原子物理学 量子力学导论 3.3.2)--波函数极其统计解释
2. 波函数（ or 几率幅） ψ
微观粒子 具有波动性
1925 年薛定谔 用物质波波函数描述 微观粒子状态
• 用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用
用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用用
• 用用用用用用用用用用用用用用用用用用用 ψ 用用用用用用用用
•
用用用用用用
什么是波包？波包是各种波数（长）平面 波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个 空间，这是因为平面波振幅与位置无关。 如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满 整个空间，这是没有意义的，与实验事实 相矛盾。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如在一个原子内，其广延不会超过原子线度 （约 1 Å ）。
描写粒子状态的波函数 ，通常是一个复函数
错误看法 1
：
电子 源
“ 波由粒
子组成”
P
P
O
Q
感 光
屏
O
Q
认为波与如水波，声波一样是由分子密 度疏密变化而形成的一种分布。
此看法与实验矛盾，不能解释长时间单个电 子衍射实验
电 子 一 个 一 个 的 通 过 小 孔 ， 但 只 要 时 间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。 这说明电子的波动性并不是许多电子在 空间聚集在一起时才有的现象，单个电 子 就事具实有上波，动正性是。由 于 单 个 电 子 具 有 波 动 性，才能理解氢原子（只含一个电 子！）中电子运动的稳定性以及能量量 子化这样一些量子现象。
波 由 粒 子 组 成 的 看 法 夸 大 了 粒 子 性
错误看法 2 ：“粒子由波组成”
电子是波包：把电子波看成是三维空间中连 续分布的某种物质波包，因此呈现出干涉和 衍射等波动现象。认为波包的大小即电子的 大小，波包的群速度即电子的运动速度。
1. 波粒二象性及几率概念
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和 能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平
(r, t ) 面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
问题？
(1) 怎样描述粒子的状态 ？
(2) 如何体现波粒二象 性？
(3) 描写的是什么样的
为 使 平 面 波 与 粒 子 对 应 起 来 而 找 出自 由 粒 子 的 波 函 数 ， 利 用 德 布 罗 意 关 系 并 注 意k到 的
方向代表自由粒子波的方向，则得到自由粒 子的波函数：
3. 玻恩的统计解释：
几率解释 , 是量子力学基本原理之一，系基本假设
自由粒子的波函数表示波在时间和空间上是无限展延 的，那么究竟代表什么呢？
曾有人设想粒子是由许多波组合起来的一个波包，其活 动表现出粒子的性质，但被否定了。因为组成波包的不 同频率的波在介质中速度不同，这样的“波包”在介质 中会逐渐扩展而消灭。但实验中观察到的电子不会在介 质中消灭。此外波可在介质界面发生反射和折射，但一 粒电子是不可分的。
另一个设想认为粒子是基本的，波只是大量粒子分布密 度的变化。但电子的双缝干涉实验明显地表明了粒子具 有波动性，而且波动性是各个粒子具有的性质。
1 ） ψ 是描述粒子的量子状态的函数
• 波函数是描述粒子量子状态的一个波动方程。 如有大量的粒子，那么某处粒子的密度就与此 处发现一个粒子的几率成正比。（可与光进行
粒子意味着 2. 有确定的运动轨道，每一时刻有
一定的
h
位置和速度。
经典概念中 1. 实在的物理量的空间分布作周期性的 变化 ;
波意味着 2. 干涉、衍射现象，即相干叠加性。
关于电子的衍射实验
1. 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒 性，长时间亦显示衍射图样。 2. 入射电子 流强度大，很快显示衍射图样。
离， θ 是 r 和 rn 的夹角
较为方便的复数形式为
e ：
2i(tr cos )
0
一般用k 代表波的
前进方向，故上式可
写成：
量子力学中
e 的一般形式
e2i(tkr ) 0
2i( kr vt )
0
以上是用指数形式表示的沿任意方向传播的平 面波函数
• 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是 波？
• “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不 是经典的粒子也不是经典的波。也可以 说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒 子和波动二重性矛盾的统一。” 这个 波不再是经典概念的波，粒子也不是经 典概念中的粒子。
经典概念中 1. 有一定质量、电荷等“颗粒性” 的属性 ;
如电子落入中区的几率是完全确定的，为 75% 。 又如处于能级宽度为△ E 的微粒的寿命为△ г ，在 △ г 时间内粒子何时衰变 ( 或跃迁 ) 完全不确定，但 衰变几率是完全确定的。
波粒二象性必然导致统计解释，统计性将波和粒子 这 两个不同的经典概念联系起来。爱因斯坦于 1917 年引入统计性用于光辐射，而对于物质波，则是玻恩 在 1927 年提出德布罗意波的几率解释。
用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用 用用
2
一个自由粒子的波
自由粒子不受力， p 和与其相联系的 λ 也不变，是单
色波。
平 面 单 色 波 表 示 为 ：
0
cos
(t
rn v
)
0
cos
2
(vt
r
cos
)
式中 ω 、 v 、 t 分别表示 角频、波速和时间， rn 是原点到波面的垂直距
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：
许多电子在同一个实验中的统计结果，或者
是一个电子在许多次相同实验中的统计结果
。
P
P
O
电 子 源
感 Q光
Q
屏
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此 基础上，玻恩（ Born ） 提出了波函数意义的统计解 释。 在单缝衍射实验中，电子的位置和动量至少有一 个是不确定的，无法精确地预知电子落在屏的何处。 但在不确定性中又有完全的确定性，
§3-4 波函数及其统计解释
德布罗意引入物质波，物质波需用 波函数 Ψ(r¸t) 描述。物质波的波函数代表什 么物理意义。 1926 年玻恩提出波函数的几 率解释。他指出波振幅的模方与该处发现粒 子的几率成正比。因此德布罗意波函数是几 率幅。这个假设得到散射实验的支持，取得 了人们认可，玻恩因此获得 1954 年诺贝尔
原子物理 波函数及统计解释
运动方程
经典物理 必然性
量子物理
几率性 波函数
波函数假设
光的强度可简单表示
由光的量子理论
I E
2
I nh
考虑平面简谐波的表达式
E E 0 cos 2 t
为光的波函数 波函数的平方正比于光子数
自由电子的波粒二象性
E h
p
h
自由粒子
0 cos（ 2 t
态叠加
2
量子力学的跃迁规定
初态
f
末态
跃迁几率 w i f w if
w if | f i |
2
态叠加原理
i
几率幅
f i
f
n
f i
n
当初末态间跃迁存在几种不可区分的跃迁，跃 迁几率幅是各种可能的几率幅之和
加法原理
f1
i
f2
f3
w if
w
n
if n
乘法原理（几率幅）
i i
v
f
f
I
F
f i
f v
v i
fF iI
f i
F I
双缝干涉
P
1
S
2
i （ 2 t 2
平面波
2 x）
0e
x）
0 cos（
2 Et h
2 p h
x）
1 0 cos （ Et px ）
0e
0e
i （ 2 t
2
x）
i （ Et px ）
波 粒 二 象 性 的 描 述
量子力学讲义chapter2波函数的统计解释培训讲学
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• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
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一维方势阱偶宇称能谱图
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2020/7/31
一维方势阱奇宇称能谱图
2020/7/31
2020/7/31
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
nxNne1 22x2Hnx
Nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/22n
1/2 n!
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
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2020/7/31
2020/7/31
§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
2020/7/31
§2.5 一维谐振子
2020/7/31
§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
2020/7/31
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波函数及其统计诠释
§15-1波函数及其统计诠释在经典物理学中我们已经知道，一个被看作为质点的宏观物体的运动状态，是用它的位置矢量和动量来描述的。
但是，对于微观粒子，由于它具有波动性，根据不确定关系，其位置和动量是不可能同时准确确定的, 所以我们也就不可能仍然用位置、动量以及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态了。
微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数ψ(r, t)来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。
在经典物理学中，我们曾经用波函数y(x, t) = a cos(ωt-kx)表示在t时刻、在空间x处的弹性介质质点离开平衡位置的位移，用波函数e(r, t) = e0 cos(k⋅r-ω t)和b(r, t) = b0 cos (k⋅r-ω t)分别表示在t时刻、在空间r处的电场强度和磁场强度。
那么在量子力学中描述微观粒子的波函数ψ(r, t)究竟表示什么呢？为了解释微观粒子的波动性，历史上曾经有人认为，微观粒子本身就是粒子，只是它的运动路径像波；也有人认为，波就是粒子的某种实际结构，即物质波包，波包的大小就是粒子的大小，波包的速度(称为群速)就是粒子的运动速度；还有人认为，波动性是由于大量微观粒子分布于空间而形成的疏密波。
实验证明，这些见解都与事实相违背，因而都是错误的。
1926年玻恩(m.born, 1882-1970)指出，德布罗意波或波函数ψ(r, t)不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。
对波函数的这种统计诠释将量子概念下的波和粒子统一起来了。
微观粒子既不是经典概念中的粒子，也不是经典概念中的波；或者说，微观粒子既是量子概念中的粒子，也是量子概念中的波。
其量子概念中的粒子性表示它们是具有一定能量、动量和质量等粒子的属性，但不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿运动定律；其量子概念中的波动性并不是指某个实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。
波函数及其统计解释.ppt
x)
0
0a
k12
2mE 2
k22
2m(U0 2
E)
k12
2mE 2
三个区域的波函数分别为
Ⅰ区 Ψ1(x) A1eik1x B1eik1x
U0 ⅠⅡ Ⅲ
Ⅱ区 Ψ2 (x) A2eik2x B2eik2x E
Ⅲ区 Ψ3(x) A3eik1x B3eik1x
B3 = 0
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续
波函数的物理意义：
|Ψ(r,t) |2 —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
1. 时刻 t , 粒子在空间 r 处 dV 体积内出现的概率
dW
|
Ψ(r ,
t
)
|2
dV
Ψ(r ,
t
)Ψ*
(r ,
t
)dV
2. 归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为1)
|Ψ(r,t) |2dxdydz 1
0a
x = 0 处：
Ψ1(0) Ψ2(0)
dΨ1 dΨ2 dx x0 dx x0
x = a 处：
Ψ2 (a) Ψ3(a)
dΨ2 dΨ3 dx xa dx xa
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从
而得到反射系数 R | B1 |2 / | A1 |2和透射系数 T | A3 |2 / | A1 |2
t
定态薛定谔方程
粒子能量
描
述
2 x2
2 y2
2 z 2
Ψ(r)
2m 2
E
V
Ψ(r)
0
外 力 场
说明
的
量子力学专题讲座-1-波函数的统计解释与薛定鄂方程
一、波函数的统计解释在量子力学中，我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。
如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。
波恩的统计解释：{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说，ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度，它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。
由于这个性质，波函数必须满足1. 是归一化的1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x（或者说是可归一化的，dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值）2. 满足波函数的标准条件：有限性（不排除在个别点上，ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。
）；单值性（ψ应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t ，坐标x 有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。
由波函数的统计解释，对处于ψ态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是dx x 2⎰ψ是你所得到结果的平均值。
而是相反：第一次测量(其结果是不确定的)将使波函数坍塌至位于实际获得的测量值处的一个尖峰，以后的测量(如果它们立即进行)将得到同样的结果。
.测量引起波函数的坍塌而x是所有测量都是对处在ψ态的粒子所进行的平均值，这意味着你要么发现某种方法使测量后粒子的状态回到ψ态，要么你准备一个系综,其中每个粒子都处在ψ态，然后测量每个粒子的位置, x是所有结果的平均值。
(你们可以想象在一个书架上放一行瓶子,每个瓶子中放一个处在ψ态(相对瓶子的中心)的粒子，每一个学生被分配拿一把尺子测量一个瓶子中粒子的位置，一声令下他们同时开始测量自己瓶子中粒子的位置。
计算平均值,它应该符合x。
简短而言，期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。
量子力学中的波函数及其解释
量子力学中的波函数及其解释量子力学是一门描述微观世界中微粒行为的物理学理论。
在量子力学中，波函数是一个非常重要的概念，它用来描述微粒的量子态。
波函数的特殊属性和解释引发了科学家们长期以来的争议和探讨。
首先，我们需要了解波函数的基本概念。
波函数通常用符号ψ表示，并且是一个复数函数。
根据量子力学的波粒二象性理论，微粒既可以表现为粒子的形式，又可以表现为波动的形式。
波函数描述了微粒的波动性质，其中ψ的模的平方|ψ|²表示了微粒在不同空间位置的概率分布。
波函数的数学表达式满足薛定谔方程，这是量子力学中的基本方程。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到微粒在不同时间下的波函数。
由于波函数的复数性质，它含有两个重要的成分，即实部和虚部。
实部决定了波函数的幅度，虚部则决定了波函数的相位。
然而，波函数的解释一直是一个有争议的问题。
一种观点认为波函数是描述微观粒子“存在于某个状态”的概率幅的数学表示。
这种解释被广泛接受，并且与实验结果相吻合。
根据这种解释，当我们对一个微粒进行测量时，波函数将坍缩到一个确定的状态，而在此之前，微粒的确切状态是不确定的。
另一种观点则认为波函数不仅仅是概率幅的数学描述，而是一个具有物理实在性的实体。
这种观点被称为波函数的本体论解释。
按照这种解释，波函数包含了微粒的所有信息，包括它的位置、动量、自旋等。
然而，这种观点并没有得到主流科学界的广泛认可，因为它存在一系列的哲学和实验上的困难。
此外，量子纠缠也对波函数的解释提出了挑战。
量子纠缠是一种特殊的量子现象，当两个或多个微粒处于纠缠态时，它们的波函数被相互关联。
这意味着对其中一个微粒的测量将立即影响到其它微粒的波函数。
尽管波函数的解释依然存在争议，但量子纠缠的实验结果却得到了验证。
总的来说，波函数是量子力学中一个重要且复杂的概念。
通过波函数，我们可以描述微粒的量子态和概率分布。
然而，对于波函数的解释，目前仍然存在不同的观点。
波函数及其统计解释
根据右图可粗估
与 的关系。
得
即
考虑到高于一级 仍会有电子出现
取
通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式，它表明
和
不可能
同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定，这是微观粒子具有波粒二象性的一种
客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中，普朗克
常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。
真 空 或 介 质
电子云
纵向 分辨率 达 0.005 n m
横向
分辨率达 0.1 n m
续上
电 子
沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈
测 信号调节针尖到样品表层原子点阵的距离，
控 使 保持不变。针尖的空间坐标的变化
及 反映了样品表面原子阵列的几何结构及起
数 伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。
连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续；
因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
某粒子的 波函数为
归一化波函数
算例
概率密度 概率密度最大的位置
不考虑物质的波粒二象性 经典质点有运动轨道概念
牛顿力学方程
根据初始条件可求出经典质点的
运动状态
针对物质的波粒二象性 微观粒子无运动轨道概念 是否存在一个
量子力学方程
根据某种条件可求出微观粒子的
运动状态 波函数
量子力学中的
量子力学课件-波函数的统计解释
微观粒子的波-粒二象性如何理解? 微观粒子的波-粒二象性如何理解? 1.所谓的“粒子性” 是指粒子有一 1.所谓的“粒子性”, 是指粒子有一 所谓的 定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2.所谓的“波动性 是指粒子能发 2.所谓的“波动性”, 是指粒子能发 所谓的 生干涉、衍射现象；更深刻地说， 生干涉、衍射现象；更深刻地说， 波动性是微观粒子运动的统计规律 波动性是微观粒子运动的统计规律 的表现形式
nπ (x − a) A sin ψ 1( x) = 2a 0 nπ (x + a) A sin ψ 2 ( x) = 2a 0
请 问 ： I 、 波 函 数 ψ 1 ( x ) 和 ψ 2 ( x )是 否 等 价 ？ II 、 对 ψ 1 ( x ) 取 n = ± 2 两 种 情 况 ， 得 到 的 两 个 波函数是否等价？
ψ 1 = e i2x /h , ψ 4 = −e i2x/h ,
ψ 2 = e −i2 x /h , ψ 5 = 3e − i ( 2 x + π h ) / h ,
ψ 3 = e i3x /h , ψ 6 = ( 4 + 2 i )e i 2 / h .
(2)
已知下列两个波函数： | x |≤ a | x |> a | x |≤ a | x |> a n = 1, 2, 3, L n = 1, 2, 3, L
1, 1.∫∞ C|Ψ(r,t)|2 dτ= 1, 归一化条件或平方可积条件. 此式称为波函数的归一化条件或平方可积条件 此式称为波函数的归一化条件或平方可积条件. |Ψ(r， dτ,（ 归一化常数， C=1/∫∞ |Ψ(r，t)|2 dτ,（C）1/2归一化常数， Ψ(r,t)叫归一化波函数。 （C）1/2 Ψ(r,t)叫归一化波函数。 2.ω( r, t ) = C |Ψ (r,t)|2 为几率密度。
波函数及其统计解释
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
高二物理竞赛课件：波函数及其统计解释
4、统计解释对波函数提出的要求 根据波函数的统计解释，它应有以下性质：
1）有限性：在空间任何有限体积元V中找到
粒子的概率 ( Ψ 2 dV ) 必须为有限值。
V
归一化：在空间各点的概率总和必须为1。
在空间各处出现的概率呢？
Postulate1: 概率波与概率幅
一、对物质波的理解，概率波的概念
德布罗意：物质波是引导粒子运动的“导波”。 — 本质是什么，不明确。
薛定谔：波是基本的，电子是“物质波包”。 —夸大了波动性，抹煞了粒子性。
通过电子衍射可以在空间不同方向上观测到波包的 一部分，如果波代表实体，那就意味着能观测到电 子的一部分，这与显示电子具有整体性的实验结果 矛盾。
波函数及其统计解释
波函数及其统计解释
1、波函数（wave function）
量子力学假定：微观粒子的状态用波函数 表示。
平面简谐波函数： y = Acos( t-kx)
复数表示： y Ae i( t kx)
概率波波函数：一维
Ψ（x,
t)
，三维
Ψ(r , t)
2、波函数的统计解释
物质波是“概率波”，它是怎样描述粒子
（2）光波
只开上缝光强 I1 只开下缝光强 I2
双缝齐开 I12 I1 I2 通过上缝的光波用 A1( x)ei t 描述
通过下缝的光波用 A2 ( x)ei t 描述 双缝 齐开时的光波为 ( A1 A2 )ei t
光强为 I12 A1 A2 2 A1 2 A2 2 A1* A2 A1 A2*
波包总要扩散，而电子是稳定的。