弹簧-质量-阻尼模型
三级质量-弹簧-阻尼系统的特性分析
—
０． ３ ０ ９０ —０． １ １ ０ ２ ０． ０ ０ ００ —０． ９ ０ ５ ５ —０． ９ ２ ９４ —０． ９８ ９ ５
矩阵 表达 式 （ ８ ） （ ９ ） 。
图１ 三级质量－ 弹 簧－ 阻 尼 系 统 模 型 图
ｘ ￣ ７ ： Ｍ。 有： １ ｄ ｖ ｌ ＝Ｋ ｚ （ ｙ ２一ｙ １ ）＋Ｂ ２ （ ２一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ — １ ２ － ０ ７
三级质量一 弹簧－ 阻尼 系统 的特性分析
三级 质 量 一 弹簧一 阻尼 系统 的特 性 分 析
单 长 吉
（ 昭通 学 院 ， 云南 昭 通 ６ ５ ７ ０ ０ ０ ）
摘 关 键
要： 利用控制理论 中的 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 方法对三级质量． 弹簧一 阻尼系统进行稳定性分析 ， 并用信号流 词： Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ； 信号流 ； 控制理论 ； 可控性 ； 稳定 性
）邶 ，
一
的装置 ， 为设 备安 全运行 提供 保 障 ； 在 建筑 结构 中 加 入抗 震能 量 吸 收器 ， 降低 和 减 缓地 震 冲击 波 对 建 筑物 的破 坏 。此外 还有许 多工 程 中 的实 际应 用 都 可 以用 质 量一 弹 簧． 阻尼模型进行分 析 ， 本 文 针
对 三级 质 量． 弹 簧一 阻尼系统进行数 学建模 ， 并 讨 论 此模 型特性 。
一
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（ ３）
１ 三 级 质 量一 弹 簧一 阻 尼 系 统 数 学 建 模
质量弹簧阻尼系统数学模型matlab辨识
在MATLAB中，对质量-弹簧-阻尼系统（Mass-Spring-Damper System）进行数学模型的辨识通常涉及系统识别或参数估计。
这个系统可以用二阶微分方程来描述，形如：[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) ]其中：∙( m ) 是质量∙( c ) 是阻尼系数∙( k ) 是弹簧常数∙( x ) 是位移∙( F(t) ) 是外部作用力∙( \dot{x} ) 和( \ddot{x} ) 分别是一阶和二阶导数，表示速度和加速度为了在MATLAB中进行辨识，你需要有系统的输入和输出数据。
通常，输入是施加到系统上的力，输出是系统的响应（位移、速度或加速度）。
以下是一个简单的步骤，说明如何在MATLAB中辨识质量-弹簧-阻尼系统的参数：1.收集数据：首先，你需要收集系统的输入和输出数据。
这可以通过实验或模拟来完成。
2.数据预处理：确保数据是干净的，没有噪声或异常值。
可能需要进行滤波或平滑处理。
3.选择辨识方法：MATLAB提供了多种系统辨识方法，如最小二乘法、频域分析等。
选择最适合你数据的方法。
4.实现辨识算法：使用MATLAB编程实现所选择的辨识算法。
5.参数估计：应用算法来估计系统的参数（质量、阻尼和弹簧常数）。
6.验证模型：使用估计的参数构建系统模型，并与原始数据进行比较，以验证模型的准确性。
以下是一个简化的MATLAB代码示例，使用最小二乘法来估计质量-弹簧-阻尼系统的参数：matlab复制代码% 假设你已经有了一些输入（力F）和输出（位移x）数据% F - 输入力向量% x - 位移向量% t - 时间向量% 计算速度和加速度dx = diff(x) ./ diff(t);ddx = diff(dx) ./ diff(t);% 构建系统矩阵A和输出向量bA = [diff(t)' diff(t)'];b = -ddx;% 最小二乘法估计参数params = A \ b;% params(1) 是阻尼系数 c% params(2) 是弹簧常数 k% 输出参数估计值fprintf('Estimated damping coefficient (c): %f\n', params(1));fprintf('Estimated spring constant (k): %f\n', params(2));% （可选）验证模型% 使用估计的参数构建模型，并与原始数据进行比较% ...请注意，上述代码是一个非常简化的示例，实际情况可能更加复杂。
高中物理关于弹簧的8种模型
高中物理关于弹簧的8种模型:
1.简单弹簧模型：最基本的模型，将弹簧看作一个线性弹性体，满足胡克定律，即弹
簧力与变形量成正比。
2.质点弹簧模型：在简单弹簧模型的基础上，考虑到弹簧两端连接的物体的质量，将
其视为质点，分析弹簧振动、调和运动等问题。
3.弹簧振子模型：将弹簧与一定质量的物体（如小球）组合起来，形成一个简谐振动
系统，研究其振动频率、周期等特性。
4.弹簧串联模型：多个弹簧按照串联方式连接，研究整个系统的弹性特性和变形量的
分布情况。
5.弹簧并联模型：多个弹簧按照并联方式连接，研究整个系统的弹性特性和总的弹簧
常数。
6.弹簧平衡模型：将弹簧与其他物体相连接，使其处于平衡状态，通过分析受力平衡
条件，求解物体的位移和力的大小。
7.弹簧阻尼模型：考虑弹簧振动过程中存在的阻尼现象，引入阻尼系数，分析阻尼对
振动特性的影响。
8.非线性弹簧模型：考虑到弹簧在较大变形下不再满足胡克定律，采用非线性弹簧模
型进行分析，如非线性胡克定律、比例限制等。
建立弹簧-质量-阻尼系统数学模型的数轴法
ｍ ａｉ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉ ｎ ｆ ｈ ｓ —ｐ ｉ ｇ ｄ ｍｐ ｒｓ ｓｅ ． ｔ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔ ｓｏ ｔ ｅｍａ ｓｓ ｒ ・ ａ ｅ ｙ ｔｍｓ ｃ ａｅ ｏ ｎ Ｋｅ ｒ ｓ： ｉｒ ｔｏ ｎ ｖ ｙ ｗｏ ｄ ｖ ｂ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｗａ ｅ； ｃ ａ ｉ ａ ｉｒ ｔ ｎ ； ｓ －ｐ ｎ － ａ ｅ ｙ ｔ ｍ ； ｔ ｅ ｔ ａ ｄ ｌ； ｕ ｒ ｍｅ ｈ ｎ ｃ ｌ ｂ ａｉ ｖ ｏ ｍａ ｓ ｓ ｒ ｇ ｄ ｍｐ ｒｓ ｓｅ ｉ ｍａ ｍａ ｉ ｌｍｏ ｅ ｎ ｍｅ ｉ ｈ ｃ －
ｔ ｒ ｓ ｕ ｌ ａ ｄ ｔ ｅ ｄ ｓ ｌｃ ｍｅ ｔ ｆｔ ｅｓ ｒｎ ｒｔ ｅ ｄ ｍｐ ｒｗｅ ｅｔａ ｓａ ｅ ｅｒ ｔ ｎ ｌ ｕ ｅ ｗａ ｉ ， ｎ ｉｐ ａ ｅ ｎ ｓｏ ｐ ｇ ｏ ａ ｅ ｒ ｎ ｌｔ ｄｔ ｔ ａ ｉ ａ ｍｂ ｒ ｉｈ ｗｅ ｅｍａ ｋ ｄ ｎ ｂ ｔ ｈ ｈ ｉ ｈ ｒ ｏｈ ｏ ｎ ｅｓ ｗｈ ｃ ｒ ｒ ｅ
ＢＡ ａ －ａ Ｚ Ｉ Ｙ ｎｙ ｎ． ＨＡＮＧ Ｘｉｏ／ｎ ａ： ｕ
（Ｃｏｌｇ ｆ ｅ ｈ ｎｃ ｌ ｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ａｙ ａ ｉ ｅｓ ｙｏ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｔ ｉｕ ｎ ０ ０ ２ ，Ｃｈｎ ｌ ｅｏ Ｍ ｃ ａ ｉａ ｇｎ ｅ ｉ ，Ｔ ｉｕ ｎＵｎｖ ｒｉ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａｙ ａ ３ ０ ４ ｅ Ｅ ｎ ｔ ｉａ）
弹簧-质量-阻尼系统的建模及控制系统设计说明书
分数: ___________任课教师签字：___________华北电力大学研究生结课作业学年学期：第一学年第一学期课程名称：线性系统理论学生姓名：学号：提交时间：2014.11.27目录1 研究背景及意义 (3)2 弹簧-质量-阻尼模型 (3)2.1 系统的建立 (3)2.1.1 系统传递函数的计算 (5)2.2 系统的能控能观性分析 (7)2.2.1 系统能控性分析 (8)2.2.2 系统能观性分析 (9)2.3 系统的稳定性分析 (10)2.3.1 反馈控制理论中的稳定性分析方法 (10)2.3.2 利用Matlab分析系统稳定性 (10)2.3.3 Simulink仿真结果 (12)2.4 系统的极点配置 (15)2.4.1 状态反馈法 (15)2.4.2 输出反馈法 (16)2.4.2 系统极点配置 (16)2.5系统的状态观测器 (18)2.6 利用离散的方法研究系统的特性 (20)2.6.1 离散化定义和方法 (20)2.6.2 零阶保持器 (21)2.6.3 一阶保持器 (24)2.6.4 双线性变换法 (26)3.总结 (28)4.参考文献 (28)弹簧-质量-阻尼系统的建模与控制系统设计1 研究背景及意义弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件。
由它们组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统，在生活中具有相当广泛的用途，缓冲器就是其中的一种。
缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接关系到系统的安全与稳定。
缓冲器在生活中处处可见，例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器，其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员安全；另外，天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着交会对接的成功。
因此，对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
弹簧阻尼系统的数学模型
弹簧阻尼系统的数学模型弹簧阻尼系统的基本模型图1所示，其中m表示系统质量，c表示粘滞摩擦系数，K表示弹簧系数，q表示系统位移。
图1 弹簧阻尼系统基本示意图结合图1，得到系统的模型的方程如下：mq¨+cq˙+kq=u，其中u表示输入作用力大小。
切换成状态空间表达式，设定系统的状态量为同时设置y=q为系统输出，因此得到的表达式为假设输入为正弦信号：u=Asinwt ,考虑到通用的状态空间系统方程dxdt=f(x,u)采用欧拉积分的方法，考虑在t时刻的系统状态x，在极短的时间内h>0, 状态变化率时f(x,u)是个常量，在时刻t到时刻（t+h）内，x(t+h)=x(t)+hf(x(t),u(t))进行一些简答图形绘制绘制输入信号图：输入信号为正弦信号，给定相应的幅值和角频率，表示输入作用力的大小部分代码：t = 0:0.1:100;u = 20*sin(0.5*t);plot(t,u,'r','LineWidth',2);xlabel('Time[sec]');ylabel('Force [N]');绘制基于状态方程的系统响应曲线，根据状态方程，在输入作用力下，观察系统的输出，即位置与时间的关系。
由图可知，黑色的曲线，则是表示系统的响应，采用的是matlab自带的函数。
其他颜色则是测试欧拉积分的方法，观察系统的输出响应曲线，发现时间间隔h越小，跟踪效果越好。
ys,ts] = lsim(sys,u,t);hvec = [10.50.1]; clear x;for iter = 1:length(hvec)x(:,1) = [0; 0];h = hvec(iter);maxi(iter) = max(t)/h;for i = 1:maxi(iter);x(:,i+1) = x(:,i) + h*(A*x(:,i) + B*u(h/0.1*i));td(i,iter) = (i-1)*h;yd(i,iter) = C*x(:,i);endendfigure(1); clf; plot(t, u);xlabel('time [sec]');ylabel('F [N]');figure(2); clf; subplot(211); hold on;analh = plot(ts, ys, 'k-', 'LineWidth',AM_data_linewidth);simh = plot(...td(1:maxi(1),1), yd(1:maxi(1),1), 'g+--', ...td(1:maxi(2),2), yd(1:maxi(2),2), 'ro--', ...td(1:maxi(3),3), yd(1:maxi(3),3), 'b--', ...'MarkerSize', 4, 'LineWidth', AM_ref_linewidth ...);当系统的输入是单位阶跃响应时，也需要观察系统的阶跃响应曲线。
37弹簧质量阻尼器系统建模与频率特性分析
37弹簧质量阻尼器系统建模与频率特性分析在工程中，弹簧质量阻尼器系统是一种常见的机械系统，广泛应用于减震、减振和隔振等方面。
弹簧质量阻尼器系统由弹簧、质量和阻尼器组成，其中弹簧用于提供系统的弹性支撑，质量用于惯性作用，阻尼器用于消散系统的振动能量。
建立弹簧质量阻尼器系统的数学模型并进行频率特性分析对于系统的设计和性能评估至关重要。
1.弹簧质量阻尼器系统建模弹簧质量阻尼器系统可以用简谐振动模型来描述。
假设系统由质量m、弹簧刚度k和阻尼系数c组成，其受到外力F(t)作用。
系统的运动方程可以写成如下形式：m*x''(t)+c*x'(t)+k*x(t)=F(t)其中，x(t)为系统的位移，x'(t)为系统的速度，x''(t)为系统的加速度。
频率特性分析是对弹簧质量阻尼器系统在不同频率下的响应进行研究。
在频率特性分析中，通常会研究系统的振幅-频率曲线和相位-频率曲线。
首先，通过对系统的运动方程进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：H(s) = X(s) / F(s) = 1 / (ms^2 + cs + k)其中，s为复频域变量。
利用传递函数可以计算系统在不同频率下的振幅和相位。
根据传递函数的模和幅角，可以画出系统的振幅-频率曲线和相位-频率曲线。
3.频率特性分析实例假设一个简单的弹簧质量阻尼器系统由质量m=1kg、弹簧刚度k=10N/m、阻尼系数c=1N·s/m组成，外力F(t)为正弦函数。
通过对系统进行频率特性分析，可以得到系统在不同频率下的响应。
对于该系统，可以计算其传递函数为：H(s)=1/(s^2+s+10)通过传递函数可以计算系统在不同频率下的振幅和相位，并绘制出振幅-频率曲线和相位-频率曲线。
通过频率特性分析，可以得到系统的共振频率、共振幅值、相位延迟等重要参数，从而对系统的性能进行评估和优化。
总之，对弹簧质量阻尼器系统进行建模和频率特性分析是非常重要且必要的。
弹簧-高质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼系统1 研究背景及意义弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。
因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
其中，微分方程是基本的数学模型 ，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。
微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。
所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提 。
通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。
机械系统如图2.1所示，图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图其中1m ，2m 表示小车的质量，i c 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，i k 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即i U （t ）=i F （t ）,i X (t)表示小车的位移，是系统的输出，即i Y （t ）=i X (t)，i=1,2。
设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3c =3N ∙s/cm ，2c =6N ∙s/cm 。
由图2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1m 有：（2-1）对2m 有：（2-2）3 建立状态空间表达式令31421122,,,x x x x u F u F ====,则原式可化为：13123241212212423423232212()()()()()()m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-=化简得：1221211232431()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++= （2-3）2211223242342()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=（2-4）整理得：12112212211111324323222222221234001000000100()()10()()1010000100x x u k k k l l l x m m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ （2-5）121321321,2,100,3003,6m m k k k l l l ========代入数据得：00100001400300961502003 4.5A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦ 00001000.5B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10000100C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则系统的状态空间表达式为x y ux x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=001000015.000100005.43200156930040010000100.4 化为对角标准型当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根...)3,2,1(=i iλ时，相应的有n 个不相等的特征向量...)3,2,1(=i m i，所以有矩阵A 的特征矩阵[]m m m m M 4321...=根据矩阵论线性变换得：Mz x Tx z M T =⇒=⇒=-1可以使用matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab 简化计算。
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弹簧-质量-阻尼模型弹簧-质量-阻尼系统1 研究背景及意义弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。
因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。
微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。
所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。
通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。
机械系统如图2.1所示，图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图其中1m ，2m 表示小车的质量，ic 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，ik 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即iU （t ）=iF （t ）,iX (t)表示小车的位移，是系统的输出，即iY （t ）=iX (t)，i=1,2。
设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3c =3N ∙s/cm ，2c =6N ∙s/cm 。
由图 2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1m 有：（2-1）对2m 有：（2-2）3 建立状态空间表达式令31421122,,,xx x x u F u F ====,则原式可化为：13123241212212423423232212()()()()()()m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-= 化简得：1221211232431()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++=（2-3）2211223242342()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=（2-4）整理得：12112212211111324323222222221234001000000100()()10()()1010000100x x u k k k l l l x m m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2-5）121321321,2,100,3003,6m m k k k l l l ========代入数据得：0100001400300961502003 4.5A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦ 00001000.5B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10000100C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则系统的状态空间表达式为x y ux x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=001000015.000100005.43200156930040010000100.4 化为对角标准型当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根...)3,2,1(=i i λ时，相应的有n 个不相等的特征向量...)3,2,1(=i m i，所以有矩阵A 的特征矩阵[]m mm m M 4321...=根据矩阵论线性变换得：Mzx Tx z MT =⇒=⇒=-1可以使用matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab 简化计算。
（1）求特征值与特征向量A=[0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5]B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5]C=[1 0 0 0;0 1 0 0][P,J]=eig(A)求得结果：P =0.0007 - 0.0402i 0.0007 + 0.0402i 0.0401 - 0.0698i 0.0401 + 0.0698i-0.0171 + 0.0157i -0.0171 - 0.0157i 0.0176 - 0.0792i 0.0176 + 0.0792i0.8650 0.8650 0.6682 + 0.2084i 0.6682 - 0.2084i-0.3442 - 0.3621i -0.3442 + 0.3621i 0.7050 0.7050J =0.3667 +21.5183i 00 00 0.3667 -21.5183i0 00 01.8833 + 8.4864i 00 00 1.8833 - 8.4864i（2）P矩阵求逆PN=inv(P)求得结果：PN =3.4167 + 9.7803i -2.1017 - 9.2399i 0.3466 - 0.2323i -0.4703 - 0.1054i3.4167 - 9.7803i -2.1017 + 9.2399i 0.3466 + 0.2323i -0.4703 + 0.1054i-3.3554 + 3.4224i 3.7199 + 3.2032i0.2886 - 0.0353i 0.5337 - 0.2409i-3.3554 - 3.4224i 3.7199 - 3.2032i 0.2886 + 0.0353i 0.5337 + 0.2409i（3）带入公式B PNB==C CP解得对角标准型为：u x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=0.1205i + 0.26690.0353i + 0.2886 0.1205i - 0.26690.0353i - 0.28860.0527i + 0.2352-0.2323i + 0.34660.0527i - 0.2352-0.2323i - 0.34668.4864i - 1.883300008.4864i 1.8833 000021.5183i 0.36670000 21.5183i 0.3667u y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0.0792i + 0.01760.0792i - 0.01760.0157i - 0.0171-0.0157i + 0.0171-0.0698i + 0.04010.0698i - 0.04010.0402i + 0.00070.0402i - 0.00075求状态空间表达式的解 （1）求状态转移矩阵11-Λ-==ΛTT ATT e etAt其中，T 为特征向量Te At18.4864it- 1.88338.4864it1.883321.5183it- 0.366721.5183it0.3667*000000000* 0.7050 0.70500.3621i 0.3442-0.3621i - 0.3442-0.2084i - 0.66820.2084i 0.66820.86500.86500.0792i 0.01760.0792i - 0.0176 0.0157i - 0.0171-0.0157i 0.0171-0.0698i 0.04010.0698i - 0.04010.0402i 0.00070.0402i - 0.0007eeee -++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0.2409i + 0.5337 0.0353i + 0.2886 3.2032i - 3.7199 3.4224i - 3.3554-0.2409i - 0.5337 0.0353i - 0.28863.2032i + 3.71993.4224i + 3.3554-0.1054i + 0.4703- 0.2323i + 0.34669.2399i + 2.1017- 9.7803i - 3.4167 0.1054i - 0.4703- 0.2323i - 0.3466 9.2399i - 2.1017- 9.7803i + 3.4167 1T 状态转移矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0.0000i - 1.7127- 0.0000i - 0.7350- 0.0000i - 42.7799- 0.0000i + 7.2316- 0.0000i - 1.4700- 2.4502- 0.0000i - 29.8835- 0.0000i + 12.5772- 0.0000i + 0.5509 0.0000i + 0.2247 0.0000i + 0.5817- 0.0000i - 4.4097- 0.4493 0.1999 0.0000i + 0.6477-5.5977- e At5 可控性与可观性不同于经典控制理论，能控性和能观性，是一个具有实际意义的概念，经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要能控能观性的提出。
但是现代控制理论是建立在状态空间表达式描述系统的基础上的，状态方程描述输入u （t ）引起状态x （t ）的变化过程，输出方程描述有状态变化引起的输出y （t ）的变化。
能控能观便是定性的描述输入u （t ）对状态x(t)的控制能力，输出y （t ）对状态x （t ）的反应能力，他们分别回答了“输入能否控制状态的变化”------可控性“状态的变化能否有输出反映出来”----------可观性另外在工程上常用状态变量作为反馈信息，可是状态x （t ）的值通常是难测的，往往需要从测量到的y （t ）中估计出状态，如果输出y （t ）不能完全反映出系统的状态x （t ），那么就无法实现对状态的估计。
能控性定义：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允许的输入量，在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态，则称系统是完全可控的。
有状态方程x ’(t)=Ax(t)+Bu(t) 其解为：τττd e e t tt t )()0()(0)(Bu x x A A ⎰---+=如果有限的时间内0 < t < t1内通过输入量u(t)的作用把系统的所有状态引向状态x(t1)[设x(t1)=0] ，则应有：即在给定x(0-)和A 、B 的条件下求可以使x(t)=x(t1)的u(t)。