第三章 单相不可压缩流体的稳定渗流

该式称为单相流体稳定渗流连续性方程.
二
X方向:
运动方程 y K
Y方向:
Z方向:
vz
P z K
三
状态方程
M V V M/
dV M d 2 dP dP
1 dV C l V dP
1 V M d 2 dP
2 P 2 P 2 P 1 P 2 2 2 x y z t
热传导方程
该式为弹性孔隙介质单相微可压缩液体不稳定渗流方程。
K Ct
导压系数
单位:cm2/s
物理意义:表示单位时间内压力波在地层中的传播面积。
该方程的适用条件: ① 单相微可压缩液体 ② 液体渗流符合线性渗流规律 ③ 地层岩石均质微可压缩 ④ 弹性不稳定渗流 ⑤ 等温渗流过程 若渗流为稳定渗流,则有:
2 2 2 2 2 2 2 2
d P 1 dP 0 2 dr r dr
2
或
1 d(r ) 0 r dr
dP dr
1 d(r dP dr ) 0 r dr
dP r C1 dr
C1 dP dr r
P C1 ln r C2
代入边界条件
r rw , P Pwf ; r R e , P Pe
得：
Pwf C1 ln rw C2
Pe C1 ln R e C2
解方程得：
Pe Pwf C1 e ln R rw
Pe Pwf C 2 Pe Pe Re ln rw
代入方程得：
Pe Pwf Re P Pe ln Re r ln rw
P Pwf Pe Pwf ln
dx dy dz dt
dx dy dz dt
Z方向纯流出:
( z ) z
dx dy dz dt
dt 时间内从单元体内纯流出:
( x ) ( y ) ( z ) [ ]dx dy dz dt x y z
Re rw
P
r ln rw
Pe
P
Pwf
r
o
re
r
平面径向流压力分布曲线 压力分布公式表明：压力与坐标r呈对数关系，从整个地层看，地 层各点压力分布是此对数曲线绕井轴旋转构成的曲面，此曲面形 似漏斗，习惯称为“压降漏斗”。
三．平均地层压力
P
PdA dA

Re
rw
[ Pe
Pe Pw Re ln r
多孔介质状态方程式:
VP d C f ( ) dP V f P 1
分离变量得:
P0 C f dP 0 d
P

积分得弹性多孔介质状态方程:
0 C f ( P P0 )
四 基本微分方程
将运动方程和状态方程代入连续性方程得:
(
K P x
)
x
即
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( ) x y z t
该式称为单相流体不稳定渗流连续性方程. 对于稳定渗流,流入单元体的量和流出的量相等,则:
( v x ) ( v y ) ( v z ) 0 x y z

五.液体质点移动规律
dr v dt
A 2 r h dt dr dr Q Q

T
0
2 r h dt dr Re Q
r
h(r R e ) h( R e r ) T Q Q
2 2
2
2
六．流场图
0 K C ( P P0 ) P 0 K eC l( P P0 ) [e l ] [ ( )] x x x x C l
0 K 2 0 K 2 P [1 C l ( P P0 )] 2 2 C l x x
Pe Pwf Pe Pe Re 2 ln rw
可忽略
四、产量公式：
达西定律的极坐标形式
K dP v dr
K dP q v A 2 r h dr
Pe Pwf 1 dP Re dr r ln re
2Kh ( Pe Pwf ) q Re ln rw
( ) P 0 C t t t
2
00 0 [C f 0 C l ]( P P0 ) C t C f 0 C l
( v x ) K P ( P P0 ) 又 [ 0 eC l ( )] x x x
等压线
流线
平面径向流渗流场图
同理得:
( v y ) y
0 K P 0 K P ( vz ) 2 2 z z y
2
2
2 2 2 ( v ) ( v z ) ( v x ) 0 K P P P y [ 2 2 2] x y z x y z 2P 2P 2P P C t P 2 0 C t 2 2 x y z 0 K t K t
M d 1 d Cl 2 VL dP dP
分离变量得:
p0 C l dP
p
0
1

d
积分得液体状态方程:
按麦克劳林级数展开得:(取前两项)
0 e
C1 ( P P0 )
0 [1 C1 (P P0 )]
V V0 [1 C1 ( P P0 )]
Pe Pw dP dx L
单向稳定渗流时，流 速V和流量Q与位置 坐标X无关，为常数
KBh( Pe Pw ) Pe Pw Q L R
L R KA
单向流渗流阻力
四. 单向渗流的渗流场图（水动力场图）
◆ 渗流场图：由一组等压线和 一组流线按一定规则构成的图形。
上式亦表示在dt时间内单元体内流体质量的变化.
又:单元体的孔隙体积:
dx dy dz
单元体内流体质量:
dx dy dz
dt时间内单元体内流体质量的变化:
( ) dx dy dz dt t
根据质量守恒定律得
[ ( v x ) x ( v y) y ( v z ) z ( ) ]dx dy dz dt dx dy dz dt t
M’面上dt时间内流过的质量为
( x) dx [x ]dy dz dt x 2
M”面上dt时间内流过的质量为
( x) dx [x ]dy dz dt x 2
则X方向纯流出: Y方向纯流出:
( x ) x
( y ) y
Ｐe－Ｐ w Ｐ＝Ｐ － x e Ｌ
或：P P Pe Pw (L x) w
单向渗流压力分布公式
L
P
Pe
Pw
o
L
单向渗流压力分布曲线
压力沿x方向线性分 布，压力梯度为常数， 说明单位长度上的能量 损耗为定值
x
三.产量公式
K dP v dx
K dP Q A v Bh dx
2
2
y
(x, y )
P P r x P x r x r r
r

x
P P ( x r r ) 2 x x 2
P x P y dP 2 2 3 2 x r r r dr
2 2 2 2
2 P y 2 2 P x 2 dP 同理得： 2 2 3 2 y r r r dr P P x y d P x y dP d P 1 dP 2 ( 2 ) 2 ( 3 ) 2 0 2 x y r dr r dr dr r dr

(
K P y
)
y

(
K P z
)
z
( ) t
0 [1 C l ( P P0 )][0 C f ( P P0 )]
00 0 [C f 0 C l ]( P P0 ) 0 C f C l ( P P0 )
渗流阻力形式：
Pe Pwf P q R Re ln rw 2kh
通过上式可以看出：
1.Q Pe Pwf P Q
放大压差生产 油井压裂、酸化等 热力采油等
2.Q K K Q
3.Q 1 Q
4.R e的取值. （1）、井距之半 （2）、 Re A
C
2 2
C
2
P P P 拉普拉斯方程 0 2 2 2 x y z
第二节 单相不可压缩流体单相渗流
一.地质模型:
Pe
Pw
H
Q
K L
B
二.压力分布公式
对于单相稳定渗流有:
P P 0 0 y z
微分方程:
2 2
P 0 t
P d P 0 2 0 2 x dx
边界条件:
x 0,Ｐ＝Ｐe
x Ｌ,Ｐ＝Ｐw
数学模型:
d P 0 2 dx x 0, P Pe x L, P Pw
模型求解:
dＰ ＝Ｃ ２ Ｐ＝Ｃ １x Ｃ2 dx
2
代入边界条件:
Ｃ ＝Ｐ ２ e
Ｃ ＝－（Ｐ ）Ｌ １ e－Ｐ w
代回得单相稳定渗流时地层中任一点的压力表达式:
稳定渗流---指流速v，压力P不随时间 t 变 化的渗流。如刚性水压驱动。 物理模型---地层均质、水平、不可压缩且各 向同性；流体为单相，不可压缩 且为牛顿流体。渗流过程为等 温，无任何物理化学现象发生， 服从达西定律。