16.2.3二次根式的运算
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
16.2 二次根式的除法教案
16.2 二次根式的乘除（第2课时）一、内容和内容解析1．内容二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。
2．内容解析二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式.二、目标和目标解析1．教学目标（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；（2）会进行简单的二次根式的除法运算;(3) 理解最简二次根式的概念.2．目标解析（1）学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则；（2）学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算.(3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式.三、教学问题诊断分析本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向.本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.四、教学过程设计1．复习提问，探究规律问题1二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？师生活动学生回答。
【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则．2．观察思考，理解法则问题2 教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？师生活动学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：.问题3对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？师生活动学生思考，回答。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除第一课时优秀教学案例
2.要求学生认真完成作业，并及时给予反馈，了解学生对知识点的掌握情况。如：“请同学们认真完成作业，明天我们将进行作业讲评。”
五、案例亮点
（二）问题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考二次根式乘除法的运算规律，如：“如何将二次根式的乘除法转化为我们已经学过的加减法？”等。
2.引导学生通过问题发现知识点之间的联系，如：提问：“二次根式的乘除法与实数的乘除法有什么异同？”等，让学生在思考中掌握知识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，分享各自的想法和解决问题的方法，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养团队合作精神。
针对这一知识点，我设计了一节以学生为主体、注重实践与思考的优秀教学案例。首先，我会通过复习导入，引导学生回顾已学的二次根式知识，为新课的学习做好铺垫。接着，我将会引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索二次根式的乘除运算规律，培养学生的主体探究能力和团队合作精神。在探索过程中，我会适时给予学生反馈和指导，帮助他们克服困难，理解并掌握二次根式的乘除运算方论，让学生分享各自对二次根式乘除法的理解和运算方法。如：“你们认为二次根式乘除法应该如何运算？请你们小组讨论一下，并分享给其他小组。”
2.引导学生通过讨论，发现和总结二次根式乘除法的运算规律。如：“通过讨论，我们发现二次根式乘除法可以转化为加减法，只需要将根号内的数相乘（或相除）即可。”
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的二次根式乘除法的运算规律。如：“我们可以总结一下，二次根式的乘法可以理解为将根号内的数相乘，除法可以理解为将根号内的数相除。”
16.2二次根式的乘除法(教案)
1.教学重点
本节课的教学重点主要包括以下内容：
a.掌握二次根式乘法的运算法则，特别是\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)的形式，以及如何将其他形式的二次根式乘法转化为这一形式；
b.理解并应用二次根式除法的运算法则，特别是\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)和\( \frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} \)的形式，以及如何处理分母中含有二次根式的情况；
（3）\( \sqrt{a^2} \times \sqrt{b^2} = |a||b| \)（a、b为任意实数）
2.掌握二次根式除法的运算法则，能够正确计算以下形式的除法：
（1）\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)（a≥0，b＞0）
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够理解并运用二次根式乘除法的性质，解决实际问题；
3.培养学生的数学建模能力，通过解决实际情境中的问题，让学生体会数学知识在实际生活中的应用；
4.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的二次根式乘除运算中抽象出一般性规律，形成数学认知结构；
5.培养学生的合作交流意识，鼓励学生在小组讨论和交流中，共同探索二次根式乘除法的运算规律，提高解决问题的能力。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次根式乘除法的基本原理，如使用尺子和直角三角形模型来计算对角线长度。
人教版数学八年级下册《二次根式的除法》课件
5 8
=
2 3
1 =21=1. 36 3 6 9
二 商的算术平方根的性质 我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就
得到积的算术平方根的性质.
类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到 二次根式的商的算术平方根的性质:
a a (a 0,b 0). bb
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式 的算术平方根的商.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
a
a a 0,b 0
注意： 如果被开方数是带分
bb
数，应先化成假分数。
例5：化简 (1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
解：1 3 3 3
100 100 10
（1）化什么？
（2）观察三个式子 有什么共同特征？
（2）1 3 ＝ 19 ＝ 19 ＝ 19 根号内有分母 16 16 16 4
5
34 2 3 2
4
计算：
(1) 18 2;
(2) 6a 3a;
(3) 72 ; 6
(4) 2 3 1 3. 45 2 5
解: (1)原式= 18 2 9 3；
(2)原式= 6a 2；
3a
(3)原式= 72 6 12 2 3；
(4)原式=
1
3 2
2 8 45 5
1
2 3
2 45
10
高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地 所需时间t1的多少倍？
2 100
解:由题意得 t2 10 20 2.
t1 2 50 10 10
1.【章前引言】如果两个电视塔的高分别是h1km，
h2km，那么它们的传播半径的比为
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教学设计3
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教学设计3一. 教材分析《二次根式的乘除》是人教版数学八年级下册第16.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的加减法运算的基础上进行学习的。
二次根式的乘除法运算是初中数学中的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。
本节内容主要让学生掌握二次根式的乘除法运算规则，理解并掌握二次根式乘除法运算的性质和规律，提高学生的数学运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的性质和加减法运算，但对于二次根式的乘除法运算可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生理解二次根式的乘除法运算规则，通过大量的练习，让学生熟练掌握二次根式的乘除法运算。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的乘除法运算规则。
2.提高学生的数学运算能力。
3.培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的乘除法运算规则。
2.二次根式的混合运算。
五. 教学方法1.讲解法：教师通过讲解，让学生理解二次根式的乘除法运算规则。
2.练习法：让学生通过大量的练习，熟练掌握二次根式的乘除法运算。
3.小组合作法：让学生通过小组合作，共同探讨二次根式的乘除法运算，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件：教师需要准备PPT课件，用于展示二次根式的乘除法运算规则。
2.练习题：教师需要准备适量的练习题，用于让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习二次根式的性质和加减法运算，引导学生进入二次根式的乘除法运算学习。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT课件，呈现二次根式的乘除法运算规则，让学生初步了解二次根式的乘除法运算。
3.操练（10分钟）教师让学生进行二次根式的乘除法运算练习，引导学生掌握二次根式的乘除法运算规则。
4.巩固（10分钟）教师通过讲解和练习，让学生巩固二次根式的乘除法运算规则。
5.拓展（10分钟）教师引导学生进行二次根式的混合运算，提高学生的数学运算能力。
人教版八年级数学下册第十六章 二次根式16.2二次根式的乘除课件(2课时66张)
22
35
3 4
32 3 4 4
2
3
2
巩固练习
连接中考
（2019•株洲） 2 8 ＝（ B ）
A．4 2
B．4
C．10
D．2 2
课堂检测
基础巩固题
1.下面计算结果正确的是 ( D )
A. 4 5 2 5 8 5
B. 5 3 4 2 20 5
C. 4 3 3 2 7 5
人教版 数学 八年级 下册
16.2二次根式的乘除
第一课时 第二课时
第一课时
二次根式的乘法
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导入新知
如何计算 5 3？
苹果ios手持操作系统的图标为圆角矩形，长为 5 cm， 宽为 3cm，则它的面积是多少呢？
素养目标
2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平 方根的性质进行简单运算. 1. 掌握二次根式乘法法则.
不成立！
- 4、- 9 没有意义！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0
探究新知
二次根式的乘法法则是:
在本章中， 如果没有特 别说明，所 有的字母都 表示正数．
二次根式相乘，_根__指__数___不变，被__开__方__数__相乘.
语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法： (1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内， 当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式 都是正数时，平方大的二次根式大． (3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的 近似值，再进行比较．
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16.2.3二次根式的运算
1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则；
2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点)
一、情境导入
计算：
(1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2.
上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目： 计算： (1)23－53； (2)35－5＋2 5.
这时怎样计算呢？
二、合作探究
探究点一：同类二次根式
下列二次根式中与2是同类二次根式的是( )
A.12
B.
32 C.23
D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项B 中，
32＝62与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故与2是同类二次根式．故选D.
方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
探究点二：二次根式的加减
【类型一】 二次根式的加法或减法
(1)8＋32； (2)12
23＋1332； (3)448－375； (4)1816－32
96. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．
解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62；
(2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63
； (3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；
(4)原式＝36－66＝(3－6)6＝－3 6. 方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】 二次根式的加减混合运算 计算： (1)12－33－273； (2)32
4x －3x 9＋3x 1x ； (3)3123－45＋220－12
60； (4)0.5－2
13－(18－75)． 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．
解：(1)原式＝23－3－3＝0；
(2)原式＝3x －x ＋3x ＝5x ；
(3)原式＝15－35＋45－15＝5；
(4)原式＝22－233－24＋53＝24＋133
3. 方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】 二次根式加减法的应用
一个三角形的周长是(23＋3 2 )m ，其中两边长分别是(3＋ 2 )m ，(33－
22)m ，求第三边长．
解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．
解：第三边长是(23＋3 2 )－(3＋ 2 )－(33－2 2 )＝23＋32－3－2－33＋22＝42－23(m )．
方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质
感谢您的阅读，祝您生活愉快。