22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第二课时)
(3)若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为 31，求t的值．
(3)当t＜-2时，最大值为2t2+ 4t+1=31， 整理得t2+2t-15=0， 解得t1=3(舍去)，t2=-5； 当t≥-2时，最大值为 2(t+2)2+4(t+2)+1=31， 整理得(t+2)2+2(t+2)-15=0，解得t1=1，t2=-7(舍去). 综上，t的值为1或-5．
其中正确的有(
)
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
变式训练
4．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图22-1-36，
则下列结论中正确的是(
)
A．c＞-1
B．b＞0
C．2a+b≠0
D．9a+c＞3b
变式训练
5．(2016日照)如图22-1-37是二次函数y=ax2+bx+c 的图象，其对称轴为x=1.下列结论： ①abc＞0； ②2a+b=0； ③4a+2b+c＜0；
其中正确的结论有
(填序号)
基础过关精练
1．已知0≤x≤ () A．-10．5 C．-2．5
，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是
B．2 D．-6
基础过关精练
2．(2015凉山)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 22-1-39，下列说法：
①2a+b=0；
②当-1≤x≤3时，y＜0；
④若
是抛
物线上两点，则y1＜y2.
其中结论正确的是( C)
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③④
6．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图22-138，图象过点(-1，0)，对称
轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＞3b；
③8a+7b+2c＞0；
④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质(第二课时)
典型例题精析
例1 分别在下列范围内求函数y=x2-2x-3的最大值 和最小值. (1)0＜x＜2;
典型例题精析
例1 分别在下列范围内求函数y=x2-2x-3的最大值 和最小值.
(2)2≤x≤3.
变式训练
变式训练
2．已知二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值为2，则a
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图22-1-42所示， 以下结论，正确的有哪些？并说明理由． (2)0＜b＜a+1；
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图22-1-42所示， 以下结论，正确的有哪些？并说明理由． (3)b+2a＞0；
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图22-1-42所示， 以下结论，正确的有哪些？并说明理由．
③若(x1，y1)、(x2，y2)在 函数图象上，当x1＜x2时， y1＜y2； ④9a+3b+c=0．
其中正确的是(
)
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
3．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图22-140，则下列说法：
①c=0；
②该抛物线的对称轴是直线x=-1；
③当x=1时，y=2a顶点为M，抛物线m上部分点的 横坐标与对应的纵坐标如下表：
根据表中的各对对应值，下列说法正确的序号 是 ①②③④ ． ①抛物线m开口向上； ②抛物线m的对称轴为直线x=1； ③抛物线m与x轴有一交点坐标为(-1，0)； ④当x=4时，对应的函数值y为5．
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图22-1-42所示， 以下结论，正确的有哪些？并说明理由． (1)3a+b＞0；
能力拓展演练
9．(2016攀枝花)如图22-1-43，二次函数 y=ax2+bx+c(a＞0)图象的顶点为D，其图象与x轴 的交点A、B的横坐标分别为-1和3，则下列结论 正确的是( D ) A．2a-b=0 B．a+b+c＞0 C．3a-c=0 D．当a= 时，△ABD是 等腰直角三角形
能力拓展演练
10．当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-h)2+8的最大值为4，
则实数h的值为
-4或3 ．
11．已知函数y=-4x2+4ax-4a-a2. (1)当a= 时，求函数在0≤x≤1上的最小值；
(2)若函数在0≤x≤1上的最大值是-5，求a的值.
拓展探究训练
12．阅读下面的材料： 小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求 二次函数y=x2-6x+7的最大值．他画图研究后发 现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要 对m进行分类讨论． 他的解答过程如下： ∵二次函数y=x2-6x+7的对称轴为直线x=3， ∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等， ∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2； 若m≥5，则x=m时，y的最大值为m2-6m+7．
拓展探究训练
请你参考小明的思路，解答下列问题： (1)当-2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值 为 49 ；
(2)若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x+1的最大值；
(2)∵二次函数y=2x2+4x+1的对称 轴为直线x=-1， ∴由对称性可知，当x=-4和x=2 时函数值相等， ∴若p≤-4，则当x=p时， y的最大值为2p2+4p+1； 若-4＜p≤2，则当x=2时，y的最 大值为17.
的值为
．
3．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y=2x2-3ax+4的最
小值是-23，则a=
．
典型例题精析
例2 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图22-1-35所 示，它与x轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．对 于下列命题：
①b-2a=0；
②abc＜0；
③a-2b+4c<0；
④8a+c＞0．
④am2+bm+a＞0(m≠-1)．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3
D．4
4．抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3，0)，对称轴是
直线x=-1，则a+b+c=
．
5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图22-1-41所
示，则点P(a，bc)在第
象限．
6．当-7≤x≤a时，二次函数y=- (x+3)2+5恰好有最
合集下载
22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像和性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
最值
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
二、学习目标：
1．理解二次函数 y=ax2+bx+c 与 y =a（x - h）2 +k之间 的联系，体会转化思想； 2．通过图象了解二次函数 y=ax2+bx+c 的性质，体 会数形结合的思想． 3 .会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际 问题． • 学习重点： 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y = a（x - h）2 +k 的形式，并能由此得到二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象和性质．
答：经过15秒，火箭到达最高点，起最大高度为1135米。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
四、课堂小结
二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 4ac b2
2a
,
4a
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
2
直接画函数
的图象
y 1 x2 6x 21 2
描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3
图像.
2
问题：
y
1 2
x2
6x
21
1.看图像说说抛物线
y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 y 1 x2 2
可以得到抛物线
y 1 x2 6x 21？
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
人教版九年级上册数学作业课件 第二十二章 二次函数 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
14．如果抛物线y＝(k＋1)x2＋x－k2＋2与y轴的交点为(0，1)，那么k 的值是___1_．
15．(永州中考改编)如图，已知抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)， 且其对称轴为直线x＝－1.
(1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，是否 存在点P使△PAB的面积为3？存在，请求出点P的坐标，不存在，请说 明理由．
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表： 则此二次函数的解析式为___y_＝__－__2_x_2_－__1_2_x_－__1_3_________．
x
－
－6
－5 －4 －3 －2
y －27 －13 －3
3
5
3
3．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上的两 点，该抛物线的顶点坐标是___(_1_，__4_)_.
＝4；当 x＝12 时，函数有最小值，最小值为 y＝14 －12 －2＝－94 ，
∴y 的最大值与最小值的差为：4－(－94 )＝245 (3)y＝(2－m)x＋2－ m 与二次函数 y＝x2－x－2 图象交点的横坐标为 a 和 b，∴x2－x－2＝(2－ m)x＋2－m，整理得 x2＋(m－3)x＋m－4＝0，解得 x1＝－1，x2＝4－m， ∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m＞3，故解得 m＜1，即 m 的取值范围是 m＜1
知识点3：用交点式求二次函数解析式 8．如图，抛物线的解析式为( B ) A．y＝x2－2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x－3 D．y＝x2＋2x＋3
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－5，0)和(－1，8)，且以直线x＝－ 2为对称轴，则它的解析式为__y_＝__－__x_2_－__4_x_＋__5____.
15．(永州中考改编)如图，已知抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)， 且其对称轴为直线x＝－1.
(1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，是否 存在点P使△PAB的面积为3？存在，请求出点P的坐标，不存在，请说 明理由．
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表： 则此二次函数的解析式为___y_＝__－__2_x_2_－__1_2_x_－__1_3_________．
x
－
－6
－5 －4 －3 －2
y －27 －13 －3
3
5
3
3．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上的两 点，该抛物线的顶点坐标是___(_1_，__4_)_.
＝4；当 x＝12 时，函数有最小值，最小值为 y＝14 －12 －2＝－94 ，
∴y 的最大值与最小值的差为：4－(－94 )＝245 (3)y＝(2－m)x＋2－ m 与二次函数 y＝x2－x－2 图象交点的横坐标为 a 和 b，∴x2－x－2＝(2－ m)x＋2－m，整理得 x2＋(m－3)x＋m－4＝0，解得 x1＝－1，x2＝4－m， ∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m＞3，故解得 m＜1，即 m 的取值范围是 m＜1
知识点3：用交点式求二次函数解析式 8．如图，抛物线的解析式为( B ) A．y＝x2－2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x－3 D．y＝x2＋2x＋3
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－5，0)和(－1，8)，且以直线x＝－ 2为对称轴，则它的解析式为__y_＝__－__x_2_－__4_x_＋__5____.
22.1.4y=ax2+bx+c的图像和性质(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像特点、增减性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
突破方法：通过大量绘制图像，让学生观察、总结规律，形成直观认识。
（2）对称轴的求解：学生对对称轴的计算公式容易忘记或混淆；
突破方法：引导学生回顾一次函数的对称轴概念，进而理解二次函数对称轴的计算方法，并给出具体例子进行讲解。
（3）二次函数在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将现实问题抽象为二次函数模型；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
突破方法：通过列举生活中的实际例子（如抛物线形状的拱桥、物体抛掷等），引导学生学会建立二次函数模型，并求解相关问题。
在教学过程中，教师需针对上述重点和难点内容，通过讲解、举例、互动等方式，帮助学生透彻理解二次函数的图像和性质，并能够将所学知识应用于实际问题中。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数y=ax^2+bx+c的基本概念。二次函数是描述变量间二次关系的函数，它是数学中的重要组成部分，广泛应用于物理、工程等领域。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像特点、增减性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
突破方法：通过大量绘制图像，让学生观察、总结规律，形成直观认识。
（2）对称轴的求解：学生对对称轴的计算公式容易忘记或混淆；
突破方法：引导学生回顾一次函数的对称轴概念，进而理解二次函数对称轴的计算方法，并给出具体例子进行讲解。
（3）二次函数在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将现实问题抽象为二次函数模型；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
突破方法：通过列举生活中的实际例子（如抛物线形状的拱桥、物体抛掷等），引导学生学会建立二次函数模型，并求解相关问题。
在教学过程中，教师需针对上述重点和难点内容，通过讲解、举例、互动等方式，帮助学生透彻理解二次函数的图像和性质，并能够将所学知识应用于实际问题中。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数y=ax^2+bx+c的基本概念。二次函数是描述变量间二次关系的函数，它是数学中的重要组成部分，广泛应用于物理、工程等领域。
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(教案)
举例：讲解重点内容时，可以通过以下例子进行强调：
-当a>0时，函数图象开口向上，如y=x^2，图象在x轴上方；
-当a<0时，函数图象开口向下，如y=-x^2，图象在x轴下方；
- b、c的取值会影响图象的平移，如y=x^2+3，图象沿y轴向上平移3个单位；
-通过具体函数如y=x^2-4x+3，演示如何使用顶点公式(-b/2a, c-b^2/4a)求顶点坐标和判别式Δ=b^2-4ac判断与x轴的交点情况。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，它描述了许多自然现象和工程技术问题中的抛物线变化规律。它是数学中的一个重要部分，因为它可以帮助我们解决最值问题、预测物体运动轨迹等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数在物理学中的应用，比如计算抛物线运动的最高点和落点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数y=ax^2+bx+c的标准形式及其图象特征，特别是a、b、c的符号对图象形状和位置的影响。
-掌握二次函数的对称性、最值性、顶点坐标和与x轴的交点的判定方法。
-学会运用顶点公式和判别式进行二次函数的图象分析和性质判断。
-能够将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的性质解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如顶点公式的推导和应用，我会通过图象示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的最大高度计算。
-当a>0时，函数图象开口向上，如y=x^2，图象在x轴上方；
-当a<0时，函数图象开口向下，如y=-x^2，图象在x轴下方；
- b、c的取值会影响图象的平移，如y=x^2+3，图象沿y轴向上平移3个单位；
-通过具体函数如y=x^2-4x+3，演示如何使用顶点公式(-b/2a, c-b^2/4a)求顶点坐标和判别式Δ=b^2-4ac判断与x轴的交点情况。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，它描述了许多自然现象和工程技术问题中的抛物线变化规律。它是数学中的一个重要部分，因为它可以帮助我们解决最值问题、预测物体运动轨迹等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数在物理学中的应用，比如计算抛物线运动的最高点和落点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数y=ax^2+bx+c的标准形式及其图象特征，特别是a、b、c的符号对图象形状和位置的影响。
-掌握二次函数的对称性、最值性、顶点坐标和与x轴的交点的判定方法。
-学会运用顶点公式和判别式进行二次函数的图象分析和性质判断。
-能够将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的性质解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如顶点公式的推导和应用，我会通过图象示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的最大高度计算。
九年级数学上册22、1二次函数的图象和性质4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时习题课件
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上， 并写出平移后抛物线的解析式.
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线 的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为 (0，0)，落在直线y＝－x上．
考查角度二 已知面积求抛物线上点的坐标 16.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0). (1)求此抛物线的解析式；
考查角度一 抛物线的平移 15.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过 点C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． ∵抛物线过点C(0，－3)，∴－3＝a×(－1)×(－3)， 解得a＝－1，∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为 (2，1)．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)和(1，－2)，则这个函
数的解析式为( ) B
A.y＝x2－x＋2
3
6.如图所示的抛物线的解析式为__y_＝__2_x_2_－__4_x_＋__2____.
7.已知二次函数当x＝－1时，有最小值－4，且当x＝0时，y＝－3，则二次 函数的解析式为________________.
y＝(x＋1)2－4
知识点三 利用“交点式”求二次函数的解析式
人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数yax2+bx+c的图象和性质教案
年级九年级拟授课学校科目数学拟授课班级主备人拟授课教师拟授课时间教学内容22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案课时1课时教学准备多媒体教学目标知识与技能使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象过程与方法经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质情感态度价值观让学生在数学活动中感受数学思想方法之美教学重点用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标教学难点理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质板书设计教学过程设计教 学 过 程设计意图 个性思考栏一、我们知道,作出二次函数23y x =的图象,通过平移抛物线23y x =可以得到二次函数23y x =-6x+5的图象. （一）怎样直接作出函数23y x =-6x+5的图象?2365y x x =-+提取二次项系数得 配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号（二）直接画函数y=ax²+bx+c 的图象1.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).2.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.2.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象．做一做作出函数221213y x x =-+的图象.提高学生学习兴趣，渗透数学 建模思想.复习待定系数法，为求二次函数的解析式作好铺垫.体现类比思想，了解求二次函数解析式就是要求什么.合理地猜想，为后面的探究作好铺垫.⎪⎭⎫⎝⎛+-=35232x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=3511232x x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=32132x ().2132+-=x（三）函数y=ax ²+bx+c 的顶点式 一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例.求次函数y=ax²+bx+c 的对称轴和顶点坐标．提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项对所学知识的一个巩固以及解答过程的规范化.对学生猜想的一个补充，体会到求二次函数解析式条件的制约性.对于特殊点的运用，使学生解决问题时有方c bx ax y ++=2⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c c x a b x a 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a c a b a b x a b x a 22222化简:去掉中括号这个结果通常称为求顶点坐标公式.所以说 是函数y=ax ²+bx+c 的顶点式。
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a-b+c=0 a+b+c=0 c=1
解得 a=-1, b=0, c=1
故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1
课堂练习
1、一个二次函数，当自变量x 0时，函数值y 1， 当x 2与 1 时，y 0.求这个二次函数的解析式。
2 2、一个二次函数的图象经过（0，0），（1，1）， （1，9）三点，求这个二次函数的解析式。
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是
求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的
坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出 a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
例2 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。
Байду номын сангаас
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
人教版数学九年级上册课件22.1.4二次函数的图像和性质
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一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 试将式一般转化为顶点 式.
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
2
y ax2 bx c 2 b a x x c a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
图象特征 图象特征
归纳总结： a的符号决定 开口方向 ,简记为 “上正下负 ”. a,b的符号决定 对称轴位置 ,简记为 “左同右异 ”. c的符号决定 与y轴交点 ,简记为 “ 上正下负 ”
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一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 试将式一般转化为顶点 式.
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
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y ax2 bx c 2 b a x x c a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
图象特征 图象特征
归纳总结： a的符号决定 开口方向 ,简记为 “上正下负 ”. a,b的符号决定 对称轴位置 ,简记为 “左同右异 ”. c的符号决定 与y轴交点 ,简记为 “ 上正下负 ”