2018-2019 北师大版数学九年级上册 正方形的性质与判定 同步课时练习题含答案
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形 1.3正方形的性质与判定
1.3.1正方形的性质同步课时练习题
1．在四边形ABCD中，AC与BD交于O，且OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC，∠DAB＝90°，则四边形ABCD的形状是()
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
2.正方形的对称轴的条数为()
A．1条B．2条C．3条D．4条
3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
4.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为()
A．45°B．55°C．60°D．75°
5.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD 并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝()
A.2B．22C．2D．1
6.如图，正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于两点M′，N′，则图中的全等三角形共有()
A．2对B．3对C．4对D．5对
7.将正方形(图①)作如下操作：第1次：分别连接各边中点(如图②)，得到5个正方形；第2次：将图②左上角正方形按上述方法再分割(如图③)，得到9个正方形……以此类推，根据以上操作，若要得到2017个正方形，则需要操作的次数是()
A．502B．503C．504D．505
8.在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD 的形状是．
9.已知正方形ABCD的对角线AC＝4，则这个正方形的面积是____．
10.如图，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么四边形DECF是．
11.已知正方形ABCD的对角线AC＝2，则正方形ABCD的周长是____．
12.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则图中共有____个等腰
直角三角形．
13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是．
14.如图，已知正方形纸片ABCD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ＝____．
15.如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.
(1)求证：BF＝DF；
(2)连接CF，请直接写出BE∶CF＝．
16.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为____cm2.
17.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____．
18.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
(1)求证：AP＝BQ；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
19.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
(1)四边形ADCE为____；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
20.如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF 的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：
(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；
(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．
参考答案：
1---7DDBCB CC
8.正方形
9.8
10.正方形
11.4
12.8
13.22.5°
14.30°
15.(1)∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，∵BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，∴BE＝DG，∴△BEF≌△DGF，∴BF＝DF
(2)
2 2
16.8
17.6
18.(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∴∠BAQ＋∠DAP＝90°.∵DP⊥AQ，∴∠APD＝90°，
∴∠ADP＋∠DAP＝90°，∴∠ADP＝∠BAQ.
∵AQ⊥BE，∴∠AQB＝90°，∴∠DPA＝∠AQB，
∴△DAP≌△ABQ(AAS)，∴AP＝BQ
(2)AQ与AP，DP与AP，AQ与BQ，DP与BQ
19.(1)矩形
(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD，∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形
20.(1)∠EAF的大小不变，理由如下：在正方形ABCD中，
∵AH⊥EF，∴∠AHF＝∠D＝90°.∵AF＝AF，AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)，∴∠HAF＝∠DAF.
同理∠HAE＝∠BAE.∵∠HAF＋∠DAF＋∠HAE＋∠BAE＝90°，∴∠EAF＝∠HAF ＋∠HAE＝45°.
∴∠EAF的大小不会发生变化
(2)△ECF的周长不会发生变化，理由如下：
由(1)知Rt△AHF≌Rt△ADF，Rt△AHE≌Rt△ABE，
∴FH＝FD，EH＝EB.∴EF＝EH＋FH＝EB＋FD.
∴CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EB＋FD＝BC＋CD.
∴△ECF的周长总等于正方形ABCD边长的2倍，不会发生变化。
1.3 正方形的性质与判定 第1课时 北师大版数学九年级上册同步练习
3 正方形的性质与判定第1课时微点拨1．(1)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．(2)正方形既是矩形又是菱形．(3)正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．2．(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质．(2)一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．基础必会1．对角线相等且互相垂直的四边形一定是(D)A．矩形B．菱形C．正方形D．A，B，C答案都不对2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB 相等的角的个数是(C)A.1 B．2 C．3 D．43．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是(C)A．(1，1) B．(－1，－1)C．(1，－1) D．(－1，1)4．如图所示，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE＝CA，AE交CD 于F，则∠FAC＝__22.5__度．5．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__75__度．6．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝4，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是__45__．7．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．解析:(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝12×90°＝45°，在△ABE和△CBE中，{AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS).(2)∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC＋∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°－∠CEB＝110°，∵∠DFE＋∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC－∠ADB＝110°－45°＝65°.能力提升1．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BEC为(D)A．10° B．15° C．20° D．30°2．如图，点E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF 相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确的有(C)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD交BC延长线于点E，过点A作AF⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为____．4．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝6，点Q 为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__12__．5．如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求点A的坐标．解析:如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点D作DE⊥x轴于E，∵四边形OACD是正方形，∴OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠DOE＋∠AOB＝90°，又∵∠OAB＋∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠DOE，在△AOB和△ODE中，{∠ABO＝∠OED＝90°，∠OAB＝∠DOEAO＝OD∴△AOB≌△ODE(AAS)，∴AB＝OE，OB＝DE，∵点D的横坐标为3，AO＝OD＝5，∴DE＝52－32＝4，∴AB＝3，OB＝4，∴点A的坐标为(－4，3).。
九年级数学北师大版上册课时练第1章《正方形的性质与判定》 练习测试卷 含答案解析(2)
课时练第1单元正方形的性质与判定一．选择题1．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD 的周长为8，则OH的长为（）A．4B．3C．2D．12．如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形ABCD面积为8cm2，图中阴影部分面积为5cm2，正方形CEFG面积为（）A．14cm2B．16cm2C．18cm2D．20cm23．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当AC垂直平分BD时，它是正方形4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．B．C．D．5．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线平分一组对角B．对角线相等C．对角线互相垂直平分D．四条边相等6．如图，在正方形ABCD中，E点是对角线BD上的一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝56°，则∠CEF的度数为（）A．30°B．79°C．22°D．81°7．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边长向正方形外作等边△CDE，AC与BE相交于点F，则∠AFD的度数为（）A．65°B．60°C．50°D．45°8．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直且相等9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且2BP＝AC，则∠COP的度数为（）A．15°B．22.5°C．25°D．17.5°10．下列说法正确的是（）A．矩形对角线相互垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．一条对角线分别平分对角的四边形是平行四边形11．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，BE与CF交于点G．若BC ＝8，DE＝AF＝2，则FG的长为（）A．B．C．D．12．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC＝FC；②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题13．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．14．如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是cm．三．解答题15．如图，在正方形ABCD中，点P是BC延长线上一点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，过点D作DF⊥AP于点F．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若AB＝10，∠P＝30°，求EF的长．16．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长．17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE是正方形．18．如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．19．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）（1）求BC边上高AE的长度；（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．20．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．21．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，点E，F分别是垂足．（1）求证：AP＝PC；（2）若∠BAP＝60°，PD＝，求PC的长．参考答案一．选择题1．D2．C3．D4．C5．B6．C7．B8．B9．B10．B11．A12．D二．填空题13．814．4．三．解答题15．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠AEB＝∠DF A＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝∠BAE+∠F AD＝90°，∴∠ABE＝∠DF A，∴△ABE≌△DAF（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠APB＝30°，∴AD∥BC，∴∠DAP＝∠APB＝30°，∵DF⊥AP，∴DF＝AD＝＝5，在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF＝＝＝5，∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝5，∴EF＝5．16．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的周长是16．17．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CFDE是矩形．又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF．∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．18．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∵CE＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴四边形DECG是正方形，∴CG＝CE＝．19．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3cm．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝45°，∴AE＝3（cm）；（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），∴AM＝CN＝t，∵AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形．∵BE＝AE＝3，EN＝6﹣t，∴AN2＝32+（6﹣t）2，∴32+（6﹣t）2＝t2，解得t＝．故当t为时，四边形AMCN为菱形；（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，∴四边形MPNQ为矩形，∴当QM＝QN时，四边形MPNQ为正方形．∵AM＝CN＝t，BE＝3，∴AQ＝EN＝BC﹣BE﹣CN＝9﹣3﹣t＝6﹣t，∴QM＝AM﹣AQ＝|t﹣（6﹣t）|＝|2t﹣6|（注：分点Q在点M的左右两种情况），∵QN＝AE＝3，∴|2t﹣6|＝3，解得t＝4.5或t＝1.5．故当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．20．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）连接BE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE．∵CG＝CE，BC＝BC，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE．∵由（1）可知BG＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°．21．（1）证明：∵ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∵PE⊥CD，PF⊥BC，∴四边形PFCE是矩形，∴EF＝PC，在△ABP和△CBP 中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝CP；（2）解：∵由（1）知△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP＝60°，∴∠PCE＝30°，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠PDE＝45°，∵PE⊥CD，∴DE＝PE，∵PD ＝，∴PE＝1，∴PC＝2PE＝2．11/11。
北师大版九年级数学上1.3 第1课时 正方形及其性质 同步练习(含答案)
3 正方形的性质与判定第1课时正方形及其性质1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是()图1A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2 C．8 2 D．163．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图24．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形ADE ，AC ，BE交于点F ，则∠BFC 的度数为( )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，Rt △FEG 的两直角边EF ，EG 分别交BC ，DC 于点M ，N .若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A.23a 2B.14a 2C.59a 2D.49a 26.如图5，正方形ABCD 的边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，F A ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，则EF 的长为________．图57．如图6，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE ＝BF ，EF 与BC 相交于点G ，连接AE ，CF .(1)求证：AE ＝CF ；(2)若∠ABE ＝55°，求∠EGC 的大小．图68．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()图7A．4 2－4 B．4 2＋4 C．8－4 2 D.2＋19．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝()图8A.2＋ 6B.3＋1C.3＋ 2D.3＋610．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图911．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.(1)求证：EF＝FC＋AE；(2)若AB＝2，求△DEF的周长．图1012．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．图1113．如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长C n＝________．图1214．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．参考答案1．B2．A3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．D6．6 2[解析]7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°，∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.8．A9．A10．3211．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，则BA ＝BC ，AE ＝CM ，BE ＝BM ，∠ABE ＝∠CBM ，∠A ＝∠BCM .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠ABC ＝∠BCD ＝90°， ∴F ，C ，M 三点共线，∠EBM ＝90°. ∵∠EBF ＝45°，∴∠FBM ＝45°.在△BEF 与△BMF 中，BE ＝BM ，∠EBF ＝∠MBF ，BF ＝BF ， ∴△BEF ≌△BMF ，∴EF ＝FM ＝FC ＋CM ＝FC ＋AE . (2)由(1)知EF ＝FC ＋AE ，∴△DEF 的周长＝DE ＋DF ＋EF ＝DE ＋DF ＋AE ＋CF ＝AD ＋CD ＝2AB ＝4. 12．解：(1)∠EAF 的大小不发生变化．理由如下：根据题意，知AB ＝AH ，∠B ＝∠AHE ＝90°. 又∵AE ＝AE ，∴Rt △BAE ≌Rt △HAE ， ∴∠BAE ＝∠HAE .同理，Rt △HAF ≌Rt △DAF ， ∴∠HAF ＝∠DAF ，∴∠EAF ＝12∠BAH ＋12∠HAD ＝12(∠BAH ＋∠HAD )＝12∠BAD .又∵∠BAD ＝90°，∴∠EAF ＝45°， ∴∠EAF 的大小不发生变化．(2)△ECF 的周长不发生变化．理由如下： C △ECF ＝EF ＋EC ＋FC .由(1)，得Rt △BAE ≌Rt △HAE ， ∴EB ＝HE .同理，HF ＝DF .∴C △ECF ＝EF ＋EC ＋FC ＝EB ＋DF ＋EC ＋FC ＝2BC ，∴△ECF的周长不发生变化．13．2n＋114．解：(1)相等互相平行(2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《正方形的性质与判定》同步练习
正方形的性质与判定（典型题）第1课时正方形及其性质1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是()图1A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2C．8 2D．163．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图24．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE交于点F，则∠BFC的度数为()A．45°B．55°C．60°D．75°5.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.23a2B.14a2C.59a2D.49a26.如图5，正方形ABCD的边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，F A⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．图57．如图6，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．图68．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()图7A．4 2－4 B．4 2＋4 C．8－4 2 D.2＋19．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝()图8A.2＋6B.3＋1C.3＋2D.3＋610．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图911．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.(1)求证：EF＝FC＋AE；(2)若AB＝2，求△DEF的周长．图1012．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．图1113．如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长C n＝________．图1214．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．参考答案1．B2．A3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．D6．6 2[解析]7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°，∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.8．A9．A10．3211．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，则BA＝BC，AE＝CM，BE＝BM，∠ABE＝∠CBM，∠A＝∠BCM.∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴F，C，M三点共线，∠EBM＝90°.∵∠EBF＝45°，∴∠FBM＝45°.在△BEF与△BMF中，BE＝BM，∠EBF＝∠MBF，BF＝BF，∴△BEF≌△BMF，∴EF＝FM＝FC＋CM＝FC＋AE.(2)由(1)知EF＝FC＋AE，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝DE＋DF＋AE＋CF＝AD＋CD＝2AB＝4. 12．解：(1)∠EAF的大小不发生变化．理由如下：根据题意，知AB＝AH，∠B＝∠AHE＝90°.又∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE，∴∠BAE＝∠HAE.同理，Rt△HAF≌Rt△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，∴∠EAF＝12∠BAH＋12∠HAD＝12(∠BAH＋∠HAD)＝12∠BAD.又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF的大小不发生变化．(2)△ECF的周长不发生变化．理由如下：C△ECF＝EF＋EC＋FC.由(1)，得Rt△BAE≌Rt△HAE，∴EB＝HE.同理，HF＝DF.∴C△ECF＝EF＋EC＋FC＝EB＋DF＋EC＋FC＝2BC，∴△ECF的周长不发生变化．13．2n＋114．解：(1)相等互相平行(2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.第2课时正方形的判定（典型题）1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．3．如图14，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝()时，则四边形AECF是正方形．图14A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足____________________，那么四边形EFGH是正方形．5．如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图156．如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．图167．⑥如图17，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是()图17A．7 B．8 C．7 2D．7 38．2017·宜昌如图18，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD 于点H，求证：四边形EFCH为正方形．图189．如图19，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值．图1910.矩形的四个内角平分线围成的四边形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形11．如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．图012．如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？图113．如图2，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.(1)求证：△AED≌△GED；(2)求证：四边形AEGF是菱形；(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．图214．如图3①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.连接DE，DF.(1)试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形．(2)当AB＞AC，∠ABC＝20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC 的度数；如果不能，请说明理由．(3)若AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D，在直线AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交直线AD于点F，如图②”，设∠ABC＝x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系式；如果不能，试说明理由．图3参考答案1．D2．①③④3．D.4．对角线互相垂直且相等5．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEB中，∠EAF＝∠EDB，AE＝DE，∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(ASA)，∴AF＝BD.∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC＝12BC，∴AD＝AF.(2)四边形ADCF是正方形．证明：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC.又∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．6．证明：(1)∵AD＝CD，E是边AC的中点，∴DE⊥AC，∴DE是线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠F AC＝∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠F AC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．又∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，即F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形．7．C8．解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°.又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.在△OFE和△ABO中，∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝OB，OF＝AB.又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，∴CF＝BO＝EF，∴四边形EFCH为正方形．9．解：(1)证明：连接CD，如图①所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.在△ADE和△CDF中，AE＝CF，∠A＝∠DCF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形．(2)过点D作DE′⊥AC于点E′，如图②所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝12BC＝2，AB＝42，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜22(点E与点E′重合时取等号)，∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.10．A11．3212．解：(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.∵E是BC的中点，∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°.在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，∴四边形PHEF是矩形．(2)当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形．理由如下：由(1)可得∠BAE＝∠CDE＝45°，∴∠F AP＝∠HDP＝45°.又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，∴Rt△AFP≌Rt△DHP，∴PF＝PH，∴矩形PHEF是正方形．13．解：(1)证明：由旋转可知DG＝DC，∠DGH＝∠DCB＝90°. ∵AD＝CD，∴AD＝DG.又∵ED＝ED，∴Rt△AED≌Rt△GED(HL)．(2)证明：由(1)知△AED≌△GED，∴AE＝EG，∠ADE＝∠GDE＝12∠BDA＝22.5°，∴∠CDF＝67.5°，∠CFD＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD.又∵AC＝BD，CD＝DG，∴AF＝BG＝EG.由旋转知∠H＝∠DBC＝45°.又∵∠DAC＝45°，∴AF∥EG，∴四边形AEGF是平行四边形．又∵AE＝EG，∴▱AEGF是菱形．(3)由(2)知四边形AEGF是菱形，∴AF＝FG.由(2)知CF＝CD，∴BC＝CF，∴BC＋FG＝CF＋AF＝AC＝1.。
北师大版九年级数学上1.3 第2课时 正方形的判定 同步练习(含答案)
第2课时正方形的判定1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．3．如图14，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝()时，则四边形AECF是正方形．图14A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足____________________，那么四边形EFGH是正方形．5．如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图156．如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．图167．⑥如图17，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是()图17A．7 B．8 C．7 2 D．7 38．2017·宜昌如图18，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD 于点H，求证：四边形EFCH为正方形．图189．如图19，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值．图1910.矩形的四个内角平分线围成的四边形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形11．如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．图012．如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？图113．如图2，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.(1)求证：△AED≌△GED；(2)求证：四边形AEGF是菱形；(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．图214．如图3①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.连接DE，DF.(1)试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形．(2)当AB＞AC，∠ABC＝20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC 的度数；如果不能，请说明理由．(3)若AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D，在直线AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交直线AD于点F，如图②”，设∠ABC＝x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系式；如果不能，试说明理由．图3参考答案1．D 2．①③④ 3．D.4．对角线互相垂直且相等 5．解：(1)证明：∵AF ∥BC ， ∴∠EAF ＝∠EDB . ∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE .在△AEF 和△DEB 中，∠EAF ＝∠EDB ，AE ＝DE ，∠AEF ＝∠DEB ， ∴△AEF ≌△DEB (ASA)， ∴AF ＝BD .∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是中线， ∴AD ＝BD ＝DC ＝12BC ，∴AD ＝AF .(2)四边形ADCF 是正方形． 证明：∵AF ＝BD ＝DC ，AF ∥BC ， ∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴AD ⊥BC . 又∵AD ＝AF ，∴四边形ADCF 是正方形．6．证明：(1)∵AD ＝CD ，E 是边AC 的中点， ∴DE ⊥AC ，∴DE 是线段AC 的垂直平分线，∴AF ＝CF ，∴∠F AC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠F AC ＋∠BAF ＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．又∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，即F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形．7．C8．解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°.又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.在△OFE和△ABO中，∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝OB，OF＝AB.又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，∴CF ＝BO ＝EF ，∴四边形EFCH 为正方形． 9．解：(1)证明：连接CD ，如图①所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴∠A ＝∠DCF ＝45°，AD ＝CD .在△ADE 和△CDF 中，AE ＝CF ，∠A ＝∠DCF ，AD ＝CD ， ∴△ADE ≌△CDF (SAS)， ∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF .∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠EDC ＋∠CDF ＝∠EDF ＝90°，∴△EDF 为等腰直角三角形．∵O 为EF 的中点，GO ＝OD ，∴GD ⊥EF ，且GD ＝2OD ＝EF ，∴四边形EDFG 是正方形．(2)过点D 作DE ′⊥AC 于点E ′，如图②所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，∴DE ′＝12BC ＝2，AB ＝42，点E ′为AC 的中点，∴2≤DE ＜22(点E 与点E ′重合时取等号)，∴4≤S 四边形EDFG ＝DE 2＜8.∴当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，该最小值为4. 10．A 11．3212．解：(1)当矩形ABCD 的长是宽的2倍时，四边形PHEF 是矩形． 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AB ＝CD . ∵E 是BC 的中点，∴AB ＝BE ＝EC ＝CD ，则△ABE ，△DCE 均是等腰直角三角形， ∴∠AEB ＝∠DEC ＝45°， ∴∠AED ＝90°.在四边形PHEF 中，∵∠PFE ＝∠FEH ＝∠EHP ＝90°， ∴四边形PHEF 是矩形．(2)当点P 是AD 的中点时，矩形PHEF 变为正方形．理由如下： 由(1)可得∠BAE ＝∠CDE ＝45°， ∴∠F AP ＝∠HDP ＝45°.又∵∠AFP ＝∠DHP ＝90°，AP ＝DP ， ∴Rt △AFP ≌Rt △DHP ， ∴PF ＝PH ，∴矩形PHEF 是正方形．13．解：(1)证明：由旋转可知DG ＝DC ，∠DGH ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝CD ，∴AD ＝DG .又∵ED ＝ED ，∴Rt △AED ≌Rt △GED (HL)． (2)证明：由(1)知△AED ≌△GED ，∴AE ＝EG ，∠ADE ＝∠GDE ＝12∠BDA ＝22.5°，∴∠CDF ＝67.5°，∠CFD ＝67.5°， ∴∠CDF ＝∠CFD ，∴CF ＝CD . 又∵AC ＝BD ，CD ＝DG ， ∴AF ＝BG ＝EG .由旋转知∠H ＝∠DBC ＝45°. 又∵∠DAC ＝45°， ∴AF ∥EG ，∴四边形AEGF 是平行四边形． 又∵AE ＝EG ，∴▱AEGF 是菱形．(3)由(2)知四边形AEGF 是菱形，∴AF ＝FG . 由(2)知CF ＝CD ，∴BC ＝CF ， ∴BC ＋FG ＝CF ＋AF ＝AC ＝1.。
北师大版九年级数学上册《1.3 正方形的性质与判定》 同步练习
1.3 正方形的性质与判定一．选择题1．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形5．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°7．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连接AE交CD于点F，则∠AFC的度数是（）A．150°B．125°C．135°D．112.5°8．把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．6二．解答题10．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．11．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．13．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别为AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM（1）求证：EF＝FM；（2）当AE＝2时，求△DEF的面积．三．填空题（共3小题）14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．15．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝3，点C，D在第一象限．则O、D两点的距离＝．参考答案一．选择题1．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选：C．2．解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确．故选：B．3．解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选：B．4．解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故本选项不符合题意；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；故选：D．5．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形直尺的宽度相等，∴DE＝DF，又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，∴这个四边形一定是轴对称图形，故选：C．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°+15°＝60°．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是正方形，CE＝CA ∴∠ACE＝45°+90°＝135°∠E＝22.5°∴∠AFC＝90°+22.5°＝112.5°．故选D．8．解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x易证△ABC∽△FEC∴＝＝＝解得x＝∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝故选：A．9．解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，∵BE：EC＝2：1，BC＝9，∴CE＝BC＝3，∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，即（9﹣x）2＝32+x2，解得：x＝4，即CH＝4．故选：B．二．解答题10．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．11．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．12．证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°∴PM＝MD，∴矩形MPND是正方形．13．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）设FC＝x，则BF＝6﹣x，EF＝x+2．在Rt△BEF中，∵BE2+BF2＝EF2．∴42+（6﹣x）2＝（x+2）2 ，解这个方程得：x＝3，∴FM＝5，∴△DEF的面积＝△DFM的面积＝FM•CD＝5×6÷2＝15．三．填空题（共3小题）14．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴CH＝AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，故答案为：．15．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．16．解：如图，过点D作DF⊥OA于点F，∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠DAB＝90°∴∠DAF+∠BAO＝90°，且∠BAO+∠ABO＝90°∴∠DAF＝∠ABO，且AD＝AB，∠DF A＝∠AOB＝90°∴△DF A≌△AOB（AAS）∴DF＝AO＝4，OB＝AF＝3∴OF＝OA+AF＝7∴OD＝＝故答案为：。
九年级数学北师大版上册课时练第1章《正方形的性质与判定》 练习测试卷 含答案解析(1)
课时练第1单元正方形的性质与判定一．选择题（共12小题，满分48分）1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（）A．当AB＝BC时，它是矩形B．当AC＝BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（）A．2B．C．3D．3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC 的面积为S，则（）A．S＝6B．S＝8C．S＝10D．S与BE长度有关4．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（）A．1B．C．D．25．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD边长为1．则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．B．C．D．6．如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，2）C．（，﹣1）D．（﹣，1）7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AB至点E，使得BE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．8．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10B．12C．14D．169．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠F AB等于（）A．135°B．45°C．22.5°D．30°10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，给出下列结论：①AE＝10，②∠COD＝45°，③△COF的面积S△COF＝6，④CF＝BD＝2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④11．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH＝BC，③OD＝BF，④∠CHF＝45°．正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④⑤⑥二．填空题（共6小题，满分24分）13．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且P A＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的面积为．15．已知在正方形ABCD中，AC＝6，点P从点A出发，沿AC方向以每秒个单位的速度向终点C运动，同时，点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位的速度向终点B 运动，设点Q运动的时间为t（t＞0），当△PQB为等腰三角形时，t的值为．16．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC 交直线BC于点F，则BF的长为．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为．18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为．三．解答题（共6小题，满分48分）19．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠P AE ＝∠E，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．20．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）若正方形ABCD的边长为2，当点H为DE中点时，求CG的长．21．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．22．如图，正方形ABCD的边长为2．以对角线BD为边作菱形BEFD．点C，E，F在同一直线上，求CE的长．23．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：△EAB≌△GAD；（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．②CE+CG的值为．参考答案一．选择题（共12小题，满分48分）1．C2．A3．B4．C5．D6．D7．D8．D9．C10．A11．B12．A二．填空题（共6小题，满分24分）13．105°14．1615．或16．2或1017．4．18．9三．解答题（共6小题，满分48分）19．（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在△ADP和△CDP中，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴P A＝PC，∵∠P AE＝∠E，∴P A＝PE，∴PC＝PE；（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，由（1）知，△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°．20．证明：（1）∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，同理：CG＝CE，∠GCE＝90°，∴∠BCD＝∠GCE＝90°，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠GBC＝∠CDE，在Rt△DCE中，∠CDE+∠CED＝90°，∴∠GBC+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，∴BH⊥DE；（2）连接BD，∵点H为DE中点，BH⊥DE，∴BH为DE的垂直平分线，∴BE＝BD，∵BC＝CD＝2，∴BD＝，∴BE＝BD＝2，∵CE＝BE﹣BC＝2﹣2，∴CG＝CE＝2﹣2．21．（1）证明：∵正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠BAE+∠OBA＝90°，又∵∠FBC+∠OBA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴BE＝CF；（2）解：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A＝90°，故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4；22．解：过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．∵BD∥EF，∴∠ECG＝∠DBC＝45°，∴△ECG是等腰直角三角形，∴EG＝CG，设EG＝x，则BG＝2+x，在Rt△BEG中，BE2＝BG2+EG2，即（2）2＝（2+x）2+x2，即x2+2x﹣2＝0，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），∴EG＝﹣1，∴CE＝EG＝﹣．23．（1）证明：∵四边形ABCD，AGFE是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，∴∠EAB＝∠GAD，在△AEB和△AGD中，，∴△EAB≌△GAD（SAS）；（2）∵△EAB≌△GAD，∴EB＝GD，∵四边形ABCD是正方形，AB＝，∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝6，∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝3，∵AG＝3，∴OG＝OA+AG＝6，∴GD＝，∴EB＝．24．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）①CE⊥CG，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠CDA＝∠DCG，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠CAD＝90°，∴CE⊥CG；②由①知，△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×＝2，故答案为：2．。
1.3 正方形的性质与判定 第2课时 北师大版数学九年级上册同步练习(含答案)
第一章3正方形的性质与判定第2课时核心回顾微点拨1．正方形的判定除定义外，判定思路有两条：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).2．矩形判定条件＋菱形判定条件＝正方形判定条件．基础必会1．下列命题中，正确的是(D)A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是(D)A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当∠ABC＝90°时，它是正方形3．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)A．30 B．34 C．36 D．404．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是(C)A．AC，BD相等且互相平分B．AC，BD垂直且互相平分C．AC，BD相等且互相垂直D．AC，BD垂直且平分对角5．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．下列判断正确的是(B)A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确6．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为____；所作的第n个四边形的周长为__4()n__．7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，△BEA 旋转后能与△DFA重合，若AE＝5 cm，则四边形AECF的面积为__25__cm2__．8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF.(1)求证：△BDF≌△CDE.(2)若DE＝12BC，求证：四边形BECF是正方形．【证明】(1)∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，∴BD＝CD，∵BF∥EC，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE(ASA).(2)∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DE＝DF，∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∴平行四边形BECF是菱形，∵DE＝12BC，DE＝DF＝12EF，∴EF＝BC，∴菱形BECF是正方形，即四边形BECF是正方形．9．如图，在四边形AECF中，AE⊥EC，AF⊥FC.CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线．(1)求证：四边形AECF是矩形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．解析:(1)∵CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线，∴∠ACE＋∠ACF＝12×180°＝90°，∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．(2)当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，理由是：∵∠ACE＝12∠ACB＝45°，∵∠AEC＝90°，∴∠EAC＝45°＝∠ACE，∴AE＝CE，∵四边形AECF是矩形，∴矩形AECF 是正方形．能力提升1．如图，四边形ABCD 中，AD ＝DC ，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，DE ⊥AB ，若四边形ABCD 的面积为16，则DE 的长为(C )A ．3B ．2C ．4D ．82．如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是(B )A.nB. n －1 C ．(14)n －1 D ．(14)n 3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB ⊥AD ，且AB ＝AD ；②AB ＝BD ，且AB ⊥BD ；③OB ＝OC ，且OB ⊥OC ；④AB ＝AD ，且AC ＝BD .其中正确的序号是__①③④__．4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°.点E ，F 分别在边AB ，AD 上，CE 与BF 相交于点G ，BE ＝AF .线段BG 的垂直平分线交BE 于点H ，且∠EHG ＝54°.若∠EGH ＝m °，则m ＝__63__．5．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∠B ＝∠D ，点E ，F 分别是BC ，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是正方形？请证明．解析:(1)∵AB⊥AC，DC⊥AC，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∵∠B＝∠D，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴AB＝CD，AD＝BC，∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴BE＝12BC，DF＝12AD，∴BE＝DF，在△ABE与△CDF中，{AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)当AB＝AC时，四边形AECF是正方形，理由：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴EC＝12BC，AF＝12AD，∴EC＝AF，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，∴AE＝12BC＝EC，∴平行四边形AECF是菱形，∵AB＝AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC＝90°，∴菱形AECF是正方形．6．如图，已知菱形ABCD，点E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE，AF，CF，得四边形AECF.(1)求证：四边形AECF是正方形；(2)若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．解析:(1)连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵BE＝DF，∴BE＋OB＝DF＋DO，∴FO＝EO，∴EF与AC垂直且互相平分，∴四边形AECF是菱形，∴∠AEF＝∠CEF，又∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝90°，∴菱形AECF是正方形；(2)∵BD＝4，BE＝3，∴FD＝3，∴EF＝10，∴AC＝10，∴菱形ABCD的面积＝1 2AC·BD＝12×10×4＝20.。
2019秋季北师大九年级数学上册《1.3正方形的性质和判定》同步练习无答案
2021秋季北师大九年级数学上册?正方形的性质和判定?同步练习无答案北师大九上? 1.3 正方形的性质与判定?同步练习一．选择题〔共11 小题〕1．正方形具有而矩形不一定有的性质是〔〕A ．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2．正方形具有而菱形不具有的性质是〔〕A ．四边相等B．四角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上， AB 边的中点是坐标原点 O，将正方形绕点 C 按逆时针方向旋转90°后，点B 的对应点 B'的坐标是〔〕A ．〔﹣ 1， 2〕B ．〔 1， 4〕C．〔 3， 2〕D．〔﹣ 1， 0〕4．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点 O、B 的坐标分别是〔 0，0〕，〔 2，0〕，那么顶点 C 的坐标是〔〕A ．〔 1，1〕B ．〔﹣ 1，﹣ 1〕C．〔 1，﹣ 1〕D．〔﹣ 1， 1〕5．如图，在正方形ABCD 中， E、F 分别为DC 、 DA 边上的点，∠ EBF ＝ 45°，假设EF＝ 5，CE＝ 2，那么正方形A BCD 的边长为〔〕A ．8B．6C．3√3D．4√26．如图，在△ ABC 中， AB＝AC，点 D 、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 G、F 在 BC 边上，四边形 DGFE 是正方形．假设DE＝ 4cm，那么 AC 的长为〔〕A ．4cmB ．2√5cm C． 8cm D． 4√5cm7．矩形ABCD ，以下条件中不能判定这个矩形是正方形的是〔〕A ．AC⊥ BDB ．AC＝ BD C． AC 平分∠ BAD D．∠ ADB ＝∠ ABD 8．以下说法正确的选项是〔〕A．有一个直角的四边形是矩形B．一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形9．如图，正方形ABCD 的边长为8，在各边上顺次截取A E＝ BF＝ CG＝ DH ＝5，那么四边形EFGH 的面积是〔〕A ．30B ．34C． 36D． 4010．如图，正方形ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上， BC＝2， CE＝ 6， H 是 AF 的中点，那么CH 的长是〔〕11．将 n 个都 1cm 的正方形按如所示的方法放，点A1， A2，⋯， A n分是正方形角的交点， n 个正方形重叠形成的重叠局部的面和〔〕二．填空〔共11 小〕12．如， E， F 是正方形ABCD 的角AC 上的两点， AC＝ 8， AE＝ CF＝2，四形BEDF 的周是．13．如，正方形ABCD ，以 BC 作等△ BCE，∠ DAE 的度数是．14．如，正方形ABCD 的2，正方形 AEFG 的 2√2，点 B 在段 DG 上，BE 的．15．如所示是由形状大小相同的菱形地、正方形地的地面案的一局部，2021秋季北师大九年级数学上册? 1.3 正方形的性质和判定?同步练习无答案每块正方形地砖的面积为6400cm 2，那么每块菱形地砖的面积为cm2．16．如图，等边△ABC 与正方形DEFG 重叠，其中D、E 两点分别在AB、BC 上，且 BD＝BE．假设 AB＝ 6， DE ＝ 2，那么△ EFC 的面积为．17．如图，四边形ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ ABF 都是直角，且点E、 A、B 三点共线，假设 AB＝ 2，那么阴影局部的面积是．18．如下图平面直角坐标系中，四边形ABCD 是边长为 1 的正方形，以 A 为圆心， AC 为半径画圆交x 轴负半轴于点P，那么点 P 的坐标为．19．如图，长方形ABCD 被分成假设干个正方形，AB＝，那么长方形的另一边AD ＝cm．20．如图，正方形ABCD 边长为 3，点 E、 F 是对角线 AC 上的两个动点〔点 E 在点 F 的左侧〕，且 EF＝ 1，那么 DE+BF 的最小值是．21．如图，正方形 ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、 l2、 l 3、 l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3．假设 h1＝ 2，h2＝ 1，那么正方形 ABCD 的面积为．22．现在全省各大景区都在流行“真人CS“娱乐工程，其中有一个“快速抢点〞游戏，游戏规那么：如图，用绳子围成的一个边长为10m 的正方形ABCD 场地中，游戏者从AB 边上的点 E 处出发，分别先后赶往边BC 、CD 、 DA 上插小旗子，最后回到点E． EB ＝ 3AE，那么游戏者所跑的最少路程是多少m．三．解答题〔共 6 小题〕23．如图，正方形ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，分别过点 C、点 D 作 CE∥BD， DE ∥AC．求证：四边形 OCED 是正方形．6 / 82021秋季北师大九年级数学上册? 1.3 正方形的性质和判定?同步练习无答案24．如图， ABCD 是正方形， E 是 CD 边上任意一点，连接AE，作 BF ⊥AE， DG⊥ AE，垂足分别为F，G．求证： BF﹣DG ＝ FG ．25．如图，正方形 ABCD 的边长为1，正方形 CEFG 的面积为 S1，点 E 在 DC 边上，点 G 在 BC 的延长线上，设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为S2，且 S1＝S2．〔 1〕求线段 CE 的长；〔 2〕假设点 H 为 BC 边的中点，连接HD ，求证： HD ＝HG．26．如图，正方形 ABCD，P 是对角线 AC 上任意一点，E 为 AD 上的点，且∠ EPB＝ 90°，PM⊥ AD，PN⊥ AB．（1〕求证：四边形 PMAN 是正方形；（2〕求证： EM ＝BN．27．：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点O，假设∠ CAD ＝∠ DBC ．〔 1〕求证：四边形ABCD 是正方形．2021秋季北师大九年级数学上册? 1.3 正方形的性质和判定?同步练习无答案〔 2〕E 是 OB 上一点， DH ⊥CE ，垂足为 H， DH 与 OC 相交于点 F，求证： OE＝ OF ．28．如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°，过点 C 的直线 MN ∥ AB， D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DE⊥ BC，交直线 MN 与 E，垂足为 F，连接 CD ，BE．（1〕求证： CE＝ AD；（2〕当 D 在 AB 中点时，四边形 CDBE 是什么特殊四边形？说明理由；〔 3〕在满足〔 2〕的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形CDBE 是正方形？请说明你的理由．。
北师大九年级数学上1.3正方形的性质(第1课时)同步练习含答案
3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质一、选择题1.正方形、矩形、菱形都具有的性质是( )A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线平分一组对角答案 A A.三者均具有此性质,故正确;B.菱形不具有此性质,故不正确;C.矩形不具有此性质,故不正确;D.矩形不具有此性质,故不正确.2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则结论:①AB=BC=CD=DA;②AO=BO=CO=DO;③AC⊥BD中,正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案 D 正方形的四条边都相等,对角线相等且互相垂直平分,因此正确的是①②③,故选D.3.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在CD、BC上,且BF=CE,连接BE、AF相交于点G,则下列结论中不正确的是( )A.BE=AFB.∠DAF=∠BECC.∠AFB+∠BEC=90°D.AG⊥BE答案 C ∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABF=∠C=90°,AB=BC,∵BF=CE,∴△ABF≌△BCE,∴AF=BE(A正确),1∠BAF=∠CBE,∠BFA=∠BEC(C错误).∵∠BAF+∠DAF=90°,∠BAF+∠BFA=90°,∴∠DAF=∠BFA,∴∠DAF=∠BEC(B正确).∵∠BAF=∠CBE,∠BAF+∠AFB=90°,∴∠CBE+∠AFB=90°,∴AG⊥BE(D正确).故选C.二、填空题4.如图,边长为4的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,则阴影部分的面积是.答案4解析∵四边形ABCD是正方形,∴AO=CO,∠EAO=∠FCO.在△AEO和△CFO中,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴S△AEO=S△CFO,∴S△DEO+S△CFO=S△DEO+S△AEO=S△AOD,∵S正方形ABCD=42=16,∴S△AOD=4,∴阴影部分的面积为4.三、解答题5.如图,四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形.(1)求证:△ABE≌△DCE;(2)求∠AED的度数.2解析(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形,∴BA=BC=CD=BE=CE,∠ABC=∠BCD=90°,∠EBC=∠ECB=60°,∴∠ABE=∠ECD=30°,在△ABE和△DCE中,∴△ABE≌△DCE(SAS).(2)∵BA=BE,∠ABE=30°,∴∠BAE=×(180°-30°)=75°,∵∠BAD=90°,∴∠EAD=90°-75°=15°.同理,∠ADE=15°,∴∠AED=180°-15°-15°=150°.6.如图,正方形ABCD中,E、F分别是AB和AD上的点,已知CE⊥BF,垂足为M,请找出和BE相等的线段,并证明你的结论.证明AF=BE.∵CE⊥BF,垂足为M,∴∠MBC+∠MCB=90°,又∵∠ABC=90°,∴∠BEC+∠MCB=90°,∴∠MBC=∠BEC,又∵AD∥BC,∴∠MBC=∠AFB,∴∠AFB=∠BEC,3∵在Rt△BAF和Rt△CBE中,∴Rt△BAF≌Rt△CBE(AAS),∴AF=BE.4。