弹簧 质量 阻尼系统的建模与控制系统设计

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华北电力大学研究生结课作业

学年学期：第一学年第一学期

课程名称：线性系统理论

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弹簧-质量-阻尼系统的建模与控制系统设计

1 研究背景及意义

弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件。由它们组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统，在生活中具有相当广泛的用途，缓冲器就是其中的一种。缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接关系到系统的安全与稳定。缓冲器在生活中处处可见，例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器，其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员安全；另外，天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着交会对接的成功。因此，对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义。

2 弹簧-质量-阻尼模型

数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。

弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图所示，

图2-1弹簧-质量-阻尼系统机械结构简图

其中、表示小车的质量，表示缓冲器的粘滞摩擦系数，表示弹簧的弹性系数，表示小车所受的外力，是系统的输入即,表示小车的位移，是系统的输出，即，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中，，

，，，。系统的建立

由图，根据牛顿第二定律，分别分析两个小车的受力情况，建立系统的动力学模型如下：

对有：

对有：

联立得到：

对：

对：

令，，，，，;

，

得出状态空间表达式：

所以，状态空间表达式为：

+

由此可以得出

已知：，，，，，

代入数据得：

系统传递函数的计算

在Matlab中，函数ss2tf给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)，其中iu是输入值。

用Matlab将状态空间表达式表示为传递函数：

在输入1单独作用的情况下

A=[0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 ]; B=[0 0;0 0;1 0;0 ];

C=[1 0 0 0;0 1 0 0];

D=[0 0;0 0];

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)

运行程序，得到：

num =

den =

+004 *

在输入2单独作用的情况下：

A=[0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 ]; B=[0 0;0 0;1 0;0 ];

C=[1 0 0 0;0 1 0 0];

D=[0 0;0 0];

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2)

运行程序，得到：

num =

den =

+004 *

由此可知：

位移对外力的传递函数是：

位移对外力的传递函数是：

位移对外力的传递函数是：

位移对外力的传递函数是：

系统的能控能观性分析

在反馈控制理论中只讨论输入量对输出量的控制。而这两个量的关系唯一地由系统的传递函数所确定。一个稳定的系统，一定能控。同时，系统的输出量本身就是我们想要控制的量，对于一个实际的系统来说，输出量当然是可以被观测到的，因此在反馈控制理论中没有必要设立能控和能观这两个概念。

然而在现代控制理论中，能控和能观是两个重要的基本概念。我们把反映系统内部运动状态的状态向量作为被控量，而且它们不一定是实际上可观测到的物理量，至于输出量则是状态向量的线性组合，这就产生了从输入量到状态量的能控性问题和从输出量到状态量的能观测性问题。

在现代控制中，分析和设计一个控制系统，必须研究这个系统的能控性和能观性。状态方程描述了输入U(t)引起状态X（t）的变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输出Y（t）的变化。能控性和能观性正是分别分析U(t)对状态X（t）的控制能力以及Y（t）对X（t）的反应能力。

系统能控性分析

设线性定常系统的状态方程为

式中 A——n×n矩阵

B——n×r矩阵

C——m×n矩阵

D——m×r矩阵

系统能控的充分必要条件为：能控判别阵的秩R()=n，

用Matlab计算能控矩阵的秩，从而对该系统的能控性进行判别，程序为：

A=[0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 ];

B=[0 0;0 0;1 0;0 ];

C=[1 0 0 0;0 1 0 0];

D=[0 0;0 0];

Qc=ctrb(A,B)

R1=rank(Qc)

运行程序，得到：

R1 =

4

等于矩阵行数，由此可以判断，系统是完全能控的。

系统能观性分析

设线性定常系统的状态方程为：

式中 A——n×n矩阵

B——n×r矩阵

C——m×n矩阵

D——m×r矩阵

能观的充分必要条件为：能观判别阵的秩R()=n，