留数理论及应用

2.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数f (z)如果能表示成：
f (z) (z z0 )m(z) 其中(z)在z0处解析，且(z0 ) 0, m为一正整数，那么z0称为f (z)的m级零点。
例如：z 0和z 1分别是函数 f (z) z(z 1)3的一级和三级零点。
结论：如果f (z)在z0处解析，那么z0为f (z)的m级零点的充分必要条件是： f (n) (z0 ) 0, (n 0,1,2....m 1) , f (m) (z0 ) 0
如果函数：
f (z) cn z n c0 cn z n
n1
n1
(t) cnt n c0 cnt n
n1
n1
则：t 0是(t)的
(1)：不含负幂项(可去奇点)
(2)：含有限多个负幂项，t m为最高负幂项(m级奇点)
(3)：含无限多个负幂项(本性奇点)
对应：z 是f (z)的 (1)：不含正幂项(可去奇点) (2)：含有限多个正幂项，z m为最高正幂项(m级奇点) (3)：含无限多个正幂项(本性奇点)
那么我们说 z0 是f(z)的可去奇点，或者说f(z)在 z0 有可去奇点。
这是因为令 f (z0 ) 0 ，就得到在整个圆盘
| z z0 | R 内的解析函数f(z)。
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：z 0是 sin z 的可去奇点 z
孤立奇点的分类-极点：
（2）如果只有有限个（至少一个）负整数n，
使得 n 0,
(sinz)3
§5.2 留数定理
1.留数的定义及留数定理
1. 留数定理
设 C 为分段光滑的简单闭合曲线，f (z) 在 C 内除有限孤立
奇点b1,b2 ,L L ,bN 外处处解析，则
N
N
Ñ f (z)dz 2i C
a(k) 1
2 i
Re sf (bk ) （1）
k 1
k 1
式
中
a(k ) 1
例如：函数f (z) z 在环域1 z 内展开： z 1
f (z) 1 1 1 1 1 ....... (1)n 1
1 1
z z2 z3
zn
z
则是f (z)的可去奇点。若取 f () 1，那么f (z)在解析
例2：函数f (z) (z 2 1)(z 2)3 在扩充平面内有些什么类型的奇点？
具有支点的函
数f (z),称为多值函数。
例如：f (z) z，显然零是其一个支点 。
当沿着以原点为圆心， 充分大的正数 R为半径 的圆周顺时针旋转一周 时，函数值将发生变化 。
这是因为，若令 z 1 t
则有f (z) z 1 t
相当于t绕t 0旋转一圈回到原处，函数值将发生改变，
则z 也是函数的一个支点。
Re sf
(bk ) 是
f
(z) 在孤立奇点 bk
的洛朗展开式中的
1
的系数，称其为留数。
(z bk )
证明：
作回路（逆时针）C1,C2 ,L ,Ck ,L ,CN 。根据复连通域柯
西定理得：
N
i i f (z)dz
f (z)dz
C
k 1 Ck
把 f (z)在孤立奇点 z bk 处展开，
(0 z z0 R)
则：令z
z0
,
f
(
z
)的极限随z趋近于z
的方式而定，例如：
0
1
ez
1
z 1
1
z 2
.......
1
z n
2!
n!
z0
1
0是函数e z的本性奇点。当 z沿正实轴趋近于零
,则1 z
1
，e z
而：当 z沿负实轴趋近于零
,则1
1
，e z
0
z
当：z沿
i
1
趋近于零 , 则，e z e2n 1
定理：如果 z0是f (z)的m级极点，则 z0就是
1 的m级零点。反之亦然 f (z)
这个定理为判断函数的 极点提供了一个简便的 方法
例1：找出函数 1 和 e z 1的奇点 ? sin z z 2
5.函数在无穷远处的形态
如果函数f (z)在无穷远点z 的去心邻域R z 内解析， 那么称点为f (z)的孤立奇点。
2n
总结以上论述: 0分别是
sin z
z
,
sin z2
z
,
e
1 z
的可去奇点、单极点及本性奇点。
对于多值函数而言还有 一类奇点即支点。
定义：对于一个给定的点z0和给定的函数f (z),如果自变量
z在z 0 点的充分小邻域内绕z 0 转一周回到原来点时，函数值
与原
来之不同，则称z
点为函
0
数f
(
z
)的支点。
1.解析函数的孤立奇点：
设函数f(z)在去掉圆心的圆盘
B : 0 | z z0 | R(0 R )
内确定并且解析，那么我们称 z0 为f(z)的孤立
奇点。在D内，f(z)有洛朗展式 f (z) n (z z0 )n ,
n
其中n
1
2i
C (
f (
z0
) )n1
d
,
(n
0,1,2,...)
C 是圆 | z z0 | (0 R).
若在z
0的无论多么小的邻域内总可以找到除z
以外的不可导
0
的点，则称z0为f (z)的非孤立奇点
孤立奇点的分类—可去奇点：
一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式 含负数幂的情况，可以把孤立奇点分类如下：
（1）、如果当时n=-1,-2,-3,…， n 0
来说，z
1是函数的一个三级极点
z i是函数的一级极点。
孤立奇点的分类—本性奇点：
（3）如果有无限个整数n<0，使得
n 0
那么我们说 z0 是f(z)的本性奇点。
在本性奇点的邻域内， 函数f (z)有以下性质
如果z0为函数f (z)的本性奇点，就是说在环域0 z z0 R上的洛朗级数为：
f (z) n (z z0 )n , n
作变换t 1 ,则实现了z平面上的去心邻域R z 到t平面原点的 z
去心邻域0 t 1 的变换 R f (z) f (1) (t) t
显然，(t)在去心邻域0 t 1 内是解析的，所以t 0是(t)的孤立奇点。
R
我们规定：如果t 0是(t)的可去奇点，m级极点或本性奇点，那么
就称z 是f (z)的可去奇点，m级极点或本性奇点。
那么我们说 z0 是f(z)的极点。
设对于正整数m， m 0,
而当n<-m时，n 0,
那么我们 z0 是f(z)的m阶极点。按照m=1或m>1 ，我们也称 z0 是f(z)的单极点或m重极点。
如果z0为f
(z)的极点，则：lim zz0
f (z)
例如：有理分式函数f
(z)
(z2
z2 1)(z 1)3