2016.6统计学总复习
统计学总复习
下限公式： 上限公式：
计算公式
中位数
下限公式： （向上累计时） 上限公式： （向下累计时）
３.标志变动度
n 全 距 R n 四分位差 Q.D. n 平 均 差 A.D. n 标 准 差 S.D.(σ) n 离散系数 Vσ
标志变动度
全距 四分位差 Q.D.=Q3-Q1
计算公式
平均差
标准差
¨ 移动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，剔除其 影响后再进行计算，故常用此法
第五章 统计指数
n 综合指标指数 n 平均指标指数 n 平均指标对比指数
1. 综合指数
√
√
２. 平均指标指数
加权算术平均数指数： 加权调和平均数指数：
3. 平均指标对比指数
n 可变构成指数＝固定构成指数×结构影响指数
¨ 发展速度 ¨ 平均发展速度 ¨ 增长速度 ¨ 平均增长速度
发展速度
增长速度
平均发展速度
¨ 计算方法 n 几何平均法
n 方程法
平均增长速度
n 平均增长速度=平均发展速度-1 (100%)
３.长期趋势的测定与预测
¨ 动态数列的影响因素： ¨ 长期趋势T ¨ 季节变动S ¨ 循环变动C ¨ 不规则变动I
¨ 对于闭口组
¨ 对于开口组
累计次数分布
某班某次考试成绩次数分配
考分
次数
向上累计次数 向下累计次数 (较小制累计) (较大制累计)
人数(人) 比率(%) 人数(人) 比率(%) 人数(人) 比率(%)
50-60
2
5.0
2
5.0
40
100.0
60-70
7
17.5
9
22.5
统计学总复习
3、抽样调查的应用范围
抽样调查的应用范围
1、抽样方法能够解决全面调查无法或难以解 决的问题。
2、抽样方法可以补充和订正全面调查的结果。
3、抽样方法可以应用于生产过程中产品质量 的检查和控制。
4、抽样方法可以用于对总体的某种假设进行 检验。
社会经济统计学所研究的数量方面具有 以下的特点：社会性；总体性；变异性。
二、统计的职能
1、信息职能 2、咨询职能 3、监督职能
三、统计总体和总体单位
1、统计总体就是根据一定的目的和要求所确定的 研究事物的全体。
2、总体单位是指构成总体的个体单位，它是总体 的基本单位。
3、总体和单位的关系
没有总体单位，总体也就不存在；没有总体，也 就无法确定总体单位。
统计总体和总体单位不是固定不变的，随着研究 目的的转变，它们是可以转换的。
四、单位标志和标志表现
1、单位标志是总体各单位所共同具有的属性和特征。
品质标志表明单位属性方面的特征。例如：姓名、性 别等都是品质标志。
数量标志表明单位数量方面的特征。例如：工龄、工 资水平等都是数量标志。
2、标志表现是标志特征在各单位上的具体表现。
5
25
8
40
3
15
20
100
第四章 综合指标
一、总量指标的分类 二、相对指标的分类 三、平均指标的分类 四、变异指标的涵义及其作用 五、平均指标和变异指标的计算
一、总量指标的分类（1）
1、总量指标按其反映的内容不同，分为 总体单位总量和总体标志总量。
总体单位总量：指总体内所有单位的总数， 又称单位总量。
标
E、 某人职业是“教师”，这里的“教师”是标志
统计学总复习
01
02
解：（1）40名学生成绩的统计分布表：
按学生成绩 分组
学生人数 （人）
各组学生人数占总人数比重（%）
60以下
4
10.0
60---70
按成绩分组（分）
学生人数（人）
60以下
4
60-70
10
70-80
20
80-90
14
90-100
2
合计
50
=9.80
说明甲班平均分数代表性强
1、乙班学生平均成绩、标准差分别为：
因为甲班学生平均成绩为81分，平均成绩不同，不能直接用标准差来衡量它们平均数代表性的高低，而要计算其变异系数（标准差系数），通过变异系数大小来说明其平均数代表性的大小。
7 300 22 800 28 800 17 000 3 700
5 15 18 10 2
合 计
－
79 600
50
试计算50名工人的月平均工资是多少。
例4 2008年某月份甲、乙两农贸市场某农产品价格及成交量、成交额的资料如下： 请计算说明该农产品哪一个市场的平均价格比较高。
品 种
价格（元/公斤）
合 计
426
21000
30268
1481000
b=
=－454.5
a=
－b
－b
＋454.5×
=35769.5
=
=
=
=
y倚x的直线回归方程式为： 斜率b的含义是：
y =35769.5－454.5x
（2）当产量 y = 6000件时，
统计学总复习2016.6
统计学复习第一章导论三、填空题1．研究某市居民的生活水平，则该市全部居民户是总体，每一居民是总体单位。
2．标志是说明总体单位特征的名称，有数量标志和品质标志两种。
3．研究一个行业的发展情况，总体是该行业，总体单位是行业内各企业。
4．一个企业作为总体单位，该企业产值、产量、生产能力、设备的原值等属于数量标志，而所有制、行业性质等属于品质标志。
5．统计指标反映总体的数量特征，数量标志反映总体单位的数量特征。
6．统计指标的构成要素包括__指标名称____、指标数值、计算单位、时间、空间和计算方法等六个方面。
7．统计工作和统计资料之间是工作与成果的关系，统计学和统计工作之间是理论与实践的关系。
8．如果一个变量是以整数形式取值，该变量被称为离散变量，如果它在一个区间内可取无穷多个值，该变量称为连续变量。
9．统计一词有三种涵义，即统计工作、统计资料、统计学。
10．一个完整的统计工作过程包括统计设计、统计调查、统计整理、统计分析。
11．所有的数量指标都用绝对数表示，而质量指标都用相对数和平均数表示。
12．总量指标按其反映的总体内容不同，分为总体单位总量和总体标志总量；按时间状况不同可以分为时期指标和时点指标；按计量单位不同分为实物指标、价值指标和劳动指标。
13.某企业年末商品库存量属于__时点_指标，其数值__不能_相加；商品销售收入属于_时期_指标，其数值__能够_相加。
14.总量指标是最基本的统计指标，它可以派生出相对指标和平均指标。
15.结构相结指标是总体中部分数值与总体全部数值之比；比例相对指标是总体中一部分数值与总体中另一部分数值之比。
16.强度相对指标区别于其他相对指标的特点之一是某些强度相对指标具有___正指标和逆指标的形式。
17.在所有相对指标中，分子指标和分母指标同属于一个总体的有计划完成相对指标、动态相对指标、结构相对指标、和比例相对指标。
四、选择题1．统计总体的特点是（ C ）。
A．同质性、大量性、可比性 B．同质性、大量性、具体性 C．同质性、大量性、变异性 D．同质性、大量性、综合性2．要了解400名学生的学习情况，则总体是（ C ）。
统计学总复习提纲
统计学复习提纲第一章：绪论1、1）统计的含义：统计一词有统计工作、统计资料、统计科学三种含义，但最基本的还是统计工作。
没有统计工作就不会有统计资料，没有丰富的统计实践经验就不会产生统计科学。
2）统计的研究对象：统计学的研究对象是统计工作的规律，即搜集、整理和分析统计数据的方法，是一门方法论科学。
3）统计的特点：数量性、具体性、综合性2、统计学的基本概念1）总体：总体是指在某种共性的基础上由许多个别事物结合起来的整体。
总体有三方面特征：同质性、大量性、差异性总体可分为有限总体和无限总体2）总体单位：构成总体的个别事物叫总体单位。
总体和总体单位是根据统计研究的目的来确定的。
3）标志：标志是指说明总体单位特征的名称。
标志可分为数量标志（用数字回答问题）和品质标志（用文字回答问题）。
标志还可分为不变标志和可变标志。
不变标志：所有总体单位共同具有的特征。
它是构成总体的必要条件和确定总体范围的标准。
可变标志：在总体各单位之间必然存在差异的标志。
4）变量：可变标志中既有品质标志也有数量标志。
可变的数量标志就叫变量。
变量的具体数值叫变量值。
凡变量值只能以整数出现的变量，叫离散变量。
凡变量值可作无限分割的变量，叫连续变量。
5）指标与指标体系：指标：说明总体数量特征的概念。
指标体系：以共同的研究目的为纽带而相互联系的一系列统计指标。
6）指标与标志的区别与联系区别有二：第一，指标说明总体的特征；而标志说明总体单位的特征。
第二，指标只反映总体的数量特征，所有指标都要用数字来回答；标志则既有反映总体单位的数量特征（用数字回答），也有反映总体单位的品质特征（用文字回答）。
二者联系：主要表现：许多标志的数值都是由总体各单位的数量标志的标志值汇总而得来的。
品质标志虽然本身不具有数值，但有些指标是按品质标志分组分组计算得出。
由于总体和总体单位可随统计研究的目的而易位，故指标和数量标志在一定的条件下可以变换。
第二章：统计调查1、统计调查：是指根据统计研究的目的，有组织、有计划地搜集统计资料的过程。
统计学总复习
１２总复习题名词解释1、记录报表调查：是根据国家有关法律规定，按一定表式和规定自上而下统一布置,自下而上逐期提供基本记录资料旳一种调查方式。
２、同度量因素:把不能相加对比旳复杂总体过渡能直接对比旳因素。
3、记录指数：指数是指反映复杂社会经济现象总体数量变动状况和对比关系旳特殊相对数。
４、参数：根据全及总体各个单位旳标志值或标志特性所计算旳反映总体某种属性旳综合指标,又称参数。
5、记录量：指根据抽样总体各个单位旳标志值或标志特性计算旳综合指标,又被称为记录量。
6、普查：是根据记录旳特定任务而专门组织旳一次性全面调查,用以收集一定期间上某种调核对象旳较全面较精确旳记录资料旳一种调查方式。
7、记录指标：是指总体数量特性旳概括性度量。
8、变量：是指阐明事物某种特性差别旳名称。
9、变量值：变量旳具体体现称为变量值。
10、茎叶图:是由“茎”和“叶”两部分构成，反映原始数据分布旳图形。
1１、箱线图：是运用几种描述性特性值来反映原始数据分布旳图形。
12、记录总体:由客观存在旳、在同一性质基础上结合起来旳许多种别单位所形成旳集合１3、总体单位:构成总体旳个别元素,称为个体。
14、综合评价:是对多指标进行综合旳一系列有效措施旳总称。
1５、估计原则误差:阐明实际值与其估计值之间相对偏离限度旳指标,重要用来衡量回归方程旳代表性。
16、大数据:指在信息技术中，某些使用目前既有数据库管理工具或老式数据解决应用很难解决旳大型而复杂旳数据集。
具有类别大、体量大、价值密度低、解决速度快四大特性。
17、记录学：是研究如何对客观事物数量方面进行调查、整顿和分析旳原理、原则与方式、措施旳科学。
18、重点调查：为理解总体基本状况,在调核对象中只选择一部分重点单位进行调查旳一种非全面调查组织方式。
19、标志:反映总体学位属性或特性旳名称。
20、描述记录学:研究如何获得反映客观现象旳数据,并通过图表形式对收集旳数据进行加工解决和显示,进而综合、概括与分析得出反映客观现象旳规律性数量特性。
统计学期末复习重点知识
统计学期末复习重点知识统计学期末复习➢ 统计的研究对象的特点：数量性；总体性；变异性。
➢ 日常生活中，“统计”的3种含义：统计工作；统计数据；统计学。
➢ 按分组的作用和任务不同，分为类型分组、结构分组和分析分组。
➢➢ 相关系数的计算：∑∑--∑--=22)()())((y y x x y y x x r ∑∑∑∑-=--yx n xy y y x x 1))((∑∑∑-=-222)(1)(x n x x x ∑∑∑-=-222)(1)(y ny y y ny y x x n y y x x /])()([/)])(([22∑∑--∑--=∑∑--∑--=22)()())((y y x x y y x x r计算相关系数的“积差法”简单线性回归中估计的回归方程为：)()(y x xy n xy L∑⋅∑-∑=2)(2x x n xxL ∑-∑=2)(2y y n yy L ∑-∑=yyL xx L xy L r =ny y n x x n y y x x ∑∑∑-⋅---=2)(2)())((yxn yn x n xy σσ∑⋅∑-∑=yx y x xy σσ⋅-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=∑⋅-∑=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑-=========xy nx n y x x n y x y x n L L n i i n i i n i ni i i ni i n i i n i i i xx xy 111101121111ˆˆˆˆββββ1x y 10ˆˆˆββ+=估计标准误差 Sy ：由样本资料计算：由总体资料计算或在大样本情况下：总量指标时期数列的序时平均数：算术平均法连续时点数列的序时平均数：算术平均连续每天资料不同：()2ˆ12-∑-==n y y S ni i i y ()ny y S ni i iy ∑-==12ˆ∑=+++=in y nn y y y y 121持续天内资料不变：间断时点数列的序时平均数：※间隔相等时，采用首末折半法计算；间隔不相等时，采用时间间隔长度加权平均：相对数数列(平均数数列）序时平均数：∑∑++++++=ff y f f f f y f y f y y n n n ＝212211持续天数—i f 122122212113221-++++=-++++++=--n y y y y n y y y y y y y n n n n 12111232121222---+++⨯+++⨯++⨯+=N N NN f f f f y y f y y f y y y⑴ a 、b 均为时期数列时：⑵ a 、b 均为时点数列时：⑶ a 为时期数列、b⎪⎩⎪⎨⎧定基发展速度环比发展速度发展速度 y y t t1-=y y t 0=)定基发展速度1()∏环比发展速度 ＝ y y y y y y y y 1n n12010t -⨯⨯⨯= 0101y y y y y y t t t t --=)相邻定基发展速度的比环比发展速度=2()()⎪⎩⎪⎨⎧=定基环比增长速度y y y t t t 11--- y y y t 00-直线趋势的测定：最小二乘法: 直线趋势方程：用最小平方法求解参数 a 、b ，有()nnx定基发展速度环比发展速度==∏1-平均发展速度＝平均增长速度()()0n1i in2y y∑=+++＝x x x∑∑∑∑∑+=+=2tb t a ty tb na y tb y a t t n y t ty n b -=--=∑∑∑∑∑22)(求解a 、b 的简捷方法：取时间数列中间项为原点N 为奇数时，令t = …，-3，-2，-1，0，1，2，3， … N 为偶数时，令t = …，-5，-3，-1，1，3，5， …年 份1季2季3季4季1994199519961997199825.224.423.82625.117.118.419.419.118.612.614.113.815.715.119.318.92121.620.81）直接平均法：=∑t yny a tty b ===∑∑∑2。
统计学总复习
统计学总复习统计学是一门研究收集、分析、解释和呈现数据的学科。
对于统计学的理解和掌握对于各个领域的研究和实践都至关重要。
本文将对统计学的基本概念、方法和常见应用进行总复习，以帮助读者全面回顾和巩固自己的统计学知识。
1. 统计学的基本概念1.1 数据的概念和分类数据是用来描述和量化研究对象特征的信息，可以分为定量数据和定性数据两类。
定量数据是用数字表示的，如年龄、温度等；定性数据则是以非数字的方式表达的，如性别、颜色等。
1.2 统计学的基本术语统计学中常用的基本术语包括总体、样本、变量、参数和统计量等。
总体是研究对象的全体集合，样本是从总体中抽取的部分个体。
变量是研究中所关注的特征或属性，可以是定性变量或定量变量。
参数是总体的特征的度量，而统计量则是样本的特征的度量。
1.3 统计学的基本原理统计学的基本原理包括描述统计和推断统计两个方面。
描述统计是通过统计方法对数据进行整理、总结和呈现，推断统计则是根据样本数据对总体进行推断和估计。
2. 统计学的基本方法2.1 数据收集数据收集是统计学研究的基础，常用的数据收集方法包括实验和调查。
实验是通过控制条件来观察和测量变量之间的关系，调查则是通过问卷或访谈等方式获取被调查对象的信息。
2.2 数据整理和探索数据整理和探索是对数据进行初步分析的过程。
常用的方法包括数据清洗、缺失值处理、数据转换和描述性统计等。
通过这些方法，可以对数据的整体特征和分布进行初步了解。
2.3 统计推断和假设检验统计推断是通过样本数据对总体进行推断和估计，常用的方法包括参数估计和假设检验。
参数估计是利用样本数据估计总体参数的值，而假设检验则是根据样本数据对总体参数的某种假设进行检验。
2.4 回归分析和方差分析回归分析和方差分析是用于研究变量之间关系的统计方法。
回归分析用于研究自变量对因变量的影响程度和方向，而方差分析则用于比较不同组之间的差异。
3. 统计学的常见应用3.1 生物统计学生物统计学应用于生物学领域，常用于分析和解释生物实验的结果，研究生物系统的特征和相互关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
综合指数计算
蔬菜 猪肉 鲜蛋
水产品
0.8 6.4 4.4 8.5
5.00 4.46 1.20 1.15
0.9 7.0 4.8 10.0
5.20 5.52 1.15 1.30
计算： ⑴各商品零售物价的个体指数； ⑵四种商品物价总指数 销售量总指数。
112.5%
个体物价指数—分别计算
p1 Ip p0
a y bt 6.30
直线方程为： yt 6.30 2.96t
合计
y2009 6.3 2.96 8 29.98
简捷法：
计算表
ty 83 b 2.96 t 28
2
年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 合计
t -3 -2 -1 0 1 2 3 0
计算题
计算表：
x 9.5 9.7 9.9 10.1 10.3 f1 1 2 3 3 1 f2 1 2 2 3 2 xf1 9.5 19.4 29.7 30.3 10.3 99.2 xf2 9.5 19.4 19.8 30.3 20.6 99.6
解：
x甲
xf f
1
1
99.2 9.92 10
平均指数计算
基期
50
报告 期 60
乙
丙 合计
80
70 200
100
90 250
108
98
(1)计算三种商品的销售额指数； (2)计算三种商品的价格总指数； (3)计算三种商品的销售量总指数
销售额总指数=
pq p q
1 1 0 1
1 1
0 0
250 125% 200
价格总指数=
pq pq
第二章 统计数据的收集、整理与显示
*调查的概念、要求、分类
统计调查认识
几 种 常 用 调 查 方 式 的 特 点 、 优 劣
*调查方案设计的具体内容
全面调查—普查
重点调查 专门调查 非全面调查 典型调查
问卷调查
统计报表
抽样调查（概率抽样 vs非概率抽样）
数据收集的方法-直接观察、采访、通讯、登记……
pq pq
kp
0 0
1 1 1 1
250 250 103.31% 60 100 90 242 1.05 1.08 0.98
销售量总指数=
q p q p
1 0
242 121% 200
算术
简单 加权 计算公式 概念 区别 关系
数值平均数 集中趋势
调和
几何
位置平均数（中位数、众数）概念、特点 计算与应用 全距 离中趋势 平均差 标准差（最常用） 分布形状 变异系数（比较不同总体代表性或稳定性时采用）
例1.试比较甲乙两工人谁生产的零件质量较稳定。
单位（mm） 9.6以下 9.6~9.8 9.8~10.0 10.0~10.2 10.2~10.4 合 计 零件数（件） 甲工人 1 2 3 3 1 10 乙工人 1 2 2 3 2 10
年份
t 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 1 2 3 4 5 6 7 28
y 10 12 15 18 20 24 28 127
ty 10 24 45 72 100 144 196 591
t^2 1 4 9 16 25 36 49 140
7 591 28 127 2.96 7 140 282
平 均 数 区 间 估 计 有 关 公 式
2
( x x) f
p
2
f
成 数 区 间 估 计 有 关 公 式
n1 n
x
2
p
p(1 p) n
x
n
x
2
n (1 ) n N
p(1 p) n (1 ) n N
不重复抽样时
不重复抽样时
x t x
统计学复习
2016.05.24
第一章 总论
对统计的认识 *什么是统计？（三种含义）、古典统计两大派别 *统计学科性质（研究对象、特点、研究方法、作用）
总体、总体单位、样本
总量指标（时期、时点）
数量指标 质量指标
主要概念
相对指标
标志
品质、数量 可变、不变
指标
平均指标
定类
变量、数据 连续变量 离散变量 定性 定量 定序 定距 定比
试计算：⑴月营业额的抽样标准误。 ⑵在95%的概率保证下，全体个体饮食店 月均营业额的置信区间。 ⑶以同样的概率保证，全体个体饮食店月 营业总额的置信区间。
2
xf 1260 31.5 f 40 (x-x ）f 5310 132.75 40 f
2
（1）月营业额的抽样标准误=1.73 (2)在95%的概率保证下，全体个体饮食店月均营业额 的置信区间（28.1---34.9） (3)全体个体饮食店月营业总额的置信区间为 （28，35）*400
计算题
计算：第一季度、上半 年、和全年的平均库存 额。
第一季度平均库存额
63 48 60 55 2 56.83 2 3
63 50 60 55 48 43 40 上半年平均库存额 2 2 50.42 6 63 68 60 55 48 43 40 50 48 45 54 57 60 2 52.12 全年平均库存额 2 12
v甲 v乙
所以甲工人生产的零件质量比较稳定
第四章 抽样估计
*抽样推断的特点（随机性、推断总体性、误差可控性）
概念认识
*抽样分布理论 *抽样误差的概念、影响因素、计算 *区间估计、样本容量计算
抽 取
总体（N） 样
样本统计量 随机变量 已知
P
p
推断
未知需要推断
s
xf x f
指标分析
速度指标
• 时间数列的分析方法--2
移动平均法 长期趋势 趋势方程拟合
---半数平均法 ---最小二乘法
趋势分析
季节变动——仅要求掌握概念
例4：某商店2008年商品库存额资料如下：（万元）
库存额 日期 1月1日 1月31日 2月28日 3月31日 4月30日 5月31日 6月30日 63 60 55 48 43 40 50 7月31日 8月31日 9月30日 10月31日 11月30日 12月31日 48 45 54 57 60 68 日期 库存额
1 1 0 1
0 0
109.4% 109.1% 117.6%
四种商品价格总指数= 四种商品销售量总指数=
pq p q
q p q p
1 0
61.84 111.23% 55.598
55.598 116.81% 47.599
还可以进一步做因素分析
例7．假设有三种商品的销售额及价格指数的资料如下： 销售额（万元） 商品 甲 个体价格指数 （%） 105
p t p
P p p
X x x
倒推： 样本容量的计算
例2．从某市400户个体饮食店中抽取10%进行月营业额调查，样本资料如下： 月均营业额（万元） 10以下 10——20 20——30 30——40 40——50 50以上 合计
x
户数 2 4 10 16 6 2 40
即销售额每增加一个单位，利润增加0.1个单位。
第六章 时间数列分析
*时间数列的概念、构成、种类
*时间数列的影响因素（T S C I ） *时间数列分析中的各个指标解释 *移动平均法的注意事项
• 时间数列的分析方法--1
水平指标
发展水平 平均发展水平（序时平均数与一般平均数关系） 增长量 平均增长量 发展速度（环比与定基的关系） 平均发展速度（水平法和累计法） 增长速度 平均增长速度
例5．某企业历年产值资料如下（单位：万元）
年 份
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
产值（万元）
10
12
15
18
20
24
28
要求：用最小平方法配合直线方程，并预测该地区2009年这种产品可能达到的产量。
解：普通法
计算表
b
n ty t y n t 2 ( t ) 2
商场 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
计算题
根据以上数据： 计算相关系数 求以利润额为因变量的直线回归方程，并解释回归系数的含义
r
n x ( x)
2
n xy x y
2 2
n y ( y )
2
0.9718
利润依销售额回归的方程为：
yc 7.29 0.10 x
分组的作用、关键、方法 分组 简单分组、复合分组、品质标志 分组、数量标志分组
统计整理
汇总
分布数列概念及其种类 如何编制变量数列
频率分布图 显示 统计表（形式看…… 内容看……）
第三章 变量分布特征的描述
*所谓分布特征是指什么特征？ 对分布特征的认识 *不同的特征可以用哪些指标来反映？
*分布特征指标如何计算与应用
x乙
xf f
2
2
99.6 9.96 10
2
甲
(x-x ）f f
2 甲 1
1
0.0516 0.23
乙
(x-x ）f f
乙 2
2
0.0644 0.25
v甲
甲