圆锥曲线小题训练(较难)
圆锥曲线典型小题48道
典型小题1- 1双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4典型小题1- 2如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,0典型小题1- 3以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对典型小题1- 4过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+典型小题1- 521,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7B ．47 C ．27 D ．257 典型小题1- 6以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=典型小题1- 7设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定典型小题1- 8若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）A ．1(,)44±B ．1(,84±C ．1(,44D ．1(,84典型小题1- 9椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为A ．20B ．22C ．28D ．24典型小题1- 10若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2典型小题1- 11与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 典型小题1- 12若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）典型小题1- 13椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。
101-200(圆锥曲线200题过关训练)
7
圆锥曲线 200 题
115、已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y
1 2 x 的焦 4
点，离心率等于
2 5 。 5
（1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 过 椭 圆 的 右 焦 点 作 直 线 l 交 椭 圆 C 于 A 、 B 两 点 ， 交 y 轴 于 M 点 ， 若
最小值和最大值．4圆锥线 200 题109、 (04 浙江)已知双曲线的中心在原点， 右顶点为
A 1, 0
， 点 P 、Q 在双曲线的右支上，
3 k , 3 M m, 0 3 , 求实 点 到直线 AP 的距离为 1 ， （1）若直线 AP 的斜率为 k ，且
11
圆锥曲线 200 题
x 3y 4 123． （2007 全国Ⅱ文、理）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线：
相切
（1）求圆 O 的方程 （2） 圆 O 与 x 轴相交于 A、 B 两点， 圆内的动点 P 使|PA|、 |PO|、 |PB|成等比数列， 求 PA PB 的取值范围。
并求此定值。
y
Ｏ
F B
题（21）图
P
x m
10
圆锥曲线 200 题
0) B (0， 1) 是它的两个顶点，直线 121． （2008 全国，22）设椭圆中心在坐标原点， A(2，， y kx(k 0) 与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点．
（Ⅰ）若 ED 6 DF ，求 k 的值； （Ⅱ）求四边形 AEBF 面积的最大值．
且满足 | PF1 | 2 | PF2 |, PF1F2 30 ，直线 y kx m 于圆 x 2 y 2 交于 A、B 两点， （1）求椭圆的方程； （2）证明 AOB 为定值。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
03.圆锥曲线小题训练(较难)
圆锥曲线小题训练1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．3.已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，]B．[2﹣3，+∞]C．[2﹣3，]D．[，]4.已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的最大值为（）A.3B．2C．D．5.如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.4B．C．D．6.已知双曲线的标准方程为，F 为其右焦点，A 1，A 2是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x=a 分别交于两点M ，N，若，则a 的值为（）A．B．C．D．7.已知双曲线上存在两点M ，N 关于直线y=x+m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2=9x 上，则实数m 的值为（）A ．4B ．﹣4C ．0或4D ．0或﹣48．过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）作圆x 2+y 2=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若=（+），则双曲线的离心率为（）A.B ．C ．D ．10．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是（）A ．4B．C．D ．811．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2AD ，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则（∠A 随着角度θ的增大，e 1增大，e 1e 2为定值B.随着角度θ的增大，e 1减小，e 1e 2为定值C.随着角度θ的增大，e 1增大，e 1e 2也增大D.随着角度θ的增大，e 1减小，e 1e 2也减小离）12.已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．13.已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F 1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（）A．[0，3]B．（0，2）C．[2，3]D．[0，4]14.从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A．B．C．D．15.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．16.下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e217.已知F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，3）C．（1，3）D．（0，2]18.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣219.设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|且cos∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=020.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（）A．a B．b C．ea D．eb21.设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A．（1，2）B．C．D．（1，2）22.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．23.已知双曲线的离心率，2]．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（）A ．，B ．，C ．，D ．，π]24．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别F 1、F 2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，且◉I 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的率心率，则（）A ．|OB|=e|OA|B ．|OA|=e|OB|C ．|OB|=|OA|D ．|OA|与|OB|关系不确定25.已知抛物线y 2=2px （p ＞0）与椭圆有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．26.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（）A．B．C．D．27.已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A． B.23C．D．28.过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1D．29.已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．30.已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5圆锥曲线小题训练8参考答案与试题解析1．（2016•潍坊模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上。
圆锥曲线80个压轴小题
圆锥曲线80个压轴小题（含答案）1. 已知点 O 为双曲线 C 的对称中心，过点 O 的两条直线 l 1 与 l 2 的夹角为 60∘，直线 l 1 与双曲线 C 相交于点 A 1，B 1，直线 l 2 与双曲线 C 相交于点 A 2，B 2，若使 ∣A 1B 1∣=∣A 2B 2∣ 成立的直线 l 1 与 l 2 有且只有一对，则双曲线 C 离心率的取值范围是 ( ) A. (2√33,2] B. [2√33,2) C. (2√33,+∞) D. [2√33,+∞)2. 已知椭圆 E:x 25+y 24=1 的一个顶点为 C (0,−2)，直线 l 与椭圆 E 交于 A ，B 两点，若 E 的左焦点为 △ABC 的重心，则直线 l 的方程为 ( ) A. 6x −5y −14=0 B. 6x −5y +14=0 C. 6x +5y +14=0 D. 6x +5y −14=03. 设双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0) 的右焦点为 F ，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P ，设 O 为坐标原点，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ,μ∈R ），λ⋅μ=316，则双曲线的离心率为 ( ) A. 2√33B.3√55C.3√22D. 984. 双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 的左，右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作圆 x 2+y 2=a 2 的切线交双曲线的左，右支分别于点 B ，C ，且 ∣BC ∣=∣CF 2∣，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A. y =±3x B. y =±2√2x C. y =±(√3+1)x D. y =±(√3−1)x5. 已知“若点 P (x 0,y 0) 在双曲线 C:x 2a −y 2b =1(a >0,b >0) 上，则 C 在点 P 处的切线方程为 C:xx 0a −yy 0b =1”，现已知双曲线 C:x 24−y 212=1 和点 Q (1,t )(t ≠±√3)，过点 Q 作双曲线 C 的两条切线，切点分别为 M ，N ，则直线 MN 过定点 ( ) A. (0,2√3) B. (0,−2√3) C. (4,0) D. (−4,0)6. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，∣MF∣=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )A. y2=4x或y2=8xB. y2=2x或y2=8xC. y2=4x或y2=16xD. y2=2x或y2=16x7. 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60∘的直线A1B1和A2B2，使∣A1B1∣=∣A2B2∣，其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. (2√33,2] B. [2√33,2) C. (2√33,+∞) D. [2√33,+∞)8. 如图，双曲线x 2a2−y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A，左右焦点分别为F1,F2，点P是双曲线右支上一点，PF1交左支于点Q，交渐近线y=bax于点R．M 是PQ的中点，若RF2⊥PF1，且AM⊥PF1，则双曲线的离心率是( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √59. 已知m,n,s,t∈R∗，m+n=3，ms +nt=1，其中m，n是常数且m<n，若s+t的最小值是3+2√2，满足条件的点(m,n)是椭圆x 24+y216=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为( )A. x−2y+3=0B. 4x−2y−3=0C. x+y−3=0D. 2x+y−4=010. 设双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=( )A. 1+2√2B. 4−2√2C. 5−2√2D. 3+2√211. 已知抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点 F 恰为双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的右焦点，且两曲线的交点连线过点 F ，则双曲线的离心率为 ( ) A. √2 B. √2+1 C. 2 D. 2+√212. 如图，斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 60∘，B 为斜足，平面 α 上的动点 P 满足 ∠PAB =30∘，则点 P 的轨迹是 ( )A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线的一支13. 已知定点 M (1,54)，N (−4,−54)，给出下列曲线方程：① 4x +2y −1=0；② x 2+y 2=3；③x 22+y 2=1；④x 22−y 2=1．在曲线上存在点 P 满足 ∣MP∣=∣NP∣ 的所有曲线方程是 ( ) A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④14. 双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左右焦点为 F 1，F 2，P 是双曲线上一点，满足 ∣PF 2∣=∣F 1F 2∣，直线 PF 1 与圆 x 2+y 2=a 2 相切，则双曲线的离心率为 ( ) A. 54 B. √3 C.2√33D. 5315. 过双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左焦点 F 1，作圆 x 2+y 2=a 2 的切线交双曲线右支于点 P ，切点为 T ，PF 1 的中点 M 在第一象限，则以下结论正确的是 ( ) A. b −a =∣MO∣−∣MT∣ B. b −a >∣MO∣−∣MT∣ C. b −a <∣MO∣−∣MT∣ D. b −a =∣MO∣+∣MT∣16. 在椭圆 x 216+y 29=1 内，通过点 M (1,1) 且被这点平分的弦所在的直线方程为 ( )A. 9x −16y +7=0B. 16x +9y −25=0C. 9x +16y −25=0D. 16x −9y −7=017. 已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2:x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )A. m>n且e1e2>1B. m>n且e1e2<1C. m<n且e1e2>1D. m<n且e1e2<118. 已知点P为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且∣F1F2∣=b2a，I为三角形PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，则λ的值为( )A. 1+2√22B. 2√3−1C. √2+1D. √2−119. 已知F1，F2为双曲线C:x2−y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60∘，则点P到x轴的距离为( )A. √32B. √62C. √3D. √620. 直线4kx−4y−k=0与抛物线y2=x交于A，B两点，若∣AB∣=4，则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于( )A. 74B. 2 C. 94D. 421. 设A为双曲线x 216−y29=1的右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于点B，过点B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( )A. (4110,0) B. (185,0) C. (4,0) D. (225,0)22. 已知抛物线y2=2px(p>0)，△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3．若直线AB，BC，AC的斜率之和为−1，则1y1+1y2+1y3的值为( )A. −12p B. −1pC. 1pD. 12p23. 设点P(x,y)是曲线a∣x∣+b∣y∣=1(a≥0,b≥0)上任意一点，其坐标(x,y)均满足√x2+y2+2x+1+√x2+y2−2x+1≤2√2，则√2a+b取值范围为( )A. (0,2]B. [1,2]C. [1,+∞)D. [2,+∞)24. 若直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点，则过点(m,n)的直线与椭圆x2 9+y24=1的交点个数为( )A. 至多1个B. 2个C. 1个D. 0个25. 平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 双曲线的一支26. 直线y=x+3与曲线y 29−x∣x∣4=1( )A. 没有交点B. 只有一个交点C. 有两个交点D. 有三个交点27. 直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2∣x∣（k∈R，且k≠0）的公共点的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 428. 已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √529. 已知椭圆x 24+y 2b =1(0<b <2)，左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，若 ∣BF 2∣+∣AF 2∣ 的最大值为 5，则 b 的值是 ( ) A. 1 B. √2 C. 32 D. √330. 若在曲线 f (x,y )=0 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线 f (x,y )=0 的"自公切线"．下列方程：① x 2−y 2=1，② y =x 2−∣x ∣，③ y =3sinx +4cosx ，④ ∣x ∣+1=√4−y 2，对应的曲线中存在"自公切线"的有 ( ) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④31. 设直线 l 与抛物线 y 2=4x 相交于 A ，B 两点，与圆 (x −5)2+y 2=r 2(r >0) 相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 ( ) A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4)32. 椭圆 a 2x 2+y 2=a 2 (0<a <1) 上离顶点 A (0,a ) 距离最大的点恰好是另一个顶点 Aʹ(0,−a )，则 a 的取值范围是 ( ) A. (√22,1) B. [√22,1)C. (0,√22) D. (0,√22]33. 已知集合 M ={(x,y )∣x 2+y 2≤1}，若实数 λ，μ 满足：对任意的 (x,y )∈M ，都有 (λx,μy )∈M ，则称 (λ,μ) 是集合 M 的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是 ( ) A. {(λ,μ)∣λ+μ=4} B. {(λ,μ)∣λ2+μ2=4} C. {(λ,μ)∣λ2−4μ=4} D. {(λ,μ)∣λ2−μ2=4}34. 已知两点 M (1,54) 、 N (−4,−54)，给出下列曲线方程： ① 4x +2y −1=0；② x 2+y 2=3；③x 22+y 2=1；④x 22−y 2=1．曲线上存在点 P满足 ∣MP ∣=∣NP ∣ 的所有曲线方程是 ( ) A. ①②③ B. ②④C. ①③D. ②③④35. 过点 (√2,0) 引直线 l 与曲线 y =√1−x 2 相交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，当 △AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于 ( ) A. √33B. −√33C. ±√33D. −√336. 如图，一条直线与抛物线 y 2=2px (p >0) 交于 A ，B 两点，且 OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于 D ，若点 D 的坐标为 (2,1)，则抛物线方程为 ( ) A. y 2=54x B. y 2=52x C . y 2=5x D . y 2=10x37. 已知 F 是抛物线 y 2=x 的焦点，点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（其中 O 为坐标原点），则 △ABO 与 △AFO 面积之和的最小值是 ( ) A. 2 B. 3 C.17√28D. √1038. 已知点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动（含端点）．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yOB⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R )，则 x 2+y 的取值范围是 ( ) A. [−√22,√22] B. [12,√22] C. [−12,12]D. [−√22,12]39. 已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，点 P (x,y ) 为该抛物线上的动点，若点 A (−1,0)，则 |PF ||PA | 的最小值为 ( ) A. 12 B.√22C.√32D.2√2340. P 是抛物线 y =x 2 上任意一点，则当 P 和直线 x +y +2=0 上的点距离最小时，P 与该抛物线的准线距离是 ( ) A. 19 B. 12 C. 1 D. 241. 已知直线 l:y =k (x −2)(k >0) 与抛物线 C:y 2=8x 交于 A ，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若 ∣AF ∣=2∣BF ∣，则 k 的值是 ( ) A. 13 B.2√23C. 2√2D.√2442. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A,B,C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 ( ) A. √25B.√35C.√105D.√5543. 如图，M ，N 是焦点为 F 的抛物线 y 2=4x 上的两个不同的点，且线段 MN 的中点 A 的横坐标为 3，直线 MN 与 x 轴交于 B 点，则点 B 的横坐标的取值范围是 ( )A. (−3,3]B. (−∞,3]C. (−6,−3)D. (−6,−3)∪(−3,3]44. 已知椭圆 M:x 24+y 2=1 的上、下顶点为 A ，B ，过点 P (0,2) 的直线 l 与椭圆 M 相交于两个不同的点 C ，D （C 在线段 PD 之间），则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 ( ) A. (−1,16) B. [−1,16]C. (−1,134)D. [−1,134)45. 若抛物线 y =4x 2 的焦点是 F ，准线是 l ，则过点 F 和点 M (4,4) 且与准线 l 相切的圆有 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 4 个46. 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC ，BD ，设内层椭圆方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，若直线 AC 与 BD 的斜率之积为 −14，则椭圆的离心率为 ( ) A. 12 B. √22 C.√32D. 3447. 已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点，P2(x2,y2)是直线l外一点，则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线与直线l的位置关系是( )A. 平行B. 重合C. 垂直D. 斜交48. 已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 149. 已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线y=x+m对称，且x1x2=−12，则m的值为( )A. 34B. 32C. 54D. 5250. 已知抛物线M:y2=4x，圆N:(x−1)2+y2=r2(r>0)，过点(1,0)的直线l与圆N交于C，D两点，交抛物线M于A，B两点，则满足∣AC∣=∣BD∣的直线l只有三条的必要条件是( )A. r∈(0,1]B. r∈(1,2]C. r∈(32,4) D. r∈[32,+∞)51. 已知P为抛物线y=12x2上的动点，点P在x轴上的射影为Q，点A的坐标是(6,172)，则∣PA∣+∣PQ∣∣的最小值是( )A. 8B. 192C. 10 D. 21252. 已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为( ) A. 相切 B. 相交C. 相离D. 以上情况都有可能53. 已知 F 1，F 2 分别是椭圆x 24+y 23=1 的左，右焦点，A 是椭圆上一动点，圆 C 与 F 1A的延长线，F 1F 2 的延长线以及线段 AF 2 相切，若 M (t,0) 为其中一个切点，则 ( ) A. t =2 B. t >2C. t <2D. t 与 2 的大小关系不确定54. 已知点 A ，B 是双曲线 x 2−y 22=1 上的两点，O 为坐标原点，且满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点 O 到直线 AB 的距离等于 ( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. 2√255. 已知椭圆x 24+y 2b =1(0<b <2)，左右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，若 ∣∣BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最大值为 5，则 b 的值是 ( ) A. 1 B. √2 C. 32D. √356. 抛物线 y 2=2px (p >0) 的准线交 x 轴于点 C ，焦点为 F ，A ，B 是抛物线的两点．已知 A ，B ，C 三点共线，且 ∣AF ∣，∣AB ∣，∣BF ∣ 成等差数列，直线 AB 的斜率为 k ，则有 ( ) A. k 2=14 B. k 2=√34C. k 2=12D. k 2=√3257. 已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为√32，过右焦点 F 且斜率为 k (k >0)的直线与 C 相交于 A 、 B 两点．若 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 k = ( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. 258. 设直线 l:2x +y +2=0 关于原点对称的直线为 l ′，若 lʹ 与椭圆 x 2+y 24=1 的交点为 A 、 B ，点 P 为椭圆上的动点，则使 △PAB 的面积为 12 的点 P 的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C.3 D. 459. 已知抛物线y2=−x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形60. 已知点F为抛物线y2=−8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且∣AF∣=4，则∣PA∣+∣PO∣的最小值为( )A. 6B. 2+4√2C. 2√13D. 4+2√561. 椭圆x 225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则∣y2−y1∣的值是( )A. √53B. 103C. 203D. 5362. 点P在直线l:y=x−1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且∣PA∣=∣AB∣，则称点P为“ A点”，那么下列结论中正确的是( )A. 直线l上的所有点都不是“ A点”B. 直线l上仅有有限个点是“ A点”C. 直线l上的所有点都是“ A点”D. 直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ A点”63. 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则1p +1q等于( )A. 2aB. 12a C. 4a D. 4a64. 已知椭圆C:x 22+y2=1，点M1，M2，⋯，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，⋯，P10，则10条直线AP1，AP2，⋯，AP10的斜率乘积为( )A. 14B. 116C. −18D. −13265. 椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)，过点P的弦恰好以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为( )A. 3x+2y−12=0B. 2x+3y−12=0C. 4x+9y−144=0D. 9x+4y−32=066. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈(0,π2)，以A、B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C、D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则( )A. 当θ增大时，e1增大，e1e2为定值B. 当θ增大时，e1减小，e1e2为定值C. 当θ增大时，e1增大，e1e2增大D. 当θ增大时，e1减小，e1e2减小67. 已知a>0，过M(a,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p>0)于P，Q两点，若1∣MP∣2+1∣MQ∣2为定值，则a=( )A. √2pB. 2pC. p2D. p68. 在抛物线y=x2+ax−5（a≠0）上取横坐标为x1=−4，x2=2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A. (−2,−9)B. (0,−5)C. (2,−9)D. (1,−6)69. 椭圆C的两个焦点分别为F1(−1,0)和F2(1,0)，若该椭圆C与直线x+y−3=0有公共点，则其离心率的最大值为( )A. √612B. √66C. √55D. √51070. 已知抛物线y=−x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则∣AB∣等于( )A. 3B. 4C. 3√2D. 4√271. 记椭圆x 24+ny24n+1=1围成的区域（含边界）为Ωn(n=1,2,⋯)，当点(x,y)分别在Ω1，Ω2，⋯上时，x+y的最大值分别是M1，M2，⋯，则limn→∞M n=( )A. 0B. 14C. 2D. 2√272. 已知曲线f(x)=x3+x2+x+3在x=−1处的切线恰好与抛物线y=2px2相切，则过该抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的线段长为( )A. 18B. 14C. 8D. 473. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且∣AK∣=√2∣AF∣，则△AFK的面积为( )A. 4B. 8C. 16D. 3274. 已知直线x+2y−3=0与圆x2+y2+x−6y+m=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于( )A. 3B. −3C. 1D. −175. 中心在原点，焦点坐标为(0,±5√2)的椭圆被直线3x−y−2=0截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为( )A. 2x 225+2y275=1 B. 2x275+2y225=1 C. x225+y275=1 D. x275+y225=176. 若方程√x2+1=a(x−1)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是( )A. −1<a<−√22B. a<−√22或a>√22C. −1<a<−√22或√22<a<1 D. a<−1或−1<a<−√2277. 已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点．若∣FA∣=2∣FB∣，则k=( )A. 13B. √23C. 23D. 2√2378. 已知抛物线 M ：y 2=4x ，圆 N ：(x −1)2+y 2=r 2（其中 r 为常数，r >0），过点 (1,0) 的直线 l 交圆 N 于 C 、 D 两点，交抛物线 M 于 A 、 B 两点，且满足 ∣AC∣=∣BD∣ 的直线 l 只有三条的必要条件是 ( ) A. r ∈(0,1] B. r ∈(1,2]C. r ∈(32,4)D. r ∈[32,+∞)79. 已知 O 是平面上的一个定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)，λ∈(0,+∞)，则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的 ( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心80. 点 P 在直线 l:y =x −1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y =x 2 于 A ，B 两点，且 ∣PA∣=∣AB∣，则称点 P 为" A 点"，那么下列结论中正确的是 ( ) A. 直线 l 上的所有点都是" A 点" B. 直线 l 上仅有有限个点是" A 点" C. 直线 l 上的所有点都不是" A 点"D. 直线 l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是" A 点"答案第一部分1. A2. B 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，椭圆x 25+x 24=1 的左焦点为 (−1,0)，因为点 C (0,−2)，且椭圆左焦点 F 1 恰为 △ABC 的重心，所以 x 1+x 2+03=−1，y 1+y 2−23=0，所以 x 1+x 2=−3，y 1+y 2=2, ⋯⋯① 因为 x 125+y 124=1，x 225+y 224=1，所以两式相减得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)5+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，将 ① 代入得：y 1−y2x 1−x 2=65，即直线 l 的斜率为 k =y 1−y 2x 1−x 2=65，因为直线 l 过 AB 中点 (−32,1)，所以直线 l 的方程为 y −1=65(x +32)，故答案为 6x −5y +14=0．3. A 【解析】双曲线的渐近线为：y =±ba x ，设焦点 F (c,0)，则 A (c,bca )，B (c,−bca )，P (c,b 2a )， 因为 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 (c,b 2a )=((λ+μ)c,(λ−μ)bca )， 所以 λ+μ=1，λ−μ=bc ， 解得：λ=c+b 2c ，μ=c−b 2c ， 又由 λμ=316，得：c 2−b 24c =316，解得：a 2c =34， 所以，e =c a =2√33． 4. C 5. C【解析】设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则切点分别为 M ，N 的切线方程为x 1x 4−y 1y 12=1，x 2x4−y 2y 12=1．因为点 Q (1,t ) 在两条切线上， 所以x 14−y 1t 12=1，x24−y 2t 12=1．所以 M ，N 两点均在直线 x4−ty12=1 上，即直线 MN 的方程为 x4−ty12=1，显然直线过点 (4,0)．6. C7. A 【解析】先考虑焦点在x轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30∘且小于等于60∘，即tan30∘<ba≤tan60∘，所以13<b2a2≤3．又e2=(ca)2=c2a2=1+b2a2,所以43<e2≤4，解得2√33<e≤2．焦点在y轴上的双曲线与焦点在x轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．8. C 【解析】设PF1的方程为y=k（x+c），k＞0，与渐近线方程y=ba x联立，可得R(ackb−ka,bckb−ka)，把直线y=k(x+c)代入双曲线x 2a2−y2b2=1，可得(b2−a2k2)x2−2ca2k2x−a2c2k2−a2b2=0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，可得x1+x2=2ca2k2b2−a2k2，即有中点M(ca 2k2b−a k ,cb2kb−a k)，由A(a,0)，F2(c,0)，RF2⊥PF1，可得k RF2=bck2ack−bc=−1k，即有bk2+2ak−b=0，解得k=c−ab（负的舍去），由AM⊥PF1，可得k AM=cb2kca2k2−ab2+a3k2=−1k，即为(c3+a3)k2=a(c2−a2)，即有(c3+a3)(c−a)2=ab2(c2−a2)=a(c2−a2)2，化为c=2a，即e=ca=2．9. D 【解析】因为m，n，s，t为正数，m+n=3，ms +nt=1，s+t的最小值是3+2√2，所以(s+t)(ms +nt)的最小值是3+2√2，所以(s+t)(ms +nt)=m+n+mts+nst≥m+n+2√mn，满足mts =nst时取最小值，此时最小值为m+n+2√mn=3+2√2，得：mn =2，又：m +n =3，所以，m =1，n =2． 设以 (1,2) 为中点的弦交椭圆x 24+y 216=1 于 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由中点坐标公式知 x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，把 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 分别代入 4x 2+y 2=16，得 {4x 12+y 12=16,4x 22+y 22=16,两式相减得 2(x 1−x 2)+(y 1−y 2)=0，所以 k =y 2−y1x 2−x 2=−2．所以此弦所在的直线方程为 y −2=−2(x −1)，即 2x +y −4=0． 10. C 【解析】如图，设 ∣AF 1∣=m ，则 ∣BF 1∣=√2m ，∣AF 2∣=m −∣BF 2∣=√2m −2a ，所以 ∣AB ∣=∣AF 2∣+∣BF 2∣=m −2a +√2m −2a =m ，得 m =2，又由 ∣AF 1∣2+∣AF 2∣2=∣F 1F 2∣2，可得 m 2+(m −2a )2=4c 2，即得 (20−8√2)a 2=4c 2，所以 e 2=c 2a 2=5−2√2． 11. B 【解析】根据题意 p2=c ，设抛物线与双曲线的一个交点为 A ，则有 A (c,2c )，因为点 A 在双曲线上，所以有 c 2a 2−4c 2b 2=1，整理得 e 2−2e −1=0，所以双曲线的离心率e =1+√2．12. C 13. D 【解析】提示：对于①，可得 MN 的中点为 O (−32,0) 不在直线 l:4x +2y −1=0 上，k MN =12，又直线 4x +2y −1=0 的斜率为 k l =−2，即 k l k MN =−1，所以线段 MN 的中垂线 y =−2x −3 不与 4x +2y −1=0 相交，所以①不成立； 对于②，因为 (−32)2+02<3，所以 MN 的中点为 O (−32,0) 在圆 x 2+y 2=3 的内部，所以线段 MN 的中垂线与圆相交，所以②正确；对于③和④，只需联立线段 MN 的中垂线 y =−2x −3 与曲线方程，判断判别式即可，可得③和④都成立．14. D 【解析】设 PF 1 与圆相切于点 M ，因为 ∣PF 2∣=∣F 1F 2∣，所以 △PF 1F 2 为等腰三角形，设 N 为 PF 1 中点，则 F 2N ⊥PF 1，又 OM ⊥PF 1，O 为 F 1F 2 中点，所以 ∣F 1M ∣=12∣F 1N ∣=14∣PF 1∣，又因为在直角三角形 F 1MO 中，∣F 1M ∣2=∣F 1O ∣2−a 2=c 2−a 2=b 2，所以 ∣F 1M ∣=b =14∣PF 1∣ ⋯⋯①，又 ∣PF 1∣=∣PF 2∣+2a =2c +2a ⋯⋯②，c 2=a 2+b 2 ⋯⋯③，由①②③解得 e =ca =53． 15. A【解析】连 OT ，则 OT ⊥F 1T ，在直角三角形 OTF 1 中，∣F 1T∣∣=√∣OF 1∣2−∣OT∣2=b ．连 PF 2，M 为线段 F 1P 的中点，O 为坐标原点，所以 ∣OM∣=12∣PF 2∣，所以∣MO∣−∣MT∣=12∣PF 2∣−(12∣PF 1∣−∣F 1T∣∣)=12(∣PF 2∣−∣PF 1∣)+b =12×(−2a )+b =b −a．16. C 【解析】设以点 M (1,1) 为中点的弦两端点为 P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)， 则 x 1+x 2=2,y 1+y 2=2． 又 x 1216+y 129=1, ⋯⋯①x 2216+y 229=1, ⋯⋯②①−② 整理得：y 1−y2x 1−x 2=−916，所以以点 M (1,1) 为中点的弦所在直线的斜率 k =−916． 所以中点弦所在直线方程为 y −1=−916(x −1)， 即 9x +16y −25=0．17. A 【解析】由题意知 m 2−1=n 2+1，即 m 2=n 2+2，(e 1e 2)2=m 2−1m ⋅n 2+1n =(1−1m )(1+1n )，代入 m 2=n 2+2，得 m >n ，(e 1e 2)2>1． 18. D 19. B 20. C【解析】直线 4kx −4y −k =0，即 y =k (x −14)，即直线 4kx −4y −k =0 过抛物线 y 2=x 的焦点 (14,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 ∣AB ∣=x 1+x 2+12=4，故 x 1+x 2=72，则弦 AB 的中点的横坐标是 74，弦 AB 的中点到直线 x +12=0 的距离是 74+12=94 . 21. A 【解析】设 AB:x =my +5，与双曲线方程联立得 (9m 2−16)y 2+90my +81=0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 y 1+y 2=−90m 9m 2−16，y 1y 2=819m 2−16． 右准线方程为 x =165，所以 C (165,y 2)，则 AC:y −y 2=y 2−y 1165−x 1(x −165)，令 y =0，化简可得 x =4110．特殊法：设 A (5,94)，则 B (5,−94)，C (165,−94)．故 k AC =94−(−94)5−165=52，直线 AC 为 y −94 =52(x −5)，即：10x −4y −41=0，与 x 轴交点为 (4110,0)，可得答案． 22. B 23. D 【解析】因为 √x 2+y 2+2x +1+√x 2+y 2−2x +1=√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2≤2√2，所以一动点 P (x,y ) 的轨迹是以点 (−1,0) 和点 (1,0) 为焦点椭圆及其内部，椭圆的方程为x 22+y 2=1，又曲线 a ∣x ∣+b ∣y ∣=1 表示的区域为一平行四边形，因为曲线 a∣x∣+b ∣y ∣=1(a ≥0,b ≥0) 上任意一点，其坐标 (x,y ) 均满足 √x 2+y 2+2x +1+√x 2+y 2−2x +1≤2√2，即平行四边形在椭圆的内部，所以有{1b ≤1,1a≤√2解得 {b ≥1,√2a ≥1, 所以 √2a +b ≥2．24. B 【解析】由直线与圆没有交点可得 22>2，即 m 2+n 2<4，n 2<4−m 2， 所以n 29+m 29+4−m 24=1−5m 236<1， 所以点 (m,n ) 在椭圆 x 29+y 24=1 的内部，故经过点 (m,n ) 的直线与椭圆由 2 个交点． 25. A26. D 【解析】当 x >0 时，曲线为 y 29−x 24=1，将直线 y =x +3 代入曲线方程得 x =0（舍）或 x =245，故此时有一个交点；当 x ≤0 时，曲线为 y 29+x 24=1，将直线 y =x +3 代入曲线方程得 x =0 或 x =−2413，故此时有两个交点．因此共有 3 个交点．27. D 【解析】将 y =2k 代入 9k 2x 2+y 2=18k 2∣x∣ 得：9k 2x 2+4k 2=18k 2∣x∣ ⇒9∣x ∣2−18∣x∣+4=0，显然该关于 ∣x ∣ 的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4 个．28. D 【解析】设点 P 坐标为 (x P ,y P )，由已知，直线 PF 2 的方程为 y =ba (x −c )，代入双曲线方程得 x P =a 2+c 22c，y P =−b 32ac ，因为 PF 1⊥PF 2，所以 k PF 1⋅k PF 2=−1，即−b 32ac a 2+c 22c+c ⋅ba =−1，化简得b 4=a 4+3a 2c 2，即 (c 2−a 2)2=a 4+3a 2c 2，即 c 2=5a 2，所以 e 2=5，e =√5．29. D 【解析】由椭圆的方程可知 a =2，由椭圆的定义可知，∣AF 2∣+∣BF 2∣+∣AB ∣=4a =8，所以 ∣AB ∣=8−(∣AF 2∣+∣BF 2∣)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则 2b 2a=3．所以 b 2=3，即 b =√3．30. C【解析】①中 x 2−y 2=1 是一个等轴双曲线，它不存在"自公切线"； ②如图所示，曲线在点 (−12,−14) 和点 (12,−14) 处的切线重合； ③ y =3sinx +4cosx =5sin (x +φ)(tanφ=43)．如图，在所有的最高点处的切线重合，所以③存在"自公切线"； ④中曲线如图所示，不存在"自公切线"．31. D 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则 {y 12=4x 1,y 22=4x 2,所以 (y 1+y 2)(y 1−y 2)=4(x 1−x 2)⋯∗．①当 x 1=x 2，即直线 l 斜率不存在时，此时一定存在 2 条满足题意的直线，如图：②当 x 1≠x 2 时，设直线 l 的斜率为 k ，∗ 式化为 2y 0⋅y 1−y2x 1−x 2=4，即 ky 0=2．由直线与圆相切得 y 0−0x 0−5⋅k =−1，即 ky 0=5−x 0=2，所以 x 0=3，即点 M 在直线 x =3 上．而 x =3 与抛物线交点为 N(3,±2√3)，与 x 轴的交点为 P (3,0)， 圆心到 N 、 P 的距离分别为 4、2．当 r =4 时，点 N 在圆上，没有对应的直线满足要求；当 r =2 时，点 M 在 x 轴上，没有对应的直线满足要求；当2<r<4时，过点M作圆的切线即可满足要求，如图所示：这样的切线恰有两条，从而直线l恰有4条，则2<r<4．32. B 【解析】提示：由对称性，可设椭圆上任意一点P的坐标为(x0,y0)，所以x02=1−y02a2，∣AP∣2=1−y02a2+(y0−a)2=(a2−1a2)y02−2ay0+a2+1．因为0<a<1，所以a2−1 a2<0，关于y0的二次函数图象开口向下，所以对称轴y0=a3a2−1≥−a．解得√22≤a<1．33. C 【解析】由实数λ，μ满足：对任意的(x,y)∈M，都有(λx,μy)∈M，即λ2x2+μ2y2≤1，所以∣λ∣≤1，∣μ∣≤1.而{∣λ∣≤1,∣μ∣≤1.构成的区域如图：A、B、D选项的集合所表示的曲线均与(λ,μ)所表示的区域无交点，C选项所表示的抛物线与区域有交点，符合题意．34. D 【解析】由题意，知P点必在线段MN的垂直平分线上．∵MN的中点为(−32,0)，直线MN斜率为12，∴MN的垂直平分线方程是y=−2x−3，它显然与①中的直线平行，∴排除A、C；注意到选项B、D的区别，联立垂直平分线方程与椭圆方程，解得③中曲线上存在符合题设条件下的P点．35. B【解析】如图，设直线 AB 的方程为 x =my +√2 （显然 m <0 ），A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P(√2,0)，联立 {x =my +√2,y =√1−x 2.消去 x 得 (1+m 2)y 2+2√2my +1=0，由题意得 Δ=8m 2−4(1+m 2)>0，所以 m 2>1，由根与系数的关系得 y 1+y 2=−2√2m 1+m 2，y 1⋅y 2=11+m 2， 所以 S △AOB =S △POB −S △POA =12⋅∣OP ∣⋅∣y 2−y 1∣ =√22⋅√8m 2(1+m 2)2−41+m 2 =√22⋅√4(m −1)(1+m 2)2令 t =1+m 2(t >2)， 所以 S △AOB =√2⋅√t−2t 2 =√2⋅√−2(1t −14)2+18，所以当 1t =14，即 t =4，m =−√3 时，△AOB 的面积取得最大值，此时，直线l 的斜率为 −√33． 36. B 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，依题意，k OD =12，k AB =−2， 所以直线 AB 方程为 y −1=−2(x −2)，即 y =−2x +5， 代入抛物线方程得 4x 2−(20+2p )x +25=0， 所以 {x 1+x 2=10+p 2,x 1x 2=254. ⋯⋯①又因为 OA ⊥OB ，所以 x 1x 2+y 1y 2=5x 1x 2−10(x 1+x 2)+25=0, ⋯⋯②， 将 ① 代入 ② 得 5×254−10×10+p 2+25=0，解得 p =54，所以抛物线方程为 y 2=52x ．37. B 【解析】我们设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，直线 AB 方程为 x =my +t ．直线 AB 交 x 轴于点 M (t,0)．联立直线和抛物线的方程消去 x 得y 2−my −t =0,因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =2，所以 x 1x 2+y 1y 2=y 12y 22+y 1y 2=2, 解得 y 1y 2=−2，即 t =2，所以 AB 过 x 轴上定点 M (2,0)．S △ABO =12∣OM ∣∣y 1−y 2∣=∣y 1−y 2∣,S △AFO =12∣OF ∣∣y 1∣=18∣y 1∣,所以S △ABO +S △AFO =∣y 1−y 2∣+1∣y 1∣=9∣y 1∣+21≥3,当且仅当 98∣y 1∣=2∣y 1∣，即 ∣y 1∣=43 时，等号成立．38. B 【解析】建立如图所示的坐标系，可设 A (1,0)，B (0,1)，设 ∠AOC =α(0≤α≤π2)，则 OC⃗⃗⃗⃗⃗ (cosα,sinα)， 所以 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,2y )=(cosα,sinα)， 所以 x2+y =12(cosα+sinα)=√22sin (α+π4)(0≤α≤π2)．由π4≤α+π4≤3π4，可得sin(α+π4)∈[√22,1]，即x2+y∈[12,√22]．39. B 【解析】抛物线y2=4x的准线方程为l:x=−1．过点P作PFʹ⊥l，垂足为Fʹ，由抛物线的定义，得|PF|=|PFʹ|，故|PF||PA|=|PFʹ||PA|=cos∠PAF，即求cos∠PAF的最小值，又0≤∠PAF<π2，故需使∠PAF最大．当直线PA与抛物y2=4x相切时，∠PAF最大，|PF||PA|取得最小值，这时，设直线PA的方程为y=k(x+1)，联立{y=k(x+1), y2=4x,消去y得，k2x2+(2k2−4)x+k2=0，则Δ=(2k2−4)2−4k4=0，所以k2=1，解得k=±1．故此时tan∠PAF=1，∠PAF=π4，所以cos∠PAF=√22．40. B41. C 【解析】法一据题意画图，作AA1⊥lʹ，BB1⊥lʹ，BD⊥AA1.设直线l的倾斜角为θ，∣AF∣=2∣BF∣=2r，则∣AA1∣=2∣BB1∣=2∣AD∣=2r，所以有∣AB∣=3r，∣AD∣=r，则∣BD∣=2√2r，k=tanθ=tan∠BAD=∣BD∣∣AD∣=2√2.法二直线y=k(x−2)恰好经过抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，由{y2=8x,y=k(x−2).可得ky2−8y−16k=0，因为∣FA∣=2∣FB∣，所以y A=−2y B.则y A+y B=−2y B+y B=8k ，所以y B=−8k，y A⋅y B=−16，所以−2y B2=−16，即y B=±2√2，又k>0，故k=2√2.42. C 【解析】如图，还原正方体，连接A1B1,B1D1,A1D1. ∠D1B1A1即为所求角．设正方形的边长为2，则A1B1=2√2,A1D1=B1D1=√5．在△D1B1A1中用余弦定理，得AB和CD的夹角的余弦值为√105．43. A 【解析】（i）若直线MN的斜率不存在，则点B的坐标为(3,0)．（ii）若直线MN的斜率存在，设A(3,t)（t≠0），M(x1,y1)，N(x2,y2)．则由{y12=4x1,y22=4x2,得y12−y22=4(x1−x2)，所以y1−y2x1−x2(y1+y2)=4，即k MN=2t，所以直线MN的方程为y−t=2t(x−3)，所以点 B 的横坐标 x B =3−t 22． 由 {y −t =2t (x −3),y 2=4x,消去 x 得 y 2−2ty +2t 2−12=0．由 Δ>0 得 t 2<12，又 t ≠0， 所以 x B =3−t 22∈(−3,3)．综上，点 B 的横坐标的取值范围为 (−3,3]．44. D 【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为 x =0，C (0,1)，D (0,−1)，此时 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1； 当直线斜率存在时，设斜率为 k ，C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则直线方程为 y =kx +2，与椭圆方程联立得 (1+4k 2)x 2+16kx +12=0，Δ=(16k )2−48(1+4k 2)=64k 2−48>0，得 k 2>34，x 1+x 2=−16k1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=(1+k 2)⋅121+4k 2+2k ⋅−16k 1+4k2+4=−4k 2+161+4k 2=−1+171+4k 2,因为 k 2>34，所以 1+4k 2>4，0<171+4k 2<174，所以 −1<OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <134． 综上，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 [−1,134)． 45. C【解析】由已知，过点 F 和点 M (4,4) 且与准线 l 相切的圆的圆心在抛物线 y =4x 2 上，又因为此圆过 F 和 M ，所以圆心在 MF 的垂直平分线上，抛物线 y =4x 2 与 MF 的垂直平分线的交点有两个，故过点 F 和点 M (4,4) 且与准线 l 相切的圆有 2 个． 46. C 【解析】因为内外两个椭圆的离心率相同，不妨设 B 点坐标为 (0,tb )，A 点坐标为 (ta,0)，设直线 BD 斜率为 k 1，AC 斜率为 k 2，则 BD 的方程为 y =k 1x +tb ，AC 的方程为 y =k 2x −k 2ta ．由 BD 、 AC 与椭圆相切易得k 12a 2+b 2=t 2b 2 ⋯⋯① k 22a 2+b 2=k 22t 2a 2 ⋯⋯②由①得 k 12=(t 2−1)b 2a 2 ⋯⋯③由②得k 22=b 2a (t −1) ⋯⋯④又因为 k 1k 2=−14，所以 a =2b ，从而椭圆的离心率为√32． 47. A 【解析】P 1(x 1,y 1) 是直线 l 上的一点，故有 f (x 1,y 1)=0，P 2(x 2,y 2) 是直线 l 外一点，故 f (x 2,y 2)≠0，是一个非零实数，从而 f (x,y )+f (x 1,y 1)+f (x 2,y 2)=0 表示的直线与直线 l 平行且不重合． 48. A 【解析】根据题意，S △ABC=12×∣AB∣×ℎ=12×2√2×ℎ=2, 解得 ℎ=√2，即点 C 到直线 AB 的距离为 √2．问题转化为与直线 AB 距离为 √2 的直线与抛物线交点的个数． 由两平行线间的距离公式，得与直线 AB 距离为 √2 的直线方程为y =−x 或 y =−x +4,分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有 2 个交点，因此，共有 4 个不同的 C 点满足条件．49. B 【解析】∵ 双曲线上的一点到双曲线左、右焦点的距离之差为 4，∴ a =2．∵A (x 1,2x 12)，B (x 2,2x 22)关于直线 y =x +m 对称，∴ {2x 12−2x 22x 1−x 2=−1,x 1+x 22+m =2x 12+2x 222,整理得 x 1+x 2=−12，m =32． 50. D【解析】（i ） 当 l 与 x 轴垂直时，直线 l:x =1 与抛物线 M 交于点 (1,±2)，与圆 N 交于点 (1,±r )，显然满足 ∣AC ∣=∣BD ∣．（ii ） 当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 x =my +1． 由 {x =my +1,y 2=4x,消去 x ，得 y 2−4my −4=0．设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，且 y 1<y 2，则 y 1+y 2=4m,y 1y 2=−4， 所以 (y 1−y 2)2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=16(m 2+1)．由 {x =my +1,(x −1)2+y 2=r 2,解得 y =±√r 2m 2+1． 设 C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)，且 y 3<y 4，则 (y 3−y 4)2=4r 2m 2+1．由 ∣AC ∣=∣BD ∣，得 ∣y 3−y 1∣=∣y 4−y 2∣，即 ∣y 1−y 2∣=∣y 3−y 4∣． 由此，16(m 2+1)=4r 2m 2+1，解得 r =2(m 2+1)， 显然，当 r >2 时，m 有两解，对应的直线 l 有两条．又当 r =2 时，m =0，此时直线 l 斜率不存在，即为第一种情况 综合（i ）（ii ），当 r ≥2 时，对应的直线 l 有三条，故D 适合．51. B 【解析】抛物线的准线方程为 y =−12，设抛物线焦点为 F ，则点 F 坐标为 (0,12)．根据抛物线的定义可得 ∣PQ ∣=∣PF ∣−12，所以 ∣PA∣+∣PQ∣∣=∣PF ∣+∣PQ ∣−12．所以 ∣PA∣+∣PQ∣∣ 的最小值为 ∣FQ ∣−12=192．52. A 【解析】提示：如图，设 PF 1 的中点为 M ，因为 OM 为 △PF 1F 2 的中位线，所以 ∣OM ∣=12∣PF 2∣，设以线段 PF 1 、 A 1A 2 为直径的两圆的半径分别是 r 、 a ，则两圆的圆心距为 ∣OM ∣=12∣PF 2∣=12(2a−∣PF 1∣)=12(2a −2r )=a −r ，所以两圆的位置关系是内切．53. A 【解析】由已知得圆 C 是 △AF 1F 2 的旁切圆， 点 M 是圆 C 与 x 轴的切点，设圆 C 与直线 F 1A 的延长线，AF 2 分别相切于点 P ，Q ，则由切线的性质可知： ∣AP ∣=∣AQ ∣，∣F 2Q ∣=∣F 2M ∣，∣F 1M ∣=∣F 1P ∣，所以∣MF 2∣=∣QF 2∣=(∣F 1A ∣+∣AF 2∣)−(∣AF 1∣+∣AQ ∣)=2a−∣AF 1∣−∣AP ∣=2a−∣F 1P ∣=2a−∣F 1M ∣,所以 ∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a ， 所以 t =a =2．54. A 【解析】由于双曲线为中心对称图形，为此可考察特殊情况，设 A 为 y =x 与双曲线在第一象限的交点，则不妨设 B 为直线 y =−x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线 AB 与 x 轴垂直，点 O 到 AB 的距离即为点 A 或点 B 的横坐标的值，联立直线与双曲线的方程，求出 x 的值即可． 55. D【解析】由椭圆的定义得 ∣AF 1∣+∣AF 2∣=2a =4，∣BF 1∣+∣BF 2∣=2a =4，所以 ∣AF 1∣+∣BF 1∣=4a −(∣BF 2∣+∣BF 1∣)，因为 ∣∣BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最大值为 5，所以 ∣AF 1∣+∣BF 1∣ 的最小值为 3，当直线 l 与 x 轴垂直的时候，∣AF 1∣+∣BF 1∣ 最小，所以此时 A (−c,32)，代入椭圆方程解得 b =√3．56. D 【解析】设直线 AB 的方程为 y =k (x +p2)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) ，联立直线与抛物线得 k 2x 2+(k 2p −2p )x +p 2k 24=0，所以 x 1+x 2=2p−k 2p k 2，x 1x 2=p 24，又 ∣AF ∣，∣AB ∣，∣BF ∣ 成等差数列，所以 2∣AB ∣=∣AF ∣+∣BF ∣，又 ∣AB ∣=√1+k 2∣x 1−x 2∣=√1+k 2⋅2p √1−k 2k 2，∣AF ∣+∣BF ∣=x 1+x 2+p ，所以 4(1−k 4)=1，解得 k 2=√32． 57. B 【解析】设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由于 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有 y 1=−3y 2.由 e =√32，可设 a =2t,c =√3t,b =t ，代入椭圆方程整理得x 2+4y 2−4t 2=0.而直线 AB 的方程为 x =sy +√3t （s =1k ），代入 x 2+4y 2−4t 2=0，消去 x 并整理得(s 2+4)y 2+2√3tsy −t 2=0,那么y 1+y 2=−2√3ts s 2+4,y 1y 2=−t 2s 2+4.把 y 1=−3y 2 代入得−2y 2=−2√3ts s 2+4,−3y 22=−t 2s 2+4,消去 y 2，解得 s =√22，从而 k =√2．58. B 【解析】∵ 直线 l:2x +y +2=0 关于原点对称的直线为 l ′:−2x −y +2=0，lʹ 与椭圆 x 2+y 24=1 的交点为 (1,0)，(0,2)，∴ ∣AB ∣=√5．∵ S △PAB =12×∣AB ∣×d =12，∴ P 到直线 lʹ 的距离为 d =√55． ∴ P 在与 lʹ 平行且到 lʹ 距离为√55的直线 m 上，设 m:−2x −y +c =0，则√55=√5，解得 c =1 或 c =3．而 m 1:−2x −y +3=0 与椭圆无交点，m 2:−2x −y +1=0 与椭圆有两个交点，故符合题意的点共有两个．59. B 【解析】提示：联立抛物线方程和直线方程，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，然后可求得 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0．所以 OA ⊥OB ． 60. C【解析】由已知可得抛物线 y 2=−8x 的焦点坐标为 (−2,0)，准线方程为 x =2，设点 A 坐标为 (x 0,y 0)，根据抛物线的定义可得 2−x 0=4，所以 x 0=−2，y 0=±4．O 关于准线的对称点为 Oʹ(4,0)，则 P 点为 AOʹ 与准线 x =2 的交点时 ∣PA∣+∣PO∣ 有最小值，且最小值为 AOʹ=2√13．61. D 【解析】由已知得 a =5，b =4，c =3，又 △ABF 2 的内切圆周长为 π，得内切圆的半径为 r =12，根据椭圆的定义有 ∣AB ∣+∣AF 2∣+∣BF 2∣=4a =20，则 S △ABF 2=12(∣AB ∣+∣AF 2∣+∣BF 2∣)×r =5，又因为 S △ABF 2=12∣F 1F 2∣∣y 2−y 1∣，所以 ∣y 2−y 1∣=53．62. C 【解析】设 A (x 1,x 12)，B (x 2,x 22)，P (x 0,x 0−1)，根据题意 A 是 PB 的中点，所以 2x 1=x 2+x 0，2y 1=x 22+x 0−1，因为点 A 在抛物线 y =x 2 上，代入抛物线方程有x 22−2x 2x 0+2x 0−x 02−2=0,。
圆锥曲线小题 专题训练
圆锥曲线小题训练一、求离心率的值1.椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2,过F 2垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为A. 12B.32C.13D.33【答案】D由题意得，2×b 2a =2a －b 2a ，又b 2a2=1－e 2即可求得. 2.已知抛物线y 2=8x 与双曲线x 2m －y 2＝1交于A ，B 两点，且抛物线的准线与x 轴交于点D,点F 为物线的焦点.若△ADF 为等腰直角三角形，则双线的离心率是A. 2B. 2C.1D.22【答案】D3已知双曲线C 1：x 2m + y 2m －10＝1与双曲线C 2：x 2－y 24=1有相同的渐近线，则双曲线C 1的离心率为A. 5B.5C.54D.52【答案】A4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),点F 为左焦点,点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A,B 两点，且AB 的中点为M （1，12）,则椭圆的离心率为 A.22 B.12 C. 14 D.32【答案】A 提示：点差法，中点坐标代入即可求.5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点,I 为△PF 1F 2的内心，PI 交x 轴于Q 点,若｜F 1Q ｜=｜PF 2｜且PI :IQ=2:1,则双曲线的离心率e 的值为 . 【答案】32提示：三角形内心的性质，PF 1:PF 1=PI :IQ （可用△PF 1I 与△QF 1I 面积比来证明）6.设双曲线C:x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2,直线x=a 与C 的渐近线的一个交点记为P,若|PF 2|，|PF 1|, |F 1F 2|成等比数列，则C 的离心率为 A.4－ 3 B.2+ 3 C.4－ 5 D.2+5【答案】D7.设双曲线C:x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的夹角为α，且cosα=13，则C 的离心率为 A.52 B.62 C.72 D.2【答案】B8.双曲线C:y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点（2，2），则该双曲线离心率为 A.62 B. 2 C. 3 D.3【答案】C9.已知双曲线E:x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)焦距为2c ，圆C 1:(x －c)2+y 2=r 2与圆C 2:x 2+(y －m )2=4r 2(m ∊R)外切，且E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E 的离心率为 A.62 B. 2 C. 5 D.32【答案】A 提示：m 2+c 2=(3r)2结合点到直线的距离可求.10.已知点M 在以A ，B 为焦点的椭圆上，点C 为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件，MA→+MB→=2MC →，|MA →|=2|MB →|=2|MC →|则该椭圆的离心率为 .【答案】63 提示：画图可得C 为坐标原点，所以M 的横坐标为c 2，|MB |=|MC |=n=2a 3，|MA |=m =4a 3，设BC 中点为D ，则△MBD 中cos ∠MBD=c 2n ，在△MAB中，利用余弦定理可得a ，c 关系，进而求得离心率.二、求离心率的取值范围1.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0),若双曲线上存在点P,使的a sin∠PF 1F 2=c sin∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 A. (1,2+1) B.(2,+∞)C.( 2 ,2+1) D. (2+1,+∞)【答案】C设点P 在双曲线右支非x 轴上.由正弦定理可得|PF 2|sin∠PF 1F 2=|PF 1|sin∠PF 2F 1为方便运算,设| PF 1 | =m , | PF 2 |=n,则m sin∠PF 1F 2=n sin∠PF 2F 1，所以m n =c a ，又m -n=2a ，所以n=2a 2c -a ，m =2ac c -a，又sin∠PF 1F 2≠0，所以P 、F 1、F 2不共线，所以m +n ＞2c ，2a 2c -a +2ac c -a＞2c 而b ＞a ＞0，可解的答案C.2.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F,过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于P,Q 两点,点P 在第一象限,点Q 在第四象限，则该双曲线离心率的取值范围为 A. (2,2) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,2)【答案】B由已知，得－b a ＞-1,即b a ＜1，所以b 2≤c 2即c 2－a 2＜a 2,故1＜e ＜2.【怎么解】正确理解题目中给出的条件，将条件“点P 在第一象限,点，Q 在第四象限”转化为－b a ＞-1.3.设抛物线M ：x 2=4py (p >0)的焦点为F,其准线与双曲线N ：x 2a 2－y 2＝1的两个交点分別是A 、B ，若存在抛物线M 使得△FAB 是等边三角形，则双曲线N 的离心率的取值范围是 A. (1,233) B.(233,+∞) C.(72,+∞) D.(1,+∞)【答案】C抛物线的焦点坐标为F(p ，0)，准线方程为y=－p ，把y=－p 代入双曲线方程，可得A ，B 的坐标，其绝对值即是三角形边长的一班，所以tan∠FAO=－p |x |=3整理得到关于p 的方程，该方程有解，就可求得e 的范围.4.F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足PF1→·PF 2→=－a 2，则双曲线的离心率的取值范围为 A.[3,+∞) B.[2,+∞) C.(1,3] D.(1,2]【答案】B 提示：设点P(x 0,y 0)则PF1→·PF 2→=(x 0+c)(x 0－c)+y 02=x 02－c 2+y 02=－a 2，x 02+y 02=c 2－a 2=b 2即点P 在一原点为圆心，半径为b 的圆上，有题意，该圆和双曲线相交，所以b 2>a 2，即可求解.三、其他问题1、已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点，若∠KPF 的平分线与x 轴交于(m ,0) ,则m 的最大值为A.3－2 2B.23－3C.2－ 3D.2－2【答案】A 提示：三角形角平分线的性质，及过抛物线准线与x 轴的交点的与抛物线相切的直线的斜率为±12.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与此抛物线交于A,B 两点，公共点A 在第一象限,过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A',直线A'F 的斜率为－ 3 ,则△AA'F 的面积为 A.4 3 B.3 3 C.2 3 D. 3【答案】A 提示：△AA'F 是正三角形，且边长等于2p=4.3.已知抛物线C:y 2 =2px (p >0)的焦点为F,准线为l ，l 与x 轴的交点为P,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA'⊥l ，垂足为A'，若四边形AA'PF 的面积为14,且cos ∠FAA'=35 ，则抛物线C 的方程为A.y 2 =xB.y 2 =2xC.y 2 =4xD.y 2 =8x【答案】C4.设双曲线C:x 28－y 2m =1的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与双曲线C 交于M,N 两点,其中M 在左支上,N 在右支上，若∠F 2MN= F 2NM ，则｜MN ｜ =A.8B.4C.8 2D.42【答案】C [命题意图]本题考查双曲线的定义与方程,考查推理论证能力以及数形结合思想. 提示：由∠F 2MN= F 2NM,可知，|F 2M|=｜F 2N ｜.由双曲线定义可知，｜MF2｜-｜MF1｜2a,｜NF1｜－｜NF2｜=2a,两式相加得,｜NF1｜-｜MF1｜=|MN｜=4a=82.5.设椭圆C: x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1, F2, 离心率为3，以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为A.13 B.12 C.33 D.32【答案】B6.已知点P(－43, 0),圆x2+y2=16 上两点A, B满足PB=2PA,则|AB|=【答案】4 提示：根据OA=OB=PA=AB=12PB，所以点B恰好是（0,4）.7.设点P为直线l：x+y－4=0上的动点，点A（－2,0），B（2,0），则｜PA｜+｜PB｜的最小值A.210B.26C.2 5D.10【答案】A8.已知椭圆C1:x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－y2 9=1有公共焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则A.a 2=878 B.a 2=12 C.b 2=98 D.b 2=1 【答案】C9.“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C10.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且点P 在y 轴上的投影为E ，则｜PF ｜－｜PE ｜的值为A.1B.2C.3D.4【答案】B。
圆锥曲线小题集合45题(有答案)
7．（2016高考新课标3理数）已知 为坐标原点， 是椭圆 ： 的左焦点， 分别为 的左，右顶点． 为 上一点，且 轴．过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 ．若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．（2016高考天津理数）已知双曲线 （b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的
（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．
如果Δ＜0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；
如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；
如果Δ＞0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．
圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9．（2016湖北优质高中联考，理3）若 是2和8的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
10．（2016湖南六校联考，理12）已知 分别为椭圆 的左、右顶点，不同两点 在椭圆 上，且关于 轴对称，设直线 的斜率分别为 ，则当 取最小值时，椭圆 的离心率为（ ）
4．A
【解析】
试题分析：因为 垂直于 轴，所以 ，因为 ，即 ，化简得 ，故双曲线离心率 ．选A．
考点：双曲线的性质．离心率．
【名师点睛】区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2．双曲线的离心率e∈（1，＋∞），而椭圆的离心率e∈（0，1）．
高中数学圆锥曲线难题练习题带答案
高中数学圆锥曲线一．选择题（共20小题）1．已知F1、F2是椭圆＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以PF1为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则＝（）A．2B．4C．3D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点A，以F A，FO为邻边作平行四边形OF AB，若点B在椭圆上，则b2等于（）A．B．2C．3D．43．已知双曲线的右焦点到其中一条新近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x﹣3y+6＝0和l2：x＝﹣1的距离之和的最小值为（）A．1B．2C．3D．44．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为2，右顶点为A．过原点与x轴不重合的直线交C于M，N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为（）A．B．C．D．5．已知经过原点O的直线与椭圆相交于M，N两点（M在第二象限），A，F分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF平分线段AN，且|AF|＝4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．已知椭圆T：的焦点F（﹣2，0），过点M（0，1）引两条互相垂直的两直线l1、l2，若P为椭圆上任一点，记点P到l1、l2的距离分别为d1、d2，则d12+d22的最大值为（）A．2B．C．D．7．点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点（点A在第一象限），过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若|MF|＝4，|NF|＝3，则直线AB的斜率为（）A．1B．C．2D．8．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点（2，3），若F1、F2为其左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若点A（6，8），则当|P A|+|PF2||取最小值时，点P的坐标为（）A．B．C．D．9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，直线l：y＝k（x﹣）过点F2，且与双曲线C在第一象限交于点P，若（）•＝0（O为坐标原点），且|PF1|＝（a+1）|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．已知点F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝2，则e1的值是（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则＝（）A．1B．2C．3D．412．已知双曲线，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P（x0，y0）为双曲线C上一点，且位于第一象限，若△PF1F2为锐角三角形，则y0的取值范围为（）A．B．C．D．13．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若F A＝BP，∠AOB＝120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．14．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|y H|＝3|y G|，则双曲线离心率的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（1，]C．（1，2]D．（1，2）15．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．416．设双曲线C：（a＞0，b＞0），M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若k PM•k PN＝4，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．517．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作与l1平行的直线l交l2于点P，若|+|＝|﹣|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．318．已知过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y2﹣2x＝0于M，N两点，其中P，M 位于第一象限，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．419．已知椭圆，圆A：x2+y2﹣3x﹣y+2＝0，P，Q分別为椭圆C和圆A上的点，F（﹣2，0），则|PQ|+|PF|的最小值为（）A．B．C．D．20．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[3，]D．[，3]二．填空题（共10小题）21．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，则椭圆的方程为；若点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是．22．已知F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，AB是椭圆C过F的弦，AB的垂直平分线交x轴于点P．若，且P为OF的中点，则椭圆C的离心率为．23．椭圆C：和双曲线的左右顶点分别为A，B，点M为椭圆C的上顶点，直线AM与双曲线E的右支交于点P，且，则双曲线的离心率为．24．已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过点F2且斜率为k（k＞0）的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆圆心为O1，半径为r1，△BF1F2的内切圆圆心为O2，半径为r2，则直线O1O2的方程为：；若r1＝3r2，则k＝．25．已知双曲线的一条渐近线为l，圆M：（x﹣a）2+y2＝8与l交于A，B两点，若△ABM是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．26．（文科）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以F为圆心，以|OF|为半径的圆交双曲线C 的右支于P，Q两点（O为坐标原点），△OPQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率的平方为．27．已知P是椭圆＝1上任意一点，AB是圆x2+（y﹣2）2＝1的任意一条直径（A，B为直径两个端点），则的最小值为，最大值为．28．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，直线l：3x﹣4y+4＝0与抛物线C和圆x2+y2﹣2y＝0从左至右的交点依次为A、B、E、F，则抛物线C的方程为，＝．29．已知F1，F2分别是双曲线C：，b＞0）的左，右焦点，过点F1向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P，直线F2P与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，若△PQF1的内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2的大小为；双曲线的离心率为．30．已知点F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M（x0，y0）（x0＜0）为C的渐近线与圆x2+y2＝a2的一个交点，O为坐标原点，若直线F1M与C的右支交于点N，且|MN|＝|NF2|+|OF2|，则双曲线C 的离心率为．三．解答题（共10小题）31．如图，已知抛物线C1：x2＝4y与椭圆C2：（a＞b＞0）交于点A，B，且抛物线C1在点A处的切线l1与椭圆C2在点A处的切线l2互相垂直．（1）求椭圆C2的离心率；（2）设l1与C2交于点P，l2与C1交于点Q，记△ABQ，△ABP的面积分别为S1，S2，问：是否存在椭圆C2，使得S1＝2S2？请说明理由．32．已知点N（1，0）和直线x＝2，设动点M（x，y）到直线x＝2的距离为d，且|MN|＝d．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）已知P（﹣2，0），若直线l：y＝k（x+1）与曲线E交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，证明：P，B，C三点共线．33．已知椭圆的离心率为，且坐标原点O到过点（0，b），的直线的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点的直线l交椭圆C于A，B两点，且与直线x＝3交于点P，使得|P A|，|AB|，|PB|依次成等差数列，若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．34．已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为D．（Ⅰ）若点D的纵坐标为﹣，求直线AB的方程；（Ⅱ）线段AB的中垂线与直线x＝﹣4交于点E，若|AB|＝，求|DE|．35．已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜5），与圆M：（x﹣5）2+y2＝16有且只有两个公共点．（1）求抛物线C的方程；（2）经过R（2，0）的动直线l与抛物线C交于A，B两点，试问在直线y＝2上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之和为直线RQ斜率的2倍？若存在，求出定点Q；若不存在，请说明理由．36．曲线C：y2＝2px（p＞0）与曲线E：x2+y2＝32交于A、B两点，O为原点，∠AOB＝90°．（1）求p；（2）曲线C上一点M的纵坐标为2，过点M作直线l1、l2，l1、l2的斜率分别为k1、k2，k1+k2＝2，l1、l2分别交曲线C于异于M的不同点N，P，证明：直线NP恒过定点．37．已知抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）若点P是半椭圆C2上一动点，过点P作抛物线C1的两条切线，切点分别为C，D，求△PCD面积的取值范围．38．已知圆锥曲线+＝1过点A（﹣1，），且过抛物线x2＝8y的焦点B．（1）求该圆锥曲线的标准方程；（2）设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为（，0）点E的坐标为0，），直线PD与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：|DN|•|EM|为定值．39．已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．40．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，2），B（2，2），直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：k AD﹣k BD＝﹣2．（1）求点D的轨迹C的方程；（2）设过点（0，2）的直线1交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线y＝﹣1于点M，N，是否存在常数λ，使S△OPQ＝λS△OMN，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．高中数学圆锥曲线一．选择题（共20小题）1．【解答】解：连接PF2，由题意可知|PF2|＝2|ON|，|NQ|＝|PF1|，所以|OQ|＝|ON|+|NQ|＝（|PF2|+|PF1|）＝×4＝2，由极化恒等式可知，所以＝3，（极化恒等式：）．故选：C．2．【解答】解：依题意，c＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵四边形OF AB为平行四边形，∴y1＝y2，又，，∴x2＝﹣x1，又F A∥OB，且直线F A的倾斜角为，∴．∵y1＝y2，x2＝﹣x1，∴x1＝﹣1，x2＝1，．得A（﹣1，），将A的坐标代入椭圆方程，可得，①又a2﹣b2＝4，②联立①②解得：，．故选：B．3．【解答】解：双曲线C：（b＞0）的渐近线方程为y＝±，右焦点（，0）到其一条渐近线的距离等于，可得，解得b＝2，即有c＝，由题意可得＝1，解得p＝2，即有抛物线的方程为y2＝4x，如图，过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线l2：x＝﹣1于点C，连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC＝MA+MF，设M到l1的距离为d1，M到直线l2的距离为d2，∴d1+d2＝MA+MC＝MA+MF，根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值．∵F（1，0）到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离为．∴MA+MF的最小值是2，由此可得所求距离和的最小值为2．故选：B．4．【解答】解：如图，设M（x0，y0），则N（﹣x0，﹣y0），∵A（a，0），且线段AM的中点为B，∴B（，），由B，F，N三点共线，得，依题意，F（1，0），∴，，即．又y0≠0，解得a＝3，∴b2＝32﹣12＝8．可得C的方程为．故选：C．5．【解答】解：由|AF|＝4，得a﹣c＝4，设线段AN的中点为P，M（m，n），则N（﹣m，﹣n），又A（a，0），∴P （，），F（a﹣4，0），∵点M、F、P在同一直线上，∴k MF＝k FP，即，化简即可求得a＝6，∴c＝2，则b2＝a2﹣c2＝32．故椭圆方程为．故选：C．6．【解答】解：由题意知：a2＝1+4＝5，∴椭圆T：．设P（x0，y0），∵l1⊥l2，且M（0，1），∴，又，∴＝．﹣1≤y0≤1，∴当时，d12+d22的最大值为，故选：D．7．【解答】解：由抛物线方程，可得直线方程为x＝﹣，F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则M（，y1），N（﹣），∴，得，①，得，②又直线AB过焦点F，∴，③联立①②③得，p4＝（16﹣p2）（9﹣p2），解得p＝（p＞0）．设抛物线准线交x轴于K，则FK＝p＝．在Rt△MKF中，可得cos∠MFK＝，由抛物线的性质，可得∠AMF＝∠AFM＝∠MFK，则∠AFK＝2∠MFK，∴cos∠AFK＝，则cos，∴sin∠AFx＝，则tan．∴直线AB的斜率为．故选：D．8．【解答】解；由题意，可设双曲线C的方程为y2﹣3x2＝k（k≠0），将点（2，3）代入，可得32﹣3×22＝k，即k＝﹣3．故双曲线方程为．作出双曲线如图所示，连接PF1，AF1，由双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|＝2．∴|PF2|＝|PF1|﹣2，则|P A|+|PF2|＝|P A|+|PF1|﹣2≥|AF1|﹣2．当且仅当A，P，F1三点共线时等号成立，由A（6，8），F1（﹣2，0），得直线AF1的方程为y＝x+2．联立，得2x2﹣4x﹣7＝0．解得x＝1±．∵点P在双曲线的右支上，∴点P的坐标为（，）．故选：C．9．【解答】解：如右上图，由直线l：y＝k（x﹣）过点F2，可得F2（），由（）•＝0，可得OP＝OF2，取PF2的中点M，连接OM，则OM⊥PF2．又OM∥PF1，∴PF1⊥PF2．设PF2＝m，则|PF1|＝（a+1）|PF2|＝（a+1）m，由，解得．∴双曲线C的离心率为e＝．故选：C．10．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，长半轴长为a1，实半轴长为a2，即有e1＝，e2＝，设P为第一象限的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆和双曲线的定义可得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，由∠F1PF2＝，可得4c2＝m2+n2﹣2mn cos，即为4c2＝3a12+a22，即有，又e2＝2，∴．故选：D．11．【解答】解：根据题意得F1（﹣，0）、F2（，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A1、B1，与F1F2切于点A，则|P A1|＝|PB1|，|F1A1|＝|F1A|，|F2B1|＝|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝4，故|F1A|﹣|F2A|＝4，而|F1A|+|F2A|＝2，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|＝4可得（x+）﹣（﹣x）＝4，解得x＝2，故|OA|＝2，则△PF1F2的内切圆的圆心在直线x＝3上，延长F2B交PF1于C，在三角形PCF2中，由题意得，三角形PCF2是一个等腰三角形，PC＝PF2，∴在三角形F1CF2中，有|OB|＝|CF1|＝（|PF1|﹣|PC|）＝（|PF1|﹣|PF2|）＝2，∴＝1．故选：A．12．【解答】解：由双曲线，得F1（﹣，0），F2（，0），∵P位于第一象限，∴∠PF1F2恒为锐角，又△PF1F2为锐角三角形，∴∠PF2F1，∠F1PF2均为锐角．由∠PF2F1为锐角，得2＜x0＜，∴（0，）．∵y0＞0，∴y0∈（0，），由∠F1PF2为锐角，得＞0，∴＞0，即＞0，又，∴＞0．即＞，又y0＞0，∴y0＞．综上所述，y0∈（）．故选：C．13．【解答】解：如图，由圆O的方程，得圆O的半径为OA＝OB ＝．过O作AB的垂线OH，则H为AB的中点，又F A＝BP，∴H为FP的中点，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，则OH为三角形FF1P的中位线，可得OH∥PF1，则PF1⊥PF，由∠AOB＝120°，可得OH＝．∴，则PF＝，在Rt△PFF1中，由勾股定理可得：，整理得：．解得：e＝或e＝（舍）．故选：D．14．【解答】解：不妨设直线AB的斜率大于0，倾斜角设为θ，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）﹣|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|，即为2a＝c+x H﹣（c﹣x H），可得x H＝a，同理可得x G＝a，则HG⊥F1F2，在直角三角形F2FG中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，在直角三角形F2FH中，|FH|＝|FF2|tan（﹣θ）＝（c﹣a）tan（﹣θ），又|y H|＝3|y G|，所以|FH|＝3|HG|，即（c ﹣a）tan（﹣θ）＝＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，由θ为锐角，可得＝，即θ＝，可得直线AB的斜率为，而双曲线的渐近线的方程为y＝±x，由过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B 两点，可得＞，即b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，可得c＜2a，由e＝，且e＞1，则1＜e＜2，故选：D．15．【解答】解：不妨设直线AB的斜率大于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）﹣|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|，即为2a＝c+x H﹣（c﹣x H），可得x H＝a，同理可得x G＝a，则HG⊥F1F2，在直角三角形F2FG中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，在直角三角形F2FH 中，|FH|＝|FF2|tan（﹣θ）＝（c﹣a）tan（﹣θ），又|y H|＝3|y G|，所以|FH|＝3|HG|，即（c﹣a）tan（﹣θ）＝＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，tanθ＝＝，可得θ＝，所以|HG|＝4|FG|＝4（2﹣）tan＝4，故选：D．16．【解答】解：由题意，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（﹣x1，﹣y1），∴k PM•k PN＝•＝，∵，，∴两式相减可得，即，∵k PM•k PN＝4，∴，则e＝＝．故选：C．17．【解答】解：如图所示，l1：y＝，l2：y＝﹣，F2（c，0），则过焦点F2平行于l1的直线方程为y＝．由，解得P（）．∴|OP|＝．由|+|＝|﹣|，得F1P⊥F2P，即P在以线段F1F2为直径的圆上．则|OP|＝c＝，即e＝．故选：C．18．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），再设PQ的方程为x＝my+1，联立，得y2﹣4my﹣4＝0．∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则．|PM|•|QN|＝（|PF|﹣1）（|QF|﹣1）＝（x1+1﹣1）（x2+1﹣1）＝x1x2＝1，则≥2＝2．∴的最小值为2．故选：B．19．【解答】解：由圆A：x2+y2﹣3x﹣y+2＝0，得．作出椭圆C与圆A的图象如图，F（﹣2，0）为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为F′（2，0），则|PQ|+|PF|＝|PQ|+2×4﹣|PF′|＝8﹣（|PF′|﹣|PQ|），圆A过点F′，要使|PQ|+|PF|最小，则|PF′|﹣|PQ|需要取最大值为圆的直径．∴|PQ|+|PF|的最小值为8﹣．故选：D．20．【解答】解：如图，由题意，A（c，），|F1F2|＝2c，则tan．由，得≤≤1，即2≤≤．∴e＝∈[]．故选：A．二．填空题（共10小题）21．【解答】解：由已知可得2b＝2，即b＝1，∵△F1AB的面积为，∴（a﹣c）b＝，得a﹣c＝；∵a2﹣c2＝b2＝1；∴a＝2，c＝．可得椭圆方程为；∴＝＝．令|PF1|＝m，则．∴＝，∵≤m≤，∴1≤﹣m2+4m≤4；∴1≤≤4．故答案为：；[1，4]．22．【解答】解：由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为x＝my﹣c，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为P为OF的中点，所以P（﹣，0），因为，所以（﹣c﹣x1，﹣y1）＝2（x2+c，y2），所以可得y1＝﹣2y2，联立直线AB与椭圆的方程，整理可得：（a2+m2b2）y2﹣2b2mcy+b2c2﹣a2b2＝0，所以y1+y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2c＝﹣，所以A，B的中点坐标（﹣，），所以线段AB的中垂线方程为：y﹣＝﹣m（x+），令y＝0，可得x＝，由题意可得﹣＝，可得a2（1+m2）＝（2+m2）c2，①由，可得：9m2c2＝（1+m2）a2②，由①②可得：9m2＝2+m2，解得m2＝，将m2＝代入①可得a2＝c2，所以＝，故答案为：．23．【解答】解：如图，由已知可得：A（﹣3，0），B（3，0），M（0，）．则，AM所在直线方程为y＝，设P（x0，y0），则，消去x0，y0，解得b2＝6．则c＝．∴双曲线的离心率为e＝．故答案为：．24．【解答】解：△AF1F2的内切圆圆心为O1，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|﹣|AF2|＝2a，得|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）＝2a，则|MF1|﹣|NF2|＝2a，即|F1E|﹣|F2E|＝2a，记O1的横坐标为x0，则E（x0，0），于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，同理可得内心O2的横坐标也为a，则有直线O1O2的方程为x＝a；设直线l的倾斜角为θ，则∠OF2O2＝，∠O1F2O＝90°﹣，在△O1EF2中，tan∠O1F2O＝tan（90°﹣）＝，在△O2EF2中，tan∠O2F2O＝tan＝，由r1＝3r2，可得3tan ＝tan（90°﹣）＝cot，解得tan＝，则直线的斜率为tanθ＝＝．∴k＝．故答案为：a；．25．【解答】解：双曲线的一条渐近线l的方程为y＝，圆M：（x﹣a）2+y2＝8的圆心M（a，0），半径为r＝2，由△ABM为等腰直角三角形，可得AB＝r＝4，设OA＝t，由，可得OB＝5t，AB＝4t，由4t＝4，得t＝1，过M作MD⊥AB，且D为AB的中点，OD＝3，AB＝4，AD＝2，M到直线l的距离为MD＝，在直角三角形OMD中，MD2＝OM2﹣OD2，在直角三角形AMD中，MD2＝AM2﹣AD2，即有a2﹣9＝8﹣4，解得a＝，即有MD＝2＝，解得b＝，c＝，∴e＝．故答案为：．26．【解答】解：如图所示OP＝OQ，且△OPQ的一个内角为60°，则△OPQ为等边三角形，∴OP＝PQ，设圆与x轴交于G，连接PF，PG，则∠OPG＝90°，由∠POG＝30°，可得∠OGP＝60°，可得PG＝PF＝FG＝c，由OG＝2c，可得OP＝c，PQ＝c，则PH＝c，可得OH＝c，故P（c，c），又P为双曲线上一点，∴，由b2＝c2﹣a2，e＝，且e＞1，可得9e4﹣16e2+4＝0，解得e2＝．故答案为：．27．【解答】解：设圆C：x2+（y﹣2）2＝1的圆心为C，则＝（）•（）＝（﹣﹣）•（）＝＝．∵P是椭圆＝1上的任意一点，设P（x0，y0），，即．∵点C（0，2），∴＝＝．∵y0∈[﹣1，1]，∴当y0＝1时，取得最小值1，当时，取得最大值．∴的最小值为0，最大值为．故答案为：0；．28．【解答】解：由抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，得﹣，即p＝2．∴抛物线C的方程为x2＝4y；圆x2+y2﹣2y＝0为x2+（y﹣1）2＝1，则圆心与抛物线的焦点M重合，圆的半径为1．如图，联立，得4y2﹣17y+4＝0．解得：，y F＝4．∴|AB|＝|AM|﹣1＝|AA1|﹣1＝；|EF|＝|MF|﹣1＝|FB1|﹣1＝4，则＝．故答案为：x2＝4y；16．29．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），如图可得△QF1F2为等腰三角形，则△PQF1的内切圆圆心I在y轴上，又I恰好落在以F1F2为直径的圆上，可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay＝0，则直线PF1的方程设为ax﹣by+ac＝0，则I到直线PF1的距离为＝|a﹣b|，由图象可得a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a，设Q（0，t），且t＞c，则直线QF2的方程为tx﹣cy+tc＝0，由内心的性质可得I到直线QF2的距离为b﹣a，即有＝b ﹣a，化简可得abt2﹣tc3+abc2＝0，由△＝c6﹣4a2b2c2＝c2（a2﹣b2）2，解得t＝或＜c（舍去），则Q（0，），直线QF2的斜率为＝﹣，可得直线QF2与渐近线OM：bx+ay＝0平行，可得∠F1PF2＝，由F1到渐近线OM的距离为＝b，|OM|＝＝a，由OM为△PF1F2的中位线，可得|PF2|＝2|OM|＝2a，|PF1|＝2|MF1|＝2b，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则b＝2a，e＝＝＝．故答案为：，．30．【解答】解：如图，由题意可得，直线F1M与圆O相切于点M，且|MF1|＝b，由双曲线的定义可知，2a＝|NF1|﹣|NF2|＝|MN|+|MF1|﹣|NF2|，∵|MN|＝|NF2|+|OF2|，且|OF2|＝c，∴2a＝b+c，即b＝2a﹣c，∴b2＝（2a﹣c）2＝c2﹣4ac+4a2，又b2＝c2﹣a2，联立解得4c＝5a，即e＝．故答案为：．三．解答题（共10小题）31．【解答】解：（1）设切点A（m，n），可得m2＝4n，x2＝4y即y＝的导数为y′＝x，可得切线l1的斜率为m，对椭圆+＝1两边对x求导，可得+＝0，即有y′＝﹣，则椭圆C2在点A处的切线l2的斜率为﹣，由题意可得率为m•（﹣）＝﹣1，化为b2＝a2，则e＝＝＝＝；（2）假设存在椭圆C2，使得S1＝2S2．由抛物线C1在点A处的切线l1的方程为mx＝2（y+n），与椭圆方程x2+2y2＝2b2联立，消去x可得（4+2m2）y2+8ny+4n2﹣2b2m2＝0，则n+y P＝﹣＝﹣，解得y P＝﹣，可得|y P﹣n|＝|﹣﹣n|＝，又椭圆C2在点A处的切线l2的方程为mx+2ny＝2b2，与抛物线方程x2＝4y联立，可得nx2+2mx﹣4b2＝0，可得mx Q＝﹣，即x Q＝﹣＝﹣＝﹣，y Q＝x Q2＝•＝，所以|y Q﹣n|＝，由S1＝2S2，可得＝2•，即为2n2＝1+2n，解得n＝+（负的舍去），则2b2＝m2+2n2＝4n+2n2＝4+3，所以存在椭圆C2，且方程为+＝1，使得S1＝2S2．32．【解答】解：（1）由已知，，∴，化简得动点M的轨迹E的方程：；证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，此时△＞0，∴，，由直线BC的方程：，得：，令y＝0，则＝＝＝＝，∴直线BC过点P（﹣2，0），即P，B，C三点共线．33．【解答】解：（1）由题意可得e＝＝，且a2﹣b2＝c2，则a＝2b，c＝b，坐标原点O到过点（0，b），的直线的距离为，可得••a＝•b•c，解得b＝1，a＝2，则椭圆的方程为+y2＝1；（2）假设存在满足题意的直线l，显然其斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣），且A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，可得（1+4k2）x2﹣k2x+k2﹣4＝0，由题意，可得△＝16（k2+1）＞0恒成立，又x1+x2＝，x1x2＝，由|P A|＝|3﹣x1|，|PB|＝|3﹣x2|，|AB|＝|x1﹣x2|，且|P A|，|AB|，|PB|依次成等差数列，可得|3﹣x1|+|3﹣x2|＝2|x1﹣x2|，即6﹣（x1+x2）＝2，所以6﹣＝2＝2•，即52k2+15＝4，解得k＝±，所以存在这样的直线满足题意，且直线l的方程为y＝x﹣或y＝﹣x+．34．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，F（1，0），设直线AB的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．∴．点D的纵坐标为，解得m＝2或m＝．当m＝2时，直线AB的方程为x﹣2y﹣1＝0；当m＝时，直线AB的方程为3x﹣2y﹣3＝0．∴直线AB的方程为x﹣2y﹣1＝0或3x﹣2y﹣3＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．∴|AB|＝＝．令，解得m＝±1．从而可得D的纵坐标为，横坐标为．∵DE⊥AB，于是|DE|＝．35．【解答】解：（1）联立方程，得x2+（2p﹣10）x+9＝0，∵抛物线C与圆M有且只有两个公共点，则△＝（2p﹣10）2﹣36＝0，解得p＝2或p＝8（舍去）．∴抛物线C的方程为y2＝4x；（2）假设直线y＝2上存在定点Q（m，2），当直线l的斜率不存在时，A（2，），B（2，），由题知2k RQ＝k AQ+k BQ，即恒成立．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x ﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得k2x2﹣4（k2+1）x+4k2＝0，则，x1x2＝4，由题知2k RQ＝k AQ+k BQ，∴＝＝＝．整理得：（m2﹣4）k﹣2（m+2）＝0．∵上式对任意k成立，∴，解得m＝﹣2．故所求定点为Q（﹣2，2）．36．【解答】解：（1）由对称性可知：A、B关于x轴对称，可设A（a，a），a＞0，则a2＝2pa⇒a＝2p，把A（2p，2p）代入曲线C得：（2p）2+（2p）2＝32⇒p＝2；（2）证明：由（1）得曲线C的方程为y2＝4x，即有M（1，2），设N（x1，y1），P（x2，y2），则，同理，（*），若直线NP斜率为0，直线NP的方程设为y＝t0，代入曲线C，仅有一解，不合题意，舍去；当m存在时，设直线NP的方程设为x＝my+t，把x＝my+t代入y2＝4x 整理得：y2＝4（my+t）⇒y2﹣4my﹣4t＝0，且16m2+16t＞0，得，代入（*）式，得：﹣4t＝4⇒t＝﹣1，故直线NP的方程为x＝my﹣1，可得直线NP恒过定点（﹣1，0）．37．【解答】解：（1）抛物线的准线：x＝﹣，由抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且．可得得p＝2，所以．（2）设点P坐标为（x0，y0），满足．由题意可知切线斜率不会为0，设切线PC为（x﹣x0）＝m1（y﹣y0），代入得y2﹣4m1y+4m1y0﹣4x0＝0，由△＝0可得①，设切点C（x1，y1），所以y1＝2m1，代入①可得②．设切线PD为（x﹣x0）＝m2（y﹣y0），切点D（x2，y2），同理可得③．由②③可知y1，y2是方程y2﹣2y0y+4x0＝0的两根，所以y1+y2＝2y0，y1•y2＝4x0，又，，所以代入②③可知C（x1，y1），D（x2，y2）是4x﹣2y0y+4x0＝0的两根，即CD直线方程为4x﹣2y0y+4x0＝0．∴，∴，S△PCD＝＝＝，又因为且x0∈[﹣2，0]，．38．【解答】解：（1）抛物线x2＝8y的焦点B（0，2），将点A（﹣1，），B（0，2）代入方程得：，解得，∴圆锥曲线的标准方程为；证明：（2）由（1）可知，该圆锥曲线为椭圆，且D（），E（0，2），设椭圆上一点P（x0，y0），则直线PD：，令x＝0，得，∴|EM|＝|2+|；直线PE：，令y＝0，得，∴|DN|＝||．∴|DN|•|EM|＝||•|2+|＝||•||＝|•|＝||．∵点P在椭圆上，∴，即．代入上式得：|DN|•|EM|＝||＝||＝．故|DN|•|EM|为定值．39．【解答】解：（1）由x A＝，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立，解得y A＝，b＝2；（2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4，所以|PF2|＝8﹣4＝4，因为b＝，则c＝＝3，所以|F1F2|＝6，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos；（3）设直线l：y＝﹣x+，可得原点O到直线l的距离d＝＝，所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以k OM＝，并设OM：y＝x与圆x2+y2＝4+b2联立，可得x2+x2＝4+b2，可得x＝b，y＝2，即M（b，2），注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，由，可得y A2＝，所以有4＜，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去），因为为在上的投影可得，•＝4+b2，所以•＝4+b2＞6+2，则•∈（6+2，+∞）．40．【解答】解：（1）设D（x，y），由A（﹣2，2），B（2，2），得（x≠﹣2），（x≠2），∵k AD﹣k BD＝﹣2，∴，整理得：x2＝2y（x≠±2）；（2）存在常数入＝4，使S△OPQ＝λS△OMN．证明如下：由题意，直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，得x2﹣2kx﹣4＝0．则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4．＝．则＝．直线OP：y＝，取y＝﹣1，得，直线OQ：y＝，取y＝﹣1，得．则|x M﹣x N|＝||＝||＝＝＝．∴．∴S△OPQ＝4S△OMN．故存在常数入＝4，使S△OPQ＝λS△OMN．第21页（共21页）。
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圆锥曲线小题训练81．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知椭圆，F 1，F 2为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C 的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+y 2=1，P 是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A 、B ，求•的范围为（ ）A ．[0，] B ．[2﹣3，+∞] C ．[2﹣3，] D ．[，]4．已知点A （﹣1，0），B （1，0）及抛物线y 2=2x ，若抛物线上点P 满足|PA|=m|PB|，则m 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．5．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右2个分支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C ．D ．6．已知双曲线的标准方程为，F 为其右焦点，A 1，A 2是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x=a 分别交于两点M ，N ，若，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线上存在两点M ，N 关于直线y=x+m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2=9x 上，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．0或4D ．0或﹣48．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．10．抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ）A．4 B．C．D．811．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（ ）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小12．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）A．B．C．D．13．已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（ ）A．[0，3] B．（0，2）C．[2，3] D．[0，4]14．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（ ）A．B．C．D．15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（ ）A．B．C． D．16．下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（ ）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e217．已知F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．（0，3）C．（1，3）D．（0，2]18．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（ ）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣219．设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|且cos∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=020．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（ ）A．a B．b C．ea D．eb21．设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（ ）A．（1，2）B．C．D．（1，2）22．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．23．已知双曲线的离心率，2]．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，π]24．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别F 1、F 2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，且 I 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的率心率，则（ ） A ．|OB|=e|OA|B ．|OA|=e|OB|C ．|OB|=|OA|D ．|OA|与|OB|关系不确定25．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）与椭圆有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．26．设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点M （﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使，则直线AB 的斜率k=（ ）A ．B ．C ．D ．27．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax 2上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）关于直线y=x+m 对称，且，则m 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 28．过双曲线（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．+1D ．29．已知椭圆的一个焦点为F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．30．已知点M 是抛物线y 2=4x 的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5圆锥曲线小题训练8参考答案与试题解析1．（2016•潍坊模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．B． C． D．F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情【分析】分等腰三角形△F况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上。
因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（ ）A．B．C．D．【分析】在焦点△F1PF2中，设P（x0，y0），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率【解答】解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2cF2|•|y0| 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，∴=•|F内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形|+|F1F2|+|PF2|）|| ∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||∴=（|PF即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A3．（2015•贵州模拟）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（ ）A．[0，] B．[2﹣3，+∞] C．[2﹣3，] D．[，]【分析】利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，则|PA|=PB|=，∴y=•=|PA||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，∴•的最大值为=，∴•的范围为[2﹣3，]．故选：C．4．（2015•鹰潭二模）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的最大值为（ ）A．3 B．2 C．D．【分析】由题意可得m2====1+≤3，可得m≤．【解答】解：设P（，y），由题意可m2====1+≤1+=3，∴m≤，当且仅当y2=2时，等号成立，故选：C．5．（2016•天津校级模拟）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4 B．C．D．【分析】利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，．在△AF1F2中使用余弦定理可得：=﹣，再利用离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．在△AF1F2中，由余弦定理可得：=﹣，∴，化为c2=7a2，∴=．故选B．6．（2015•大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（ ）A．B．C．D．【分析】双曲线，右焦点F（5.0），A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），由P，A1，M三点共线，知，故m=，由P，A2，N三点共线，知，故n=，由，和，能求出a的值．【解答】解：∵双曲线，右焦点F（5，0），A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），∵P，A1，M三点共线，∴m=，∵P，A2，N三点共线，∴，∴n=，∵，∴，∴，，，∴=（a﹣5）2+=（a﹣5）2+，∵，∴（a﹣5）2+=0，∴25a2﹣90a+81=0，∴a=．故选B．7．（2015•合肥模拟）已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（ ）A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4【分析】根据双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，求出MN中点P（﹣，m），利用MN的中点在抛物线y2=9x上，即可求得实数m的值．【解答】解：∵MN关于y=x+m对称∴MN垂直直线y=x+m，MN的斜率﹣1，MN中点P（x0，x0+m）在y=x+m上，且在MN上设直线MN：y=﹣x+b，∵P在MN上，∴x0+m=﹣x0+b，∴b=2x0+m由消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3=0 △=4b2﹣4×2（﹣b2﹣3）=12b2+12＞0恒成立，∴M x+N x=﹣b，∴x0=﹣，∴b=∴MN中点P（﹣，m）∵MN的中点在抛物线y2=9x上，∴∴m=0或m=﹣4故选D．8．（2015•余杭区模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（ ）A． B．C．D．【分析】由题设知|EF|=，|PF|=2，|PF′|=a，再由|PF|﹣|PF′|=2a，知2﹣a=2a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=，∴|EF|=，∵，∴|PF|=2，|PF'|=a，∵|PF|﹣|PF′|=2a，∴2﹣a=2a，∴，故选C．10．（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．11．（2014•齐齐哈尔二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（ ）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小【分析】连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．【解答】解：连接BD，AC设AD=t，则BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD ∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1 故选B．12．（2014•焦作一模）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】根据是a、m的等比中项可得c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2﹣b2=m2+n2=c2，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．【解答】解：由题意：∴，∴，∴a2=4c2，∴．故选D．13．（2014•焦作一模）已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（ ）A．[0，3）B．（0，2）C．[2，3）D．[0，4]【分析】延长PF2，与F1M 交与点G，由条件判断三角形PF1G为等腰三角形，OM为三角形F1F2G的中位线，故OM=F2G=|PF1﹣PF2|=|2a﹣2PF2|，再根据PF2的最值域，求得OM的最值，从而得到结论．【解答】解：延长PF2，与F1M 交与点G，则PM是∠F1PG 的角平分线．由•=0可得F1M垂直PM，可得三角形PF1G为等腰三角形，故M为F1G的中点，由于O为F1F2的中点，则OM为三角形F1F2G的中位线，故OM=F2G．由于PF1=PG，所以F2G=PF1﹣PF2，∴OM=|PF1﹣PF2|=|2a﹣2PF2|．问题转化为求PF2的最值．而PF2的最小值为a﹣c，PF2的最大值为a+c，即PF2的值域为[a﹣c，a+c]．故当PF2=a+c，或PF2=a﹣c时，|OM|取得最大值为|2a﹣2PF 2|=|2a﹣2（a﹣c）|=c===2；当PF2 =a时，P在y轴上，此时，G与PF2重合，M与O重合，|OM|取得最小值为0，∴|OM|的取值范围是（0，），故选：B．14．（2014•怀化三模）从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】m和n的所有可能取值共有3×3=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率【解答】解：设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（﹣1，﹣1），（2，﹣1），（2，2），（2，3），（3，﹣1），（3，2），（3，3）共7个，（注意（﹣1，2），（﹣1，3）不合题意）其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共4个∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为故选B15．（2014•凉州区二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（ ）A．B．C．D．【分析】先根据上的投影的大小恰好为判断两向量互相垂直得到直角三角形，进而根据直角三角形中内角为，结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式，最后根据离心率公式求得离心率e．【解答】解：∵上的投影的大小恰好为∴PF1⊥PF2且它们的夹角为，∴，∴在直角三角形PF1F2中，F1F2=2c，∴PF2=c，PF1=又根据双曲线的定义得：PF1﹣PF2=2a，∴c﹣c=2a∴e=故选C．16．（2016•杭州模拟）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（ ）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1 D．e1=e3＞e2【分析】根据题设条件，分别建立恰当的平面直角坐标系，求出图示①②③中的双曲线的离心率e1，e2，e3，然后再判断e1，e2，e3的大小关系．【解答】解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（，），∵（，）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为（﹣1，0）和（1，0），且过点（）．∵点（）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0），且过点（1，），∵点（1，）到两个焦点（﹣2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，∴a=﹣1，c=2，∴．所以e1=e3＞e2．故选D．17．（2014•陈仓区校级一模）已知F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．（0，3] C．（1，3] D．（0，2]【分析】由定义知：|PF2|﹣|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==，当且仅当，即|PF1|=2a时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：由定义知：|PF2|﹣|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==，当且仅当，即|PF1|=2a时取得等号设P（x0，y0）（x0≤﹣a）由焦半径公式得：|PF1|=﹣ex0﹣a=2aex0=﹣3a e=﹣≤3 又双曲线的离心率e＞1 ∴e∈（1，3）．故选C．18．（2016•河南模拟）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（ ）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2【分析】设|AF1|=|AB|=m，计算出|AF2|=（1﹣）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e2的值．【解答】解：设|AF1|=|AB|=m，则|BF1|=m，|AF2|=m﹣2a，|BF2|=m﹣2a，∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m，∴m﹣2a+m﹣2a=m，∴4a=m，∴|AF2|=（1﹣）m，∵△AF1F2为Rt三角形，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=（﹣）m2，∵4a=m ∴4c2=（﹣）×8a2，∴e2=5﹣2故选D．19．（2014•衡阳三模）设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|且cos∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，从而得出正确答案．【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影A是线段PF1中点，由勾股定理知可知|PF1|=2|F1A|=2|F1F2|cos∠PF1F2=2×2c×=，根据双曲定义可知|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，即﹣2c=2a ，整理得c=a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b=4a ，求得=，∴双曲线渐近线方程为y=±x ，即4x±3y=0，故选：C ．20．（2014•南昌模拟）已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，则OB=（ ） A ．aB ．bC ．eaD ．eb【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，转化为|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，从而求得点H 的横坐标．再在三角形PCF 2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F 1CF 2中，利用中位线定理得出OB ，从而解决问题． 【解答】解：由题意知：F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）， 内切圆与x 轴的切点是点A ，∵|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，及圆的切线长定理知， |AF 1|﹣|AF 2|=2a ，设内切圆的圆心横坐标为x ， 则|（x+c ）﹣（c ﹣x ）|=2a ∴x=a ．在三角形PCF 2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF 2， ∴在三角形F 1CF 2中，有：OB=CF 1=（PF 1﹣PC ）=（PF 1﹣PF 2）=×2a=a ．故选A ．21．（2016•朝阳二模）设双曲线C ：（b ＞a ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．（1，2]B ．C ．D ．（1，2）【分析】先利用双曲线的定义，得焦半径|PF 2|=a ，再利用焦半径的取值范围，得离心率的取值范围，再由已知b ＞a 求得双曲线的离心率范围，两个范围求交集即可得双曲线的离心率范围 【解答】解：∵P 在双曲线的右支上，∴|PF 1|﹣|PF 2|=2|PF 2|=2a ，∴|PF 2|=a ≥c ﹣a ∴e=≤2又∵b ＞a ，∴c 2﹣a 2＞a 2， ∴e=＞ ∴e ∈故选 B22．（2014•南昌模拟）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由条件可得b 2=2ac ，再根据c 2 +b 2 ﹣a 2=0，即c 2+2ac ﹣a 2=0，两边同时除以a 2，化为关于 的一元二次方程，解方程求出椭圆的离心率的值．【解答】解：依题意抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，得：，由TF=及TF=p，得，∴b2=2ac，又c2 +b2 ﹣a2=0，∴c2+2ac﹣a2=0，∴e2+2e﹣1=0，解得．故选B．23．（2014•南关区校级模拟）已知双曲线的离心率，2]．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（ ）A．，B．，C．， D．，π]【分析】利用离心率的范围进而求得a和c不等式关系，进而利用a，b和c的关系求得a和b的不等式关系，进而求得渐近线斜率k的范围，利用k=tan确定tan的范围，进而确定θ的范围．【解答】解：根据定义e==，∵，2]．∴b≤a≤b而渐近线的斜率k=所以1≤k≤所以45°≤≤60° 所以90°≤θ≤120°，即，；故选C24．（2014•上高县校级模拟）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且 I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则（ ）A．|OB|=e|OA| B．|OA|=e|OB|C．|OB|=|OA| D．|OA|与|OB|关系不确定【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】解：F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a∴x=a；|OA|=a，在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）=×2a=a．∴|OB|=|OA|．故选C．25．（2014•瓦房店市校级二模）已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．【分析】设点A坐标为（x0，y0）依题意可知=，把x0=代入椭圆方程求得关于y0的等式，根据抛物线定义可知y0=2c代入等式整理可得关于离心率e的一元二次方程求得e．【解答】解：设点A坐标为（x0，y0）依题意可知=，x0=代入椭圆方程得（*）根据抛物线定义可知y0=p=2=2c ∴y20=4c2，代入（*）式整理得a2﹣c2﹣2ac=0两边除以a2得e2+2e﹣1=0，解得e=或﹣﹣1（排除）故选D26．（2014•商丘二模）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（ ）A．B．C．D．【分析】由题意可得直线AB的方程y﹣0=k （x+1），k＞0，代入抛物线y2=4x化简求得x1+x2和x1•x2，进而得到y1+y2和y1•y2，由，解方程求得k的值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），直线AB的方程y﹣0=k （x+1），k＞0．代入抛物线y2=4x化简可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1•x2=1．∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=+2k=，y1•y2=k2（x1+x2+x1•x2+1）=4．又=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2=8﹣，∴k=，故选：B．27．（2014•庐阳区校级模拟）已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（ ）A．B．C．D．【分析】y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22）A，B的中点坐标是（，）因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，由此能求得m．【解答】解：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22），A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，，x12+x22═+m，x2+x1=﹣，因为，所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=，代入得，求得m=．故选B．28．（2014•宿州三模）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．+1 D．【分析】双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为FF'的中点，E为FP的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求|PF|，再设P（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点，因为O为FF'的中点，E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，属于OE∥PF'因为|OE|=a，所以|PF'|=2a ，又PF'⊥PF，|FF'|=2c 所以|PF|=2b ，设P（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a﹣c ，过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a ，由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1=0，∴e=．故选D．29．（2014•河池一模）已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．【分析】记线段PF1的中点为M，椭圆中心为O，连接OM，PF2则有|PF2|=2|OM|，2a﹣2=2b，由此能够推导出该椭圆的离心率．【解答】解：记线段PF1的中点为M，椭圆中心为O，连接OM，PF2则有|PF2|=2|OM|，2a﹣2=2b，a﹣=，1﹣=，解得e2=，e=．故选A．30．（2014•贵州校级模拟）已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN⊥准线，垂足为N，根据抛物线定义可得|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，根据A在圆C上，判断出当N，M，C三点共线时，|MA|+|MN|有最小值，进而求得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点∴|MN|=|MF| ∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|∵A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1，圆心C（4，1），半径r=1 ∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴（|MA|+|MF|）min=（|MA|+|MN|）min=|CN|﹣r=5﹣1=4 ∴（|MA|+|MF|）min=4 故选C．。