第06课 多自由度系统的运动方程
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多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
6多自由度系统振动c
2 1
k (2 2 ) m
2 2
k 2 m
2 3
k (2 2 ) m
2 4
在正则坐标中分两种情况求解 x （1）i 1 时 1 0 运动方程：N1 0
x 初始条件： N1 (0) 0 xN1 (0) m v
解： x N1 at b
假使 12 是 r 重根
2 即有：12 2 r2
2 r21 ,, n 都是单根 其余的
将 2 12 代入特征值问题表达式： ( K 2 M ) 0 φ 1
rank[ K 12 M ] n r 特征矩阵[ K M ] 的秩：
2 1
令： X ΦN X N
得： X N ΛX N 0
2 x 展开，得： Ni i xNi 0
X N [ xN1
xN 2
xN 3
xN 4 ]T
(i 1 ~ 4)
1 T 初始条件： X N (0) ΦN X 0 [0 0 0 0]
X N (0) ΦN1 X 0 m v[1 0 1 0]T
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
• 频率方程的重根情形
在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的 特征值都是特征方程的单根 。
复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况 例如，柔性航天结构
下面讨论如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振 型问题
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
求得固有频率：
12 0 方法一：
k m k 2 2 (2 2 ) m
2 2 (2 2 )
k m k 32 2 m
k (2 2 ) m
2 2
k 2 m
2 3
k (2 2 ) m
2 4
在正则坐标中分两种情况求解 x （1）i 1 时 1 0 运动方程：N1 0
x 初始条件： N1 (0) 0 xN1 (0) m v
解： x N1 at b
假使 12 是 r 重根
2 即有：12 2 r2
2 r21 ,, n 都是单根 其余的
将 2 12 代入特征值问题表达式： ( K 2 M ) 0 φ 1
rank[ K 12 M ] n r 特征矩阵[ K M ] 的秩：
2 1
令： X ΦN X N
得： X N ΛX N 0
2 x 展开，得： Ni i xNi 0
X N [ xN1
xN 2
xN 3
xN 4 ]T
(i 1 ~ 4)
1 T 初始条件： X N (0) ΦN X 0 [0 0 0 0]
X N (0) ΦN1 X 0 m v[1 0 1 0]T
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
• 频率方程的重根情形
在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的 特征值都是特征方程的单根 。
复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况 例如，柔性航天结构
下面讨论如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振 型问题
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
求得固有频率：
12 0 方法一：
k m k 2 2 (2 2 ) m
2 2 (2 2 )
k m k 32 2 m
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
结构动力学多自由度
▪ 振型方程：
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值， ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： ▪ —— 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)
jˆ
32
s
in
(
2
t
2
)
1
jˆ
2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N
动力学与控制-多自由度系统数值计算(1)直接积分法
{x(t )} 15 25 3 { X 1} cos(1t ) 66 15 25 3 { X 2 } cos( 2t ) 66 5 1 11 3
直接积分法
• 中心差分法
将ti时刻的速度、加速度向量近似地表示为
}i {x 1 ({x}i 1 {x}i 1 ), 2 t 1 }i 2 ({x}i 1 {x}i 1 2{x}i ). { x t (
12
2
2015/5/15
直接积分法
直接积分法
为了使用Runge-Kutta公式，先把振动方程改写为一 ，则 阶方程组的形式。记 y x
Cy Kx F (t ) My
• Runge-Kutta方法
求解一阶方程组
f ( z, t ) z
的(一种)四阶Runge-Kutta公式是
[ M ]{x}i 1 {F }i , i 1,2, , n 1
直接积分法
}0 [ M ]1 ({F }0 [C ]{x }0 [ K ]{x}0 ) { x
(A.5)
数值计算时，时间步长t受系统的最高频率限.3)为线性方程组，可以从中解出{x}i+1。但是, {x}1 不能由此得到。引入虚拟的{x}-1(辅助量，没有物理 意义)，根据(A.1)得到
2015/5/15
直接积分法
多自由度系统的运动方程：
} [C ]{x } [ K ]{x} {F (t )} [ M ]{ x
(1)
动力学与控制
初始条件： (2) 假定需要计算 [0,T] 时段的响应(位移、速度或者加速 度向量)。为此，我们把时间全程划分为n个等距离时 间子域，记 t T / n ，以确定时刻
直接积分法
• 中心差分法
将ti时刻的速度、加速度向量近似地表示为
}i {x 1 ({x}i 1 {x}i 1 ), 2 t 1 }i 2 ({x}i 1 {x}i 1 2{x}i ). { x t (
12
2
2015/5/15
直接积分法
直接积分法
为了使用Runge-Kutta公式，先把振动方程改写为一 ，则 阶方程组的形式。记 y x
Cy Kx F (t ) My
• Runge-Kutta方法
求解一阶方程组
f ( z, t ) z
的(一种)四阶Runge-Kutta公式是
[ M ]{x}i 1 {F }i , i 1,2, , n 1
直接积分法
}0 [ M ]1 ({F }0 [C ]{x }0 [ K ]{x}0 ) { x
(A.5)
数值计算时，时间步长t受系统的最高频率限.3)为线性方程组，可以从中解出{x}i+1。但是, {x}1 不能由此得到。引入虚拟的{x}-1(辅助量，没有物理 意义)，根据(A.1)得到
2015/5/15
直接积分法
多自由度系统的运动方程：
} [C ]{x } [ K ]{x} {F (t )} [ M ]{ x
(1)
动力学与控制
初始条件： (2) 假定需要计算 [0,T] 时段的响应(位移、速度或者加速 度向量)。为此，我们把时间全程划分为n个等距离时 间子域，记 t T / n ，以确定时刻
第四章 多自由度系统
I1 [M ] =
I2
1 = 1960 1 kg ⋅ m 2 ) ( I3 1
第二节 无阻尼自由振动和特征值问题
− k1 0 k1 2 −2 0 由刚度影响系数法得： 由刚度影响系数法得：[ K ] = −k1 k1 + k2 −k2 = 0.98 ×107 −2 3 −1 ( N ⋅ m / rad ) 0 0 −1 1 −k2 k2 ɺɺ 1 θ1 2 −2 0 θ1 0 则作用力方程为： 则作用力方程为： 1960 1 θ 2 + 0.98 ×107 −2 3 −1 θ 2 = 0 ɺɺ θ ɺɺ 0 −1 1 θ3 0 1 3
ɺ x [ M ]{ɺɺ( t )} + [C ]{ x ( t )} + [ K ]{ x ( t )} = {F ( t )}
第一节 运动微分方程的建立
一、牛顿力学法
包括能量法、牛顿运动定律、动量定理、动量矩定理、 包括能量法、牛顿运动定律、动量定理、动量矩定理、定轴转动微分 方程、动能定理等诸多方法。 方程、动能定理等诸多方法。
方法（ 二、分析力学—— 分析力学——Lagrange方法（第三章已介绍过） —— 方法 第三章已介绍过）
三、影响系数法
1.刚度影响系数和作用力方程 刚度影响系数和作用力方程
坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第 坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第i个广义坐 ）， 标方向所加的力。实际上就是刚度矩阵的元素 刚度矩阵的元素。 标方向所加的力。实际上就是刚度矩阵的元素。
第一节 运动微分方程的建立
自由度体系的运动方程
边界条件的处理
边界条件是运动方程中需要考虑的重要因素，它决定了系统 的行为和响应。
处理边界条件的方法包括直接约束法、引入虚拟约束法、罚 函数法等。根据具体问题选择适当的处理方法，以保证求解 的准确性和有效性。
04 自由度体系的稳定性分析
线性稳定性分析
线性化方程
将非线性自由度体系线性化，得到线性微分方 程。
通过建立自由度体系的运动方程，可以分析飞行器的气动性能、稳定性、控制性能等，为航空航天器设计提供重要的技术支 持。
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解析法求解需要对方程进行数学变换 ，如分离变量法、傅里叶变换等，以 简化方程并找到解。
数值法求解
数值法求解运动方程是通过对方程进 行离散化，用一系列离散点上的数值 近似代替连续的解。这种方法适用于 复杂的问题，如多自由度振动或非线 性动力学问题。
数值法求解需要选择适当的离散化方 法和迭代算法，如有限差分法、有限 元法、龙格-库塔法等，以获得满足精 度要求的解。
确定需要优化的参数，并给出其取值范围和约束 条件。
建立约束条件
根据设计要求和实际情况，建立各种约束条件， 如几何约束、性能约束等。
优化算法的选择与实现
优化算法分类
根据设计问题的特点和要求，选择合适的优化算法，如梯度下降 法、遗传算法、模拟退火算法等。
算法实现
根据选定的优化算法，编写相应的计算程序，实现优化设计的过程。
航天器姿态控制
航天器的姿态调整是通过 控制其自由度实现的，如 俯仰、偏航和滚动三个方 向的转动。
车辆动力学
车辆的运动状态可以通过 控制其轮毂电机的自由度 进行调节，实现车辆的稳 定性和操控性。
02 运动方程的建立
第十三讲—多自由度系统的运动方程
−
ka2θ2
+
⎛ ⎜⎝
ka 2
+
1 2
mgl
⎞⎟⎠θ3
=
0
⎡ ⎢ ⎢
1 3
ml
2
⎢ ⎢
0
⎢
0 1 ml2 3
⎢ ⎢⎣
0
0
质量矩阵
0
⎤ ⎥ ⎥
⎡⎢ka2 ⎢
+
1 2
mgl
0
⎥⎢ ⎥⎢
−ka2
1
ml
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
3 ⎥⎦ ⎢⎣
−ka2 2ka2 + 1 mgl
2 −ka2
刚度矩阵
0
⎤ ⎥
⎥
−ka2
⎥ ⎥
θ12
+
θ
2 2
+ θ32
O1
O2
O3
a
k
k
势能
θ1
θ2
θ3
U
=
1 2
k
( aθ1
−
aθ2
)2
+
1 2
k
( aθ 2
−
aθ3 )2
+
mg
l 2
(1 −
cos θ1 )
+
mg
l 2
(1 −
cosθ2
)
+
mg
l 2
(1 −
cos θ1 )
( ) 1
2
k
( aθ1
−
aθ2
)2
+
1 2
k
( aθ 2
−
aθ3
2i
j
mij
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以 m2 为研究对象，有
m2x1 k2 x1 x2 c2x1 x2 k3x2 c3x2 F2 (t)
将方程(1)、（2）整理可得
（1） （2）
m1x1 c1 c2 x1 c2x2 k1 k2 x1 k2x2 F1(t)
n
1
kn2
k1n
k2n
k
n
n
刚度影响系数 作用力方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令 x1 1 x2 x3 0 在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力 k11、k21、k31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
k11 k1 k2，k21 k2，k31 0
机械振动(Mechanical Vibration)
第七课 多自由度系统的运动方程
交通与车辆工程学院 刚宪约
2019年9月15日
单自由度系统回顾
单自由度系统运动方程的建模
• 牛顿第二定律（向量方法），达朗伯原理 • 能量方法d(U+T)=0 • 虚位移原理（虚功原理）
单自由度系统固有频率计算方法
T
对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。
应用叠加原理可得到 x1 (F1)11 (F2 )12 (F3 )13 x2 (F1) 21 (F2 ) 22 (F3 ) 23 x3 (F1) 31 (F2 ) 32 (F3 ) 33
0
k2 k1 k3
k3
0
k
3
k3
kij k ji
刚度矩阵一般是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即
K KT
柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是 k ，
则1 k 就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响
系数，用 表示。
3.1 多自由度系统的运动方程
牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法
• 刚度影响系数法 • 柔度影响系数法
Lagrange方程方法
• 约束、自由度与广义坐标 • Lagrange方程建模方法
约束、自由度与广义坐标
约束是对自由而言得,是一个纯运动学概念,他强调力学体系在运 动时必须满足某些规定的条件.约束条件必须通过约束方程的形式才 能确切的表示出来.
1 2
m
2
x
2 2
1 2
x1
Байду номын сангаас
,
x 2
m01
0 m2
x1
x 2
1 2
x Mx
U
1 2
k1 x12
1 2
k2 x2
x1 2
1 2
k
3
x
3 2
1 2
x1
,
x
2
k1k
k
2
2
k2 k2 k3
x1 x2
方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。若用矩阵表示， 则可写成
Mx Kx 0
x x1 x2 xn T，x x1 x2 xn T
式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量。
影响系数法
刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度 系统中，简称弹性常数)。它表示系统单位变形所需 的作用力。具体地说，如果使第 j 个质量沿其坐标方 向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力 而使它们保持不动，则沿第 i 个质量坐标方向施加的
• 根据运动方程 n2 k / m
• 能量方法Umax=Tmax • 单位加速度法
初始条件下系统的运动方程
单自由度系统回顾
等效质量与等效刚度计算
• 等效质量－－动能等效 • 等效刚度－－势能等效
阻尼自由振动
• 三种阻尼类型（粘性，库伦，结构） • 阻尼比与临界阻尼，振动方程的解，初始条件下的响应 • 对数衰减率测定系统阻尼 • 粘性阻尼与库伦阻尼的衰减特征
3.1 多自由度系统的运动方程
牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法
• 刚度影响系数法 • 柔度影响系数法
Lagrange方程方法 • 约束、自由度与广义坐标 • Lagrange方程建模方法
影响系数法
一般情况下，n 个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具 有以下形式
m11x1 m12 x2 m1n xn k11x1 k12 x2 k1n xn 0 m21x1 m22 x2 m2n xn k21x1 k22 x2 k2n xn 0 mn1x1 mn2x2 mnn xn kn1x1 kn2 x2 knn xn 0
n 自由度系统的柔度矩阵 Δ 为 n 阶方阵，其元素ij 称
为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。具体地说，仅 在第 j 个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第 i
个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为ij 。
现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。
FF1 1
首先施加单位力 F1 1，F2 F3 0
cij
2D xix j
kij
2U xix j
根据上式得到列系统的运动微分方程的一种 简单的方法：
• 先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后 利用上式求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度 矩阵，最终求出系统的运动微分方程。
这样的优点是，由于系统的动能、势能和能 量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向。
31
12 22 32
13 23 33
k1 1
k1 1
k1
1
k1 11 k1 k2 11 k1 k2
1
k1
1
1 k1
1
1 k2
1
k1 k2 k3
系统的柔度矩阵为
1
11 21
这时三物块所产生的静位移分别是 11、 21、 31
1
当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 弹簧的变形为零。
k1
，第二和第三个
所以三物块的位移都是
11
1 k1
, 21
1 k1
, 31
1 k1
F2
令 F2 1，F1 F3 0 第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为 1 , 1
• 傅立叶级数，正弦、余弦激励函数的响应，线性叠加原理 • 脉冲函数与脉冲响应 • 卷积积分 • 频响函数、脉冲响应函数与传递函数之间的关系
本章主要内容
3.1 多自由度系统的运动方程 3.2 频率方程、振型与正则坐标 3.3 多自由度系统的振动响应 3.4 多自由度系统的数值计算方法
k1 k2 第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有
12
1 k1
, 22
1 k1
1 k2
, 32
1 k1
1 k2
F3
再令 F1 F2 0, F3 1
可得到
13
1 k1
, 23
1 k1
1 k2
, 33
1 k1
1 k2
1 k3
系统的柔度矩阵为
1
11 21
同理，令 x1 0，x2 1，x3 0
画出受力图，则有 k12 k2 ，k22 k2 k3，k32 k3 最后令 x1 x2 0，x3 1
画出受力图，有 k13 0，k23 k3，k33 k3
因此刚度矩阵为
k1 k2
K
k2
3.1 多自由度系统的运动方程
牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法
• 刚度影响系数法 • 柔度影响系数法
Lagrange方程方法
• 约束、自由度与广义坐标 • Lagrange方程建模方法
牛顿第二定律建模
以 m1 为研究对象，有
m1x1 k1x1 k2x2 x1 c1x1 c2 x2 x1 F1(t)
单自由度系统回顾
简谐强迫振动
• 简谐强迫振动的解，复指数法 • 频响函数与频响特性曲线 • 品质因数与半功率带，半功率带法测量阻尼 • 旋转失衡与基础振动引起的简谐强迫振动方程、频响函数 • 积极隔振与消极隔振原理 • 位移传感器与加速度传感器的频响特性
单自由度系统回顾
周期强迫振动与非周期强迫振动
系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形 x1 (m1x1 ) 11 (m2 x2 ) 12 (m3 x3 ) 13 x2 (m1x1 ) 21 (m2 x2 ) 22 (m3 x3 ) 23 x3 (m1x1 ) 31 (m2 x2 ) 32 (m3 x3 ) 33
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t) (t)
即
Mx Cx kx F(t)
Mx Cx kx F(t)
这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的 运动微分方程非常相似。
（3）
m2x1 c2x1 c2 c3 x2 k2x1 k2 k3 x2 F2 (t) （4）
m2x1 k2 x1 x2 c2x1 x2 k3x2 c3x2 F2 (t)
将方程(1)、（2）整理可得
（1） （2）
m1x1 c1 c2 x1 c2x2 k1 k2 x1 k2x2 F1(t)
n
1
kn2
k1n
k2n
k
n
n
刚度影响系数 作用力方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令 x1 1 x2 x3 0 在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力 k11、k21、k31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
k11 k1 k2，k21 k2，k31 0
机械振动(Mechanical Vibration)
第七课 多自由度系统的运动方程
交通与车辆工程学院 刚宪约
2019年9月15日
单自由度系统回顾
单自由度系统运动方程的建模
• 牛顿第二定律（向量方法），达朗伯原理 • 能量方法d(U+T)=0 • 虚位移原理（虚功原理）
单自由度系统固有频率计算方法
T
对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。
应用叠加原理可得到 x1 (F1)11 (F2 )12 (F3 )13 x2 (F1) 21 (F2 ) 22 (F3 ) 23 x3 (F1) 31 (F2 ) 32 (F3 ) 33
0
k2 k1 k3
k3
0
k
3
k3
kij k ji
刚度矩阵一般是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即
K KT
柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是 k ，
则1 k 就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响
系数，用 表示。
3.1 多自由度系统的运动方程
牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法
• 刚度影响系数法 • 柔度影响系数法
Lagrange方程方法
• 约束、自由度与广义坐标 • Lagrange方程建模方法
约束、自由度与广义坐标
约束是对自由而言得,是一个纯运动学概念,他强调力学体系在运 动时必须满足某些规定的条件.约束条件必须通过约束方程的形式才 能确切的表示出来.
1 2
m
2
x
2 2
1 2
x1
Байду номын сангаас
,
x 2
m01
0 m2
x1
x 2
1 2
x Mx
U
1 2
k1 x12
1 2
k2 x2
x1 2
1 2
k
3
x
3 2
1 2
x1
,
x
2
k1k
k
2
2
k2 k2 k3
x1 x2
方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。若用矩阵表示， 则可写成
Mx Kx 0
x x1 x2 xn T，x x1 x2 xn T
式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量。
影响系数法
刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度 系统中，简称弹性常数)。它表示系统单位变形所需 的作用力。具体地说，如果使第 j 个质量沿其坐标方 向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力 而使它们保持不动，则沿第 i 个质量坐标方向施加的
• 根据运动方程 n2 k / m
• 能量方法Umax=Tmax • 单位加速度法
初始条件下系统的运动方程
单自由度系统回顾
等效质量与等效刚度计算
• 等效质量－－动能等效 • 等效刚度－－势能等效
阻尼自由振动
• 三种阻尼类型（粘性，库伦，结构） • 阻尼比与临界阻尼，振动方程的解，初始条件下的响应 • 对数衰减率测定系统阻尼 • 粘性阻尼与库伦阻尼的衰减特征
3.1 多自由度系统的运动方程
牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法
• 刚度影响系数法 • 柔度影响系数法
Lagrange方程方法 • 约束、自由度与广义坐标 • Lagrange方程建模方法
影响系数法
一般情况下，n 个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具 有以下形式
m11x1 m12 x2 m1n xn k11x1 k12 x2 k1n xn 0 m21x1 m22 x2 m2n xn k21x1 k22 x2 k2n xn 0 mn1x1 mn2x2 mnn xn kn1x1 kn2 x2 knn xn 0
n 自由度系统的柔度矩阵 Δ 为 n 阶方阵，其元素ij 称
为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。具体地说，仅 在第 j 个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第 i
个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为ij 。
现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。
FF1 1
首先施加单位力 F1 1，F2 F3 0
cij
2D xix j
kij
2U xix j
根据上式得到列系统的运动微分方程的一种 简单的方法：
• 先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后 利用上式求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度 矩阵，最终求出系统的运动微分方程。
这样的优点是，由于系统的动能、势能和能 量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向。
31
12 22 32
13 23 33
k1 1
k1 1
k1
1
k1 11 k1 k2 11 k1 k2
1
k1
1
1 k1
1
1 k2
1
k1 k2 k3
系统的柔度矩阵为
1
11 21
这时三物块所产生的静位移分别是 11、 21、 31
1
当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 弹簧的变形为零。
k1
，第二和第三个
所以三物块的位移都是
11
1 k1
, 21
1 k1
, 31
1 k1
F2
令 F2 1，F1 F3 0 第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为 1 , 1
• 傅立叶级数，正弦、余弦激励函数的响应，线性叠加原理 • 脉冲函数与脉冲响应 • 卷积积分 • 频响函数、脉冲响应函数与传递函数之间的关系
本章主要内容
3.1 多自由度系统的运动方程 3.2 频率方程、振型与正则坐标 3.3 多自由度系统的振动响应 3.4 多自由度系统的数值计算方法
k1 k2 第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有
12
1 k1
, 22
1 k1
1 k2
, 32
1 k1
1 k2
F3
再令 F1 F2 0, F3 1
可得到
13
1 k1
, 23
1 k1
1 k2
, 33
1 k1
1 k2
1 k3
系统的柔度矩阵为
1
11 21
同理，令 x1 0，x2 1，x3 0
画出受力图，则有 k12 k2 ，k22 k2 k3，k32 k3 最后令 x1 x2 0，x3 1
画出受力图，有 k13 0，k23 k3，k33 k3
因此刚度矩阵为
k1 k2
K
k2
3.1 多自由度系统的运动方程
牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法
• 刚度影响系数法 • 柔度影响系数法
Lagrange方程方法
• 约束、自由度与广义坐标 • Lagrange方程建模方法
牛顿第二定律建模
以 m1 为研究对象，有
m1x1 k1x1 k2x2 x1 c1x1 c2 x2 x1 F1(t)
单自由度系统回顾
简谐强迫振动
• 简谐强迫振动的解，复指数法 • 频响函数与频响特性曲线 • 品质因数与半功率带，半功率带法测量阻尼 • 旋转失衡与基础振动引起的简谐强迫振动方程、频响函数 • 积极隔振与消极隔振原理 • 位移传感器与加速度传感器的频响特性
单自由度系统回顾
周期强迫振动与非周期强迫振动
系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形 x1 (m1x1 ) 11 (m2 x2 ) 12 (m3 x3 ) 13 x2 (m1x1 ) 21 (m2 x2 ) 22 (m3 x3 ) 23 x3 (m1x1 ) 31 (m2 x2 ) 32 (m3 x3 ) 33
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t) (t)
即
Mx Cx kx F(t)
Mx Cx kx F(t)
这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的 运动微分方程非常相似。
（3）
m2x1 c2x1 c2 c3 x2 k2x1 k2 k3 x2 F2 (t) （4）