S作SL⊥x轴，当x＝0，，当y＝0时，，解得x＝1，∴与x轴交于点T（1，0），∴，∵OT＝OS，∴△OTS为等边三角形，∴∠TOS＝60°，∴，∴，∴t的取值范围是．。
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20XX 年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分。
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（4分）（2013•北京）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013﹣2015）》中，北京市提出了
2．（4分）（2013•北京）﹣的倒数是（ ）
． C 3．（4分）（2013•北京）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从． C D ．
4．（4分）（2013•北京）如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥
b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则
∠4等于（ ）
5．（4分）（2013•北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC
，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得BE=20m ，CE=10m ，CD=20m ，则河的宽度AB 等于（ ）
．
C
D ．
7．（4分）（2013•
8．（4分）（2013•北京）如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
． C D ．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．（4分）（2013•北京）分解因式：ab 2﹣4ab+4a= _________ ．
10．（4分）（2013•北京）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= _________ ．
11．（4分）（2013•北京）如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为 _________ ．
12．（4分）（2013•北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y=﹣x ﹣1，双曲线y=，在l 上取一点A 1，过A 1作x
轴的垂线交双曲线于点B 1，过B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2，请继续操作并探究：过A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…记点A n 的横坐标为a n ，若a 1=2，则a 2= _________ ，a 2013= _________ ；若要将上述操作无限次地进行下去，则a 1不可能取的值是 _________ ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（5分）（2013•北京）已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．
求证：BC=AE．
14．（5分）（2013•北京）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
15．（5分）（2013•北京）解不等式组：．
16．（5分）（2013•北京）已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
17．（5分）（2013•北京）列方程或方程组解应用题：
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．
18．（5分）（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（5分）（2013•北京）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使
CE=BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
20．（5分）（2013•北京）如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．
（1）求证：∠EPD=∠EDO；
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．
21．（5分）（2013•北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于20XX年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分．
（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为_________平方千米；
（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；
（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于20XX年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）．
22．（5分）（2013•北京）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当
∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为_________；（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为_________．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（7分）（2013•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
24．（7分）（2013•北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．
25．（8分）（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2，0）．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D、E、F中，⊙O的关联点是_________．
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．
20XX年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共32分，每小题4分。
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．B
2．D
3．C
4．C
5．B
6．A
7．B
AP=
OC==
OC AP=x
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．2
a b
(2)
10．y=x2+1（答案不唯一）．
OM=AB=2.5
=13
AC=6.5
12．
31
,;01
--、.（
，
，
，
，
，
，﹣，
，，，﹣
；
、﹣；
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
14．5.
15．﹣1＜x＜
16．12
＜
±
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
CE=BC
DH=2
AD=3
DE=．
PDA=
PDA=
×=0.03
；
，则斜边上的高为a a•a=
×
×
MF=SF=
a×=
•a
x x
SD•x x=
×a的面积为a ×，解得x=（不合题意，舍去）
，即．
．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
﹣
，
ACB=αα
α
CAD=∠BAC=
α=
EBC=
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