积分学小结——二重积分、三重积分,线积分、面积分共45页文档
二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
二重积分三重积分曲线积分曲面积分二重积分二重积分的概念二重积分是微积分中的重要概念之一，它是对二元函数在一个有界闭区域上的积分运算。
二重积分可以看作是对一个平面区域的面积进行加权求和，其中权重由函数值决定。
二重积分的计算可以通过分割区域，将区域内的小面积元素加权求和的方式进行。
二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的面积法和极坐标系下的面积法。
在直角坐标系下，二重积分可以通过将区域分割成小矩形，计算每个小矩形的面积乘以函数值的和来近似计算。
在极坐标系下，可以通过将区域分割成小扇形，计算每个小扇形的面积乘以函数值的和来近似计算。
二重积分的应用二重积分在物理学、统计学、经济学等领域有广泛的应用。
在物理学中，二重积分可以用来计算平面分布的物理量，如电荷密度、质量分布等。
在统计学中，二重积分可以用来计算二维随机变量的概率密度函数。
在经济学中，二重积分可以用来计算两个变量之间的相关性。
三重积分三重积分的概念三重积分是对三元函数在一个有界闭区域上的积分运算。
它可以看作是对一个空间区域的体积进行加权求和，其中权重由函数值决定。
三重积分的计算可以通过分割区域，将区域内的小体积元素加权求和的方式进行。
三重积分的计算方法三重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的体积法和柱面坐标系下的体积法。
在直角坐标系下，三重积分可以通过将区域分割成小立方体，计算每个小立方体的体积乘以函数值的和来近似计算。
在柱面坐标系下，可以通过将区域分割成小柱体，计算每个小柱体的体积乘以函数值的和来近似计算。
三重积分的应用三重积分在物理学、流体力学、电磁学等领域有广泛的应用。
在物理学中，三重积分可以用来计算空间分布的物理量，如电荷密度、质量分布等。
在流体力学中，三重积分可以用来计算流体的质量、动量和能量等。
在电磁学中，三重积分可以用来计算电场和磁场的分布。
曲线积分曲线积分的概念曲线积分是对向量场沿曲线的积分运算。
二重积分及三重积分的计算
第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限.)0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim aani n x n n i dx =a a x a +=++11111.例2 求极限 ⎰+∞→1021lim xx n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是⎰+≤1210x x n ⎰≤1n x dx dx .而⎰10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim xx n n dx =0.解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba⎰()()⎰=bax g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），().101111212≤≤+=+⎰⎰n n nn dx x dx xx ξξ由于11102≤+≤nξ，即211nξ+有界，()∞→→+=⎰n n dx x n01110，故⎰+∞→1021lim x x nn dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R -型可作相应变换.如对积分()⎰++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>-⎰a dx x ax x a，由于()2222a x a x a x --=-，可设t a a x s i n =-.对积分dx e x ⎰--2ln 021，可设.sin t e x =-（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=⎰d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出22d c bdac A ++=，22dc adbc B +-=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+'++=⎰.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ⎰-1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ⎰-1211arcsin 2t x xt ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==-⎰⎰.1632π= 解法2 ()dx x x x⎰-1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=⎰u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx x I ⎰+=2032cos sin cos π； （2）.1cos 226dx e xx ⎰--+ππ解 （1）⎰+=2031cos sin sin πxx xdxI)(sin cos cos 2023du uu uu x -+-=⎰ππ=.sin cos cos 223⎰=+πI dx xx x故dx xx xx I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022-=+-⎰ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e xx ⎰--+ππ()dxe xdu e uu x x u ⎰⎰--+=-+-=2262261cos 1cos ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x xx.3252214365cos cos 21206226πππππ=⨯⨯⨯===⎰⎰-xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n⎰⎰=2020cos sin ππ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
定积分应用 二重积分 三重积分.doc
积分的应用定积分的应用 平面图形面积1、图形由0)(≥=x f y ,a x =,b x =及0=y 围成：⎰=badx x f A )(.2、 图形由)(x f y =,)(x g y =,a x =及b x =围成：⎰-=badx x g x f A )]()([,其中：],[),()(b a x x g x f ∈≥.3曲线由参数方程)(),(t y y t x x ==给出时，在],[21t t t ∈上所围图形的面积公式为dt t x t y A t t )()(21'=⎰4曲边扇形的面积由曲线)(θϕ=r 及矢径)(,βαβθαθ<==所围成的曲边扇形的面积公式为θθϕθβαβαd d r A ⎰⎰==22)]([2121例1求由x y 22=,4-=x y 所围成的图形的面积A .解：由 ⎩⎨⎧-==422x y x y 得 ⎩⎨⎧-==22y x 或 ⎩⎨⎧==48y x .⎰--+=42 2]21)4[(dy y y A .1864214232=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-y y y例2计算由曲线3)cos 1(=+θr 和直线1cos =θr 所围成图形的面积解：⎩⎨⎧==+1cos 3)cos 1(θθr r 解之得3,2πθ±==r . 则 θθθθθθπππd d S ]cos 1)cos 1(9[]cos 1)cos 1(9[2130223322⎰⎰-+=-+=- 3cos 29][tan 2cos 229cos 1)cos 1(960430304302302-=-=-+=⎰⎰⎰⎰πππππθθθθθθθtdt d d d 323]tan 31[tan 293)tan 1(sec 296036022=-+=-+=⎰ππt t dt t t平面曲线的弧长光滑（即连续可微分的）曲线)(x y y =在区间[a ，b ]上的弧长公式为dx y s ba21'+=⎰.曲线由参数方程)(),(t y y t x x ==给出，则t 在区间[a ，b ]上的弧长为⎰'+'=badt t y t x s )()(22.曲线由极坐标方程)(θr r =给出，则曲线上弧AB 的长为⎰⎰'+==BAd r r ds s B A θθθθθ)()(22）（）（.例 计算曲线]2,0[,2πθθ∈=r 的弧长（如图7—5所示） 解法1 （对θ的积分）,2θθd dr =得rdr d 2=θ，弧微分θθθθd rd dr ds 2224)()(+=+= 1)]161[(38])4[(31423202322023-+=+=+=⎰πθθθθπd S 解法2 （对r 的积分）θ从0到2π，则r 由0变到42π，而dr r ds 41+=.由上可得弧长为]1)161[(38])41[(38412324023422-+=+=+=⎰πππr dr r S 旋转体的侧面积1函数)(x f y =在],[b a 上绕x 轴旋转的旋转体的侧面积公式为dx x f x f S ba )(1)(22'+=⎰π.2曲线],[),(d c y y x ∈=ϕ绕y 轴旋转所成曲面的表面积公式dy y y S d c )(1)(22ϕϕπ'+=⎰.例1 计算圆222R y x =+在21x x x ≤≤上的弧段绕x 轴旋转一周所形成的球面的表面积 解对曲线22x R y -=,21x x x ≤≤应用公式得)(22121222121x x R Rdx dx y y S x x x x -=='+=⎰⎰πππ当R x R x =-=21,时，则得半径为R 球的表面积公式24R S π=如果平面曲线由参数方程βα≤≤⎩⎨⎧==x t y y t x x )()(给出，那么由它绕x 轴旋转所得旋转体的侧面积公式为dt t y t x t y S ⎰'+'=βαπ)()()(222.例2 计算由星形线⎪⎩⎪⎨⎧==tR y t R x 33sin cos 绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。
高等数学积分学总结
《高等数学》中的积分学总结高等数学中涉及的积分类型主要有：定积分（含广义积分）、二重积分、三重积分、曲线积分（对弧长、对坐标）、曲面积分（对面积、对坐标）。
一、符号形式1()baI f x dx =⎰；2(,)DI f x y d σ=⎰⎰；3(,,)I f x y z dV Ω=⎰⎰⎰；4(,,)CI f x y z ds =⎰；5CCI F dr Pdx Qdy Rdz ==++⎰⎰；6(,,)I f x y z dS ∑=⎰⎰；7I F ndS F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑∑∑===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、共同点2.1 定义方法：划分—>微元—>求和—>取极限 2.2 性质：线性性质、可加性、估值三、不同点ds功、流量、环量、通量dS流量、通量四、重要联系及公式4.1 Newton-Leibniz 公式：()()()ba f x dx Fb F a =-⎰4.2 Green 公式： 环量—旋度形式：()CDDQ P x y DPdx Qdy rotF kd F kd d σσσ∂∂∂∂+==∇⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰通量—散度形式：()CDDQPx yDPdy Qdx F nd divFd d σσσ∂∂∂∂-===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.3 Stokes 公式：()()()CQQRP RP y zz x xy Pdx Qdy Rdz rotF ndS F ndSdydz dzdx dxdy∑∑∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∑++==∇⨯=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.4 Gauss 公式：()QPR x yz Pdydz Qdzdx Rdxdy F ndS divFdV FdVdV∑∑ΩΩ∂∂∂∂∂∂Ω++===∇=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰五、基本计算方法5.1 定积分方法：凑微分法、换元法、分部积分法 特殊结论：（1）对称性与奇偶性：02(),()()()0,()()aaaf x dx f x f x f x dx f x f x -⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰（2）周期性：0()()a T Taf x dx f x d x +=⎰⎰（3）无界性：(),(),(),()A bb Aaaf x dx f x dx f x dx f x dx -++∞-∞⎰⎰⎰⎰2(,)DI f x y d σ=⎰⎰，其中D 为平面有界区域。
二重积分与三重积分
二重积分与三重积分积分是微积分的重要概念之一，是对函数的求和运算。
在微积分中，有两种常见的积分形式，即二重积分和三重积分，它们在不同维度下对函数进行求和。
本文将对二重积分和三重积分的概念、计算方法和应用进行介绍。
一、二重积分二重积分主要用于平面区域上的函数求积问题。
设有函数 f(x, y) 在平面区域 D 上连续，则二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dxdy其中，D 表示平面上的某个闭区域，f(x, y) 是定义在 D 上的函数，dxdy 表示对平面区域 D 进行积分求和。
计算二重积分的方法主要有直接积分和换元积分。
直接积分是将二重积分化为一重积分的连加，依次对 x 和 y 进行积分。
换元积分则是通过变量代换，将二重积分转化为更简单的形式进行计算。
二重积分在几何学、物理学、经济学等领域具有广泛的应用。
例如，可以用二重积分计算平面图形的面积、计算质量分布在平面上的物体的质量、计算曲线围成的平面区域内的曲线积分等。
二、三重积分三重积分主要用于三维空间内的函数求积问题。
设有函数 f(x, y, z)在空间域 V 上连续，则三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，V 表示空间中的某个闭区域，f(x, y, z) 是定义在 V 上的函数，dV 表示对三维空间域 V 进行积分求和。
计算三重积分的方法类似于二重积分，可以使用直接积分和换元积分。
通过将三重积分转化为更简单的形式，可以进行计算求解。
三重积分在物理学、工程学、天文学等领域有重要的应用。
例如，可以用三重积分计算物体的体积、计算物体的质心位置、计算电荷分布在空间中的电场等。
总结：二重积分和三重积分是微积分中的重要概念，它们分别适用于平面区域和三维空间中的函数求积问题。
通过不同的计算方法，可以对函数在给定区域内的求和进行精确计算。
二重积分和三重积分在各个领域都有广泛的应用，为解决实际问题提供了有效的数学工具。
对于深入理解和应用积分概念，掌握二重积分和三重积分的计算方法和应用是非常重要的。
积分学小结——二重积分、三重积分,线积分、面积分
2 (1 r ) 3
2 3
另由几何意义：
D
31 2 2 0
1 2 1 x y d (单位球体积) 2 3
2 2
重积分的应用
(1)体积
以曲面 z f ( x, y) 为顶，以区域 D 为底的柱体 的体积为
V f ( x , y )dxdy.
D
曲线积分 当 R2上平面曲线L时, f ( M )d f ( x , y )ds.
L
曲线积分 当 R 上空间曲线时, f ( M )d f ( x , y, z )ds. 3
曲面积分
当 R3上曲面S时, f ( M )d f ( x , y , z )dS .
1 1 xa dx ln | | C x2 a2 2a xa
(18)
tan xdx ln | cos x | C
(19)
cot xdx ln | sin x | C
积分概念的联系
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
定积分 当 R1上区间 [a, b]时, f ( M )d f ( x )dx.
a
b
二重积分 当 R2上区域D时, f ( M )d f ( x , y )d . 三重积分 当 R3上区域时, f ( M )d f ( x , y, z )dv
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y 2 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 D : y x 2
I
2
二、三重积分的计算
D2
X-型域或Y-型域 ,则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
5
第九章利用极坐标系计算二重积分面积元素i i
i
D
i
o
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
6
第九章
基本简化区域的定义 r－型区域： 穿过区域且r＝常数的圆周与区 域边界相交不多于两个交点.
dr
r sin
r sind
dv r2 sindrdd ,
r
rd
d
o
y
f ( x, y, z)dxdydz
d
x
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
第九章
28
第九章
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为 d
dr
r sin
r sind
dv r2 sindrdd ,
z
o
x
A
•
y
x yP
x2 y2 z2 r2
x2 y2 r2 sin2
3·球坐标的取值范围： 0 2,0 r ,0
25
第九章
规定： 0 r , 0 , 0 2.
三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
26
第九章
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为 d
D
f (x,
y)d
V f ( x, y) 0 V f ( x, y 0)
二重积分的物理意义：平面薄片D的质量
MD ( x, y)d
二重积分与多重积分及其应用总结
二重积分与多重积分及其应用总结知识要点。
（1） 二重积分（2） 三重积分（3） 多重积分的应用。
（4） 三重积分的总结。
一、二重积分(1) 直角坐标系下的二重积分。
（重点）直角坐标系下的二重积分，积分区域为二维平面。
⎰⎰=Ddxdy y x f I ),(。
这种形式的积分要让x 、y 取遍所有D 上的点（Ω为积分区域）。
所以要先让x 为常量，取遍y ，然后在上面的基础上再取遍x 。
或者先让y 为常量，取遍x ，然后在上面的基础上再取遍y 。
（点动成线，线动成面。
与这类似。
）针对不同的题目选择不同的方式。
而这其中的关键就是要找对积分区域D 和正确的目标函数表达式),(y x f 。
（2） 极坐标系下的二重积分。
（理解，计算是重点）极坐标系下的二重积分，积分区域同样为二维平面。
⎰⎰=Dd d f I θθ ),(。
这种形式的积分要先取长度 的线，然后变角度，就像是扫地一样。
或者是角度确定，变长度 一样就像是水波的扩散一样。
两种不同的方式一样可以取遍积分区域D 上的所有点。
但是单独拿出来的很少理解即可。
（3）直角坐标系下的二重积分与极坐标系下的二重积分之间的转换（重点）。
积分区域D 为圆或圆的一部分是，直角坐标下的积分有时候很难计算，但是化为极坐标会很简单。
这就需要极坐标与直角坐标的相互转换。
转换公式如下：ϑcos =x ϑsin =y ⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f ϑϑϑ )sin ,cos (),(额略长。
不过这是省掉积分上下限的。
如果在圆域内（尤其是那种圆的一部分），在直角坐标下积分的上下限异常麻烦，而且计算量相当之大。
但在极坐标系下将很容易。
3/16.二、三重积分(1) 直角坐标系下的三重积分。
（重点）。
直角坐标系下的三重积分，积分区域为三维立体。
⎰⎰⎰=Ddxdydz z y x f I ),,( 。
计算方式与二重积分无异。
就是先固定两个动一个。
再固定原先固定的一个，动另一个。