弹簧质量阻尼系统模型
质量弹簧阻尼系统数学模型matlab辨识
在MATLAB中，对质量-弹簧-阻尼系统（Mass-Spring-Damper System）进行数学模型的辨识通常涉及系统识别或参数估计。
这个系统可以用二阶微分方程来描述，形如：[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) ]其中：∙( m ) 是质量∙( c ) 是阻尼系数∙( k ) 是弹簧常数∙( x ) 是位移∙( F(t) ) 是外部作用力∙( \dot{x} ) 和( \ddot{x} ) 分别是一阶和二阶导数，表示速度和加速度为了在MATLAB中进行辨识，你需要有系统的输入和输出数据。
通常，输入是施加到系统上的力，输出是系统的响应（位移、速度或加速度）。
以下是一个简单的步骤，说明如何在MATLAB中辨识质量-弹簧-阻尼系统的参数：1.收集数据：首先，你需要收集系统的输入和输出数据。
这可以通过实验或模拟来完成。
2.数据预处理：确保数据是干净的，没有噪声或异常值。
可能需要进行滤波或平滑处理。
3.选择辨识方法：MATLAB提供了多种系统辨识方法，如最小二乘法、频域分析等。
选择最适合你数据的方法。
4.实现辨识算法：使用MATLAB编程实现所选择的辨识算法。
5.参数估计：应用算法来估计系统的参数（质量、阻尼和弹簧常数）。
6.验证模型：使用估计的参数构建系统模型，并与原始数据进行比较，以验证模型的准确性。
以下是一个简化的MATLAB代码示例，使用最小二乘法来估计质量-弹簧-阻尼系统的参数：matlab复制代码% 假设你已经有了一些输入（力F）和输出（位移x）数据% F - 输入力向量% x - 位移向量% t - 时间向量% 计算速度和加速度dx = diff(x) ./ diff(t);ddx = diff(dx) ./ diff(t);% 构建系统矩阵A和输出向量bA = [diff(t)' diff(t)'];b = -ddx;% 最小二乘法估计参数params = A \ b;% params(1) 是阻尼系数 c% params(2) 是弹簧常数 k% 输出参数估计值fprintf('Estimated damping coefficient (c): %f\n', params(1));fprintf('Estimated spring constant (k): %f\n', params(2));% （可选）验证模型% 使用估计的参数构建模型，并与原始数据进行比较% ...请注意，上述代码是一个非常简化的示例，实际情况可能更加复杂。
弹簧-质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼模型弹簧-质量-阻尼系统1 研究背景及意义弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。
因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。
微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。
所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。
通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。
机械系统如图2.1所示，图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图其中1m ，2m 表示小车的质量，ic 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，ik 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即iU （t ）=iF （t ）,iX (t)表示小车的位移，是系统的输出，即iY （t ）=iX (t)，i=1,2。
设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3c =3N ∙s/cm ，2c =6N ∙s/cm 。
由图 2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1m 有：（2-1）对2m 有：（2-2）3 建立状态空间表达式令31421122,,,xx x x u F u F ====,则原式可化为：13123241212212423423232212()()()()()()m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-= 化简得：1221211232431()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++=（2-3）2211223242342()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=（2-4）整理得：12112212211111324323222222221234001000000100()()10()()1010000100x x u k k k l l l x m m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2-5）121321321,2,100,3003,6m m k k k l l l ========代入数据得：0100001400300961502003 4.5A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦ 00001000.5B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10000100C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则系统的状态空间表达式为x y ux x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=001000015.000100005.43200156930040010000100.4 化为对角标准型当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根...)3,2,1(=i i λ时，相应的有n 个不相等的特征向量...)3,2,1(=i m i，所以有矩阵A 的特征矩阵[]m mm m M 4321...=根据矩阵论线性变换得：Mzx Tx z MT =⇒=⇒=-1可以使用matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab 简化计算。
弹簧-质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼模型弹簧-质量-阻尼系统1 研究背景及意义弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。
因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。
微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。
所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。
通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。
机械系统如图2.1所示，图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图其中1m ，2m 表示小车的质量，ic 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，ik 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即iU （t ）=iF （t ）,iX (t)表示小车的位移，是系统的输出，即iY （t ）=iX (t)，i=1,2。
设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3c =3N ∙s/cm ，2c =6N ∙s/cm 。
由图 2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1m 有：（2-1）对2m 有：（2-2）3 建立状态空间表达式令31421122,,,xx x x u F u F ====,则原式可化为：13123241212212423423232212()()()()()()m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-= 化简得：1221211232431()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++=（2-3）2211223242342()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=（2-4）整理得：12112212211111324323222222221234001000000100()()10()()1010000100x x u k k k l l l x m m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2-5）121321321,2,100,3003,6m m k k k l l l ========代入数据得：0100001400300961502003 4.5A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦ 00001000.5B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10000100C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则系统的状态空间表达式为x y ux x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=001000015.000100005.43200156930040010000100.4 化为对角标准型当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根...)3,2,1(=i i λ时，相应的有n 个不相等的特征向量...)3,2,1(=i m i，所以有矩阵A 的特征矩阵[]m mm m M 4321...=根据矩阵论线性变换得：Mzx Tx z MT =⇒=⇒=-1可以使用matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab 简化计算。
第5章弹簧阻尼系统建模
2
7
第五章
MATLAB车辆工程应用实战
5.4 单自由度弹簧阻尼系统
根据单自由度弹簧阻尼系统建立相应平衡方程为：
yt 1 atyk btyk -1 ct f k
c= 2*ksin*wn*m; %阻尼系数
num=[wn^2];
den=[1,2*ksin*wn,wn^2];
G=tf(num,den); %系统开环传递函数
rlocus(G)
impulse(G)%脉冲响应
12
第五章
MATLAB车辆工程应用实战
5.4 单自由度弹簧阻尼系统
5.4.1 机械系统
1.2
5.4 单自由度弹簧阻尼系统
根据单自由度弹簧阻尼系统建立相应平衡方程为：
yt 1 atyk btyk -1 ct f k
at 1.9961 bt -0.9970
0.25
ct 9.9850 10-5 y1 y-1 t2 f 0
u- c1x1 - u - x1 - c2x2 -
k2
x1
x2
-
x1
c2
x2
-
x1
求拉普拉斯变换得：
s2
15s
25
s2
s s2
2
x2
s
5s
1us
20s
1x2
s
17
5.5 多自由度振动系统
第五章
MATLAB车辆工程应用实战
5.3 一阶延迟环节
建立弹簧-质量-阻尼系统数学模型的数轴法
ｍ ａｉ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉ ｎ ｆ ｈ ｓ —ｐ ｉ ｇ ｄ ｍｐ ｒｓ ｓｅ ． ｔ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔ ｓｏ ｔ ｅｍａ ｓｓ ｒ ・ ａ ｅ ｙ ｔｍｓ ｃ ａｅ ｏ ｎ Ｋｅ ｒ ｓ： ｉｒ ｔｏ ｎ ｖ ｙ ｗｏ ｄ ｖ ｂ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｗａ ｅ； ｃ ａ ｉ ａ ｉｒ ｔ ｎ ； ｓ －ｐ ｎ － ａ ｅ ｙ ｔ ｍ ； ｔ ｅ ｔ ａ ｄ ｌ； ｕ ｒ ｍｅ ｈ ｎ ｃ ｌ ｂ ａｉ ｖ ｏ ｍａ ｓ ｓ ｒ ｇ ｄ ｍｐ ｒｓ ｓｅ ｉ ｍａ ｍａ ｉ ｌｍｏ ｅ ｎ ｍｅ ｉ ｈ ｃ －
ｔ ｒ ｓ ｕ ｌ ａ ｄ ｔ ｅ ｄ ｓ ｌｃ ｍｅ ｔ ｆｔ ｅｓ ｒｎ ｒｔ ｅ ｄ ｍｐ ｒｗｅ ｅｔａ ｓａ ｅ ｅｒ ｔ ｎ ｌ ｕ ｅ ｗａ ｉ ， ｎ ｉｐ ａ ｅ ｎ ｓｏ ｐ ｇ ｏ ａ ｅ ｒ ｎ ｌｔ ｄｔ ｔ ａ ｉ ａ ｍｂ ｒ ｉｈ ｗｅ ｅｍａ ｋ ｄ ｎ ｂ ｔ ｈ ｈ ｉ ｈ ｒ ｏｈ ｏ ｎ ｅｓ ｗｈ ｃ ｒ ｒ ｅ
ＢＡ ａ －ａ Ｚ Ｉ Ｙ ｎｙ ｎ． ＨＡＮＧ Ｘｉｏ／ｎ ａ： ｕ
（Ｃｏｌｇ ｆ ｅ ｈ ｎｃ ｌ ｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ａｙ ａ ｉ ｅｓ ｙｏ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｔ ｉｕ ｎ ０ ０ ２ ，Ｃｈｎ ｌ ｅｏ Ｍ ｃ ａ ｉａ ｇｎ ｅ ｉ ，Ｔ ｉｕ ｎＵｎｖ ｒｉ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａｙ ａ ３ ０ ４ ｅ Ｅ ｎ ｔ ｉａ）
弹簧-质量-阻尼系统的建模及控制系统设计说明书
分数: ___________任课教师签字：___________华北电力大学研究生结课作业学年学期：第一学年第一学期课程名称：线性系统理论学生姓名：学号：提交时间：2014.11.27目录1 研究背景及意义 (3)2 弹簧-质量-阻尼模型 (3)2.1 系统的建立 (3)2.1.1 系统传递函数的计算 (5)2.2 系统的能控能观性分析 (7)2.2.1 系统能控性分析 (8)2.2.2 系统能观性分析 (9)2.3 系统的稳定性分析 (10)2.3.1 反馈控制理论中的稳定性分析方法 (10)2.3.2 利用Matlab分析系统稳定性 (10)2.3.3 Simulink仿真结果 (12)2.4 系统的极点配置 (15)2.4.1 状态反馈法 (15)2.4.2 输出反馈法 (16)2.4.2 系统极点配置 (16)2.5系统的状态观测器 (18)2.6 利用离散的方法研究系统的特性 (20)2.6.1 离散化定义和方法 (20)2.6.2 零阶保持器 (21)2.6.3 一阶保持器 (24)2.6.4 双线性变换法 (26)3.总结 (28)4.参考文献 (28)弹簧-质量-阻尼系统的建模与控制系统设计1 研究背景及意义弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件。
由它们组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统，在生活中具有相当广泛的用途，缓冲器就是其中的一种。
缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接关系到系统的安全与稳定。
缓冲器在生活中处处可见，例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器，其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员安全；另外，天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着交会对接的成功。
因此，对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
弹簧阻尼系统的数学模型
弹簧阻尼系统的数学模型弹簧阻尼系统的基本模型图1所示，其中m表示系统质量，c表示粘滞摩擦系数，K表示弹簧系数，q表示系统位移。
图1 弹簧阻尼系统基本示意图结合图1，得到系统的模型的方程如下：mq¨+cq˙+kq=u，其中u表示输入作用力大小。
切换成状态空间表达式，设定系统的状态量为同时设置y=q为系统输出，因此得到的表达式为假设输入为正弦信号：u=Asinwt ,考虑到通用的状态空间系统方程dxdt=f(x,u)采用欧拉积分的方法，考虑在t时刻的系统状态x，在极短的时间内h>0, 状态变化率时f(x,u)是个常量，在时刻t到时刻（t+h）内，x(t+h)=x(t)+hf(x(t),u(t))进行一些简答图形绘制绘制输入信号图：输入信号为正弦信号，给定相应的幅值和角频率，表示输入作用力的大小部分代码：t = 0:0.1:100;u = 20*sin(0.5*t);plot(t,u,'r','LineWidth',2);xlabel('Time[sec]');ylabel('Force [N]');绘制基于状态方程的系统响应曲线，根据状态方程，在输入作用力下，观察系统的输出，即位置与时间的关系。
由图可知，黑色的曲线，则是表示系统的响应，采用的是matlab自带的函数。
其他颜色则是测试欧拉积分的方法，观察系统的输出响应曲线，发现时间间隔h越小，跟踪效果越好。
ys,ts] = lsim(sys,u,t);hvec = [10.50.1]; clear x;for iter = 1:length(hvec)x(:,1) = [0; 0];h = hvec(iter);maxi(iter) = max(t)/h;for i = 1:maxi(iter);x(:,i+1) = x(:,i) + h*(A*x(:,i) + B*u(h/0.1*i));td(i,iter) = (i-1)*h;yd(i,iter) = C*x(:,i);endendfigure(1); clf; plot(t, u);xlabel('time [sec]');ylabel('F [N]');figure(2); clf; subplot(211); hold on;analh = plot(ts, ys, 'k-', 'LineWidth',AM_data_linewidth);simh = plot(...td(1:maxi(1),1), yd(1:maxi(1),1), 'g+--', ...td(1:maxi(2),2), yd(1:maxi(2),2), 'ro--', ...td(1:maxi(3),3), yd(1:maxi(3),3), 'b--', ...'MarkerSize', 4, 'LineWidth', AM_ref_linewidth ...);当系统的输入是单位阶跃响应时，也需要观察系统的阶跃响应曲线。
理论力学中的弹簧和阻尼器如何建模？
理论力学中的弹簧和阻尼器如何建模？在理论力学的领域中，弹簧和阻尼器是非常重要的元素，它们在各种物理系统的建模和分析中起着关键作用。
理解如何对弹簧和阻尼器进行准确建模，对于研究物体的运动、力学行为以及系统的稳定性等方面具有重要意义。
首先，让我们来谈谈弹簧。
弹簧是一种能够储存和释放弹性势能的元件。
在建模弹簧时，我们通常使用胡克定律，其表达式为 F ＝ kx ，其中 F 是弹簧施加的力，k 是弹簧的劲度系数，x 是弹簧的伸长或压缩量。
这里的负号表示弹簧施加的力总是朝着恢复其原始长度的方向。
当考虑一个简单的弹簧连接两个物体的情况时，我们可以根据胡克定律来计算弹簧对物体施加的力。
例如，在一个水平方向上的弹簧系统中，如果弹簧的一端固定，另一端连接一个质量为 m 的物体，并且物体从平衡位置移动了 x 的距离，那么弹簧施加在物体上的力就是 kx 。
这个力将影响物体的运动状态。
在建模弹簧时，还需要考虑弹簧的质量。
在一些简单的模型中，我们可以忽略弹簧的质量，将其视为无质量的理想弹簧。
但在更精确的模型中，弹簧的质量可能会对系统的动态特性产生影响。
此时，我们需要使用更复杂的方法来考虑弹簧质量的分布和其对系统的作用。
接下来，我们再看看阻尼器。
阻尼器是一种能够消耗能量的元件，它的作用是减缓物体的运动。
阻尼器施加的力通常与物体的速度成正比，其表达式为 F ＝ cv ，其中 c 是阻尼系数，v 是物体的速度。
阻尼器在实际系统中非常常见，比如汽车的减震器、机械系统中的摩擦阻尼等。
在建模阻尼器时，我们需要根据具体的情况确定阻尼系数 c 的值。
阻尼系数越大，阻尼器对物体运动的抑制作用就越强。
在一个包含弹簧和阻尼器的系统中，例如一个质量弹簧阻尼器系统，物体的运动方程可以通过牛顿第二定律来建立。
假设质量为 m 的物体连接在弹簧和阻尼器上，弹簧的劲度系数为 k ，阻尼系数为 c ，物体的位移为 x ，速度为 v ，则根据牛顿第二定律 F ＝ ma ，我们可以得到：ma ＝ kx cv这是一个二阶常系数线性微分方程，通过求解这个方程，我们可以得到物体的位移、速度和加速度随时间的变化规律，从而了解系统的动态行为。
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自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计目录1设计任务及要求分析 (2)初始条件 (2)要求完成的任务 (2)任务分析 (3)2系统分析及传递函数求解 (3)系统受力分析 (3)传递函数求解 (8)系统开环传递函数的求解 (8)3.用MATLAB对系统作开环频域分析 (9)开环系统波特图 (9)开环系统奈奎斯特图及稳定性判断 (10)4.系统开环频率特性各项指标的计算 (11)总结 (13)参考文献 (13)弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性分析1设计任务及要求分析初始条件已知机械系统如图。
1k yp 2kx图 机械系统图要求完成的任务（1） 推导传递函数)(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X ，（2） 给定m N k m N k m s N b g m /5,/8,/6.0,2.0212==•==，以p 为输入)(t u （3） 用Matlab 画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据分析系统的稳定性。
（4） 求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。
（5） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。
任务分析由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析，列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出)(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X 两个传递函数。
由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。
后在MATLAB 中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。
最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。
2系统分析及传递函数求解系统受力分析单自由度有阻尼振系的力学模型如图2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。
以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。
则物体运动微分方程为kx x c x m －＝－&&& （2-1）式中 ： x c &-为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。
图2-1将上式写成标准形式，为0=++kx x c x m &&& (2-2）令p 2=m k , mcn =2, 则上式可简化为 022=++p x n x &&&(2-3)这就是有阻尼自由振动微分方程。
它的解可取st e x =，其中s 是待定常数。
代入（2-1）式得 0)2(22=++st e p ns s ，要使所有时间内上式都能满足，必须0222=++p ns s ，此即微分方程的特征方程，其解为222,1p n n s -±-= （2-4）于是微分方程（2-1）的通解为)(2222212121tp n tp n nt t s t s e c ec e e c e c x ----+=+= （2-5）式中待定常数c 1与c 2决定与振动的初始条件。
振动系统的性质决定于根式22p n -是实数、零、还是虚数。
对应的根s 1与s 2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。
若s 1与s 2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为c c ，即c c ＝2mp 。
引进一个无量纲的量ζ，称为相对阻尼系数或阻尼比。
c c c mp c p n /2//===ζ （2-6）当n>p 或ζ>1,根式22p n -是实数，称为过阻尼状态，当n<p 或ζ<1，根式22p n -是虚数，称为弱阻尼状态，当n ＝p ，即ζ＝1，称为临界阻尼状态。
现分别讨论三种状态下的运动特性。
1.过阻尼状态此时ζ>1，即22p n -<n ，（b ）式中s 1及s 2均为负值，则t s e 1及t s e 2是两根下降的指数曲线，故（2-2）式所表示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。
图3-2所示为c 1>c 2,c 1<0时的情况。
图2-22.临界阻尼状态此时ζ＝1，（b ）式中s 1＝s 2＝－n ＝－p ，特征方程的根是重根，方程（2-1）的另一解将为te －pt ，故微分方程（2-1）的通解为x ＝（c 1＋c 2t ）e －pt （2-7）式中等号右边第一项c 1e －pt 是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：!/!3/!2//12322/22n t p t p t p p t c e c te c n n t pt pt +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==- （2-8） 从上式看出，当时间t 增长时，第二项c 2te －pt 也趋近于零。
因此（c ）式表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。
3.弱阻尼状态此时p>n,或ζ<1。
利用欧拉公式t n p i t n p ee tn p tp n 2222sin cos 2222-±-==-±-±（2-9）可将（2-2）式改写为)sin cos ()(222221212222t n p D t n p D e e C e C e x nt tn p itn p int -+-=+=-----（2-10）或)sin(22ϕ+-=-t n p Ae x nt （1-11） 令22n p p d -=，则)sin(ϕ+=-t p Ae x d nt （2-12）式中A 与ϕ为待定常数，决定于初始条件。
设t ＝0时，x ＝x 0，0x x &&=，则可求得00120020,)(x nx x p x tg p nx x A d d +=++=-&&ϕ （2-13）将A 与ϕ代入（2-4）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（2-13）可知，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线ntAe-+-之内随时间不断衰减的衰减振动。
如图3-3所示。
图2-3这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为2221ζ-=-=P n P P d （2-14）222222221111221122ζζππζζππ-=-=-=-=-=-=TP n P T f Pn P f d d （2-15）式中P 、f 、T 是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。
由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n 都比P 小得多，属于小阻尼的情况。
例ζ=n/p=时，f d =，T d =；而在ζ=时，f d =，T d =，所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。
另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显着，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=t 1时，A 1=Ae -nt 1；t=t 1+T d 时，A 2=A )(1d T t n e +-；t=t 1+2T d 时，A 3=A )2(1d T t n e +-，…..。
而相邻两振幅之比是个常数。
即nTd j j e A A ==+1/η （2-16）式中η称为减幅系数或振幅衰减率，n 称为衰减系数，n 越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快。
当ζ＝时，η＝，A 2=A 1/=，每一个周期内振幅减少27％，振幅按几何级数衰减，经过10次振动后，振幅将减小到初值的％。
可见，衰减是非常显着的。
在工程上，通常取（2-6）式的自然对数以避免取指数的不便，即d j j nT A A Ln ==+)/(1δ （2-17） 式中δ称为对数减幅或对数衰减率。
将22/2n p T d -=π代入，得2221/2/2ζπζπδ-=-=n p n （2-18）当 ζ<<1时，δ≈2πζ （2-19） 因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数e nTd ，即 故有因此对数减幅δ也可表达为)1(11+=j A A Ln j δ （2-20） 此外，根据（3-6）式，可以用实测法来求得系统的阻尼系数。
因为111121+++=→=→=j j d j j d d j j A A LnT m c A A Ln T n nT A A Ln故12+=j j d A A LnT mc （2-21） 所以只要实测得出衰减振动的周期Td 及相邻两次振幅A j 和A j+1，即可计算出系统的阻尼系数C 。
根据弹簧和阻尼器的特性可得以下关系式：F k1(t)=k 1x(t)， F k2(t)=k 2[x(t)－y(t)]， F b2(t)=b 2dy(t)/dt设不加p(t)时，质量块处于平衡状态，此时x=0，y=0，即x(0)=0，y(0)=0，根据受力平衡方程，在不计重力时，可得出以下方程：k 2[x(t)-y(t)]=b 2dy(t)/dt (2-22)又根据牛顿第二定律，有方程：md 2x(t)/dt 2=p(t)－F k1(t)－F k2(t)－F b2(t) (2-23)传递函数求解（1）求Y(s)/X(s)：对式(2-1)进行拉普拉斯变换，得：k 2X(s)－k 2Y(s)=b 2*sY(s)，化简得传递函数：Y(s)/X(s)=k 2/(b 2s+k 2) (2-24) （2）求X(s)/P(s)：对式(2-2)进行拉普拉斯变换，得：ms 2X(s)=P(s)－k 1X(s)－2k 2[X(s)－Y(s)]，并将式(2-3)代入可解得传递函数： X(s)/P(s)=(b 2s+k 2)/[mb 2s 3+mk 2s 2+b 2(k 1+2k 2)s+k 1k 2] (2-25)已知条件为：给定m N k m N k m s N b g m /5,/8,/6.0,2.0212==•==，设)(t p 是输入)(t u 的阶跃力。
将所给参数代入传递函数式(2-3)和式(2-4)中，可求得具体的传递函数如下：Y(s)/X(s)=5/+5) （2-26） X(s)/P(s)=+5)/（*10^-4s3+10^-3s2++40） （2-27）系统开环传递函数的求解（1）对于Y(s)/X(s)：由微分方程Y(s)/X(s)=5/+5)可画出单位负反馈系统方框结构图如下：（2）对于X(s)/P(s)：由微分方程ms2X(s)=P(s)－k1X(s)－2k2[X(s)－Y(s)]及Y(s)/X(s)=k2/(b2s+k2)可画出系统方框结构图如下：故开环传递G(s)=(0.6s+5)/(1.2∗10−4s3+10−3s2+10.8s+40)3.用MATLAB对系统作开环频域分析开环系统波特图（1）对于Y(s)/X(s)：G（s)=5/(0.6s+5)画波特图时采用的MATLAB语句如下:>> num=[5];den=([,5]);>> margin(num,den) %画系统的开环对数幅频、相频特性运行结果如图3-1图3-1 Y(s)/X(s)的开环波特图（2）对于X(s)/P(s):G(s)= (0.6s+5)/(1.2∗10−4s3+10−3s2+10.8s+40)画波特图时采用的MATLAB语句如下:>> num=[,5];den=([1.2∗10−4,10−3,10.8,40]);>> margin(num,den) %画系统的开环对数幅频、相频特性运行结果如图3-2所示:图3-2 X(s)/P(s)的开环波特图开环系统奈奎斯特图及稳定性判断（1）对于Y(s)/X(s)画奈奎斯特图时MATLAB语句如下：>> num=[5];>> den=[,5];>> nyquist(num,den)运行结果如图3-3所示：图3-3 Y（s）/X（s）开环奈奎斯特图开环传函G（S）=5/(0.6s+5),由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点，故P=0，ω从0变到+∞时，系统的开环幅相曲线不能包围（-1，j0）点周数N=0，则系统位于右半平面的闭环极点数为:Z=P-2N=0,故系统是稳定的。