弹簧质量系统瞬态响应分析
瞬态动力学分析
第16章瞬态动力学分析第1节基本知识瞬态动力学分析，亦称时间历程分析，是确定随时间变化载荷作用下结构响应的技术。
它的输入数据是作为时间函数的载荷，可以是静载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用。
输出数据是随时间变化的位移及其它导出量，如：应力、应变、力等。
用于瞬态动力分析的运动方程为：M KJ+ C KJ+ K K}= F （t）}其中：式中［M］为质量矩阵；［C］为阻尼矩阵；［K］为刚度矩阵。
所以在瞬态动力分析中密度或质点质量、弹性模量及泊松比、阻尼等因素均应考虑，在ANSYS分析过程中密度或质量、弹性模量是必须输入的，忽略阻尼时可以选忽略选项。
瞬态动力学分析可以应用于承受各种冲击载荷的结构，如：炮塔、汽车车门等，应用于承受各种随时间变化载荷的结构，如：混凝土泵车臂架、起重机吊臂、桥梁等，应用于承受撞击和颠簸的办公设备，如：移动电话、笔记本电脑等，同时ANSYS在瞬态动力学分析中可以使用线性和非线性单元（仅在完全瞬态动力学中使用）。
材料性质可以是线性或非线性、各向同性或正交各项异性、温度恒定的或温度相关的。
分析结果写入jobname.RST 文件中。
可以用POST1和POST26观察分析结果。
ANSYS在进行瞬态动力学分析中可以采用三种方法，即Full（完全）法、Reduced （缩减）法和Mode Superposition （模态叠加）法。
ANSYS提供了各种分析类型和分析选项，使用不同方法ANSYS软件会自动配置相应选择项目，常用的分析类型和分析选项如表16-1所示。
在瞬态分析中，时间总是计算的跟踪参数，在整个时间历程中，同样载荷也是时间的函 数，有两种变化方式：Ramped :如图16-1（a ）所示，载荷按照线性渐变方式变化。
Stepped :如图16-1（b ）所示，载荷按照解体突变方式变化。
表16-2常用的分析类型和分析选项 Full （完全）法采用完整的系统矩阵计算瞬态响应。
功能最强大，允许包括非线性的类型。
实验五质量-弹簧系统的谐响应分析
实验五质量-弹簧系统的谐响应分析实验五质量-弹簧系统的谐响应分析（感受共振）⼀、实验⽬的1、学会分析实际⼯程问题的⽅法2、掌握谐响应分析分析⽅法3、学会对问题的抽象处理⼆、实验器材能够安装ANSYS软件，CPU2.0GHz以上，内存1G以上，硬盘5G空间的计算机三、实验说明（⼀）谐响应分析任何持续的周期载荷将在结构系统中产⽣持续的周期响应（谐响应）。
谐响应分析使设计⼈员能预测结构的持续动⼒特性，从⽽使设计⼈员能够验证其设计能否成功克服共振、疲劳及其他受迫振动引起的有害结果。
谐响应分析的⽬的是计算出结构在⼏种频率下的响应，并得到⼀些响应值（通常是位移）对频率的曲线。
从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进⼀步观察峰值频率对应的应⼒。
（⼆）实验问题的描述确定如图4所⽰的系统中的质量块m1上施加简谐⼒(F1)时两个质量块（m1和m2）的振幅响应和相位⾓响应。
该问题的材料属性如下：m1=m2==0.5 lb-sec2/in; k1=k2=kc=200lb/in。
载荷⼤⼩如下：F1=200 lb。
弹簧的长度是任意的，只是⽤来定义弹簧的⽅向，两个质量块的⾃由度都是沿着弹簧⽅向。
如图5-1.图5-1四、实验内容和步骤（⼀）前处理1.定义⼯作名：Utility Menu > File > Change Title,在弹出Change Title的对话框，输⼊Harmonic Response of the Structure,然后单击OK按钮。
2.定义单元类型：Main Menu > Preprocessor > ElementType>Add/Edit/Delete,弹出“Element Types”对话框，单击Add按钮，弹出“Library of Element Types ”对话框，在左边的滚动条中选择Structural及其下的Combination，在右边的滚动条中选择Spring-damper14 ，单击Apply按钮。
系统的瞬态响应分析
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第六章 系统的瞬态响应分析
一阶系统的单位斜坡响应
1 R(s) 2 s
C (s) 1 1 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T
1 t T
c ( t) t T Te
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R(s) 1
1 R(s) s
1 T t c(t) e T
1
c(t) 1e
1 t T
1 R(s) 2 s
c ( t) t T Te
1 t T
闭环极点（特征根）：-1/T 衰减系数：1/T
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1 t T
输入信号微分响应微分 输入信号积分响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
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例
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第六章 系统的瞬态响应分析
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用 其测量加热器内的水温，当插入水中一分钏时 才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度 计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以 10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态指 示误差是多少？ 解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误 差为10T=2.5度。
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实验五 质量-弹簧系统的谐响应分析
实验五高速旋转轮盘模态分析在进行高速旋转机械的转子系统动力设计时，需要对转动部件进行模态分析，求解出其固有频率和相应的模态振型。
通过合理的设计使其工作转速尽量远离转子系统的固有频率。
而对于高速部件，工作时由于受到离心力的影响，其固有频率跟静止时相比会有一定的变化。
为此，在进行模态分析时需要考虑离心力的影响。
通过该实验掌握如何用ANSYS进行有预应力的结构的模态分析。
一．问题描述本实验是对某高速旋转轮盘进行考虑离心载荷引起的预应力的模态分析，求解出该轮盘的前5阶固有频率及其对应的模态振型。
轮盘截面形状如图所示，该轮盘安装在某转轴上以12000转/分的速度高速旋转。
相关参数为：弹性模量EX ＝2.1E5Mpa，泊松比PRXY＝0.3，密度DENS＝7.8E-9Tn/mm3。
1-5关键点坐标：1(-10, 150, 0)2(-10, 140, 0)3(-3, 140, 0)4(-4, 55, 0)5(-15, 40, 0)L=10+（学号×0.1）RS=5二．分析具体步骤1.定义工作名、工作标题、过滤参数①定义工作名：Utility menu > File > Jobname②工作标题：Utility menu > File > Change Title（个人学号）2.选择单元类型本实验将选用六面体结构实体单元来分析，但在建模过程中需要使用四边形平面单元，所有需要定义两种单元类型：PLANE42和SOLID45，具体操作如下：Main Menu >Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete①“ Structural Solid”→“ Quad 4node 42”→Apply（添加PLANE42为1号单元）②“ Structural Solid”→“ Quad 8node 45”→ok（添加六面体单元SOLID45为2号单元）在Element Types (单元类型定义)对话框的列表框中将会列出刚定义的两种单元类型：PLANE42、 SOLID45，关闭Element Types (单元类型定义)对话框，完成单元类型的定义。
弹簧质子系统的谐响应分析
这个方程的解分为两部分，一部分为齐次方程的 解，就是阻尼系统的自由振动响应，自由振动响 应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也 叫瞬态响应。另一部分是特解，也就是强迫振动 响应。不会随时间衰减，所以称为稳态响应。
画出此响应曲线如下图：
Ansys中弹簧质子系统的谐响应分析
1.定义单元类型
如左图是一个典型的 单自由度弹簧振子系 统。假设此系统承受 谐激励载荷 F= F1cos（wt）其中 为F1激励载荷的幅值， w为载荷的周期。
2.理论基础
此系统的动力方程为：
(Hale Waihona Puke )方程两边同除以 m (2)
令（2）中
同时令
k c ω ,2n m m
2 n
n
n
，n分别为阻尼比及衰减系数
同时令n分别为阻尼比及衰减系数这个方程的解分为两部分一部分为齐次方程的解就是阻尼系统的自由振动响应自由振动响应随时间衰减最后消失所以自由振动响应也叫瞬态响应
弹簧质子系统的谐响应分析
班级：机械1504 姓名：XXX 学号：XXXXX
谐响应分析理论
单自由度的弹簧振子的 谐响应分析理论求解 1.问题描述
定义类型Harmonic,求解选项
10.施加集中载荷
11.后处理
定义位移变量UY1,UY2
设置坐标X and Y lines
12.得出谐响应图形
输入变量 得到分析图形
2.定义单元选项
3.定义两组实常数
4.创建节点
1号节点坐标（0，0，0），3号节点坐标（0，2，0）
5.创建梁的单元
（1号和2号节点之间） （2号和3号节点之间）
6.模态分析
1）定义求解类型为model 2）求解选项，输入参数
6.系统的瞬态响应分析
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第六章 系统的瞬态响应分析
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第六章 系统的瞬态响应分析
2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速， 系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越 好。
1 − t T
(t≥0)
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第六章 系统的瞬态响应分析
性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近 似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后 时间T； 3）稳态误差=T。
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c(t ) = t − T + Te
1 − t T
输入信号微分 响应微分 输入信号积分 响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
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例
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第六章 系统的瞬态响应分析
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用 其测量加热器内的水温，当插入水中一分钏时 才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度 计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以 10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态指 示误差是多少？ 解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误 差为10×T=2.5度。
直接法分析瞬态响应,模态法分析瞬态响应
直接法分析瞬态响应，模态法分析瞬态响应1.问题提出平板如图1所示，分别用直接法和模态法分析平板的瞬态响应，得到一些特殊点的位移时间图像，进行对比分析，得出自己的结论。
2.建模说明平板长度为5in，宽度为2in，厚度为0.1in。
总共划分了10*4=40个单元进行分析。
对平板左端进行固定约束。
在平板右下角的点施加沿z轴正方向，大小为25Ib的力；在平板板面上施加沿z轴正方向，大小为1psi的均布力。
情况如图2所示：材料属性如图3所示：其他说明：均布载荷和集中载荷的频率都是250HZ，时间为0~0.008s，阻尼比0.3（为了使瞬态响应的变化更加明显，阻尼比取值应当稍大一些），分析步长0.0004in，步长数100个，总共0.04in。
集中力和分布力的函数图像如图4所示：其中绿色为分布力，红色为集中力。
3.分析过程（1）用直接法分析瞬态响应：取施加集中力的点为分析点，如图5所示：取平板中心点分析，如图6所示经过对比得到：两者振动趋势是基本相同的。
在0.008s之前，系统处于受迫振动，在受力状态下，两者的位移幅值较大，在0.008s之后，没有力的作用，系统处于自由振动状态，由于阻尼存在，振动幅值逐渐减小，两点的振动情况从图上看均符合。
集中力点的最大位移为-0.195in，中心点最大位移为0.072in，由于受到集中力的作用，所以集中力点处的位移变化比中心点大，但最后都趋向于零。
（2）用模态法分析瞬态响应：取施加集中力的点为分析点，如图7所示：取平板中心点分析，如图8所示经过对比得到：两者振动趋势是基本相同的。
在0.008s之前，系统处于受迫振动，在受力状态下，两者的位移幅值较大，在0.008s之后，没有力的作用，系统处于自由振动状态，由于阻尼存在，振动幅值逐渐减小，两点的振动情况从图上看均符合。
集中力点的最大位移为-0.115in，中心点最大位移为0.041in，由于受到集中力的作用，所以集中力点处的位移变化比中心点大，但最后都趋向于零。
控制工程第4章_系统的瞬态响应与误差分析
准确性。
*
17
4-1 时间响应
➢ 求系统时间响应的方法：
➢系统的快速性
快速性是指输出量和输入量产生偏差时，系统消除 这种偏差的快慢程度。
*
4
引言
➢ 二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线
二阶系统 G (s) n 2/(s2 2 n s n 2)的单位阶跃响应曲线
2
=0
1.8
1.6
1.4
允 差
=0.4 =0.7 =1
y(t) 输出 Y(s)
Y (s)G (s)X (s)
系统对任意输入的响应
y ( t) L 1 [ Y ( s ) ] L 1 [ G ( s ) X ( s ) ]
*
零状态响应
18
4-2 一阶系统的时间响应
1. 一阶系统的数学模型 2. 一阶系统（惯性环节）的单位阶跃响应 3. 一阶系统（惯性环节）的单位脉冲响应 4. 一阶系统（惯性环节）的单位斜坡响应
*
14
4-1 时间响应
➢瞬态响应ctr(t)：对稳定的系统，瞬态响应是指时 间响应中随着时间的增加而逐渐减小，最终趋于0 的那部分响应。
➢教材中的定义：系统受到外加作用激励后，从初 始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。指 的是稳定状态之前的整个时间响应过程。
➢稳态响应css(t)：是指当时间趋于无穷大时系统的 输出状态。
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弹簧质量系统瞬态响应分析一、弹簧系统研究的背景、研究的目的和意义及国内外研究趋势分析1.1 弹簧质量系统提出的背景、研究的目的和意义弹簧作为储能元件，在减振器机械缓冲器等方面得到越来越广泛的应用。
而由螺旋弹簧与质量块组成的螺旋弹簧系统可以说几乎在任何机电仪器和设备中都有它的存在。
作为一常用零部件，其各项性能指标，尤其是其强度指标，直接或间接地影响整机的性能和工作质量。
因此对螺旋弹簧质量系统的机械性解响应及其强度分析受到了国内外专家，学者和工程技术人员的普遍重视。
载荷下弹簧质量系统的瞬态响应，这个问题具有广泛的意义和实际应用价值。
1.2 弹簧质量系统在国内外同一研究领域的现状与趋势分析关于载荷作用下弹簧质量系统的工作和文献很多,大多数问题都是围绕着,螺旋弹簧质量系统在承受静载荷或低频周期性载荷的情况下进行分析的。
其结论主要适用于对螺旋弹簧质量系统的静强度分析和固定载荷下的可靠性。
实验结果和经验表明,造成弹簧失效的一个主要原因是:当它承受突加载荷时,产生的冲激响应。
在冲激载荷下,弹簧失效数目很多,往往经静强度分析或固定载荷分析的结论是可靠的,而实际情况是不可靠的。
所以激载荷下的可靠性设计就不得不被提出来了。
但这方面文献非常少,实验数据也不多。
就弹簧质量系统在57火炮输弹系统的应用而言，螺旋弹簧失效主要是冲激失效,对这个问题的研究,美国、俄罗斯的水平较高,它们的主要工作是从提高材料性能上大量的实验进行的。
其寿命指标可达2000次,我国的现有水平较差,平均寿命在500一1000次之间,所以,对输弹系统进行寿命估计,找出问题,具有很大的应用价值和经济价值。
二、一维单自由度弹簧质量系统固有频率理论推导2.1无阻尼弹簧质量系统的自由振动如图1 所示，就是本文要讨论的单自由度无阻尼系统。
该系统有质量为m 的重物（惯性元件）和刚度为k的弹簧（弹性元件）组成。
假设不考虑重物的尺寸效应，可以用一个简单质点来表示这一类重物。
为了描述图示系统位置，采用如图 1 所示的单轴坐标系。
坐标原点选取在质点静平衡位置，用x 表示质点在任意时刻处于坐标系中的坐标，以向下的方向为正。
在此系统运动过程中，x 是时间t 的函数，可以称为质点的位移函数。
由于只需要一个空间坐标x，就可以完全确定图中质点任意时刻的位置，因此可以认为该系统就是单自由度系统。
不考虑阻尼的情形下，系统将在初始条件激励下，围绕静平衡点做无阻尼自由振动。
2.2 振动方程的建立方法2.2.1 用牛顿第二定律法建立微分方程牛顿第二定律又称运动定律，即物体动量的改变与施加的力量成正比。
对于图示系统，定义质点的静平衡位置为坐标原点，则质点与坐标原点O 的距离为x，可得作用在质点上的弹簧力为fs= - k（x + ξs）（1）式中，ξs= mg / k表示弹簧在重物作用下的静伸长（力的作用），符号表示力fs的方向始终与（x + ξs）的方向相反，其作用是始终试图恢复弹簧的原长，一般称为弹性恢复力。
又由牛顿第二定律有mg + fs= mx″（2）上两式运算结果得m x″+ kx = 0 （3）式（3）就是图1 所示单自由度无阻尼系统的自由振动微分方程，其是一个二阶线性常系数齐次微分方程。
为了使得图 1 所示系统产生自由振动，需要有一个初始激励，或者说系统应该有一个非零的初始状态。
初始激励，也就是初始扰动，通常由t = 0 时刻的位移和速度来表示，即为x(0) =x o x(o)′=x o′2.2.2用能量法建立系统微分方程对于本文讨论的假设情形无阻尼状态，那么可以认为是不存在能量耗散，也不会对外提供额外能量，那么系统的机械能是守恒的。
机械能守恒的数学表达式为T max= U max (4)式中，T max为系统动能最大值；U max为系统势能最大值；等式含义即是系统的动能最大值等于势能的最大值。
在此还有另一种表达方式T + U = 常数（5）求导后有d/d t(T+U) = 0 （7）根据图 1 的弹簧质量体系，若把坐标原点选在质点的静平衡位置，选择质点m 的任意时刻坐标为x，可以求得任意时刻系统动能为T =1/2mx2假定系统在静平衡的位置作为势能零点，对于质点m 处于x 位时刻的系统势能为U =1/2kx2把T 和U 代入（7）可得：(m x″+kx)x′= 0 （8）考虑到x′不可能恒为零，可得m x″+kx = 0即获得和式（3）相同的微分方程。
因此，可以得出结论，即使使用方法的不同，不影响同一系统具有相同的运动微分方程。
3 运动微分方程的求解通过上边的微分方程建立，可知同一系统的运动微分方程具有唯一形式，下边将对此微分方程进行求解。
3.1 振动微分方程的求解与振动特性分析这是一个常系数微分方程，可以直接解出。
假设方程（3）具有如下形式的特解x（t）= Ceλt，代入式（13）得（mλ2+k）Ceλt= 0由于系统的振动位移不恒等于零，因此可得mλ2+k = 0，此式即为式（3）的特征方程。
解方程易得λ= ±iω此式中i =(-1)1/2，ω=(k/m)1/2。
由特征根可以得到式（3）的通解为x（t）= C1e iω t+C2e-iω t（9）此式即为质点任意时刻的运动轨迹方程的复数表达方式，式中C1和C2均为待定常数。
为了更清楚看出运动的特点，可以用欧拉公式进行转化，以三角函数来表示运动的轨迹。
根据欧拉公式代入式（9）并整理有[4]x（t）=（C1+ C2）cos（ωt）+（i C1- C2）sin（ωt），由C1和C2均为待定常数，而且C1和C2必须为一对共轭复数，进一步整理得x（t）= C cos（ωt）+D sin（ωt）（10）式中，C 和D 均为待定常数，进一步三角变化得x（t）= Asin（ωt+φ）（11）式中的A 和φ均为由初始条件确定的待定常数。
此时可以看出，本文讨论的质量体系的运动方式为一个以 A 为振幅，以ω为固有频率，以φ为初始相位的无阻尼简谐振动。
其中ω=（k/m）1/2即为简谐振动的固有频率。
必须强调，以上计算都是以忽略弹簧自身质量作为基础的。
2.3.2 考虑弹簧自身质量情况下的固有频率计算一般的理论力学考虑中，弹簧自身质量都是不予考虑的。
但是在实际工程中，大型弹簧的实际质量很大，在固有频率的计算中，忽略弹簧自身质量之后的影响非常大，因此有必要给出考虑弹簧自身质量之下的弹簧质量系统固有频率的计算结果，并和理想状况下的固有频率进行对比。
方程的建立，使用能量法。
如图 2 所示，可设弹簧长度为l，单位长度的质量为ρ，坐标原点选在系统静平衡处，当弹簧端点的位移是x 的时候，静平衡时刻距离固定支点端距离为s 处，弹簧位移为sx / l，此处的质量为ρds。
此时可知，弹簧的动能为则系统的总动能为而系统的总势能为根据式（7）以及微分方程求解如文中第3节计算得考虑了弹簧质量情况下的弹簧质量系统的固有频率三、多弹簧系统下应用有限元对固有频率推导及推广3.1有限元单元法的基本思路弹性力学解法的问题弹性力学解法的问题在于：不论是应力函数解法数解法、扭转函数解法、挠曲函数解法、还是基于最小势能原还是基于最小势能原理的瑞利－李兹等方法，其困难在于如何给出一个在全求解区给出一个在全求解区域上均成立的试探函数。
在有限单元法里在有限单元法里，这个问题通过定义分片插值的位移或应力函数得到了巧妙的解决。
对于任意单元对于任意单元(i,j,m)以结点位移以结点位移(u,u ,u )为待定系数，可以给出该单元的插值函数：线性代数方程组的求解在数学上是极其容易的。
也就是说有限元法通过单元离散和最小势能原理小势能原理，避开了微分方程直接求避微分方程直接求解在数学上的困难，把定解条件下的微分方程组的求解巧妙地转化为线性方程组的运算，实现了任何复杂弹性力学问题轻易分析计算。
3.2有限元单元法求解问题的的基本步骤(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2) 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。
区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
（ 3）确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。
有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4) 单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5) 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。
(6) 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。
对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。
对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
(7) 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。
3.3求解计算结果的整理和有限元法后处理有限元方程是一个线性代数方程组，一般有两大类解法，一是直接解法，二是迭代法。
直接法有高斯消元法和三角分解法，如果方程规模比较大时，可用分块解法和波前解法。
迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。
通过选用合适的的求解法求解经过位移边界条件小处理的公式后，得到整体节点位移列阵，然后根据单元节点位移由几何矩阵和应力矩阵得到单元节点的应变和应力，对于非节点处的位移通过形函数插值得到，再由几何矩阵和应力矩阵求得相应的应变和应力。
3.4弹簧质量系统的有限元建模与变形分析在任意激励．f(t)作用下，其振动方程为:Mx〞+Cxˊ+Kx= f(t) (1)式中：肘为结构的质量矩阵；C为结构的阻尼矩阵；K为结构的刚度矩阵；X（t）为节点位移。
令系统的固有频率为f i：相应的正则主振型为，则V i有V i T MV i =I (2)3.5有限元求弹簧质量系统的固有频率推广四、多弹簧系统下利用数值对固有频率计算五、比较分析有限元和固有频率计算结果参考文献：[1] 诸德超，邢誉峰. 工程振动基础[M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2005.[2]（美）Singiresu Rao. 机械振动[M]. 李欣业，张明路，译，北京：清华大学出版社，2009.[3] 尹冠生理论力学[M]. 西安: 西北工业大学出版社，2004.。