二次根式的加减乘除
16.3.2二次根式的加减乘除混合运算
50) 6
(2 7 5 2) 6
2 76 5 26 2 42 5 12 (2) (2 6 7 2 ) (7 2 2 6 )
(7 2） （2 6 )
2
2
=98-24 =74
拓展提高
解:(3) (3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
学习难点
1.理解有理化因式的含义,并能运用它进 行二次根式的有理化及化简二次根式. 2.灵活运用二次根式的加减乘除运算法 则化简二次根式并解决相关问题．
知识回顾
一.二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘除运算法则是什么?
a b ab （a 0, b 0）
a a （a 0, b 0） b b
2) ( 3 2)] 2) ( 3 2)]
2 32 2 4 6
拓展提高
七.二次根式的混合运算
(1)( 48 50) 6
(2)(2 6 7 2 ) (7 2 2 6 ) (3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
拓展提高
解:(1) ( 48
(2)在进行二次根式的乘除运算时,需要注意什么? 运算结果要:化成最简形式.
知识回顾
二.二次根式的加减法
(1)二次根式的加减运算法则是什么?
a c b c (a b) c
(2)二次根式的加减运算法则的依据是什么? 加减法则的依据是:乘法分配律.
探索学习
三.教你解题:
例1.计算:
(1) ( 7
x y x y
含有二次根式
x y
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果 它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二 次根式的非零代数式互为有理化因式.
初中数学二次根式的运算
初中数学二次根式的运算二次根式是初中数学中的重要概念之一，通过对二次根式的运算，可以提高学生的数学计算能力和思维能力。
本文将介绍二次根式的运算法则，并以实例来说明。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数，称为被开方数；√符号称为二次根号。
二次根式可以简化或者进一步运算，下面将介绍常见的二次根式运算法则。
二、二次根式的运算法则1. 同底数的二次根式相加减如果二次根式的底数相同，我们可以将它们相加或相减。
例如：√a + √b = √(a+b)√a - √b = √(a-b)例如，计算√5 + √3：√5 + √3 = √(5+3) = √82. 二次根式的乘法二次根式乘法运算可以使用分配律的性质，例如：√a * √b = √(ab)例如，计算√2 * √3：√2 * √3 = √(2*3) = √63. 二次根式的除法二次根式除法运算可以使用相乘后再开方的方式，例如：√a / √b = √(a/b)例如，计算√8 / √2：√8 / √2 = √(8/2) = √4 = 24. 二次根式的化简有时候我们可以对二次根式进行化简，将其变为更简单的形式。
例如：√(a^2) = a√(a*b) = √a * √b例如，化简√(9*4)：√(9*4) = √36 = √(6^2) = 6三、实例应用现在我们通过一些实例来进一步理解和应用二次根式的运算法则。
实例1：计算√(2+√7) * √(2-√7)根据乘法运算法则：√(2+√7) * √(2-√7) = √[ (2+√7) * (2-√7) ]= √[ 4 - (√7)^2 ]= √[ 4 - 7 ]= √(-3)实例2：计算√3 + √75 - √27根据加减法运算法则：√3 + √75 - √27 = √3 + √(25*3) - √(9*3)= √3 + 5√3 - 3√3= 3√3实例3：计算√(2 + √3) * √(2 - √3)根据乘法运算法则：√(2 + √3) * √(2 - √3) = √[ (2 + √3) * (2 - √3) ]= √[ 4 - (√3)^2 ]= √[ 4 - 3 ]= √1 = 1综上所述，本文介绍了初中数学中二次根式的运算法则，包括同底数的二次根式相加减、二次根式的乘法和除法以及二次根式的化简。
二次根式的运算加减乘除
二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。
本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。
一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。
例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。
例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。
因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。
二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。
以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。
例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。
需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。
三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。
例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。
Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。
例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。
Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。
对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。
二次根式的加减法法则
二次根式的加减法法则知识点归纳1、二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2、二次根式的加减法运算步骤：(1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．（3）被开方数相同的二次根式进行合并．3、二次根式的加、减、乘、除、混合运算：①二次根式的加、减、乘、除、混合运算与实数的加、减、乘、除、混合运算一样,先算乘除，后算加减，如果含有括号，就先算括号里的．②如果二次根式中出现了形如多项式相乘的算式，则乘法公式都能适用．4、二次根式的运算可以类比实数的运算,实数的各运算律都适合于二次根式的运算，所以在二次根式运算中要充分运用实数的运算律,使运算更为简单．典例讲解例1、填空题1、计算：（1）=__________．（2）=__________．答案:（1）（2）2、若三角形的两边长分别为和，其周长为（）cm，则第三边长为__________．答案：例2、选择题（1）下列各式中运算正确的是（）A．B．C．D．答案：A(2）已知、，则a、b的关系为( ) A．a=b B．a＋｜b|=0C．ab=1 D．ab=－1答案：D例3、计算（1)（2)（）－（)（3）（）（）（4）解：（1）（2）(）－()（3)（)（）（4)＝=例4、已知求的值．解：原式＝∵，∴,∴．∴原式＝．例5、利用乘法公式计算:，……（n为正整数）从以上计算中你发现了什么规律？请利用这一规律计算：答案:2007。
二次根式的加减与乘除总结
二次根式的加减与乘除总结二次根式是指具有形式√a的根式，其中a表示一个非负实数。
在实际问题中，我们经常会遇到对二次根式进行加减与乘除的运算。
下面将总结二次根式的加减与乘除规则，并配以实例进行解析。
一、二次根式的加减规则1. 同根式的加减：当二次根式的根数和被开方数都相同时，可以进行加减运算。
加减运算后的结果仍然是同根式，根数和被开方数都保持不变。
示例1：已知√2 + √3，我们可以直接相加得到结果√2 + √3。
示例2：已知√5 - √2，我们可以直接相减得到结果√5 - √2。
2. 同类根式的加减：当二次根式的根数相同时，可以进行加减运算。
加减运算后的结果仍然是同类根式，根数保持不变，被开方数进行相应的加减运算。
示例1：已知3√2 + 2√2，我们可以直接将根数相同的√2的系数相加得到结果5√2。
示例2：已知4√5 - √5，我们可以直接将根数相同的√5的系数相减得到结果3√5。
二、二次根式的乘除规则1. 二次根式的乘法：当两个二次根式相乘时，可以将它们的根数和被开方数相乘，并将根数和被开方数进行合并，最后化简得到结果。
示例1：已知(√2)(√3)，我们将根数相乘得到√6，将被开方数相乘得到2×3=6，最后化简得到结果√6×6。
示例2：已知(2√5)(3√2)，我们将根数相乘得到√10，将被开方数相乘得到2×5=10，最后化简得到结果2√10×3√10。
2. 二次根式的除法：当两个二次根式相除时，可以将被除数与除数的根数和被开方数进行相除，并将根数和被开方数进行合并，最后化简得到结果。
示例1：已知(√6)/(√2)，我们将根数相除得到√(6/2)=√3，将被开方数相除得到6/2=3，最后化简得到结果√3/3。
示例2：已知(2√10)/(3√10)，我们将根数相除得到(2/3)√(10/10)=(2/3)√1=2/3，将被开方数相除得到10/10=1，最后化简得到结果2/3。
二次根式乘除运算法则
二次根式乘除运算法则1.二次根式乘法法则：两个二次根式相乘时，我们可以将它们的系数相乘，并将根号内的值相乘，然后合并同类项。
例如：√2*√3=√(2*3)=√6当系数为负数时，我们可以先将负号移到根号前，然后再进行乘法运算。
例如：-√2*√3=-(√2*√3)=-√(2*3)=-√6如果两个二次根式都有分子和分母，我们可以对分子和分母分别进行乘法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√2/√3)*(√5/√7)=(√(2*5)/√(3*7))=(√10/√21)2.二次根式除法法则：两个二次根式相除时，我们可以将它们的系数相除，并将根号内的值相除，然后将同类项合并。
例如：√6/√2=√(6/2)=√3当系数为负数时，同样可以先将负号移到根号前，然后再进行除法运算。
例如：-√6/√2=-(√6/√2)=-√(6/2)=-√3如果被除数和除数都有分子和分母，我们需要对被除数和除数的分子和分母进行分别进行除法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√10/√2)/(√5/√3)=(√10*√3)/(√2*√5)=(√(10*3)/√(2*5))=(√30/√10)=(√(30/10))=√33.提取公因式的技巧：当需要进行二次根式的加减运算时，我们可以先提取公因式，再合并同类项。
例如：√16+√36=4√1+6√1=4+6=10如果二次根式中的根号内的表达式可以进行因式分解，我们可以先将根号内的表达式进行因式分解，然后再进行合并。
例如：√20+√8=√(4*5)+√(4*2)=2√5+2√2=2(√5+√2)4.合并同类项的方法：当有多个二次根式需要进行合并时，我们需要保证它们的根号内的表达式相同，然后将它们的系数相加或相减，保持根号不变。
例如：2√5+3√5=(2+3)√5=5√5以上就是二次根式乘除运算的基本法则和技巧。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些法则和技巧，以便在解决问题时快速而准确地进行计算。
二次根式的运算知识点总结
二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。
例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。
二次根式运算公式
二次根式运算公式二次根式的运算公式，那可是数学世界里相当重要的一部分！就像我们生活中的钥匙，能打开很多难题的大门。
先来说说二次根式的乘法公式，就是根号 a 乘以根号 b 等于根号下a×b（a≥0，b≥0）。
比如说，有一个长方形，它的长是根号 5 厘米，宽是根号 3 厘米，那这个长方形的面积是多少呢？这时候乘法公式就派上用场啦！面积就是根号 5×根号 3 ，等于根号下 5×3 ，也就是根号 15 平方厘米。
还有二次根式的除法公式，根号 a 除以根号 b 等于根号下 a÷b（a≥0，b＞0）。
我记得有一次在课堂上，我给学生们出了一道题：一个面积是 12 平方厘米的正方形，它的边长是多少？这其实就是让他们用除法公式来解决。
因为正方形面积等于边长的平方，所以边长就是根号12 ，再用除法公式化简，就是 2 倍根号 3 厘米。
再来说说二次根式的加减法。
这就像是把不同种类的水果分类，只有同类的二次根式才能相加减。
比如说，根号 2 加上 3 倍根号 2 ，那就等于 4 倍根号 2 。
有一次，我在菜市场买菜，看到卖水果的摊位。
摊主在整理一堆水果，把苹果放在一起，香蕉放在一起，橙子放在一起。
这让我一下子就想到了二次根式的加减法，只有同类的才能合并在一起，就像这些水果一样。
而在实际的运算中，我们常常需要先把二次根式化简，化成最简二次根式，再进行运算。
这就好比我们把杂乱的房间整理干净，东西归位，才能更清楚地看到我们拥有什么，需要处理什么。
在学习二次根式运算公式的时候，同学们可千万不能马虎。
要多做练习题，就像我们熟悉走路一样，走得多了，自然就熟练了。
而且要认真仔细，一步一个脚印，不然就容易出错。
总之，二次根式运算公式是我们解决数学问题的有力工具，只要掌握好了，就能在数学的海洋里畅游，轻松应对各种难题！希望同学们都能跟这些公式成为好朋友，让它们帮助我们在数学的道路上越走越远！。
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二次跟式的加减乘除练习知识点1.二次根式的有关概念： (1)二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
(2)最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含_______________________。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果_____________，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如,,就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
(4)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。
2.二次根式的性质： (1)(a≥0)是一个非负数, 即≥0;(2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；(3)某数的平方的算术平方根等于某数的__________，即=|a|=(4)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。
(5)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。
3.二次跟式的加减法则：同类二次根式可以合并，合并时，只合并二次根式前边的倍数，被开方数不变。
知识点四： 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则：).0,0(≥≥=•b a ab b a 反过来，就得到).0,0(≥≥•=b a b a ab二次根式的除法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
b aba =)0,0(>≥b a知识点五: 二次根式的性质a (a ≥0)是一个非负数, 即a ≥0;(2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(a )2=a(a ≥0)；(3)某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=(4)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即b a ab •=（a ≥0,b ≥0）。
(5)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即ba=ba （a ≥0,b>0）。
知识点六: 二次根式的化简求值的化简方法)0,0(>≥a b a b 。
把ab化为ab，然后分母有理化为aab 。
利用商的算术平方根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即aab a ab a b ==2。
3.化简二次根式k：运用积的算术平方根的性质()[]0,0,≥≥•=b a b a ab 二次根式的性质[])0(2≥=a a a及因式分解等知识化简二次根式k。
知识点随练1.二次根式的概念和性质【例1】（2014湖北宜昌一中期中）在式子2231,,1,0,,22x a x ++-中，一定是二次根式的有（ ）A.6个B.5个C.4个D.3个 【例2】x 是怎样的数时，下列各式有意义？（1）1x 2+ (2)1-x 1 (3)()2-x 1-x 1x ++2. 计算【例3】（1）25； （2）2)5.1(-；（3）2)3(-a （a<3）； （4）2)32(-x （x<23）A．2个B．3个C．4个D．5个练习2. 下列各式中，是二次根式的是（）7-B.32 C.a-D.)0(≥xx练习3. 当x取什么实数时，下列各式有意义?（1）x-；⑵()212-x；⑶xx-⋅-21；练习4. （1）()()xx--21；（2）5124--xx；（3）311x--练习5. 计算下列各式：（1）()213；（2）()23.5-；（3）26；（4）()2100-练习6. （1）221917--（2）1834练习7．（2014浙江温州一中月考）已知443422-=++++-ccba，求cba)(的值．练习8. 已知实数a满足aaa=-+-20092008，求22008-a的值。
练习9．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：=-+-2)2(|1|aa__ ___。
练习10．已知△ABC的三边分别为a.b.c则=+----||)(2cabcba___ ___练习11．若的值。
求xyz,0)4(322=-+-++zyx练习12．若,x y是实数，且21122y x x<-+-+，化简22yy--练习13．在实数范围内分解因式：xx363-⑵3322+-xx练习14、下列哪一个选项中的等式成立（）22.2=A33.3=B44.4=C55.5=D练习15、如果,2)2(2aa-=-那么（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2练习16、实数a、b在数轴上的对应点如图，化简222)(baba-+-的结果是（）A ．2a-2bB ．0C ．-2aD ．2b练习17、（2017春•淮安区期末）下列变形正确的是（ ）94)9)(4(-⨯-=--B.221441164116=⨯=⨯=C.ba b a +=+2)( D.12425242522=-=-练习18、（2016春•利川市校级月考）a•50的值是一个整数，则正整数a 的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5练习19、计算32•的结果是（ ）5 B.6 C. 32 D.23练习20、（2015春•北流市期中）已知13+=m ，132-=n ，则m 和n 的大小关系为（）A.n m= B.1=mn C.n m -= D.1-=mn练习21、（2017•济宁模拟）2的倒数是（）21B.2C.22 D.22-1．下列根式能合并的一组是（ ）A ． a 和3a 2B ．a 1a aC ．2a23aD 33a 43a2．（2014浙江丽水一中期中）若最简二次根式3a 4a 3b -+2a b 6-+能合并，则a ，b 的值分别是（ ）A ．2和1B ．1和2C ．2和2D ．1和13．若m 4n +3m n +m ，n 的值为（ ）A ．m=1，n=1B ．m=0，n=2C ．m=1，n=1或m=0，n=2D ．m=2，n=04．下列各式正确的是（ ） a b a b =+ 22a b a b -=- ③5x 223=④ax b x a b x =- ⑤22a 33a 55a = ⑥23a 3a 33a =A ．①③B ．②⑤C ．④D ．⑥5．计算1212434827-+的值是（）A．14059B．7033C．14039D．70396．已知484x23-=则x的值是（）A．3 B．32C．34D．387．若a＞0，b＞0，计算b aa b+＝______。
8．如果3x2124-=x＝______。
9．若a，b1818a b28++=+则a＋b_____。
10．已知x＋y＝5,xy＝3 ，则x yy x+=________。
11．计算：332x x19x6x x34x+-的结果是______。
12．已知1x+210x=-+，则221xx+=_______。
13．计算：（1）2182216612527-++；（2）11111(10836)2(27)32383----；22222b b b a8a(ab)82a2a2b a b⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦14．已知x31=+，y31=-，求2222x yx y xy-+的值。
15．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简22a a+b(c a)b c-----。
已知一个直角三角形的两直角边分别为(53)厘米和(53)+厘米，求这个三角形的周长和面积。
17.（2017•广州）下列运算正确的是（）A.263baba+=+B.3232baba+=+⨯C.aa=2D.)0(≥=aaa18.（2017•资阳）下列运算正确的是（）A.222)(yxyx+=+B.()532xx=C.xx=2D.326xxx=÷19.（2016•南充）下列计算正确的是（）A.3212=B.2323=C.xxx-=-3 D.xx=220.（2017•澧县一模）下列运算正确的是（）A.1021010=•B.()532aa=C.aaa=-3445 D.222743aaa=+21.（2017春•新宾县期中）已知53+=a,352-=b,则a与b的关系是（）A．a=b B．ab=1 C．a=-b D．ab=-522.计算：().___2010120122011201020092=-+⨯⨯⨯23.（2017春•萧山区校级期中）如果一个三角形的三边长分别为52361227212--+-kkkk，则化简、、的结果是（）A．-k-1 B．k+1 C．3k-11 D．11-3k24.（2017春•蒙城县期末）如果2121--=--xxxx，那么x的取值范围是______.。