高三复习课：平面向量的数量积
?
3.平面向量的数量积的性质 ： 设a、b是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e· a＝a· e＝|a|cosθ (2)a⊥b a· b＝ 0 (3)a· b＝±|a|· |b|(a与b同向取正，反向取负) (4)a· a＝|a|2 或 |a|＝√a· a
(5) cosθ a Байду номын сангаасb
(2)a·b＝|a||b|cosθ. 几 何 意 义 是 ： a·b 等 于 |a| 与 b 在 a 方 向 上 的 投 影 |b|cosθ的积.
2.平面向量的数量积的运算律 ： (1)a·b＝b·a (2)(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λ·b) (3)(a+b)·c＝a·c+b·c (a· b)· c= (b· c)· a
ab
(6)|a·b|≤|a||b|
4.平面向量的数量积的坐标表示 : (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝x1x2+y1y2， |a|2＝x21+y21，|a|＝√x21+y21，a⊥b <=>x1x2+y1y2＝0 (2) cosθ
x1 x2 y1 y2
2 2 2 2 x1 y1 x2 y2
拓展提升:
2.如图，已知圆M：（x 3) 2 ( y 3) 2 4, 四边形ABCD为圆M的内接正方形，E,F 分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD 绕圆心M转动时， ME OF的最大值是：
夹角 平行 垂直问题 1.(2017课标1, 理13题）已知向量a, b的夹角为60 ， a 2, b 1, 则 a 2b
穿插在数量积运算中，要细细体会。
【课前自主反馈】 世纪金榜：P86 典例（2）及母题变式2 P87 命题点2例及拓展提升(1)
考点梳理
1．平面向量数量积的定义： 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示：
3．平面向量数量积的运算律：
要点·考点
1.平面向量的数量积的定义 ： (1) 设两个非零向量 a和 b ，作 OA ＝ a ， OB ＝ b ，则 ∠AOB ＝ θ 叫 a 与 b 的 夹 角 ， 其 范 围 是 [0 ， π] ， |b|cosθ叫b在a上的投影.
平面向量（知识网络）
向量的定义 向量的模 零向量
基本概念 单位向量
向量的表示法 向量 向量相等 基本关系 相反向量 平行向量 向量垂直 向量的加法 向量的减法 向量的数乘 向量的数量积 B
基本运算
o
B′ A
【高考高频考向】
1．考查平面向量的数量积的运算、模长及垂直的应用． 2．以数量积为工具，考查其他综合应用题，常与三角及解 析几何等知识结合．
考向一
平面向量数量积的运算
【例 1】►(1)若向量 a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件 (8a－b)· c＝30，则 x＝________. 2π (2)(2015· 安庆模拟)已知 e1，e2 是夹角为 3 的两个单位向量， a＝e1－2e2， b＝ke1＋e2， 若 a· b＝0， 则实数 k 的值为________．
(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；
(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)
课堂小结： 1．向量数量积运算的常用解法： 1）定义法；2）坐标运算法；3)几何图形法; 2 ．数量积运算是向量中的一个重要工具，它能与
数学的其它知识产生千丝万缕的联系；
3 ．“等价转化”、“数形结合”等重要数学思想
考向二
向量的模长
挑战自我：
挑战自我：
1 2.(全国理12）设向量a, b, c满足 a b 1, a b 2 a c, b c 60 , 则 c 的最大值是：
考向三 向量数量积的综合应用问题 【例 3】
已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．
平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习
平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问
预测 题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填
空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
∠AOB
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则________叫做a与b的夹角
定义
范围
0≤θ≤π
设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是_______
道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用
坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,则a·b=(
A.-2
24 1
θ=
=
= ,
|||| 12×8 4
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos
1 1 3
θ· =12× × b= b.
||
4 8 8
3
b
8
.
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8), =5,且b与向量(1,0)的夹角是钝
角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos
θ) .(
||
√
)
2.(必修第二册P36练习T1·
变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且 2 + =3,则t=(
A. 2
B. 3
C.± 2
D.±
2
2
高三一轮复习课件平面向量的数量积
b解的.
题模计技和算巧方两：向个角a向的. 量利关的用系夹向c角量.
的 利
性 用
质 向
和 量
几 的何Biblioteka 加意 法义 和简 减
化 法
计 进
算 行
b. 简化
注 计
意 算
向
量
ca.. 利利用用数向量量积的公性式质求和解几 何 意 义 简 化 计 算
b. 注意向量的模和方向角的关系
定义：平面向量的数量积是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余 弦值的乘积 几何意义：表示两个向量的夹角大小和方向
性质：数量积满足交换律、结合律和分配律
应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、功等
结合律：a·(b+c) = a·b + a·c 交换律：a·b = b·a 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c
平行四边形定 理：两个向量 的数量积等于 这两个向量的
模的乘积
余弦定理：两 个向量的数量 积等于这两个 向量的模的乘 积再乘以这两 个向量的夹角
的余弦值
向量数量积的 性质：向量数 量积的绝对值 等于这两个向 量的模的乘积 再乘以这两个 向量的夹角的
余弦值
向量数量积的 定理：两个向 量的数量积等 于这两个向量 的模的乘积再 乘以这两个向 量的夹角的余
记开方等
理解错误，如 混淆向量的数 量积和向量积
的性质
应用错误，如 无法正确应用 向量的数量积 解决实际问题
计算两个向量的数量积，并判断其 正负性
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
计算两个向量的数量积，并判断其 方向
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
平面向量的数量积复习ppt课件
即x2 y2 3 x 0
所以点P的横坐标的取值范围为 0 x 3
11
小结
1．本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、 运算律、几何意义及其在物理学上的应用。
2．利用平面向量的数量积运算来解决一些实际 问题.
12
四、能力训练
1.已知a2
2
1, b
4,
a
b
a
0,则a与b的夹角是:
A.90 B.60 C.120 D.150
3. AB与AD的夹角是60, AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。
AB DA AB DA cos120 4 3 1 6 2
8
例2、 已知a 5, b 4,且a与b夹角为60,问k为何值时,
使 ka b a 2b
解: ka b a 2b ka b a 2b 0
且a b b c c d d a,试判断四边形ABCD的形状特征.
6.若a cos,sin ,b cos ,sin ,且 ka b 3 a kb k 0
1用k表示数量积a b
2求a b的最小值,并求此时a与b的夹角.
13
例4.已知两点M 1,0, N 1,0,且点P使MP MN, PM PN, NM NP
A
ab ba
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影数量 b cos的乘积.
3、数量积的物理意义：F
S
F cos
如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s, 那么力F所做的功 W
可用公式计算 : W F S | F || S | cos
4
4、数量积的主要性质及其坐标表示：
设a, b是两个非零向量
A.a b 1
2
2
高考数学总复习 43 平面向量的数量积课件 新人教A版
A.π2
B.π3
π
π
C.4
D.6
解析：∵a·(b－a)＝2，∴a·b－|a|2＝2， ∴1×6cos〈a，b〉－1＝2，∴cos〈a，b〉＝12， ∵〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝π3.
答案：B
向量的投影
[例 4] (2010·哈师大附中联考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝
－12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
解析：由已知得 a·b＝|a|·|b|cos120°＝－|a|2.又 c＝－(a ＋b)，所以 a·c＝－a·(a＋b)＝－|a|2－a·b＝0，故选 B.
答案：B
(理)(2010·甘肃省质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)
＝2，则向量 a 与向量 b 的夹角是( )
A．－4
B．4
C．－2
解析：a 在 b 方向上的投影为a|b·b| ＝－4.
D．2
答案：A
(2010·浙江绍兴调研)设 a·b＝4，若 a 在 b 方向上的投
影为 2，且 b 在 a 方向上的投影为 1，则 a 与 b 的夹角等
于( )
π A.6
π B.3
2π C. 3
D.π3或23π
解析：由条件知，a|b·b| ＝2，a|a·b| ＝1，a·b＝4， ∴|a|＝4，|b|＝2， ∴cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝4×4 2＝12， ∴〈a，b〉＝π3. 答案：B
解析：
∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， ∴BC＝5，∴cos∠ABC＝153. ∵〈A→B，B→C〉＝π－∠ABC， ∴cos〈A→B，B→C〉＝－cos∠ABC＝－153， ∴A→B·B→C＝|A→B|·|B→C|·cos〈A→B，B→C〉 ＝13×5×(－153)＝－25.
平面向量的数量积(高三一轮复习)
5．(易错题)已知向量a＝(5,5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实
数λ的取值范围为 (－7,1)∪(1,7)
．
解析 由题意得(a＋b)·(a－b)>0，即a2－b2>0,52＋52>λ2＋12，所以－7<λ<7.
若a＋b＝k(a－b)，则
5＋λ＝k5－λ， 5＋1＝k5－1，
解得 k＝32， λ＝1，
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 15 —
(2)(2022·天津红桥二模)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足
→ AP
＝
λA→B，A→Q＝(1－λ)A→C，λ∈R，若B→Q·C→P＝－32，则λ＝( C )
1 A.4
B．1±2 2
1 C.2
D．－3±22 2
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
3＋1 2
C.
52－1，
5＋1 2
D． 52＋1，52
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 26 —
解析 (1)由(a－b)·a＝1得a2－a·b＝1，因为a＝(1,1)，所以a2＝1＋1＝2，故a·b
＝1，a－b＝ a2－2a·b＋b2＝ 2－2＋4＝2. (2) a ＝1， b ＝2，a·b＝0，以a为y轴，b 为x轴，O为坐标原点，建立直角坐标
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 9—
基|础|自|测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的范围是0，π2.( × ) (2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角．( × ) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向 量．( √ ) (4)(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
高三复习课平面向量的数量积课件
忽视向量夹角
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量夹角的影响。
详细描述
向量夹角是计算数量积的重要因素之一，夹角余弦值直接影响着数量积的结果。 如果学生忽视了夹角，就会导致计算结果不准确。因此，在计算数量积时，学生 需要特别注意夹角的取值范围和符号。
忽视向量模长的影响
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量模长的影响。
公式
数量积的公式为 $|vec{a} cdot vec{b}| = |vec{a}| times |vec{b}| times |cos theta|$，其中 $theta$ 是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 之间的夹角。
几何意义
几何意义
平面向量的数量积表示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 在垂直方向上 的投影的模长之积。
02
平面向量的数量积运算
线性运算
线性运算包括加法、 数乘和向量的线性组 合等基本运算。
线性运算的性质包括 向量共线定理、向量 模的性质等。
向量加法满足交换律 和结合律，数乘满足 分配律。
数量积的坐标表示
数量积的坐标表示是通过向量的坐标来计算两个向量的数量积。
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1},y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
高三复习课平面向量的数量积课 件
contents
目录
平面向量的数量积-高三新高考一轮复习(人教A版)
已知两个_非_零__向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB
＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a 与 b 的夹角．如果向量 a 与
b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作_a_⊥__b_．
2．平面向量数量积的运算律 已知向量 a，b，c 和实数 λ.
①交换律：__a·_b_＝__b_·a__； ②数乘结合律：(λa)·b＝_λ_(_a_·b_)_＝_a_·_(λ_b_)_(λ∈R)； ③分配律：(a＋b)·c＝_a_·c_＋__b_·_c ．
解析 (1)因为|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 的夹角为 45°， 所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋ 2. (2)如图，由 AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝ ∠EAB＝30°.又 AB＝2 3，
所以 AE＝BE＝2.因为B→D＝A→D－A→B， 所以A→E·B→D＝A→E·(A→D－A→B)＝A→E·A→D－A→E·A→B ＝2×5×cos 60°－2×2 3×cos 30°＝－1.
解析 根据物理中力的平衡原理有 F3＋F1＋F2＝0， ∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝12＋( 2)2＋2×1× 2×cos 45°＝5. ∴|F3|＝ 5 N.
◇考题再现
4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)
＝( B )
A．4
B．3
C．2
a·b
④cos θ＝_|_a_||b_|_． ⑤|a·b|_≤__|a||b|.
4．平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量表示
高三数学课件：平面向量的数量积
平面向量的数量积• (1) d 与b 的夹角： 共同的起点• (3)向量垂直:A O B知识梳理:• 1、平面向量的数量积• (2) 向量夹角的范围: [0° , 180°]tBO A —►4 ・(4)两个非零向量的数量积：a •b = \a\ \b\ cos0•规定：零向量与任一向量的数量积为o 几何意义：数量积―方等于Q的长度1创与〃在a的方向上的投影161 cos0的乘积。
o2、平面向量数量积的重要性质日方为非零向量，e为单位向量•(1) e・ a = a • e = \ a / cosO•(2)日丄〃的充要条件是a - b=0•(3)当日与〃同向时，曰・b = \a / I b I ；•当a与b反向时，a • b = - \a I lb 特别地：a・a=! a ] 2或(4) cosO= (5) \ \< \ a / / b 3、平面向量的数量积满足的运算率（1）（交换律）a・b = b・a（2）（实数与向量结合律）（入 a ）• b =2 （a ・b ） =a ・（lb ）（3）（分配律）Ca + b丿・c =a・c + b・二、基础练习1、判断下列命题的真假・(1)平面向量的数量积可以比较大小・(2)因为直线的夹角范围为[0。
，90°],所以向量的夹角范围也为[0。
，90°]o(3)已知方为非零向量因为0Xa =0,。
•方=0,所以a = 0 •(4)对于任意向量a、b、c,者B有。
力・c = a・Cb・c) 2已知丨曰/ =12,丨方/=9, a • b =-54~2,求曰和b 的^SftnAABC中，a =5, b =8, 060。
，求PC • G44、已知\ a I =8, e是单位向量，当它们之间的夹角为典型例题例1、已知（曰-方）丄（a+ 3b）,求证：解：•・•（/力巾上冠2 §由）I(a - /?) - (a + 3 b) =0即a ' a + 3 a' b _ b • a- 3 b ' b =0即a - a + 2a' b- 3 b • b =0•I (a + b)2 = 4 b2即/ a + b I2 = 4 I b I2*./ a + b I = 2 I b I例2、已知/脚是非零向量，Ma + 3 b 与7日一5方垂直，a-4b与7a-2確直，求日与方的夹角。
数学复习：平面向量数量积的计算
数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。
高考数学一轮复习第五章第三讲平面向量的数量积课件
c 上的投影相等.切记不可对“a·c＝b·c”两边同时除以c得到a＝b， 不可对向量的数量积除以向量.
【考法全练】
1.(考向 3)已知向量|O→A|＝3，|O→B|＝2，O→C＝mO→A＋nO→B，若O→A
与O→B的夹角为 60°，且O→C⊥A→B，则实数mn 的值为( )
4 5×
5＝45.故选 D.
答案：D
(2)若向量 a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知 2a－3b 与
c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是________. 解析：因为 2a－3b 与 c 的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，
即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，所以 4k－6－6＜0，所以 k＜3.若 2a－ 3b 与 c 反向共线，则2k－2 3＝－6，解得 k＝－92，此时夹角不是钝 角，综上所述，k 的取值范围是－∞，－92∪－92，3.
答案：5
考向 2 求向量的夹角 通性通法：求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝|aa|·|bb|，θ 的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 cos θ＝
x21
x1x2＋y1y2 ＋y12 · x22 ＋y22
.
(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.
答案：24
图 D22
考点二 平面向量数量积的应用 考向 1 求向量的模 通性通法： 求解平面向量模的方法，a＝(x，y) (1)利用公式|a|＝ x2＋y2. (2)利用|a|＝ a2.
[例 2](1)已知平面向量 a，b 的夹角为π6，且|a|＝ 3，|b|＝2， 在△ABC 中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 中点，则|A→D| 等于( )