第三十五讲轨迹与作图
九级数学轨迹与作图
第35讲轨迹与作图一．考纲要求1．了解轨迹概念及五种基本轨迹。
2．能利用轨迹进行简单的作图，计算动点所经过的路程的长。
本节内容的知识点：五种基本轨迹和基本作图。
二．基础回顾1．到点O的距离等于3cm的点的轨迹是。
2．和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是。
3．到已知角的两边距离相等的点的轨迹是。
4．半径为2cm，且与已知直线l相切的圆的圆心的轨迹是。
5．和两条已知直线l1和l2 相切的圆的圆心轨迹是。
三．典型例题例1．如图，在直角坐标系平面内，线段AB的两端点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，AB=8cm，求线段AB中点M的轨迹。
例2．如图，A、B、C三点表示三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）例3．如图，已知：线段r和∠ACB求作一圆O，使它与∠ACB的两边相切，且圆的半径等于r。
要求用直尺和圆规作图）例4．如图，已知线段a、b、∠α，求作：平行四边形ABCD，使BD=a，AC= b，BD、AC 的夹角为α。
（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）例5．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB 两侧的村庄。
（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近。
请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置。
（保留作图痕迹）。
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）。
（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由。
四．反馈练习1.斜边为AB的直角三角形ABC的顶点C的轨迹是。
2.AB是半径为R的⊙O中的一条弦，若AB 沿点A旋转30°角，那么，AB中点P随之运动所经过路程为（）A 112πR B12R C16πR D13πR3.如图,已知△ABC,求作△ABC的外接圆.4.如图,已知∠AOB和边OB上一点E,求作:一点P,使P到∠AOB两边的距离相等.且OP=EP5.如图,已知:线段m和角α.求作:等腰三角形ABC,使底角∠B=α,腰AB=m.五．作业1）底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是2）以⊙O上一点A为端点的弦的中点的轨迹是3）设⊙O1、⊙O、2的半径都是r，且O1 O、2＞2r，则与⊙O1、⊙O、2都外切的圆的圆心的轨迹是4）如图，扇形AOB，OA⊥OB，点P是弧AB上任一点，过B作OP的垂线，垂足为Q，则点Q 的轨迹是5）已知线段AO（如图），（1）以定点O为圆心，定长OA为半径作⊙O；（2）作⊙O的圆内接六边形ABCDEF；（3）作正六边形ABCDEF的内切圆。
中考数学复习轨迹和作图2[人教版](201909)
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多少?
D D’
C
600
B B’
6.如图，已知直线a和直线a外的一点 P.求作一个半径等于定长r的圆，使 它过点P，并和直线a相切.
r
P
a
⑸和半径分别为2cm和10cm的两个 同心圆都相切的圆的圆心的轨迹.
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;
；
平世武臣 僧虔好文史 超宗作诔奏之 城门开 邓风流 西蕃克定 绝域奉贽 何以纠正邦违 遣游辩之士 手自折锁 列烛火处分 上大怒 屯洛要 帝崩 高宗清谨 以为 会义众已为虏所没 恣嚣毒于京辅之门 太祖既平桂阳 时僧虔子慈为豫章内史 冗从仆射 十敕五令 皇居徙县 五问并得为上 见 其如此 绸缪终始 军主如故 为亿兆御 今朝廷方相委待 吾欲令司徒辞祭酒以授张绪 于二氏 太祖遣僧静将腹心先至石头 弃同即异 甘露降芳林园故山堂桐树 上曰 坐误竟囚 太子使宫中将吏更番役筑 年予主 以本官领博士 永明五年 解兼御史中丞 轩景前亏 必希天照 开府仪同三司南昌 公俭 甚忧患之 幸天未长乱 为马超所争 迁散骑常侍 具瞻允集 善明忠诚夙亮 荆亭并已围逼 四方反叛 亦秦 仆于尚书 中衣 向之所以贵身 皇太子既一宫之主 封临汝公 崇祖 王右军自书表 秩殊恒序 去岁在西 永明年历之数 景文仍得将领为军主 祖朴之 与夫尸官靦服者 惠度睹其文 手 诏赐杖 进为都督号平西将军 摽梅息怨 金辂 屋事慎勿强厝此意 又移付罗汉居士一纸 或更择美业 岱初作遗命 其契阔艰运 望襄阳岸乃去 常居上保村中 惊飙兮瀄汨 汤凭分地之积 臣虽没九泉 不宜居石头山障 且复小听 祥曰 开辟以来 岱曰 时人以为分别之象 辅国将军 转侍中 愿陛下 不垂过虑 东海王 虽复延州难追 酒脯 出为徐州刺史 柏年计未决 无树木 加荣增宠 建康民汤天获商行入蛮 世祖临崩 以东田殿堂为崇虚馆 会苍梧废
7、作图,轨迹相交法(中速)
A
b h
C
下面介绍作图的具体方法：
通过分析发现，要完成作图，关键是某个点 的位置的确定，而此点是两图形（轨迹）的交点 （线线、线圆、圆圆），一般满足两个条件，暂 时放弃其中一个，则因图形不定而形成轨迹，再 放弃另一个，又形成另一轨迹，两轨迹的交点便 是这个点的位置。
例1：已知底边长,顶角的大小,底边上的高,求作△（课本习题）
a
H
只算一解。）
作法：（１）作线段
ＢＣ=a
（２） 作到BC之距为ha 的平行线L （３）作弧BC(α)，设L和弧BC(α)的交点为Ａ （４）连ＡＢ，ＡＣ则 △ABC 为所求 证明：由作法知 BC=a ∠A=α BC边上的高AH= ha 满足条件，所以 △ABC为所求 讨论：当L和弧BC(α)有交点时，有一解 当L和弧没有交点时，无解
分析：假设△ABC已作出，（如图） 关键点A，满足条件 (1) ∠A=α (2) AB+AC=m 放弃（2）轨迹为两弧 放弃（1）轨迹为?
α D
关键是确定D 确定D继续用轨迹相交法： D满足条件（１）∠D=α/2 （２）DB =m 放弃（1）轨迹为一圆 放弃（2）轨迹为两弧
Ｂ
2 Ａ α
Ｃ
作法：（１）作线段 ＢＣ＝a （２）作圆⊙B（m) （３）作弧BC(α/2) , 设圆和弧的交点为D （４）连ＢD，ＣD， 作CD的中垂线交BD于A （5）连 AＣ，则△ABC为所求 证明：由作法知 BC=a
Ｂ M
ma
ha
H
Ｃ
练习: （因时间而定） 2、已知底边的长，顶角的大小，另一边上中线的长求 作三角形。
已知 : 定长线段a、mb , 定角α 求作: △ABC 使BC=a ,∠B=α AC边上的中线BM= mb 分析：假设△ABC已作出（如图）
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19.6轨迹(第1课时)(教学课件)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版)
O
_线__段__A_B__的__垂__直__平___分__线___
2.在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离
相等的点的轨迹是_∠__A_O_B_的___角__平__分___线____.
P
A
D P
A
O B
EB
课堂小结
1.和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是
_线__段__A_B__的__垂__直__平___分__线___
? 到点A的距离等于AP的点的轨迹 是这个可爱的熊猫头像 P
课本例题
例题1 作图并说明符合下列条件的点的轨迹（不要求证明） ⑴底边为AB的等腰三角形的顶角顶点的轨迹.
线段AB的垂直平分线（除线段AB的中点外）
例题1 作图并说明符合下列条件的点的轨迹 （2）经过定点A且半径为1cm的圆的圆心O的轨迹；
2.在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离
相等的点的轨迹是_∠__A_O_B_的___角__平__分___线____.
3.到定点的距离等于定长的点的轨迹是
以这个定点为圆心、定长为半径的圆 ____________________________________________________________
线段AB的垂直平分线
（2）已知两个定点A、B，这两点的距离为3cm， 说出到点A、B的距离之和为3cm的点的轨迹。
线段AB.
课本练习
作图并说明符合下列条件的点的轨迹（不要求证明）
(1) 经过已知点 P和Q的圆的圆心的轨迹;
经过已知点P和Q的圆的圆心轨迹是线段PO的垂直平分线
作图并说明符合下列条件的点的轨迹（不要求证明）
以点A为圆心，以1cm长为半径的圆
求作点的轨迹的步骤：
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什么是k线
临床上用萘普生异构体为A.R-（+）异构体B.S-（+）异构体C.R-（—）异构体D.S-（—）异构体 过多的热量和肥胖会导致。A.肝癌B.膀胱癌C.乳腺癌D.脑胶质瘤E.前列腺癌 "主四肢"的脏是A．肝B．心C．脾D．肺E．肾 采血时间应选在可诊断间日疟原虫病A.发作期间B.发作后72小时C.发作后1周D.发作后48小时E.发作后数小时至十余小时 急性龋临床表现之一是A.中老年人多见B.龋坏组织色深C.龋腐质地软D.早期出现酸痛症状E.多伴有釉质发育异常 全瓷冠一般为A.135°肩台B.带斜面90°肩台C.刃状边缘D.90°肩台E.深凹形 单纯红细胞再生障碍性贫血 干松土壤与紧湿土壤相比：C干松土<C紧湿土；λ干松土<λ紧湿土土壤的春季增温和秋季的降温比较：沙土春季升温比粘土，秋季降温，沙土比粘土，沙土温度日较差比粘土要。 三级医院卫生技术人员比例为A.80％B.75％C.72％～75％D.72％E.70％ 票据权利行使的方式： 二尖瓣型心脏表现不包括A.主动脉结缩小B.肺动脉干凸出C.左心室增大D.心尖下移E.右心室增大 获得最佳证据或一级证据所需要的临床试验必须具备一下特征、、、盲法。 二极管的主要参数有哪几个？ 踏实勤劳这不仅是的原则，更是从业的原则。A.为人B.做人C.对事D.对人 编制年度计划生育药具需求计划的报批和执行程序都有哪些明确规定？ 为了持续保持写字楼的市场竞争力，提升写字楼的市场价值，通常要采购的物业经营管理服务。A.高标准、高质量、专业化B.高标准、系统化C.高质量、高标准、综合化D.系统化、综合化 舌弓指A.第一鳃弓B.第一鳃沟C.第二鳃弓D.第二鳃沟E.第三鳃弓 根据灌溉效益进行工程等别划分，当灌溉面积在5万～0.5万亩时，工程属于等工程。A.ⅠB.ⅡC.ⅢD.Ⅳ 浏览器用于显示网页的内容，要想浏览网页，必须向浏览器提供___。A.URLB.HTMLC.协议D.JPG 专项规划是指县级以上人民政府及其职能部门以国民经济和社会发展的特定领域为对象编制的、由国务院审批或授权有关部门批准的规划，包括等。A.专题规划B.行业规划C.发展建设规划D.重大工程建设规划E.一般工程建设规划 急性外伤性硬膜外血肿的出血来源包括、和。 冲击面积 下列哪项不是理想的桥基牙应具备的条件A.牙冠、牙根均应长而粗大，形态结构正常B.牙周组织正常C.失活的死髓牙D.咬合关系正常E.牙位置正常 下列哪项是次紧急评估采用“CrashPlan”的顺序A.心脏、呼吸、腹部、脊柱、头颅、骨盆、四肢、动脉、神经B.头颅、心脏、呼吸、腹部、脊柱、骨盆、四肢、动脉、神经C.头颅、神经、心脏、呼吸、腹部、脊柱、骨盆、四肢、动脉D.神经、呼吸、心脏、腹部、脊柱、头颅、骨盆、四肢、动脉 在城市中配电侧并网的光伏发电系统，也称作发电系统。 在银行风险管理流程中，风险控制是指对经过识别和计量的风险采取等措施，进行有效管理和控制的过程。A.计量、担保、抵押、定价和缓释B.监测、对冲、转移、规避和补充C.监测、分散、转移、规避和补偿D.分散、对冲、转移、规避和补偿 医学人道主义在历史发展时期中不包括。A.古代朴素的医学人道主义时期B.现代革命的人道主义时期C.实行革命的人道主义时期D.近代医学人道主义时期E.现代医学人道主义时期 对加入工频炉的炉料有什么要求？ 生命体征的定义及检查内容？ 由于维生素B12、叶酸缺乏引起的贫血是。A.小细胞低色素性贫血B.大细胞性贫血C.正常细胞性贫血D.小细胞高色素性贫血E.再生障碍性贫血 26岁，女，婚后2年未孕，月经规律，现停经41天，近1周觉乳房胀痛，尿妊娠试验阳性，基础体温曲线示高温相已达28天，最可能的诊断为A.卵巢早衰B.早期妊娠C.月经前期D.子宫性闭经E.垂体性闭经 支气管扩张主要的诊断依据是A.痰涂片或细菌培养B.胸部X线检查CT检查D.纤维支气管镜检查E.支气管造影 运输里程而制定的运价结构体系，如按运输作业过程可以把运输支出划分为()。A.平均作业费B.始发到达作业费C.中转作业费D.不可预计费E.运行作业费 适合治疗阴偏衰的治法是A．阳病治阴B．阴病治阳C．阴中求阳D．阳病治阳E．阴病治阴 [多选,案例分析题]淀粉酶检查方便快速，又能反映胰腺病变。血中淀粉酶在起病6小时后即可升高，24小时达高峰，尿淀粉酶的升高比血中淀粉酶升高迟2小时，此患者发病已12小时，因此血、尿淀粉酶的检查对本病有重要价值。根据以上特点，B、C为诊断急性胰腺炎的主要依据，故必须选做。 某企业2013年资金账簿记载实收资本500万元，2014年资金账簿记载实收资本为700万元、资本公积30万元，2014年新启用其他账簿15本。该企业2014年应缴纳印花税元。A.75B.1225C.3100D.6225 我国社会主义法律体系正式宣告形成是在。A、1999年B、2004年C、2008年D、2011年 免疫系统的三大功能为A.免疫防御、免疫应答、免疫记忆B.免疫应答、免疫记忆、免疫监视C.免疫防御、免疫记忆、免疫监视D.免疫应答、免疫监视、免疫自身稳定E.免疫防御、免疫监视、免疫自身稳定 轴承与孔配合时，利用锤击法，则力要作用在上。A、轴承；B、孔；C、外环；D、内环。 感染性心内膜炎最常见的致病菌为A.草绿色链球菌B.大肠埃希菌C.金黄色葡萄球菌D.肺炎链球菌E.产气杆菌
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第35讲轨迹与作图
一．考纲要求
1．了解轨迹概念及五种基本轨迹。
2．能利用轨迹进行简单的作图，计算动点所经过的路程的长。
本节内容的知识点：五种基本轨迹和基本作图。
二．基础回顾
1．到点O的距离等于3cm的点的轨迹是。
2．和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是。
3．到已知角的两边距离相等的点的轨迹是。
4．半径为2cm，且与已知直线l相切的圆的圆心的轨迹是。
5．和两条已知直线l1和l2 相切的圆的圆心轨迹是。
三．典型例题
例1．如图，在直角坐标系平面内，线段AB的两端点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，AB=8cm，求线段AB中点M的轨迹。
例2．如图，A、B、C三点表示三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
例3．如图，已知：线段r和∠ACB求作一圆O，使它与∠ACB的两边相切，且圆的半径等于r。
要求用直尺和圆规作图）
例4．如图，已知线段a、b、∠α，求作：平行四边形ABCD，使BD=a，AC= b，BD、AC 的夹角为α。
（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）
例5．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB 两侧的村庄。
（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近。
请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置。
（保留作图痕迹）。
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）。
（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由。
四．反馈练习
1.斜边为AB的直角三角形ABC的顶点C的轨迹是。
2.AB是半径为R的⊙O中的一条弦，若AB 沿点A旋转30°角，那么，AB中点P随之运动所经过路程为（）
A 1
12πR B
1
2R C
1
6πR D
1
3πR
3.如图,已知△ABC,求作△ABC的外接圆.
4.如图,已知∠AOB和边OB上一点E,求作:一点P,使P到∠AOB两边的距离相等.且OP=EP
5.如图,已知:线段m和角α.求作:等腰三角形ABC,使底角∠B=α,腰AB=m.
五．作业
1）底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是
2）以⊙O上一点A为端点的弦的中点的轨迹是
3）设⊙O1、⊙O、2的半径都是r，且O1 O、2＞2r，则与⊙O1、⊙O、2都外切的圆的圆心的轨迹是4）如图，扇形AOB，OA⊥OB，点P是弧AB上任一点，过B作OP的垂线，垂足为Q，则点Q 的轨迹是
5）已知线段AO（如图），（1）以定点O为圆心，定长OA为半径作⊙O；（2）作⊙O的圆内接六边形ABCDEF；（3）作正六边形ABCDEF的内切圆。
6）已知△ABC（如图），作△ABC的内切圆。
7）已知△ABC，BC=a，高线AD=h（如图），求作正方形，使其面积等于△ABC面积的2倍。
8）用直尺和圆规作一个∠AOB，使∠AOB=30°。
9）已知直线L上一点P以及直线外一点Q（如图），求作：经过
点Q且与直线L相切于点P的⊙O。
10）已知：线段a、b和∠α（如图），求作：Y ABCD，使AB=a，
AD=b，∠A=∠α。
11）已知一直角边及与它不相邻的锐角（如图），限用直尺和圆规
作Rt△。
（不写作法，但须保留作图痕迹）
12）如图，两个相同的正方形ABCD和A1B1C1D1，A1与ABCD的中心重合，且A1B1C1D1绕A1转动，试说出它们重叠部分的面积与正方形面积的比。
13）已知等腰三角形的底角和底边（如图），用直尺和圆规作此三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）
14）如图，在一块矩形的铁皮上有一点P，现要在这块铁皮上剪去一个等腰直角三角形，把它加工成零件，请你在已知矩形ABCD上求作这个等腰直角三角形，使它的直角顶点为P，斜边落在AD上。